2022年人教版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形+四邊形壓軸 專項(xiàng)練習(xí)題（含答案）

2022年人教版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形十四邊形壓 軸專項(xiàng)練習(xí)題 三角形壓軸專項(xiàng)練習(xí)題 1 .【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形, 如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形, 小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，小明 發(fā)現(xiàn)若AB=AC,AD=AE,則4SS以△4 【材料理解】(】)在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn). 【深入探究】(2)如圖2,△48C和是等邊三角形，連接80,FC交于點(diǎn)O, 連接/O,下列結(jié)論：①BD=EO,②N8OC=60°;③//OF=60°;@EO=CO, 其中正確的有 (將所有正確的序號(hào)填在橫線上). 【延伸應(yīng)用】 (3)如圖3,AB=BC,乙ABC=£BDC=60°,試探究//與NC的數(shù) 量關(guān)系. 2 .(1)如圖1,等腰△/8C和等腰三中，2BAC=£DAE=9N,B,E,。三點(diǎn)在同一直線上，求證：2BDC=90。； (2)如圖2,等腰△S8C中，AB=AC,£BAC=9b,。是△48。外一點(diǎn)，且N8OC=90",求證：ADB=45°; (3)如圖3,等邊△工8c中，。是△48C外一點(diǎn)，且/8。。=60°, ①N4O8的度數(shù)； ②04,DB,。。之間的關(guān)系. 3 .如圖，在△/8C中，AB=AC,NMC=90°,8C=14,過(guò)點(diǎn)工作力。18。于點(diǎn)。 E為腰4C上一動(dòng)點(diǎn)，連接。£以。F為斜邊向左上方作等腰直角△£?比，連接力廠. (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸落在線段力。上時(shí)，求證：AF=EF; (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在線段左側(cè)時(shí), 明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若4尸=初, B D C b 圖1 (1)中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證 求線段CE的長(zhǎng). A i D C B D C 圖2 備用圖 4 .定義：如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的比為2:1,那么這個(gè)三角形叫做"倍直角三 角形”. (1)如圖1,下列三角形中是“倍直角三角形”的是 (2)已知“倍直角三角形”的一條直角邊的長(zhǎng)度為2,則另一條直角邊的長(zhǎng)度 (3)如圖2,正方形網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)4、8、C、D,找出格點(diǎn)E使△48£4CDE 都是"倍直角三角形”，這樣的點(diǎn)萬(wàn)共有個(gè)； (4)如圖3,正方形網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)/、B,找出格點(diǎn)C,使△48C是"倍直角三角形”，請(qǐng)畫(huà)出所有滿足條件的點(diǎn)C. 5 .如圖1,已知 中，NMC=90°,點(diǎn)。是上一點(diǎn)，且4C=8,£DCA= 45。，4EL8C于點(diǎn)£交8于點(diǎn)£ (1)如圖1,若48=2/C,求力三的長(zhǎng)； (2)如圖2,若/8=30°,求△3的面積； (3)如圖3,點(diǎn)尸是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP=BD,連接PF,求證：PRAF= 圖1 圖2 圖3 6 .如圖，△48C是等腰直角三角形，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，F(xiàn)DLED. (1)如圖1,若點(diǎn)£在線段上，點(diǎn)尸在線段ZC上.請(qǐng)?zhí)骄砍鼍€段AF,48的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； (2)如圖2,若點(diǎn)萬(wàn)在線段48的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在線段C4的延長(zhǎng)線上.請(qǐng)問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)?zhí)骄砍龃藭r(shí)線段為£AF,Z8的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 7 .如圖】，在長(zhǎng)方形488中，48=8=6cm,BC=]Ocm,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以2cmis 的速度沿8c向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，且X5. (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以。6?/5的速度沿 8向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的U值，使得以力、從尸為頂點(diǎn)的三角形與以戶、Q、 C為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)求出。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 8 .如圖所示，正方形力88的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是邊8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且/4爐=90°,EF 交。C于點(diǎn)G,交正方形外角平分線。