2018年高考數(shù)學二輪復習 專題八 第3講 高考數(shù)學文化與人文價值名師導學案 文

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1、 第3講　高考數(shù)學文化與人文價值 數(shù)學文化解讀　教育部考試中心函件《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用.比如，在數(shù)學中增加數(shù)學文化的內容.”因此，我們特別策劃了此專題，將數(shù)學文化與數(shù)學知識相結合，選取典型樣題深度解讀，希望能夠給予廣大師生的復習備考以專業(yè)的幫助與指導. 熱點一　算法中的數(shù)學文化 【例1】　(1)(2017·菏澤模擬)公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術”，利用“割圓

2、術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出n的值為________.(參考數(shù)據(jù)：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，≈1.732) (2)(2016·四川卷)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程度框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為(　　) A.9 B.18 C.20 D.35 解析　(1)

3、n＝6，S＝×6sin 60°＝≈2.598<3.1執(zhí)行循環(huán). n＝12，S＝×12sin 30°＝3<3.1，執(zhí)行循環(huán). n＝24，S＝×24sin 15°＝3.105 6>3.1，滿足條件，退出循環(huán). ∴輸出n的值為24. (2)初始值n＝3，x＝2，v＝1. 程序框圖運行過程如下： i＝2　v＝1×2＋2＝4 i＝1　v＝4×2＋1＝9 i＝0　v＝9×2＋0＝18 i＝－1不滿足條件i≥0，退出循環(huán). 輸出v＝18. 答案　(1)24　(2)B 探究提高　1.更相減損術、秦九韶算法和割圓術分別在人民教育出版社《數(shù)學必修3》(A版)第36頁，第37頁，第45頁“算

4、法案例”中出現(xiàn).其中更相減損術和秦九韶算法分別在2015年和2016年全國卷Ⅱ中考過，因此割圓術將是以后命題的熱點. 2.將數(shù)學文化嵌入到程序框圖：(1)要讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行；(2)要理解數(shù)學文化的人文價值，樹立正能量. 【訓練1】　(2017·衡水中學二調)《算學啟蒙》是由中國元代數(shù)學家朱世杰撰寫的一部數(shù)學啟蒙讀物，包括面積、體積、比例、開方、高次方程等. 名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等，如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n等于(　　) A.2 B.3 C.

5、4 D.5 解析　當n＝1時，a＝，b＝4，滿足進行循環(huán)的條件， 當n＝2時，a＝，b＝8滿足進行循環(huán)的條件， 當n＝3時，a＝，b＝16滿足進行循環(huán)的條件， 當n＝4時，a＝，b＝32不滿足進行循環(huán)的條件，退出循環(huán).故輸出的n值為4. 答案　C 熱點二　數(shù)列中的數(shù)學文化 【例2】　(1)(2017·江西紅色七校聯(lián)考)《九章算術》之后，人們學會了用等差數(shù)列的知識來解決問題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布)，第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計)共織390尺布”，則從第2天起每天比前一天多織________尺布(　

6、　) A. B. C. D. (2)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了(　　) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 解析　(1)每天織布數(shù)依次構成一個等差數(shù)列{an}，其中a1＝5，設該等差數(shù)列的公差為d. 則一月織布總數(shù)S30＝30×5＋d＝150＋435d＝390，解之得d＝. (2)依題意，6天中每天行走的路

7、程構成一個等比數(shù)列，記為{an}，其中公比q＝. 由題設有＝378，解得a1＝192. 則a2＝a1q＝192×＝96. 所以第二天走了96里. 答案　(1)D　(2)B 探究提高　1.我國古代數(shù)學強調“經(jīng)世濟用”，注重算理算法，其中很多問題可轉化為等差數(shù)列，等比數(shù)列問題. 2.兩題以傳統(tǒng)數(shù)學文化為載體考查數(shù)學的實際應用，求解的關鍵是將古代實際問題轉化為現(xiàn)代數(shù)學問題，建立數(shù)列模型，進行數(shù)列的基本計算，利用方程思想求解. 【訓練2】　(2017·石家莊調研)朱載堉(1536－1611)，是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學家和天文歷算家，他的著作《律學新說》中制成了最早的“十二平均律”

8、.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”.即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍.設第三個音的頻率為f1，第七個音的頻率為f2.則＝(　　) A. B. C.4 D. 解析　依題意，13個音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設公比為q. 則a13＝a1q12，且a13＝2a1，∴q＝ ， 所以＝＝q4＝ ＝. 答案　A 熱點三　立體幾何中的數(shù)學文化 【例3】　(1)(2015·全國Ⅰ卷)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下

9、問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 (2)我國南北朝時期數(shù)學家、天文學家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢即同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對應的幾何體滿足“冪勢

10、同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A.4－ B.8－ C.8－π D.8－2π 解析　(1)設米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝.所以米堆的體積為V＝×π×r2×5＝××5≈(立方尺). 故堆放的米約有÷1.62≈22(斛). (2)由三視圖知，該幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱. V正方體＝23＝8，V半圓柱＝(π×12)×2＝π， ∴三視圖對應幾何體的體積V＝8－π. 根據(jù)祖暅原理，不規(guī)則幾何體的體積V′＝V＝8－π. 答案　(1)B　(2)C 探究提高　1.本例以《九章算術》，祖暅原理為背景，相應考查圓錐的體積公式、三視圖及其體積計算.既檢

11、測了考生的基礎知識和基本技能，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化. 2.兩題很好地詮釋了《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中對數(shù)學文化內容的要求，加強對中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查，引導考生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神，樹立民族自信心和自豪感，試題的價值遠遠超出試題本身. 【訓練3】　(2017·新鄉(xiāng)三模)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高一丈.問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出如下圖所示，

