2022年北師大版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：壓軸題 專項(xiàng)練習(xí)題（含答案）

2022年北師大版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：壓軸題專項(xiàng)練習(xí)題 1 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8CO的頂點(diǎn)。在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限,軸，AOLAD,AO=AD.過點(diǎn)A作4E_LC£>,垂足為E,DE=4CE.反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,與邊AB交于點(diǎn)尸，連接。E,OF,EF.若Smof=旦, 2 .在△4BC中，AB=AC,。是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AQ,將40繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得/D4E+N8AC=180°. (1)如圖1,當(dāng)NB4C=90°時(shí)，連接BE,交4c于點(diǎn)F.若BE平分NABC,BD=2,求AF的長(zhǎng)： (2)如圖2,連接取BE的中點(diǎn)G,連接AG.猜想AG與CO存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； (3)如圖3,在(2)的條件下，連接OG,CE.若N8AC=120°,當(dāng)8D>CD,ZAEC =150°時(shí)，請(qǐng)直接寫出迎Z四的值. CE 3 .有公共頂點(diǎn)A的正方形A8C。與正方形AEG/按如圖1所示放置，點(diǎn)E,尸分別在邊A8和4。上，連接BF,DE,M是BF的中點(diǎn)，連接4M交OE于點(diǎn)N. 【觀察猜想】 (1)線段OE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是; 【探究證明】 (2)將圖1中的正方形AEG尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊A8上，如圖2,其他條件不變，線段。E與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由. 將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)工a得線段EP. 2 (1)如圖1,當(dāng)a=120°時(shí)，連接4P,請(qǐng)直接寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系； (2)如圖2,當(dāng)a=90°時(shí)，過點(diǎn)B作BELEP于點(diǎn)F,連接AF,請(qǐng)寫出線段AF,AB,A。之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (3)當(dāng)a=120°時(shí)，連接AP,若請(qǐng)直接寫出△APE與△CCG面積的比值. 2 圖1 圖2 5 .已知點(diǎn)0是線段48的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線/上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)8作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”. (1)［猜想驗(yàn)證］如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距” 0C和0D的數(shù)量關(guān)系是. (2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”0C和0。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由. (3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)P是線段8A延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”0C和OO的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； ②若NCOO=60°,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、0C之間的數(shù)量關(guān)系. 6 .如圖，在矩形ABC。中，AB=3cm,AD=^cm.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A8-BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在邊AB上以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)；在邊BC上以«c/m/s的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作線段尸。與射線OC相交于點(diǎn)Q，且NPQE>=60°,連接PC,BD.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△OPQ與△OBC重合部分圖形的面積為y(cm2). (1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合時(shí)，直接寫出。。的長(zhǎng)： (2)當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出BP的長(zhǎng)(用含x的代數(shù)式表示)； (3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍. ZABC=^ZAED, 2 C 7 .在等腰△AOE中，AE=DE,△ABC是直角三角形，NCA8=90°, 連接C。、BO,點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，連接EE (1)當(dāng)NEAO=45°,點(diǎn)8在邊AE上時(shí)，如圖①所示，求證：EF=-lc。