尸于點(diǎn)尸，點(diǎn)〃是力8的中點(diǎn)，連接EW (1)求證：ZBAE^ZFEC\ (2)若萬(wàn)為8C的中點(diǎn)，求證：AE=EF-, (3)點(diǎn)F在何位置時(shí)線段。G最短，并求出此時(shí)。G的值. 9 .已知，在△/8C中，AC=BC,分別過(guò)4,8點(diǎn)作互相平行的直線4例、BN,過(guò)點(diǎn)C 的直線分別交直線/例、8/V于點(diǎn)。、E. (1)如圖1,若工用_!_48,求證：CD=CE; (2)如圖2,(ABC=(DEB=6Q°,求證：AODC=BE. 10 .(1)問(wèn)題提出：如圖1,已知等邊△/8C的邊長(zhǎng)為2,。為8C的中點(diǎn)，戶是力。上一動(dòng)點(diǎn)，則8處戶的最小值為. (2)問(wèn)題探究：如圖2,在Rt△工8c中，N必C=90°,/工8c=30°,4c=近，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)尸滿足//尸8=/妒。=120°,求以+Q8+PC的值. (3)問(wèn)題解決：如圖3,某地在脫貧攻堅(jiān)鄉(xiāng)村振興中因地制宜建造了3個(gè)特色農(nóng)產(chǎn)品種植基地B,C.現(xiàn)需根據(jù)產(chǎn)品中轉(zhuǎn)點(diǎn)。修建通往種植基地工，B,。的道路84,PB,PC,方便農(nóng)產(chǎn)品的儲(chǔ)藏運(yùn)輸，根據(jù)地質(zhì)設(shè)計(jì)，月8路段每米造價(jià)是由的候，戶C路段每米造價(jià)是由的2倍.已知AB=BC=2000米，ZABC=30°,要使修建3條道路費(fèi) 用最小，即求根+正尸8+22。的最小值. 11 .如圖，△48C中，N84C=120°,AB=AC,點(diǎn)。為8c邊上一點(diǎn). (1)如圖】，y^AD=AM,/_DAM=120°. ①求證：BD=CM\ ②若/。的。=90。，求號(hào)的值； (2)如圖2,點(diǎn)E為線段8上一點(diǎn)，且CF=1,AB=2g2DAE=60；求DE的長(zhǎng). 12 .已知：線段8相交于點(diǎn)。，連接4?、CB. £-<2yp xb 圖1 圖2 圖3 (1)如圖1,求證：N"+NO=N8+NC; (2)如圖2,N/OC和N/I8C的平分線上和8F相交于點(diǎn)£并且與48、8分別相交于點(diǎn)例、N,2/1=28°,ZC=32°,求NE的度數(shù)； (3)如圖3,NZOC和NH8c的三等分線。尸和8F相交于點(diǎn)£并且與48、8分 別相交于點(diǎn)從、N,ZCDE=-^-ZADC,乙CBE=J乙ABC,試探究//、NC、ZFHo o 者之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由. 13 .如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,。)、3(-2,0)、C(h,0)且(9匕-7) 2+V2a-b-2=° (1)求點(diǎn)力、C的坐標(biāo)； (2)求△N8C的面積S△人8C； (3)當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(。，4)且508戶=S08c時(shí)，求”的值. 14 .如圖，已知A8II8,Zl+3=90°,BC、C尸分別平分N48尸和/6任，試說(shuō)明力8 II爐的理由. 解：???48//CD(已知)， N1=N2(). ? /Z1+23=90°(已知)， .,.Z2+23=90°(). 即N8c尸=90°. =180°(三角形內(nèi)角和等于180°), ? 1.=90°(等式性質(zhì)). ? ??BC.C尸分別平分//8尸和/8代(已知)， ??.(). ...NABF+ZBFE=180°(). :.ABIIFE(). 參考答案 1 .(1)證明： ZBAC+/.CAD=ZDA曰4CAD, ：./_BAD=NCAE, 'AB=AC 在△48。和中，，ZBAD=ZCAE,,AD=AE ：.^ABD^^ACE\ (2)如圖2,?.?△48C和△ZOE是等邊三角形， :.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60", .-.ZBAD=ZCAE, 'AB=AC 在△48。和中，，ZBAD=ZCAE. AD=AE :AABD^AACE、 ：.BD=CE,①正確，£ADB=LAEC, 記與CA的交點(diǎn)為G, ■ 1,ZAGE=ZDGO, .?.180°-Z.ADB-Z.DGO=]80°-/.AEC-/.AGE, ZDOE=ZDAE=60°, .?.N8OC=60°,②正確， 在08上取一點(diǎn)F,使OF=OC,連接CF, .?.△OC廠是等邊三角形， CF=OC,ZOFC=ZOCF=60°=/.ACB, ZBCF—NACO, -：AB=AC, ：.4BC2XACO(SAS), Z.AOC=Z.BFC=)80°-/60=120°, :.^AOE=]80°-^AOC=60°,③正確，連接“尸，要使OC=OE,則有OC=^CE, BD=CE, ：.CF^OF=—BD,2 :.OF^BF+OD, ：.BF<CF, ZOBC>ZBCF, ■ ：ZOBC+ABCF=ZOFC=60°, :.^OSC>300,而沒(méi)辦法判斷NO6C大于30度, 所以，④不一定正確， 即：正確的有①②③， 故答案為①②③； (3)如圖3, 延長(zhǎng)。C至Q，使DP=DB, ■ ：ZBDC^60", .,?△8。尸是等邊三角形， ；.BD=BP,/。8尸=60°, ■ ：ZABC=60°=ZDBP, /_ABD=£CBP, ■ ：AB^CB, ：.^ABD^^CBP(SAS), ."86=/A ■ ：LBCP=180°, :./.A+ABCD=180°. 圖2 2 .(1)證明：如圖1,設(shè)8。與4C交于點(diǎn)尸, A 圖1 ■：ABAC=Z.DAE=9G°, ZBAE=ZCAD, 在ASS三和△AC。中， ，AB=AC <ZBAE=ZCAD AE=AD :.XABEXACD{SAS), ZABE—NACD, ,:乙ABM£AFB=9N,/_AFB=/_CFD, :.Z.AC8£CFD=9G°, ZBDC=90°; (2)如圖2,過(guò)4作4EL/4。交8。于E A ■：ABAC=/_DAE=90°, NBAE=ZCAD、 ?:乙BAC=/.BDC=90°,/_AFB=/_CFD、 /_ABE-NACD、 在和△/C。中，rZBAE=ZCAD <AB=AC,ZABE=ZACD :AABE4ACD(ASA), :.AE=AD, ：./_ADE=£AED=A5°; (3)①如圖3,在形內(nèi)作NO4E=60°,AE交.BD千E點(diǎn)、 與(2)同理A/S&△48, :.AE=DA, .?.