2022年人教版中考數(shù)學一輪復習：三角形+四邊形壓軸 專項練習題（含答案）

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1、2022年人教版中考數(shù)學一輪復習：三角形十四邊形壓 軸專項練習題 三角形壓軸專項練習題 1 .【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形, 如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形, 小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，小明 發(fā)現(xiàn)若AB=AC,AD=AE,則4SS以△4 【材料理解】(】)在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn). 【深入探究】(2)如圖2,△48C和是等邊三角形，連接80,FC交于點O, 連接/O,下列結論：①BD=EO,②N8OC=60°;③//OF=60°;@EO=CO,

2、其中正確的有 (將所有正確的序號填在橫線上). 【延伸應用】 (3)如圖3,AB=BC,乙ABC=￡BDC=60°,試探究//與NC的數(shù) 量關系. 2 .(1)如圖1,等腰△/8C和等腰三中，2BAC=￡DAE=9N,B,E,。三點在同一直線上，求證：2BDC=90。； (2)如圖2,等腰△S8C中，AB=AC,￡BAC=9b,。是△48。外一點，且N8OC=90",求證：ADB=45°; (3)如圖3,等邊△工8c中，。是△48C外一點，且/8。。=60°, ①N4O8的度數(shù)； ②04,DB

3、,。。之間的關系. 3 .如圖，在△/8C中，AB=AC,NMC=90°,8C=14,過點工作力。18。于點。 E為腰4C上一動點，連接。￡以。F為斜邊向左上方作等腰直角△￡?比，連接力廠. (1)如圖1,當點尸落在線段力。上時，求證：AF=EF; (2)如圖2,當點尸落在線段左側時, 明；若不成立，請說明理由； (3)在點F的運動過程中，若4尸=初, B D C b 圖1 (1)中結論是否仍然成立？若成立，請證 求線段CE的長. A i D C B D C 圖2 備用圖 4 .定義：如果一個直角三角形的兩條直角邊的比為2:1,那么這個

4、三角形叫做"倍直角三 角形”. (1)如圖1,下列三角形中是“倍直角三角形”的是 (2)已知“倍直角三角形”的一條直角邊的長度為2,則另一條直角邊的長度 (3)如圖2,正方形網(wǎng)格中，已知格點4、8、C、D,找出格點E使△48￡4CDE 都是"倍直角三角形”，這樣的點萬共有個； (4)如圖3,正方形網(wǎng)格中，已知格點/、B,找出格點C,使△48C是"倍直角三角形”，請畫出所有滿足條件的點C. 5 .如圖1,已知 中，NMC=90°,點。是上一點，且4C=8,￡DCA= 45。，4EL8C于點￡交8于點￡ (1)如圖1,若48=2/C,求力三的長； (2)如圖2,若/8=

5、30°,求△3的面積； (3)如圖3,點尸是BA延長線上一點，且AP=BD,連接PF,求證：PRAF= 圖1 圖2 圖3 6 .如圖，△48C是等腰直角三角形，點。是8c的中點，F(xiàn)DLED. (1)如圖1,若點￡在線段上，點尸在線段ZC上.請?zhí)骄砍鼍€段AF,48的數(shù)量關系，并加以證明； (2)如圖2,若點萬在線段48的延長線上，點尸在線段C4的延長線上.請問(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請?zhí)骄砍龃藭r線段為￡AF,Z8的數(shù)量關系，并加以證明. 7 .如圖】，在長方形488中，48=8=6cm,BC=]Ocm,點尸從點8出發(fā)，以2cmis

6、的速度沿8c向點C運動，設點廠的運動時間為/秒，且X5. (2)如圖2,當點尸從點8開始運動的同時，點Q從點C出發(fā)，以。6?/5的速度沿 8向點。運動，是否存在這樣的U值，使得以力、從尸為頂點的三角形與以戶、Q、 C為頂點的三角形全等？若存在，請求出。的值；若不存在，請說明理由. 8 .如圖所示，正方形力88的邊長是4,點E是邊8c上的一個動點且/4爐=90°,EF 交。C于點G,交正方形外角平分線。尸于點尸，點〃是力8的中點，連接EW (1)求證：ZBAE^ZFEC\ (2)若萬為8C的中點，求證：AE=EF-, (3)點F在何位置時線段。G最短，并求出此時。G的值.

7、 9 .已知，在△/8C中，AC=BC,分別過4,8點作互相平行的直線4例、BN,過點C 的直線分別交直線/例、8/V于點。、E. (1)如圖1,若工用_!_48,求證：CD=CE; (2)如圖2,(ABC=(DEB=6Q°,求證：AODC=BE. 10 .(1)問題提出：如圖1,已知等邊△/8C的邊長為2,。為8C的中點，戶是力。上一動點，則8處戶的最小值為. (2)問題探究：如圖2,在Rt△工8c中，N必C=90°,/工8c=30°,4c=近，在三角形內(nèi)有一點尸滿足//尸8=/妒。=120°,求以+Q8+PC的值. (3)問題解決：如圖3,某地在脫貧攻堅鄉(xiāng)村振