；2 (2)當(dāng)NE4O=45°,把△ABC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)8落在邊AO上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)NE4O=60°,點(diǎn)B在邊4E上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段EF和CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明. 8 .如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，連接8P,CP. (1)如圖1,以BC為直徑的半圓。交A8于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)R,當(dāng)點(diǎn)尸在演上時(shí),連接AP,在BC邊的下方作/8CO=NBAP,CD=AP,連接。尸，求NC7>£)的度數(shù)；(2)如圖2,E是8c邊上一點(diǎn)，且EC=38E,當(dāng)8P=CP時(shí)，連接EP并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)凡若夜AB=4BP,求證：4EF=3AB； (3)如圖3,M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AM=2MC時(shí)，連接MP.若NCMP=150°,AB=6a,MP=0i,ZXABC的面積為Si，△BCP的面積為S2，求Si-S2的值(用含a的代數(shù)式表示). 圖1 圖2 圖3 9 .(1)已知△ABC,ZXAOE如圖①擺放，點(diǎn)B,C,。在同一條直線上，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=45°.連接BE,過點(diǎn)A作 垂足為點(diǎn)F,直線AF 交BE于點(diǎn)G.求證：BG=EG. (2)已知△ABC,△AOE如圖②擺放，NBAC=/£)AE=90°，/AC8=NA£>E=30°.連接BE,CD,過點(diǎn)A作AF_LBE,垂足為點(diǎn)尺直線交C£>于點(diǎn)G.求效的值. CG 圖① 圖② 10 .已知△ABC和△OEC都為等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n0. (1)當(dāng)〃=60時(shí)， ①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在4c上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE與4。的數(shù)量關(guān)系：； ②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不在AC上時(shí)，判斷線段BE與4。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2)當(dāng)〃=90時(shí), ①如圖3,探究線段BE與A。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由： BE//AC,AB=3a,AO=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出OC的長(zhǎng). 圖1 圖2 圖3 11 .如圖1，對(duì)角線互相垂宜的四邊形叫做垂美四邊形. (1)概念理解：如圖2,在四邊形ABCC中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形ABCO的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O.猜想：A^+CD1與有什么關(guān)系？并證明你的猜想. (3)解決問題:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形A8DE,連結(jié)CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng). 12 .如圖1,在正方形48c。中，點(diǎn)E是邊8c上一點(diǎn)，且點(diǎn)£不與點(diǎn)8、C重合，點(diǎn)戶是 84的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=CE. (1)求證：△OCEg/XDAF； (2)如圖2,連接EF,交AO于點(diǎn)K,過點(diǎn)。作。〃_LEr，垂足為〃，延長(zhǎng)DH交BF于點(diǎn)G,連接“B,HC. ①求證：HD=HB-, ②若DK,HC=如,求HE的長(zhǎng). 13 .綜合與實(shí)踐 數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂趣. 折一折：將正方形紙片ABC。折疊，使邊AB、4Q都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕4E、AF,連接E尸，如圖1. (1) ZEAF=°,寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：(不需要添加字母)； 轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NEA尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q,連接PQ,如圖2. (2)線段BP、PQ,。。之間的數(shù)量關(guān)系為； (3)連接正方形對(duì)角線若圖2中的NB4Q的邊4P、4Q分別交對(duì)角線BO于點(diǎn)M、 點(diǎn)N,如圖3,則SQ=； BM 剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線B。剪開，如圖4. (4)求證：BM2+DN2=MN2. 圖1 圖2 圖3 圖4 14 .實(shí)踐與探究 操作一：如圖①，已知正方形紙片ABC。，將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,折痕為AE,再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AO與AM重合，折痕為A凡則/以尸=度. 操作二：如圖②，將正方形紙片沿跖繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N.