△ZOE是等邊三角形， ZADE=60°; ②.：BE=DC, ：.DB=BE^DE=DA+DC. 3 .(1)證明：,.?/8=/C,Z.BAC=90°,ADLBC, ：./.CAD=45°, ? .?△仔。是等腰直角三角形, /_EFD=/_AFE=90°, ??.//斤=1800-/_CAD-Z.AFE=45° :.(EAF二(AEF, :.AF=EF?, (2)解：當(dāng)點(diǎn)尸落在線段力。左側(cè)時(shí)，(1)中結(jié)論/尸二夕仍然成立，理由如下: 如圖2,取/C的中點(diǎn)G連接。GFG, 在中，DG—CG—AG, .?./GAC=NC=45°, ZDGC=90°, .?.△OGC是等腰直角三角形，生是等腰直角三角形， .DG_DF_/2 "DCDE2' ? ??ZFDG=zFDB-ZEDG=45°+/_EDG, ZEDC=ZGDC^LEDG=45°—EDG, ? ?.ZFDG=ZEDC,:ND6XEDC、 :ZFGD=£ECD=A5°, .?./尸G4=45°, 在△尸G4和△尸GZ?中， 'AG=DG <ZFGA=ZFGD,FG=FG △尸G4組△尸GO(SAS), :.AF=DF, '：DF=EF、 ：.AF=EF-, (3)在RtZk/SC中，6c=14,。是8c中點(diǎn)， ：.AD=7, 取力。的中點(diǎn)G,連接。G,FG,設(shè)直線尸G與力。相交于點(diǎn)尸, 由(2)可知/尸GZ?=45°=ZGDC, :.FG\\DC, GQ_LZ。且AP=DP=PG=^-AD=—,2 2 在中，AP=—,/尸=芻返，2 2 PF-VaF2-AP2=-J(—TT-)2-^)2=2"， ①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在線段4?左側(cè)時(shí)，尸G=4, 圖2 ■：^FDG^^EDC, .FG=FD=DG=&一而五衣一"T，.?.七=4在; ②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸落在線段4。的右側(cè)時(shí), B D C 圖3 :.FG=PG-PF=DP-PF=3.5-0.5=3, 同理得△田Gs^ac, .FG=DF=返"EC"DE~~2~, EC—3-\y2， 綜上，£C的長(zhǎng)是4&或3&. 4 .解：(1)如圖1中，,:AB=6,8C=泥，4c=3加, .?.△48C不是倍直角三角形， ,:DF=2近,DE=/EF=2氏, :?DP+DU=E科、 :.zFDE=90°, ?.DE=2DF, .??△。&是倍直角三角形， .?ZGHI=90°,GH=5,HL=3, .?.△G”/不是倍直角三角形， 故答案為：ADEF. (2)?.?“倍直角三角形”的一條直角邊的長(zhǎng)度為2, ??.另一條直角邊的長(zhǎng)度為1或4, 故答案為：1或4. (3)如圖2中，滿足條件的點(diǎn)石共有4個(gè), 圖2 故答案為：4. (4)如圖3中，滿足條件的點(diǎn)。共有5個(gè). 03 5.(1)解：如圖1中, -：AB=2AC,AC=8, AB—16, VZ5/4C=9O°, ? 1?BC=VaC2+AB2=Vs2+162=8V5， ■：AELBC, .■.S^abc=^BC»AE=^AC*AB, .??心萼普=獨(dú)叵 875 5 (2)解：如圖2中，在CF上取一點(diǎn)，使得修=O,連接 ? ：/.BAC=9G°,N8=30°, ：./.ACE=90°-30°=60°, ? ：AELBC,4c=8, :.CE=AC»cos6G°=4, ? ：Z.DCA=45°, zFCE=zACE-zACD=15°, JF—JC, :.乙JFC=£JCF=\5°, ：.£EJF=AJFC+AJCF=3Qa, 設(shè)EF=m,貝ijFJ=JC-2m,EJ=73/77, ?,-a/3^?4-2/77=4, ."=4(2-y)， ：.EF=A(2-73), .'Wecf=Jx4x4(2-^/3)=8(2-正) (3)證明：如圖3中，過(guò)4點(diǎn)作于點(diǎn)從，與8c交于點(diǎn)N,連接。M .'.AMLCD,AM=DM=CM,ZDAM=ZCAM=ZADM=AACD=45°, /.DN=CN, :'乙NDM=(NCM, \'AE1_BC, EC®/_EFC=2MAR/_AFM=q。。, ?:乙AFM=/_EFC、 .-.ZMAF=ZECF、 /.ZMAF=ZMDN, ,:乙AMF=(AMN, :.l\AMP^l\DMN(ASA), :,AF=DN=CN, 4c=90°,AC^AD, zDAM=zCAM=zADM=ZACD=45°, £NAP=£CDB='35°, ZMAF=ZMDN, .1./PAF=ZBDN, ■:AP=DB、 :AAP24DBN(SAS), PF=BN, ■：AF=CN, ：.PHAF=CN+BN, 即PF+AF=BC. 6.解：(1)AE+AF=AB,理由如下： 連接4。，如圖1所示： ???△/8C是等腰直角三角形，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)， .?.N8=NC=45°,AD1BC,/_DAF=^/_BAC=45°,AD=^BC=BD, :.乙B=乙DAF,£ADB=9Q°, 又,：FDLED, ：.ZEDF=90°, ZBDE=ZADF,在和尸中，'/B=NDAF<BD=AD, ZBDE=ZADF :ABDP^AADF〈ASA), BE=AF, ■：AE^BE=AB, .".AE^AF=AB\ (2) AB+AF=AE,理由如下： 連接力2如圖2所示： 同①得：(BDE二乙ADF,AD=BD、/工8。=/C4O=45°, :.(DBE=/_DAF='35°, 在△805和△4。尸中，'NBDE=NADF <BD=AD>ZDBE=ZDAF :.△BDE^.RADF〈ASA}, BE=AF, ■：AB+BE=AE, :.AB+AF=AE. 故答案為(10-2/); (2)存在. 分兩種情況討論： ①當(dāng)69=CQ,AB=PC^,4ABWXPCQ. 因?yàn)?8=6,所以戶0=6. 所以82=10—6=4,BP27=4. 解得/=2. 因?yàn)镃Q=89=4,vx2=4,所以p=2. ②當(dāng)M=CQ,尸8=PC時(shí)，XAB2&QCP. 因?yàn)镻B=PC, 所以8尸=PC=*8C=5,EP2/=5. 解得1=2.5. 因?yàn)镃Q=M=6,即px2.5=6,解得s=2.4. 綜上所述，當(dāng)"=2.4或2時(shí)，4ABp與4PQC全等. 8 .解：(1)?.?正方形498, ：.NB=9Q°,/_AEB+/.BAE=90", ?：Z.AEF=90°, /LAEB+ACEF=90°, .1./BAE=ZCEF, (2)證明：,?,正方形 :.AB=BC,Z.B=£BCD=ZDCG=90°, 為6c的中點(diǎn)， AM—EC—BE, .1.ZBME-ZBEM-45°, .