8、興中因地制宜建造了3個特色農(nóng)產(chǎn)品種植基地B,C.現(xiàn)需根據(jù)產(chǎn)品中轉點。修建通往種植基地工，B,。的道路84,PB,PC,方便農(nóng)產(chǎn)品的儲藏運輸，根據(jù)地質設計，月8路段每米造價是由的候，戶C路段每米造價是由的2倍.已知AB=BC=2000米，ZABC=30°,要使修建3條道路費 用最小，即求根+正尸8+22。的最小值. 11 .如圖，△48C中，N84C=120°,AB=AC,點。為8c邊上一點. (1)如圖】，y^AD=AM,/_DAM=120°. ①求證：BD=CM\ ②若/。的。=90。，求號的值； (2)如圖2,點E為線段8上一點，且CF=1,AB=2g2DAE=60；求

9、DE的長. 12 .已知：線段8相交于點。，連接4?、CB. ￡-<2yp xb 圖1 圖2 圖3 (1)如圖1,求證：N"+NO=N8+NC; (2)如圖2,N/OC和N/I8C的平分線上和8F相交于點￡并且與48、8分別相交于點例、N,2/1=28°,ZC=32°,求NE的度數(shù)； (3)如圖3,NZOC和NH8c的三等分線。尸和8F相交于點￡并且與48、8分 別相交于點從、N,ZCDE=-^-ZADC,乙CBE=J乙ABC,試探究//、NC、ZFHo o 者之間存在的數(shù)量關系，并說明理由. 13 .如圖在平面直角坐標系中，點4(0,。)、3(-2,0)、C

10、(h,0)且(9匕-7) 2+V2a-b-2=° (1)求點力、C的坐標； (2)求△N8C的面積S△人8C； (3)當點尸的坐標是(。，4)且508戶=S08c時，求”的值. 14 .如圖，已知A8II8,Zl+3=90°,BC、C尸分別平分N48尸和/6任，試說明力8 II爐的理由. 解：???48//CD(已知)， N1=N2(). ? /Z1+23=90°(已知)， .,.Z2+23=90°(). 即N8c尸=90°. =180°(三角形內(nèi)角和等于180°), ? 1.=90°(等式性質). ? ??BC.C尸分別平分//8尸和/8代(已知)， ?

11、?.(). ...NABF+ZBFE=180°(). :.ABIIFE(). 參考答案 1 .(1)證明： ZBAC+/.CAD=ZDA曰4CAD, ：./_BAD=NCAE, 'AB=AC 在△48。和中，，ZBAD=ZCAE,,AD=AE ：.^ABD^^ACE\ (2)如圖2,?.?△48C和△ZOE是等邊三角形， :.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60", .-.ZBAD=ZCAE, 'AB=AC 在△48。和中，，ZBAD=ZCAE. AD=AE :AABD^AACE、 ：.BD=CE,①正確，￡ADB=LAEC, 記與CA的交點

12、為G, ■ 1,ZAGE=ZDGO, .?.180°-Z.ADB-Z.DGO=]80°-/.AEC-/.AGE, ZDOE=ZDAE=60°, .?.N8OC=60°,②正確， 在08上取一點F,使OF=OC,連接CF, .?.△OC廠是等邊三角形， CF=OC,ZOFC=ZOCF=60°=/.ACB, ZBCF—NACO, -：AB=AC, ：.4BC2XACO(SAS), Z.AOC=Z.BFC=)80°-/60=120°, :.^AOE=]80°-^AOC=60°,③正確，連接“尸，要使OC=OE,則有OC=^CE, BD=CE, ：.CF^OF=—BD,2

13、 :.OF^BF+OD, ：.BFZBCF, ■ ：ZOBC+ABCF=ZOFC=60°, :.^OSC>300,而沒辦法判斷NO6C大于30度, 所以，④不一定正確， 即：正確的有①②③， 故答案為①②③； (3)如圖3, 延長。C至Q，使DP=DB, ■ ：ZBDC^60", .,?△8。尸是等邊三角形， ；.BD=BP,/。8尸=60°, ■ ：ZABC=60°=ZDBP, /_ABD=￡CBP, ■ ：AB^CB, ：.^ABD^^CBP(SAS), ."86=/A ■ ：LBCP=180°, :./.A+ABCD=180°.

14、 圖2 2 .(1)證明：如圖1,設8。與4C交于點尸, A 圖1 ■：ABAC=Z.DAE=9G°, ZBAE=ZCAD, 在ASS三和△AC。中， ，AB=AC

15、_ABE-NACD、 在和△/C。中，rZBAE=ZCAD

16、90°, ??.//斤=1800-/_CAD-Z.AFE=45° :.(EAF二(AEF, :.AF=EF?, (2)解：當點尸落在線段力。左側時，(1)中結論/尸二夕仍然成立，理由如下: 如圖2,取/C的中點G連接。GFG, 在中，DG—CG—AG, .?./GAC=NC=45°, ZDGC=90°, .?.△OGC是等腰直角三角形，生是等腰直角三角形， .DG_DF_/2 "DCDE2' ? ??ZFDG=zFDB-ZEDG=45°+/_EDG, ZEDC=ZGDC^LEDG=45°—EDG, ? ?.ZFDG=ZEDC,:ND6XEDC、 :ZFGD=￡