12、其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為(　　) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺 解析　該楔形的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF，取AB的中點G，CD的中點H，連FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F－GBCH與三棱柱ADE－GHF的體積之和，而三棱柱ADE－GHF可通過割補法得到一個高為EF，底面積為S＝×3×1＝平方丈的一個直棱柱，故該楔形的體積V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺. 答案　A 熱點四　概率統(tǒng)計中的數(shù)學文化 【例4】　(2017·鄭州二模)歐陽修在《賣油翁》中寫到：

13、“(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見賣油翁的技藝之高超，若銅錢直徑4厘米，中間有邊長為1厘米的正方形小孔，隨機向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計)，則油恰好落入孔中的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　易知銅錢的面積S＝π×22＝4π，銅錢小孔的面積S0＝1.根據(jù)幾何概型，所求概率P＝＝. 答案　D 探究提高　1.弘揚中華傳統(tǒng)文化在數(shù)學中體現(xiàn)為兩點：一是挖掘古代典籍與數(shù)學知識的結合點；二是將數(shù)學落實在中華傳統(tǒng)美德，貫徹“弘揚正能量”的精神風貌. 2.試題插圖的創(chuàng)新是本題的一個亮點，其一，增強了數(shù)學問題的生活化，使數(shù)學

14、的應用更貼近考生的生活實際；其二，有利于考生分析問題和解決問題，這對穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三，探索了數(shù)學試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學問題直觀化的范例. 【訓練4】　我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 解析　由分層抽樣的含義，該批米內夾谷約為×1 534≈169(石). 答案　B 熱點五　推理與證明中的數(shù)學文化 【例5】　(1)(2017·南寧質檢)如圖

15、所示是畢達哥拉斯(Pythagoras)的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4 095個正方形，設初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為________. (2)(2015·湖北卷)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬P－ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE. ①證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，請說明理由.

16、 ②記陽馬P－ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求的值. (1)解析　依題意，正方形的邊長構成以為首項，公比為的等比數(shù)列. 因為共有4 095個正方形，則1＋2＋22＋…＋2n－1＝4 095，∴n＝12. 所以最小正方形的邊長為×＝＝. 答案　 (2)①證明　因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC， 由于底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，且PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD. 由DE?平面PCD，所以BC⊥DE， 又PD＝CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC. 由PC∩BC＝C，故DE⊥平面PBC. 由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC. 可知

17、四面體EBCD的四個面都是直角三角形，則四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB. ②解　由已知，PD是陽馬P－ABCD的高. ∴V1＝SABCD·PD＝·BC·CD·PD， 由①知，DE是鱉臑D－BCE的高，BC⊥CE. ∴V2＝S△BCE·DE＝·BC·CE·DE， 在Rt△PDC中，由于PD＝CD，點E是PC的中點. 所以DE＝CE＝CD， 于是＝＝＝4. 【訓練5】　在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如圖1所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家布萊士·帕斯卡的著

18、作(1655年)介紹了這個三角形.近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)如圖1，17世紀德國數(shù)學家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關系式：C＋C＝C，其中n是行數(shù)，r∈N.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關系式是________. 圖1 圖2 解析　類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)，而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之數(shù)，故類比式子C＋C＝C，有＝＋. 答案?。? 熱點六　數(shù)學文化與現(xiàn)代科學 【例6】　2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任

19、務已經(jīng)通過了探月工程重大專項領導小組審議通過，正式開始實施.如圖所示，假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號是(　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析　觀察圖形可知a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，即

20、①式不正確； a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確； 由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0， 知<，即<，從而c1a2>a1c2，>.即④式正確，③式不正確. 答案　D 探究提高　1.命題者抓住“嫦娥奔月”這個古老而又現(xiàn)代的浪漫話題，以探測衛(wèi)星軌道為背景，抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質，并以加減乘除的方式構造兩個等式和兩個不等式，考查橢圓的幾何性質，可謂匠心獨運. 2.注意到橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ共一個頂點P和一個焦點F，題目所給四個式子涉及長半軸長和半焦距，從焦距入手，這是求解的關鍵，本題對考生的數(shù)學能力進行了比較全面的考查，是一道名副其實的小

21、中見大、常中見新、蘊文化于現(xiàn)代科學技術應用之中的好題. 【訓練6】　第24屆國際數(shù)學家大會會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的.如圖所示，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么tan＝________. 解析　依題意得大、小正方形的邊長分別是1，5， 于是有5sin θ－5cos θ＝1，則sin θ－cos θ＝. 從而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝， 則sin θ＋cos θ＝，因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝. 故tan＝＝－7. 答案　－7 以古代數(shù)學知識為背景命制的題目常與立體幾何、函數(shù)、數(shù)列、算法等知識有關，解題的關鍵是將數(shù)學史背景下的條件轉化為高中數(shù)學知識，考查考生的閱讀理解能力、抽象概括能力、轉化與化歸能力，既體現(xiàn)了對數(shù)學應用性的考查，也體現(xiàn)了我國數(shù)學文化的源遠流長. 隨著高考改革的深入，仍會適當加大對中國傳統(tǒng)文化進行考查的內容，如將四大發(fā)明、勾股定理等所代表的中國古代科技文明作為試題背景材料，遵循繼承、弘揚、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實中的創(chuàng)造性轉化和創(chuàng)新性發(fā)展，體現(xiàn)中國傳統(tǒng)科技文化對人類發(fā)展和社會進步的貢獻，踐行社會主義核心價值觀. - 11 -