\/_AME=135°, ,:CF平分乙DCG、 ???/OCG=/尸CG=45°, :./_ECF^180°-ZFCG=135°, ZAME-NECF, AAEF=90°, :?乙AEB+/_CEF=90°, 又£AEB"MAE=90°, /.ZMAE=ZCEF, :.XAM匹XECF〈ASA), :.AE=EF, (3)設(shè)BE=x,CE-4—x, 由(1)知，ZBAE=ZGEC, ?"B=£ECG=9b、 :.XAB-XGEC、 .AB_BE 一而鐮， .4_x 一片豌， GC--^-x(4-x), .'QG=4一/虱4-必=^^-此八］(x-2)2+3, ?;當(dāng)x=2即E為8c中點(diǎn)時(shí)，線段。G最短， OG的最小值為3. 9 .證明：⑴如圖1,延長(zhǎng)/C交8N于點(diǎn)尸， \-AC=BC, :.^CAB=ACBA,又?「48? .-.,/BAM=90°, 又，：AMUBN, :.^BAM+/_ABN=180°, .\^ABN=90°, :./_BAR(AFB=qOQ,/_ABC^/_CBF^90°, ZCBF-/_AFB, BC=CF, .\AC=FC, 又〈AMIIBN, ZDAF-/_AFB, 在△/OC和△/中，rZDAC=ZEFC <AC=FC,ZACD=ZFCE:./\ADC^^FEC(ASA), :.DC=EC; (2)如圖2,在3上截取日/=FC,連C〃， ?；ZC=8C,//8C=60°, .1△/SC為等邊三角形， ZDEB=60",」.△C便是等邊三角形，：ZCHE=60°,£HCE=6C： Z5/7C=120°, ■：AMHBN, ：.J/ADC+J/BEC=]8Q°, :.ZADC=]20a, ADAC+ADCA=60°, X".-ZDCA+Z.ACB^/_BCH^LHCE=180°, :.乙DCA+乙BCH=6金。, DAC=ZBCH, 在△。/IC與中， fZDAC=ZHCB "Zadc=Zchb. AC=CB :ADA8叢HCB{AAS), .1.AD-CH,DC=BH, 又；CH=CE=HE, :.BE=B+HE=DC+AD. 10 .解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)戶作加_L4C于例, A B D C 圖1 ???△48C是等邊三角形，。是8c的中點(diǎn)， :.Z.DAC=^Z.BAC=3Q°, :.PM=—PA, 2 PB+—PA=PB+PM,2 .??當(dāng)8,P,〃三點(diǎn)共線時(shí)，尸3+/期的值最小此時(shí)，BM1AC, ?：AB=2,N840=60°, 62-12=蟲(chóng)， 故答案為：V3； (2)如圖2,把48尸C繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° X：c \、、、: \、、、； \產(chǎn) \＜圖2 得到△8斤,連接月£ 由旋轉(zhuǎn)得：PB=BE,ZCBF=ZPBE=60°,N8QC=/6&=120°,PC=EF, △尸是等邊三角形, ZBPE=ZBEP=60°,PB=PE, ZABF=ZABC+/.CBF=30°+60°=90°, ■：/.APB=/.BPC=120°, zAPB^zBPE=zBEF+ZBEP=120°+60°=180°, P,E,廠四點(diǎn)共線， 在RtZX48C中，,AC=C ：.BC=BF=AB=yf^AC= 在Rt2\48尸中，AF=7aB2+BF2=d（倔）2+（277）2=7， PA+PB+PC=PA+PE+FE=AF=7\ （3）如圖3,把△8QC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°并擴(kuò)大2倍得到48且?，連接力。，取 8F的中點(diǎn)尸，連接尸尸，PE, 由旋轉(zhuǎn)得：ZPBE=ZCBD=60°,BE=2PB,DE=2PC,8。=28c=4000,ZABD=ZABC+/.CBD=300+60°=90°, BF=BP, 二?△8尸尸是等邊三角形， .?.BF=EF=PF, ：〃BPE=90。,PE=6PB, :.PA+MP及2PC=PA+P&DE>AD（當(dāng)點(diǎn)AP,E,。共線時(shí)取等號(hào)），在RtZ\48Z?中，AD=7aB2+BD2=a/20002+40002=2000V5（米）；.?.%+«尸8+2尸C的最小值是200075*. 11.(1)①證明：如圖1, ? ：ABAC=Z.DAM=)20°, .,.ZBAC-NDAC=NDAM-ZDAC, 即/必。=ZCAM, AB=AC,AD-AM, ：.4ABD^XACM(SAS), BD=CM; ②解：■：ABAC=]2Q°,AB=AC, ：./_B=AACD=3Q°, 由①知：AABD^AACM、 :.Z.ACM=Z,B=30°, :，Z.DCM=60°, ? ；£CMD=9b, ：./.CDM=3Q°, ：.CM=—CD,2 ,/BD=CM、 ,BD_1. ? ?—=—， CD2 (2)解：解法一：如圖2,過(guò)點(diǎn)£作FGJ_4C于G,過(guò)工作4尸18C于尸, AG=AC-CG=2-73= ■JAFLBC, ../4七=90°, ，用尸="/。=近， ■：/_DAE=/_FAC=60°, .二ZDAF-ZEAG, ,:乙AFD=/.AGE=90°, :.XADM4AEG、 :.DF=—,3 由勾股定理得：aU=aF+ee=a6+eG,，（F）2+Ef2=（攀）2+g）2,解得：&=2或-2（舍）， 1 7 :.DE=DF+EF=—+2=--,3 3 解法二：如圖3,線段力。繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到AM,連接CM,EM,過(guò)用作 MQJL8c于Q, ，//CA4=/8=30°=£ACBtABAD=£CAM,:.^MCQ=60°, RtZiQ/WC中，CQ=^CM, 設(shè)CQ=x,則GW=2x,QM=^1^x, EQ=x—1, -LDAE60°,N8/C=120°, :./_BAL>£EAC=/.EAC^/_CAM=6Q°, ZDAE=ZEAM, AD=AM,AE-AE, :.^ADE^/\AME(SAS), :.EM=DE=5-2xt 由勾股定理得：E/=E0Qm, (V3^)2+(X-I)2=(5-2x)2, 解得：x=等,o 7 :.DE=5-2x=L 3 12.(1)證明：VZ/1+Z£HZ/4OZ?=ZOZ5+Z5CC=180°, /_AOD=LBOC、 Z/4+ND=/_C^ZB; (2)解：???//。。和N/8C的平分線上和8E相交于點(diǎn)£ ZADE=ZODE,ZABE=/_OBE, 由(1)可得//4+//。