17、ECD=A5°, .?./尸G4=45°, 在△尸G4和△尸GZ?中， 'AG=DG

18、點尸落在線段4?左側時，尸G=4, 圖2 ■：^FDG^^EDC, .FG=FD=DG=&一而五衣一"T，.?.七=4在; ②如圖3,當點尸落在線段4。的右側時, B D C 圖3 :.FG=PG-PF=DP-PF=3.5-0.5=3, 同理得△田Gs^ac, .FG=DF=返"EC"DE~~2~, EC—3-\y2， 綜上，￡C的長是4&或3&. 4 .解：(1)如圖1中，,:AB=6,8C=泥，4c=3加, .?.△48C不是倍直角三角形， ,:DF=2近,DE=/EF=2氏, :?DP+DU=E科、 :.zFDE=90°, ?.DE=2

19、DF, .??△。&是倍直角三角形， .?ZGHI=90°,GH=5,HL=3, .?.△G”/不是倍直角三角形， 故答案為：ADEF. (2)?.?“倍直角三角形”的一條直角邊的長度為2, ??.另一條直角邊的長度為1或4, 故答案為：1或4. (3)如圖2中，滿足條件的點石共有4個, 圖2 故答案為：4. (4)如圖3中，滿足條件的點。共有5個. 03 5.(1)解：如圖1中, -：AB=2AC,AC=8, AB—16, VZ5/4C=9O°, ? 1?BC=VaC2+AB2=Vs2+162=8V5， ■

20、：AELBC, .■.S^abc=^BC?AE=^AC*AB, .??心萼普=獨叵 875 5 (2)解：如圖2中，在CF上取一點，使得修=O,連接 ? ：/.BAC=9G°,N8=30°, ：./.ACE=90°-30°=60°, ? ：AELBC,4c=8, :.CE=AC?cos6G°=4, ? ：Z.DCA=45°, zFCE=zACE-zACD=15°, JF—JC, :.乙JFC=￡JCF=\5°, ：.￡EJF=AJFC+AJCF=3Qa, 設EF=m,貝ijFJ=JC-2m,EJ=73/77, ?,-a/3^?4-2

21、/77=4, ."=4(2-y)， ：.EF=A(2-73), .'Wecf=Jx4x4(2-^/3)=8(2-正) (3)證明：如圖3中，過4點作于點從，與8c交于點N,連接。M .'.AMLCD,AM=DM=CM,ZDAM=ZCAM=ZADM=AACD=45°, /.DN=CN, :'乙NDM=(NCM, \'AE1_BC, EC?/_EFC=2MAR/_AFM=q。。, ?:乙AFM=/_EFC、 .-.ZMAF=ZECF、 /.ZMAF=ZMDN, ,:乙AMF=(AMN, :.l\AMP^l\DMN(ASA), :,AF=DN=CN, 4c=9

22、0°,AC^AD, zDAM=zCAM=zADM=ZACD=45°, ￡NAP=￡CDB='35°, ZMAF=ZMDN, .1./PAF=ZBDN, ■:AP=DB、 :AAP24DBN(SAS), PF=BN, ■：AF=CN, ：.PHAF=CN+BN, 即PF+AF=BC. 6.解：(1)AE+AF=AB,理由如下： 連接4。，如圖1所示： ???△/8C是等腰直角三角形，點。是8c的中點， .?.N8=NC=45°,AD1BC,/_DAF=^/_BAC=45°,AD=^BC=BD, :.乙B=乙DAF,￡ADB=9Q°, 又,：FDLED, ：.ZE

23、DF=90°, ZBDE=ZADF,在和尸中，'/B=NDAFZDBE=ZDAF :.△BDE^.RADF〈ASA}, BE=AF, ■：AB+BE=AE, :.AB+AF=AE. 故答案為(10

24、-2/); (2)存在. 分兩種情況討論： ①當69=CQ,AB=PC^,4ABWXPCQ. 因為/8=6,所以戶0=6. 所以82=10—6=4,BP27=4. 解得/=2. 因為CQ=89=4,vx2=4,所以p=2. ②當M=CQ,尸8=PC時，XAB2&QCP. 因為PB=PC, 所以8尸=PC=*8C=5,EP2/=5. 解得1=2.5. 因為CQ=M=6,即px2.5=6,解得s=2.4. 綜上所述，當"=2.4或2時，4ABp與4PQC全等. 8 .解：(1)?.?正方形498, ：.NB=9Q°,/_AEB+/.BAE=90", ?：Z.AEF=

25、90°, /LAEB+ACEF=90°, .1./BAE=ZCEF, (2)證明：,?,正方形 :.AB=BC,Z.B=￡BCD=ZDCG=90°, 為6c的中點， AM—EC—BE, .1.ZBME-ZBEM-45°, .\/_AME=135°, ,:CF平分乙DCG、 ???/OCG=/尸CG=45°, :./_ECF^180°-ZFCG=135°, ZAME-NECF, AAEF=90°, :?乙AEB+/_CEF=90°, 又￡AEB"MAE=90°, /.ZMAE=ZCEF, :.XAM匹XECF〈ASA), :.AE=EF, (3)設BE=x,