萬(wàn)=/尺//8伉ZC+ZCBE=ZC£?5, :?(A+/_C=2/_E、 ???//=28。，ZC=32°, /.ZF=30°; (3)解：ZZ+2ZC=3Z5. 理由：?.,NC0F=」N/OC,Z.CBE=—/.ABC,3 3 ZADE=2ZCDE,/_ABE=2Z_CBE, 由(1)可得/4+//。5=/日/48£乙6乙CBE=乙日乙CDE, .-.2Z02NCBE=2/_£+2ZCDE, .,.Z4+2/C+/.ADE^2/,CBE=3Za乙AB&2乙CDE, 即N/4+2NC=3" 13 .解：(1):gb-7)2+V2a-b-2=°- ?傀“解得信 ...a(0,3),C(4,0); ⑵(0,3)、B(-2,0)、C(4.0), BC-6,OA=3, *o-^△Z5c=6X3=9; （3）當(dāng)尸點(diǎn)在第一象限，貝IJQC//S8, 如圖，作EWlx軸于 \-PCnAB, :'乙ABO=(PCM、 :.XAOBsXPMC、 .PMCMHn4CM OA0B32 CM--,3 OM—OC+CM=43歿,33 當(dāng)尸點(diǎn)在第二象限，同理求得 綜上，m的值為一竽或卷.OO 14 .解：\'ABHCD（已知）， .-.Z1=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. -.1Zl+Z3=90°（已知）， .-.Z2+23=90°（等量代換）. 即N紇尸=90°. ?.?/8CBN4+N5=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）, .-.Z4+Z5=90°（等式性質(zhì)）. 1 ."BC.C廠分別平分N/8尸和（已知）， .?.N48尸=2/5,N8生=2/4（角平分線的定義）. .?.NZ88N8/F=180°（等式的性質(zhì)）. /（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）. 故答案為兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；N8CG/4+/5;Z4+Z5;LABF=2 Z5,N8生=2/4;角平分線的定義；等式的性質(zhì)；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 2022年人教版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：四邊形壓軸專項(xiàng)練習(xí)題 1. （1）如圖①，點(diǎn)E、尸分別在正方形28。的邊他BCh,4EDF=45。,連接EF,求證：EF=AE+FC. （2）如圖②，點(diǎn)E,尸在正方形28。的對(duì)角線ACh,N&?尸=45°,猜想EF、AE、死的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由. 圖① 圖② 2.在“18。中，點(diǎn)M為28的中點(diǎn). (1)如圖1,若2/=90。，連接DM旦乙BMD=3aADM,試探究48與8。的數(shù)量關(guān) 系； (2)如圖2,若為銳角，過(guò)點(diǎn)Q乍住14。于點(diǎn)E,連接EM,乙BME=3aAEM, ①求證:AB=2BU, ②若£4=",求到的值.EC 3.如圖，將平行四邊形048c放置在平面直角坐標(biāo)系X。/內(nèi)，已知Z(3,0),8(0, 4). (I)點(diǎn)。的坐標(biāo)是(,)； (H)若將平行四邊形OA8c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得OFDE,DF交OU于點(diǎn)P,交y 軸于點(diǎn)F,求a。%的面積； (in)在(口)的情形下,若再將平行四邊形OFDE沿y軸正方向平移，設(shè)平移的距離 為d,當(dāng)平移后的平行四邊形ODP與平行四邊形0486"重疊部分為五邊形時(shí)，設(shè)其 面積為5,試求出S關(guān)于#的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍. 4.如圖，四邊形中，ADWBC,nZ=nO=90。，點(diǎn)£是的中點(diǎn)，連接BE,將△ABE沿折疊后得到且點(diǎn)G在四邊形/8Q?內(nèi)部，延長(zhǎng)BG交DC于點(diǎn)F,連接EF. (1)求證:4EG2EDF： (2)求證：BG=CD; (3)若點(diǎn)尸是。的中點(diǎn)，比'=8,求8的長(zhǎng). E 5.如圖1,正方形力8。和正方形AEFG,連接DG,BE. (1)［發(fā)現(xiàn)］:當(dāng)正方形，日石繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,線段DG與之間的數(shù)量關(guān)系 是；位置關(guān)系是； (2)［探究］:如圖3,若四邊形與四邊形4FG都為矩形，且AD=2AB,AG= 2AE,猜想0G與8E的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)［應(yīng)用］:在(2)情況下,連接GE(點(diǎn)£在/8上方)，若GEWAB,且/8=加， AE=1,求線段OG的長(zhǎng). 6.如圖，在等邊中，48=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿28勻速運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿8c的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)?設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為？(5).過(guò)點(diǎn)。作PELAC于E,連接PQ交ZC邊于。.以CQ、4為邊作平行四邊形CQFE. (1)當(dāng)［為何值時(shí)，△8&為直角三角形； (3)取線段8c的中點(diǎn)M,連接,將△80M沿直線0/W翻折，得△60/，連接力8, 當(dāng)f為何值時(shí)，/占的值最??？并求出最小值. 7.如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)£在邊上，且BC=BE,連接EC、AC,過(guò)點(diǎn)8作BG^AC,垂足為G,8G分別交EC、DC于F、A兩點(diǎn). (1)如圖1,若現(xiàn)7=2«,n£C4=15°,求線段用的長(zhǎng). (2)如圖2,延長(zhǎng)28至IJ 連接用尸，使得n8/“=n小C,求證：BF+FM^AC. (3)如圖3,在(1)的條件下，點(diǎn)/V是線段的三等分點(diǎn)，且DN<CN,點(diǎn)。