26、CE-4—x, 由(1)知，ZBAE=ZGEC, ?"B=￡ECG=9b、 :.XAB-XGEC、 .AB_BE 一而鐮， .4_x 一片豌， GC--^-x(4-x), .'QG=4一/虱4-必=^^-此八］(x-2)2+3, ?;當x=2即E為8c中點時，線段。G最短， OG的最小值為3. 9 .證明：⑴如圖1,延長/C交8N于點尸， \-AC=BC, :.^CAB=ACBA,又?「48? .-.,/BAM=90°, 又，：AMUBN, :.^BAM+/_ABN=180°, .\^ABN=90°, :./_BAR(AFB=qOQ,/_ABC^/_CBF

27、^90°, ZCBF-/_AFB, BC=CF, .\AC=FC, 又〈AMIIBN, ZDAF-/_AFB, 在△/OC和△/中，rZDAC=ZEFC

28、, X".-ZDCA+Z.ACB^/_BCH^LHCE=180°, :.乙DCA+乙BCH=6金。, DAC=ZBCH, 在△。/IC與中， fZDAC=ZHCB "Zadc=Zchb. AC=CB :ADA8叢HCB{AAS), .1.AD-CH,DC=BH, 又；CH=CE=HE, :.BE=B+HE=DC+AD. 10 .解：（1）如圖1,過點戶作加_L4C于例, A B D C 圖1 ???△48C是等邊三角形，。是8c的中點， :.Z.DAC=^Z.BAC=3Q°, :.PM=—PA, 2 PB+—PA=PB+PM,2 .??當8,P

29、,〃三點共線時，尸3+/期的值最小此時，BM1AC, ?：AB=2,N840=60°, 62-12=蟲， 故答案為：V3； (2)如圖2,把48尸C繞點8順時針旋轉60° X：c \、、、: \、、、； \產(chǎn) \＜圖2 得到△8斤,連接月￡ 由旋轉得：PB=BE,ZCBF=ZPBE=60°,N8QC=/6&=120°,PC=EF, △尸是等邊三角形, ZBPE=ZBEP=60°,PB=PE, ZABF=ZABC+/.CBF=30°+60°=90°, ■：/.APB=/.BPC=120°,

30、 zAPB^zBPE=zBEF+ZBEP=120°+60°=180°, P,E,廠四點共線， 在RtZX48C中，,AC=C ：.BC=BF=AB=yf^AC= 在Rt2\48尸中，AF=7aB2+BF2=d（倔）2+（277）2=7， PA+PB+PC=PA+PE+FE=AF=7\ （3）如圖3,把△8QC繞點8順時針旋轉60°并擴大2倍得到48且?，連接力。，取 8F的中點尸，連接尸尸，PE, 由旋轉得：ZPBE=ZCBD=60°,BE=2PB,DE=2PC,8。=28c=4000,

31、ZABD=ZABC+/.CBD=300+60°=90°, BF=BP, 二?△8尸尸是等邊三角形， .?.BF=EF=PF, ：〃BPE=90。,PE=6PB, :.PA+MP及2PC=PA+P&DE>AD（當點AP,E,。共線時取等號），在RtZ\48Z?中，AD=7aB2+BD2=a/20002+40002=2000V5（米）；.?.%+?尸8+2尸C的最小值是200075*. 11.(1)①證明：如圖1, ? ：ABAC=Z.DAM=)20°, .,.ZBAC-NDAC=NDAM-ZDAC, 即/必。=ZCAM, AB=AC,AD-AM, ：.4ABD^XA

32、CM(SAS), BD=CM; ②解：■：ABAC=]2Q°,AB=AC, ：./_B=AACD=3Q°, 由①知：AABD^AACM、 :.Z.ACM=Z,B=30°, :，Z.DCM=60°, ? ；￡CMD=9b, ：./.CDM=3Q°, ：.CM=—CD,2 ,/BD=CM、 ,BD_1. ? ?—=—， CD2 (2)解：解法一：如圖2,過點￡作FGJ_4C于G,過工作4尸18C于尸, AG=AC-CG=2-73= ■JAFLBC, ../4七=90°, ，用尸="/。=近， ■：/_DAE=/_FAC=60°, .二ZDAF-ZEAG,

33、 ,:乙AFD=/.AGE=90°, :.XADM4AEG、 :.DF=—,3 由勾股定理得：aU=aF+ee=a6+eG,，（F）2+Ef2=（攀）2+g）2,解得：&=2或-2（舍）， 1 7 :.DE=DF+EF=—+2=--,3 3 解法二：如圖3,線段力。繞點力逆時針旋轉120°到AM,連接CM,EM,過用作 MQJL8c于Q, ，//CA4=/8=30°=￡ACBtABAD=￡CAM,:.^MCQ=60°, RtZiQ/WC中，CQ=^CM, 設CQ=x,則GW=2x,QM=^1^x, EQ=x—1, -LDAE60°,N8/C=120°, :.

34、/_BAL>￡EAC=/.EAC^/_CAM=6Q°, ZDAE=ZEAM, AD=AM,AE-AE, :.^ADE^/\AME(SAS), :.EM=DE=5-2xt 由勾股定理得：E/=E0Qm, (V3^)2+(X-I)2=(5-2x)2, 解得：x=等,o 7 :.DE=5-2x=L 3 12.(1)證明：VZ/1+Z￡HZ/4OZ?=ZOZ5+Z5CC=180°, /_AOD=LBOC、 Z/4+ND=/_C^ZB; (2)解：???//。。和N/8C的平分線上和8E相交于點￡ ZADE=ZODE,ZABE=/_OBE, 由(1)可得//4+//。萬=

35、/尺//8伉ZC+ZCBE=ZC￡?5, :?(A+/_C=2/_E、 ???//=28。，ZC=32°, /.ZF=30°; (3)解：ZZ+2ZC=3Z5. 理由：?.,NC0F=」N/OC,Z.CBE=—/.ABC,3 3 ZADE=2ZCDE,/_ABE=2Z_CBE, 由(1)可得/4+//。5=/日/48￡乙6乙CBE=乙日乙CDE, .-.2Z02NCBE=2/_￡+2ZCDE, .,.Z4+2/C+/.ADE^2/,CBE=3Za乙AB&2乙CDE, 即N/4+2NC=3" 13 .解：(1):gb-7)2+V2a-b-2=°- ?傀“解得信 ...a

36、(0,3),C(4,0); ⑵(0,3)、B(-2,0)、C(4.0), BC-6,OA=3, *o-^△Z5c=6X3=9; （3）當尸點在第一象限，貝IJQC//S8, 如圖，作EWlx軸于 \-PCnAB, :'乙ABO=(PCM、 :.XAOBsXPMC、 .PMCMHn4CM OA0B32 CM--,3 OM—OC+CM=43歿,33 當尸點在第二象限，同理求得 綜上，m的值為一竽或卷.OO 14 .解：\'ABHCD（已知）， .-.Z1=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. -.1Zl+Z3=90°（已知）， .-.Z2+23=90°（等量

37、代換）. 即N紇尸=90°. ?.?/8CBN4+N5=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）, .-.Z4+Z5=90°（等式性質）. 1 ."BC.C廠分別平分N/8尸和（已知）， .?.N48尸=2/5,N8生=2/4（角平分線的定義）. .?.NZ88N8/F=180°（等式的性質）. /（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）. 故答案為兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換；N8CG/4+/5;Z4+Z5;LABF=2 Z5,N8生=2/4;角平分線的定義；等式的性質；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行. 2022年人教版中考數(shù)學一輪復習：四邊形壓軸專項練習題 1. （1）如圖①，

38、點E、尸分別在正方形28。的邊他BCh,4EDF=45。,連接EF,求證：EF=AE+FC. （2）如圖②，點E,尸在正方形28。的對角線ACh,N&?尸=45°,猜想EF、AE、死的數(shù)量關系，并說明理由. 圖① 圖② 2.在“18。中，點M為28的中點. (1)如圖1,若2/=90。，連接DM旦乙BMD=3aADM,試探究48與8。的數(shù)量關 系； (2)如圖2,若為銳角，過點Q乍住14。于點E,連接EM,乙BME=3aAEM, ①求證:AB=2BU, ②若￡4=",求到的值.EC 3.如圖，將平行四邊形048c放置在平面直角坐標系X。/內(nèi)，已知Z(3,0),8(0,

39、 4). (I)點。的坐標是(,)； (H)若將平行四邊形OA8c繞點。逆時針旋轉90°得OFDE,DF交OU于點P,交y 軸于點F,求a。%的面積； (in)在(口)的情形下,若再將平行四邊形OFDE沿y軸正方向平移，設平移的距離 為d,當平移后的平行四邊形ODP與平行四邊形0486"重疊部分為五邊形時，設其 面積為5,試求出S關于#的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍. 4.如圖，四邊形中，ADWBC,nZ=nO=90。，點￡是的中點，連接BE,將△ABE沿折疊后得到且點G在四邊形/8Q?內(nèi)部，延長BG交DC于點F,連接EF. (1)求證:4EG2EDF： (2

40、)求證：BG=CD; (3)若點尸是。的中點，比'=8,求8的長. E 5.如圖1,正方形力8。和正方形AEFG,連接DG,BE. (1)［發(fā)現(xiàn)］:當正方形，日石繞點A旋轉，如圖2,線段DG與之間的數(shù)量關系 是；位置關系是； (2)［探究］:如圖3,若四邊形與四邊形4FG都為矩形，且AD=2AB,AG= 2AE,猜想0G與8E的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由； (3)［應用］:在(2)情況下,連接GE(點￡在/8上方)，若GEWAB,且/8=加， AE=1,求線段OG的長. 6.如圖，在等邊中，48=6cm,動點P從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿28勻速運動.