是線段力。的中點(diǎn)，連接AN,將a/0/V繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°(0<a<360)至必4。/7,連接而，，AR,當(dāng)3NA-取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積. 8.(1)如圖1,正方形28。和正方形DEFG［其中AB>DE),連接CE,/G交于點(diǎn) H,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4G與％的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系； (2)如圖2，眺力8。和陲DEFG.AD=2DG,AB=2DE,AD=。£,將就DEFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(O°<a<360°),連接4G,上交于點(diǎn)H.(1)中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段AG.8的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由； (3)矩形和矩形DEFG,ZO=2Z?G=6,AB=2DE=8,將矩形G繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<360°)，直線4G,"交于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)£與點(diǎn)〃重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段/£的長(zhǎng). (1)如圖①，四邊形28。與四邊形Z£FG都是正方形，135°</AEB<180°,求證： 四邊形8EG。是"等垂四邊形"； (2)如圖②，四邊形488是"等垂四邊形"，連接8。，點(diǎn)£,尸，G分別 是/。，交，8。的中點(diǎn)，連接EG,尸G,£尸.試判定△£的的形狀，并證明； (3)如圖③，四邊形ABCD是"等垂四邊形"，AD=4,80=6,試求邊48長(zhǎng)的最小 值. 10 .如圖，正方形和正方形。仔G有公共頂點(diǎn)D. (1)如圖1,連接4G和CE,直接寫(xiě)出/G和％的關(guān)系； (2)如圖2,連接AE,M為/£中點(diǎn)，連接DM、CG,探究DM、CG的關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)如圖3,若28=4,止=2,直線ZG與直線CE交于點(diǎn)P,請(qǐng)直接寫(xiě)出，。的取值范圍：. 11 .在正方形板。中,£為邊。上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C。重合)，垂直于的一條直線 例/V分別交8GBE、2。于點(diǎn)MP、/V,正方形28。的邊長(zhǎng)為6. (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)例和點(diǎn)C重合時(shí)，若AN=4,求線段0W的長(zhǎng)度； (2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)用在邊比■上時(shí)，判斷線段AN、MB、星之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明 理由； (3)如圖3,當(dāng)垂足。在正方形力8。的對(duì)角線/C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接NB,招&BPN沿 著8/V翻折，點(diǎn)。落在點(diǎn)『處，的中點(diǎn)為Q,直接寫(xiě)出夕Q的最小值. 12.如圖，四邊形/8Q?為矩形，點(diǎn)£為邊28上一點(diǎn)，將沿。£折疊，點(diǎn)/落在 矩形內(nèi)的點(diǎn)尸處. (1)如圖①，若28=8,/。=6,點(diǎn)Z7恰好落在矩形的對(duì)角線BD上,求線段8尸的長(zhǎng); (2)如圖②，連接BF,若△8&為等邊三角形，求戲的值；AB (3)如圖③，已知E為28中點(diǎn)，tanN/0£=看，連接BF,FC,若a/O6的面積為5, 求A8叱的面積.(結(jié)果用關(guān)于S的代數(shù)式表示) 13.已知：如圖，在矩形ABCD^,對(duì)角線AQ8。相交于點(diǎn)O,OE'BD交2。邊于點(diǎn) E,連接 (1)如圖1,求證：BD平6zEBC; (2)如圖2,延長(zhǎng)EO交8c于點(diǎn)F,當(dāng)BF=2/£時(shí)，在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中所有長(zhǎng)度等于零。的線段. 14.如圖①，在長(zhǎng)方形力8。中，已知力8=20,AD=12,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段。。向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接ZP,設(shè)點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)£ (1)如圖②，射線性恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,試求此時(shí)1的值. (2)當(dāng)射線先與邊力8交于點(diǎn)Q時(shí)， ①請(qǐng)直接寫(xiě)出ZQ長(zhǎng)的取值范圍：； ②是否存在這樣的f的值，使得QE=Q8?若存在,請(qǐng)求出所有符合題意的f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. D 15.【問(wèn)題提出】如圖1,在四邊形ABCD中，AD=CD,^ABC=120°,乙ADC=60°, AB=2,BC=1,求四邊形力8。的面積. 【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題. (1)如圖2,連接8。，由于AD=CD,所以可將繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到夕,則的形狀是. (2)在(1)的基礎(chǔ)上，求四邊形/8Q7的面積. 【類比應(yīng)用】(3)如圖3,等邊8c的邊長(zhǎng)為2, 是頂角為n8OU=120。