41、動點Q同時從點C出發(fā)以同樣的速度沿8c的延長線方向勻速運動，當點。到達點8時，點P、Q同時停止運動?設運動時間為？(5).過點。作PELAC于E,連接PQ交ZC邊于。.以CQ、4為邊作平行四邊形CQFE. (1)當［為何值時，△8&為直角三角形； (3)取線段8c的中點M,連接,將△80M沿直線0/W翻折，得△60/，連接力8, 當f為何值時，/占的值最??？并求出最小值. 7.如圖，四邊形是矩形，點￡在邊上，且BC=BE,連接EC、AC,過點8作BG^AC,垂足為G,8G分別交EC、DC于F、A兩點. (1)如圖1,若現(xiàn)7=2?,n￡C4=15°,求線段用的長. (2)如圖

42、2,延長28至IJ 連接用尸，使得n8/“=n小C,求證：BF+FM^AC. (3)如圖3,在(1)的條件下，點/V是線段的三等分點，且DNDE),連接CE,/G交于點 H,請直接寫出線段4G與％的數(shù)量關系，位置關系； (2)如圖2，眺力8。和陲DEFG.AD=2DG,AB=2DE,AD=?！?將就DEFG繞點。逆時針旋轉a(O°

43、H.(1)中線段關系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG.8的數(shù)量關系和位置關系,并說明理由； (3)矩形和矩形DEFG,ZO=2Z?G=6,AB=2DE=8,將矩形G繞點D逆時針旋轉a(0°

44、3)如圖③，四邊形ABCD是"等垂四邊形"，AD=4,80=6,試求邊48長的最小 值. 10 .如圖，正方形和正方形。仔G有公共頂點D. (1)如圖1,連接4G和CE,直接寫出/G和％的關系； (2)如圖2,連接AE,M為/￡中點，連接DM、CG,探究DM、CG的關系，并說明理由； (3)如圖3,若28=4,止=2,直線ZG與直線CE交于點P,請直接寫出，。的取值范圍：. 11 .在正方形板。中,￡為邊。上一點(不與點C。重合)，垂直于的一條直線 例/V分別交8GBE、2。于點MP、/V,正方形28。的邊長為6. (1)如圖1,當點例和點C重合時，若AN=4,求線段0

45、W的長度； (2)如圖2,當點用在邊比■上時，判斷線段AN、MB、星之間的數(shù)量關系，并說明 理由； (3)如圖3,當垂足。在正方形力8。的對角線/C上運動時，連接NB,招&BPN沿 著8/V翻折，點。落在點『處，的中點為Q,直接寫出夕Q的最小值. 12.如圖，四邊形/8Q?為矩形，點￡為邊28上一點，將沿。￡折疊，點/落在 矩形內(nèi)的點尸處. (1)如圖①，若28=8,/。=6,點Z7恰好落在矩形的對角線BD上,求線段8尸的長; (2)如圖②，連接BF,若△8&為等邊三角形，求戲的值；AB (3)如圖③，已知E為28中點，tanN/0￡=看，連接BF,FC,若a/O6的

46、面積為5, 求A8叱的面積.(結果用關于S的代數(shù)式表示) 13.已知：如圖，在矩形ABCD^,對角線AQ8。相交于點O,OE'BD交2。邊于點 E,連接 (1)如圖1,求證：BD平6zEBC; (2)如圖2,延長EO交8c于點F,當BF=2/￡時，在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中所有長度等于零。的線段. 14.如圖①，在長方形力8。中，已知力8=20,AD=12,動點P從點。出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段。。向終點C運動,運動時間為t秒，連接ZP,設點。關于的對稱點為點￡ (1)如圖②，射線性恰好經(jīng)過點B,試求此時1的值. (2)當射線

47、先與邊力8交于點Q時， ①請直接寫出ZQ長的取值范圍：； ②是否存在這樣的f的值，使得QE=Q8?若存在,請求出所有符合題意的f的值；若不存在，請說明理由. D 15.【問題提出】如圖1,在四邊形ABCD中，AD=CD,^ABC=120°,乙ADC=60°, AB=2,BC=1,求四邊形力8。的面積. 【嘗試解決】旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉解決問題. (1)如圖2,連接8。，由于AD=CD,所以可將繞點。順時針方向旋轉60°,得到夕,則的形狀是. (2)在(1)的基礎上，求四邊形/8Q7的面積. 【類比應用】(3)如圖3,等邊

48、8c的邊長為2, 是頂角為n8OU=120。的等 腰三角形，以。為頂點作一個60。的角，角的兩邊分別交48于點例，交ZC于點N, 連接MN,求△力AW的周長 參考答案 1.證明：(1)?.四邊形/交。是正方形， :.AB=BC=CD=AD,n8=nC= z%8=90°, 如圖①：延長加，使AM=CF,連接MD, 圖① 在AQW和AS?中，'AM=CF ,ZMAD=ZC,AD=CD ：.^AM^CFD{SAS), .".zMDA=zCDF,MD=DF, “EDF=45。， ：/ADE+4FDC=45： "ADM+zADE=45°=4MDE, :.4M