的等 腰三角形，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60。的角，角的兩邊分別交48于點(diǎn)例，交ZC于點(diǎn)N, 連接MN,求△力AW的周長(zhǎng) 參考答案 1.證明：(1)?.四邊形/交。是正方形， :.AB=BC=CD=AD,n8=nC= z%8=90°, 如圖①：延長(zhǎng)加，使AM=CF,連接MD, 圖① 在AQW和AS?中，'AM=CF ,ZMAD=ZC,AD=CD ：.^AM^CFD{SAS), .".zMDA=zCDF,MD=DF, “EDF=45。， ：/ADE+4FDC=45： "ADM+zADE=45°=4MDE, :.4MDE=4EDF, 在△亂?尸和a£Z?"中， 'MD=DF <ZMDE=ZFDE,DE=DE ：4EDf^EDM(SAS), ：.EF=EM,：EM=AM+AE^AE+CF, :.EF=AE+CF; (2)ER=AR+CR, 理由如下： 如圖②，將a。尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,可得力次, 圖② 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DN=DF,AN=CF,£DAN=^DCF=A5°,^CDF=^ADN, ：.^CAN=^CAD+^DAN=9G°, ：.EN^=AP+AN^, ■.zEDF=A5°, "CDF+"DE=A5°, :.乙ADE+乙ADN=45°=/.NDE=z.EDF, 在“EDF和aEDN中, rDF=DN -ZFDE=ZNDE, DE=DE ；aED^EDN(SAS), :.EF=EN, :.EP=AP+CP-. 2.解：(l)8U=//8,理由如下： \/BMD=3乙ADM, :.aA+z.ADM-3/.ADM, :.aA=2aADM, ,.22=90°, .-.aADM=45°, .??△/。例是等腰直角三角形， ..AD-AM, ??四邊形是平行四邊形，例是28中點(diǎn)， :.AD=BC,AM=^AB, :.BC=^AB-, (2)①取。的中點(diǎn)N,連接例/V并延長(zhǎng)交。于尸，如圖： C .?四邊形力8。是平行四邊形，例是28中點(diǎn)，N是CO的中點(diǎn)， ,-.DN=CN=^CD=^AB=AM=BM,CDWAB, 二四邊形AMND、四邊形8C7W是平行四邊形， ：.MN\\AD\\BC, ..器=黑,乙AEM=4EMF,£CMF=^MCB, ：.EF=CF, ?.?3_2。于點(diǎn)£, :.MN'CE, :.MF是4的垂直平分線， :.ME=MC, :，乙EMF=^CMF, 設(shè)a,貝！■例尸=/0例尸=乙MCB=a,aEMC=2a, ?:4BME=3乙AEM, "BME=3a, :./.BMC=aBME-^EMC=a, "BMC=zMCB=a, :.BC=BM=^AB, :.AB^2BC', ②如圖： :.CD-2AD 設(shè)ED=x,EC=y,貝UEA=y,AD=y-x,CD=2{y-x）, RtA0£中，Ed+EO=Cd, .,.A2+>2=4（尸x）2, 化簡(jiǎn)整理得：3/-8"+3f=0, 初,g 4T7t4-J7 解得x=—尸/或X=-尸-y,u O :DE<AE, 4-V7 o -A-4-V7onED_4-V7 "y'3'BPEC_3, 3.解：（I）X（3,0）,8（0,4）, .-.04=3,08=4, ??四邊形O/8C是平行四邊形， :.BC-OA=3,BC\\OA,AB\\OC, ..點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（-3,4）; 故答案為：-3,4; （口）由旋轉(zhuǎn)的隨，可得：OD=08=4,OF=04=3,乙ODF=lOBA,aOFD=z OAB, 1800=90。， 費(fèi)。60F=-j-x4x3=6,DF=VoF2OD2=Vs2+42=5， :AB\\OC, :./.OBA-/.BOC, :./.ODF-Z.BOC, :aOFP=aDFO, :aOFPs4DFO, ?泡型=（空）2=（S）2=_L "Sadof-DF5，~25， g g 54 :S4op尸 1二77^x6二— N3 N3 N3 （ni）如圖，重疊部分為五邊形時(shí)，尸必須位于點(diǎn)8上方， -：OF=3,OB=4, :.d>1, 2 當(dāng)點(diǎn)。在。尸上時(shí)，重疊部分不構(gòu)成五邊形，設(shè)此時(shí)直線〃戶的解析式為y=^x+b, 將93,4）代入，得4=米「3~, ???直線〃尸的解析式為y="1x+疊, 令*=0,得卜=學(xué)， 4 ??/（0,華）， 4 ??Q尸呼， 4 :.FF = OF - OF=— 4 ” 13 -3=t ?T 4 .P F， . F，0 4 3sin/FOC二卷， 5 3 2 ? ?.〃尸=卷戶。=於(4+3),5 5 同理可得：/。=5(d+3),0 ? -S，fpo=^PF-PO=^(d+3)xA(d+3)=條(4+3)2,N /3 0 ZD ? ?.^-=cosn〃FO=，，BF=d-l, .??%*(/1),o ? .HB.ccc4 ?市LS"O不， 4 45 4 :*(/1)x等(/1)(/1)2,/ / o o ■：OO=d, :，OG=OO?sm48OC=§d,OG=OO?cosaBOC^-^d,5 5 ??.SA0G<7=JoGOG=[x'l_dx2/=4oC,2 25 5 25 :.S=Safp'o'5。hbf'*Saogo,=親(d+3)2-'(</-1)2--A-(fi=-N5 o Nb 3 75 75 .c2M208*112 *13、 ?6二一產(chǎn)方小田卜人工) 4.(1)證明：??將“8E沿的折疊后得到aG8£, :aAB區(qū)dGBE, :.^BGE=aA,AE=GE, :Z.A-Z.D-90°, .,.z£G7r=zD=90°, :EA=ED, :.EG=ED, 在RfFG/7和Rb£Z?尸中， fEF=EF IEG=ED' :.RUEG危改4EOF(HL); (2)證明：由折疊性質(zhì)可得，48=BG. :AD\\BC,"=/。=90°, 二.四邊形是矩形， :.AB=CD, :.BG=DC. (3)解：由折疊可知48=G8, 由(1)知叱EG?時(shí)EDF, :.GF=DF, 又.2。=90°,AB=CD,FD=CF, :.GB=2GF,BF+GF=3GF, :BR=BO+CR, (3<7f)2=64+5/2, :.GF=2g ..CD-1GF-4-\/2- 5 .解：(1)DG=BE, 理由如下: ??四邊形和四邊形力行G是正方形， :.AE=AG,AB=AD,aBAD=^EAG=90°, :.lBAE=aDAG, :.^AB^ADG{SAS), :.BE=DG; 如圖2,延長(zhǎng)交4?于Q,交。G于〃， :zABE=aADG. ?：zAQB+aABE=90°, :zAQB+nADG=90°, ?；/AQB=nDQH, :.乙DQH*乙ADG=90°, :4DHB=90°, :.BElDG, 故答案為：DG=BE.DG'BE\ (2)DG=2BE,BEA.DG,理由如下：如圖3,延長(zhǎng)BE交AD于K,交DG于H,???四邊形力8。與四邊形/£柘都為矩形，.'./.BAD-Z.EAG, :.乙BAE=4DAG, :AD=2AB,AG=2AE, ,AB=AE=_1 --AD-AG~ :QABEiADG, .?.尊=—=4,乙ABE=aADG, DGAD2 :.DG=2BE, :zAKB+aABE=2G0,"AKB+/ADG=9U0, ?:乙AKB=4DKH. "DKH+/ADG=9。。， "DHB=9G, :.BELDG; （3）如圖4,（為了說(shuō)明點(diǎn)8, 尸在同一條線上，特意畫(huà)的圖形） 設(shè)EG與，。的交點(diǎn)為A4, ,「£GllAB, :zDME=4DAB=901 在Rb/£G中，AE=1, .'.AG=2AE=2, 根據(jù)勾股定理得：空;正+后巡, ,；AB=娓, :.EG=AB, ■：EG\\AB, ???四邊形/8£G是平行四邊形， :.AG\\BE, ■：AG\\EF, :點(diǎn)B,E,尸在同f直線上，如圖5, "AEB=90°, 在RtA/SF中，根據(jù)勾股定理得，BE=7aB2-AE2=7（V5）2-12=2， 由（2）知，aABEjADG, ,BE=AB= "DG-AD :.DG=4. 圖5 6.解：(1)???"86"是等邊三角形， .，=60°, 上當(dāng)8Q=28。時(shí)，aBPQ=90°, .,.6+f=2(6-f), 解得：t=2, 即f=2s時(shí)，a8PQ是直角三角形； (2)過(guò)。作PKWBC交/C于K,如圖1所示： BMC―?Q 圖1 ■ ??”8U是等邊三角形, yB=乙4=60°,AC=AB=6cm, ■：PK\\BC, 欣=/8=60°, ：.4A=aAPK=乙AKP=60°, ■ ??“欣是等邊三角形， :.PA=PK, ■ ：PE1.AK, :.AE=EK, ■ ：AP=CQ=PK,tPKD=乙DCQ,4PDK=kQDC, ：.^PK^QCD{AAS), :.DK=DC, ■ .DE=EK+DK=(AK+CK)=^AC=3{cm); (3)連接//，力夕，如圖2所示： ? ；BM=CM=3,AB=AC, ：.AMrBC, ? /〃=Vab2-bm2=V62-32=3«， ：AB>AM-MB, ：.AB>3y[3-3, 二力夕的最小值為373-3, 此時(shí)MP平分乙AMB, 則點(diǎn)夕到身M的距離相等， ,5AAPM=AM ,△BPMBM' ?..SAAPMPA \z. '-,'一 SABPMPB' ? =迎s PBBMv」 6-f）, 解得：f=9-3«, 即當(dāng)f為（9-3我）s時(shí)，力6的值最小，最小值為3«-3. 7.解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作FKLBC于K, .?四邊形力水■。是矩形， ”;BE=BC=2a/3， "BCE=/BEC=45°,CE=&BC=2加, .z£C4=15°, =n8g=60°, ■：BGVAC. .-.^BGC=90°, :.zCBG=90°-n8a=30°, ：FK±BC, :.4CKF=lBKF=S0°, :.CK=FK?tanzBCE=次tan45°=FK, Bk=FK=FK幾 tanZCBGtan30° ' :CK+BK=BC, ;,FK+aFK=273, ■.FK=3-«, :.CF=®FK=®13-M)=3y-&, ;.EF=CE-CF=2娓-(3&-灰)=3巫-3加. (2)如圖2,延長(zhǎng)MF交。于T,過(guò)點(diǎn)7"作TP'AB于P, ??,四邊形，8。是矩形， :.AB\\CD,N珈。=/。=/8。=90°, :ZBMF=KTF, “BMF=£FBC, :.zCTF=^FBC, ?286=45°, .-.z。=/8。-/8%=90°-45°=45°, .-.zTCF^aBCE, 在A。和A比?尸中， rZFTC=ZFBC <ZFCT=ZFCB, CF=CF .“TCMBCFIAAS、， ：.FT=BF, '：BG1.AC, ：.^BGC=90°, "BCG+/FBC=90°, 又.n8CG+z/UO=90°, "FBC=/.ACD, ?：4BMF=4FBC, "BMF=/.ACD,SPzTMP=^ACD, ■：TP±AB, "APT=4MPT=90°=4BAD=4D, ???四邊形ZP7P是矩形， ：.AD=PT, 在△用TP和aCI。中， rZTMP=ZACD -ZMPT=ZD, PT=AD :.^MT^CAD{AAS), :.MT=AC, 即FT+FM=AC, :.BF+FM=AC. (3)如圖3,以。為圓心，DN、DA為半徑作同心圓， ? ??四邊形28。是矩形， :.AD\\BC,AD=BC=273，乙ADC=zBCD=90°, 由(1)得：z5C4=60°, .?zC4O=N864=60°, :.CD->4Z>tanzC4£?=2y?tan60。=6, ,.?點(diǎn)/V是線段。。的三等分點(diǎn)，且DN<CN, .?.。心!。=當(dāng)6=2,3 3 ? ；3NA-gPA= -PA), ? ?.當(dāng)3NA-晶勿取最大值時(shí)，風(fēng)附-外'的值最大， ?:da=da=?M， .DAL-2a/3-^ "DN 2 7a， .._CD__6_r-'DAZ2a/3 V3， "DAy DN V3' 丈.zADN=^CDA, :.^ADN-^CDA, ..平=山=m A'NDN2 :.A'C=y/^A'N, :/NA-PA=AC-PA<PC, 當(dāng)C、P、4在同一直線上時(shí)，&NA-4T的最大值為PC,此時(shí)324-«而'取最大 值， 作ATA.。的延長(zhǎng)線于7■，則42DP, .PD_PC=CD -,AyT~AZC-CT' 設(shè)/7=x, 在Rt△CDP中,PC=a/dP2+DC2=7(V3)2+62=V39， .V3_V39__6 TA7CCT' .-.AC=V73x,CT=2g, :.TD=CT-CD=2日-6, 在RtA4O7?中，4"+b=Ad, ，/+(2a/3x-6)2=(273)2, 解得：*=.”*詈回,xo .r_1273±2730 "" 13 ' 由(1)知：nC8G=30°, :.CH=5OtanzC567=2^3xtan30°=2, :,DH=CD-677=6-2=4, :S»adh=-'DH-AT=』x4x」2百±2場(chǎng)=2.土^3 2 2 13 13 圖3 SIE方形28。和正方形DEFG中,z/l£?C= 90°, :，