49、DE=4EDF, 在△亂?尸和a￡Z?"中， 'MD=DF

50、DF, 在“EDF和aEDN中, rDF=DN -ZFDE=ZNDE, DE=DE ；aED^EDN(SAS), :.EF=EN, :.EP=AP+CP-. 2.解：(l)8U=//8,理由如下： \/BMD=3乙ADM, :.aA+z.ADM-3/.ADM, :.aA=2aADM, ,.22=90°, .-.aADM=45°, .??△/。例是等腰直角三角形， ..AD-AM, ??四邊形是平行四邊形，例是28中點， :.AD=BC,AM=^AB, :.BC=^AB-, (2)①取。的中點N,連接例/V并延長交。于尸，如圖： C .?四邊形力8。是平

51、行四邊形，例是28中點，N是CO的中點， ,-.DN=CN=^CD=^AB=AM=BM,CDWAB, 二四邊形AMND、四邊形8C7W是平行四邊形， ：.MN\\AD\\BC, ..器=黑,乙AEM=4EMF,￡CMF=^MCB, ：.EF=CF, ?.?3_2。于點￡, :.MN'CE, :.MF是4的垂直平分線， :.ME=MC, :，乙EMF=^CMF, 設a,貝！■例尸=/0例尸=乙MCB=a,aEMC=2a, ?:4BME=3乙AEM, "BME=3a, :./.BMC=aBME-^EMC=a, "BMC=zMCB=a, :.BC=BM=^AB, :

52、.AB^2BC', ②如圖： :.CD-2AD 設ED=x,EC=y,貝UEA=y,AD=y-x,CD=2{y-x）, RtA0￡中，Ed+EO=Cd, .,.A2+>2=4（尸x）2, 化簡整理得：3/-8"+3f=0, 初,g 4T7t4-J7 解得x=—尸/或X=-尸-y,u O :DE

53、3,4）; 故答案為：-3,4; （口）由旋轉的隨，可得：OD=08=4,OF=04=3,乙ODF=lOBA,aOFD=z OAB, 1800=90。， 費。60F=-j-x4x3=6,DF=VoF2OD2=Vs2+42=5， :AB\\OC, :./.OBA-/.BOC, :./.ODF-Z.BOC, :aOFP=aDFO, :aOFPs4DFO, ?泡型=（空）2=（S）2=_L "Sadof-DF5，~25， g g 54 :S4op尸 1二77^x6二— N3 N3 N3 （ni）如圖，重疊部分為五邊形時，尸必須位于點8上方， -：OF=3,OB=4,

54、 :.d>1, 2 當點。在。尸上時，重疊部分不構成五邊形，設此時直線〃戶的解析式為y=^x+b, 將93,4）代入，得4=米「3~, ???直線〃尸的解析式為y="1x+疊, 令*=0,得卜=學， 4 ??/（0,華）， 4 ??Q尸呼， 4 :.FF = OF - OF=— 4 ” 13 -3=t ?T 4 .P F， . F，0 4 3sin/FOC二卷， 5 3 2 ? ?.〃尸=卷戶。=於(4+3),5 5 同理可得：/。=5(d+3),0 ? -S，fpo=^PF-PO=^(d+3)xA(d+3)=條(4+3)2,N /3 0

55、ZD ? ?.^-=cosn〃FO=，，BF=d-l, .??%*(/1),o ? .HB.ccc4 ?市LS"O不， 4 45 4 :*(/1)x等(/1)(/1)2,/ / o o ■：OO=d, :，OG=OO?sm48OC=§d,OG=OO?cosaBOC^-^d,5 5 ??.SA0G<7=JoGOG=[x'l_dx2/=4oC,2 25 5 25 :.S=Safp'o'5。hbf'*Saogo,=親(d+3)2-'(

56、證明：??將“8E沿的折疊后得到aG8￡, :aAB區(qū)dGBE, :.^BGE=aA,AE=GE, :Z.A-Z.D-90°, .,.z￡G7r=zD=90°, :EA=ED, :.EG=ED, 在RfFG/7和Rb￡Z?尸中， fEF=EF IEG=ED' :.RUEG危改4EOF(HL); (2)證明：由折疊性質可得，48=BG. :AD\\BC,"=/。=90°, 二.四邊形是矩形， :.AB=CD, :.BG=DC. (3)解：由折疊可知48=G8, 由(1)知叱EG?時EDF, :.GF=DF, 又.2。=90°,AB=CD,FD=CF, :.

57、GB=2GF,BF+GF=3GF, :BR=BO+CR, (3<7f)2=64+5/2, :.GF=2g ..CD-1GF-4-\/2- 5 .解：(1)DG=BE, 理由如下: ??四邊形和四邊形力行G是正方形， :.AE=AG,AB=AD,aBAD=^EAG=90°, :.lBAE=aDAG, :.^AB^ADG{SAS), :.BE=DG; 如圖2,延長交4?于Q,交。G于〃， :zABE=aADG. ?：zAQB+aABE=90°, :zAQB+nADG=90°, ?；/AQB=nDQH, :.乙DQH*乙ADG=90°, :4DHB=90°, :.

58、BElDG, 故答案為：DG=BE.DG'BE\ (2)DG=2BE,BEA.DG,理由如下：如圖3,延長BE交AD于K,交DG于H,???四邊形力8。與四邊形/￡柘都為矩形，.'./.BAD-Z.EAG, :.乙BAE=4DAG, :AD=2AB,AG=2AE, ,AB=AE=_1 --AD-AG~ :QABEiADG, .?.尊=—=4,乙ABE=aADG, DGAD2 :.DG=2BE, :zAKB+aABE=2G0,"AKB+/ADG=9U0, ?:乙AKB=4DKH. "DKH+/ADG=9。。， "DHB=9G, :.BELDG; （3）如圖4,（為

59、了說明點8, 尸在同一條線上，特意畫的圖形） 設EG與，。的交點為A4, ,「￡GllAB, :zDME=4DAB=901 在Rb/￡G中，AE=1, .'.AG=2AE=2, 根據(jù)勾股定理得：空;正+后巡, ,；AB=娓, :.EG=AB, ■：EG\\AB, ???四邊形/8￡G是平行四邊形， :.AG\\BE, ■：AG\\EF, :點B,E,尸在同f直線上，如圖5, "AEB=90°, 在RtA/SF中，根據(jù)勾股定理得，BE=7aB2-AE2=7（V5）2-12=2， 由（2）知，aABEjADG, ,BE=AB= "DG-AD :.DG=4.

60、 圖5 6.解：(1)???"86"是等邊三角形， .，=60°, 上當8Q=28。時，aBPQ=90°, .,.6+f=2(6-f), 解得：t=2, 即f=2s時，a8PQ是直角三角形； (2)過。作PKWBC交/C于K,如圖1所示： BMC―?Q 圖1 ■ ??”8U是等邊三角形, yB=乙4=60°,AC=AB=6cm, ■：PK\\BC, 欣=/8=60°, ：.4A=aAPK=乙AKP=60°, ■ ??“欣是等邊三角形， :.PA=PK, ■ ：PE1.AK, :.AE=EK, ■ ：AP=CQ=PK,tPKD=乙D

61、CQ,4PDK=kQDC, ：.^PK^QCD{AAS), :.DK=DC, ■ .DE=EK+DK=(AK+CK)=^AC=3{cm); (3)連接//，力夕，如圖2所示： ? ；BM=CM=3,AB=AC, ：.AMrBC, ? /〃=Vab2-bm2=V62-32=3?， ：AB>AM-MB, ：.AB>3y[3-3, 二力夕的最小值為373-3, 此時MP平分乙AMB, 則點夕到身M的距離相等， ,5AAPM=AM ,△BPMBM' ?..SAAPMPA \z. '-,'一 SABPMPB' ? =迎s PBBMv」 6-f）, 解得：

62、f=9-3?, 即當f為（9-3我）s時，力6的值最小，最小值為3?-3. 7.解：（1）如圖1,過點尸作FKLBC于K, .?四邊形力水■。是矩形， ”;BE=BC=2a/3， "BCE=/BEC=45°,CE=&BC=2加, .z￡C4=15°, =n8g=60°, ■：BGVAC. .-.^BGC=90°, :.zCBG=90°-n8a=30°, ：FK±BC, :.4CKF=lBKF=S0°, :.CK=FK?tanzBCE=次tan45°=FK, Bk=FK=FK幾 tanZCBGtan30° ' :CK+BK=BC, ;,FK+aFK=273,

63、 ■.FK=3-?, :.CF=?FK=?13-M)=3y-&, ;.EF=CE-CF=2娓-(3&-灰)=3巫-3加. (2)如圖2,延長MF交。于T,過點7"作TP'AB于P, ??,四邊形，8。是矩形， :.AB\\CD,N珈。=/。=/8。=90°, :ZBMF=KTF, “BMF=￡FBC, :.zCTF=^FBC, ?286=45°, .-.z。=/8。-/8%=90°-45°=45°, .-.zTCF^aBCE, 在A。和A比?尸中， rZFTC=ZFBC

64、：BG1.AC, ：.^BGC=90°, "BCG+/FBC=90°, 又.n8CG+z/UO=90°, "FBC=/.ACD, ?：4BMF=4FBC, "BMF=/.ACD,SPzTMP=^ACD, ■：TP±AB, "APT=4MPT=90°=4BAD=4D, ???四邊形ZP7P是矩形， ：.AD=PT, 在△用TP和aCI。中， rZTMP=ZACD -ZMPT=ZD, PT=AD :.^MT^CAD{AAS), :.MT=AC, 即FT+FM=AC, :.BF+FM=AC. (3)如圖3,以。為圓心，DN、DA為半徑作同心圓， ? ??四邊形

65、28。是矩形， :.AD\\BC,AD=BC=273，乙ADC=zBCD=90°, 由(1)得：z5C4=60°, .?zC4O=N864=60°, :.CD->4Z>tanzC4￡?=2y?tan60。=6, ,.?點/V是線段。。的三等分點，且DN

66、CDA, ..平=山=m A'NDN2 :.A'C=y/^A'N, :/NA-PA=AC-PA