我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕4E上，則N4EF=度. 在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題： (1)設(shè)AM與NP的交點(diǎn)為點(diǎn)P.求證：4ANP沿4FNE； (2)若AB=M，則線段AP的長(zhǎng)為. 解：相等.在△ABC和△CSC中，分別作AEL/2,DFLh，垂足分別為E,F. ：?NAEF=NDFC=90°， ：.AE//DF. ???四邊形AEFO是平行四邊形， ：.AE=DF. 又Saabc=28C?AE,S&dbc=LbC?DF. 2 2 ,,SaabcS&dbc? 【類比探究】如圖②，在正方形ABCD的右側(cè)作等腰△0£>£CE=DE,AO=4,連接AE,求△ADE的面積. 解：過點(diǎn)E作E凡LCD于點(diǎn)八連接AF. 請(qǐng)將余下的求解步驟補(bǔ)充完整. 【拓展應(yīng)用】如圖③，在正方形A8CQ的右側(cè)作正方形CEFG,點(diǎn)B,C,E在同一宜線上，AO=4,連接8C,BF,DF,直接寫出△8。尸的面積. 圖①圖②圖③ 16 .如圖①，在△A5C中，AO_LBC于點(diǎn)£),BC=14,AO=8,80=6,點(diǎn)E是4。上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,。重合)，在△AOC內(nèi)作矩形EFG”,點(diǎn)尸在。。上，點(diǎn)G,”在AC上,設(shè)。E=x,連接BE. (1)當(dāng)矩形EFGH是正方形時(shí)，直接寫出EF的長(zhǎng); S. (2) 設(shè)△ABE的面積為S1，矩形EFG”的面積為S2，令丫=」，求y關(guān)于x的函數(shù)解 $2 析式(不要求寫出自變量x的取值范圍)； (3)如圖②，點(diǎn)P(a,h)是(2)中得到的函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線/ 分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于M,N兩點(diǎn)，求△OMN面積的最小值，并說(shuō)明理由. 17 .下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù). 小明：如圖1,(1)分別在射線0A,。8上截取0C=0。，OE=OF(點(diǎn)、C,E不重合)；(2)分別作線段CE,。尸的垂直平分線/”3交點(diǎn)為P,垂足分別為點(diǎn)G,H；(3)作射線0P,射線OP即為/AO8的平分線. 簡(jiǎn)述理由如下： 由作圖知，NPGO=NPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以RtZ\PGO絲RtZXPHO,則NPOG=NPOH,即射線OP是/A08的平分線. 小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2,(1)分別在射線04,08上截取OC=OO,OE=OFC,E不重合)；(2)連接OE,CF,交點(diǎn)為P；(3)作射線0P.射線。P即為NA08的平分線. 任務(wù): 圖1 圖2 圖3 (1)小明得出RtZ\PG。附RtZ\P/70的依據(jù)是(填序號(hào)). ®SSS®SAS®AAS®ASA®HL (2)小軍作圖得到的射線OP是NA0B的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由. (3)如圖3,已知NAOB=60°,點(diǎn)E,尸分別在射線04,08上，且。£=0尸=.點(diǎn)C,。分別為射線。8上的動(dòng)點(diǎn)，且0C=0£),連接OE,CF,交點(diǎn)為P,當(dāng)NCPE=30°時(shí)，直接寫出線段OC的長(zhǎng). 18 .如圖，在四邊形ABCC中，AB//CD,AB^CD,NA8C=90°,點(diǎn)E、/分別在線段BC、AO上，且EF〃C£),AB=AF,CD=DF. (1)求證：CFLFB； (2)求證：以A3為直徑的圓與BC相切； (3)若EF=2,ZDFE=120°,求△4OE的面積. 19 .已知四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形AEF,ZA£F=90°,設(shè) 備用圖 (1)如圖，若點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)、P,A/交C3于點(diǎn)Q,連接C凡 ①當(dāng)〃?=工時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)；3 ②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為/?,請(qǐng)用含機(jī)的代數(shù)式表示力，并求〃的最大值；(2)設(shè)過8C的中點(diǎn)且垂直于8c的直線被等腰直角三角形4E/截得的線段長(zhǎng)為y,請(qǐng)直接寫出y與機(jī)的關(guān)系式. 20 .【推理】 如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著8E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn) F處，連結(jié)BE,CF,延長(zhǎng)CF交AO于點(diǎn)G. (1)求證：△BCE/XCDG. 【運(yùn)用】 (2)如圖2,在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交40于點(diǎn)若理=&,CE=9,求線段 HF5 OE的長(zhǎng). 【拓展】 （3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CR延長(zhǎng)CRBb交直線4£）于G,，兩點(diǎn)，若坦=%坦=名，求邁的值（用含上的代數(shù)式表示）. BCHF5EC 圖1 圖2 備用圖 21 .如圖，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=a,M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE. （1）比較NB4E與NCAO的大??；用等式表示線段BE,BM,MO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明： （2）過點(diǎn)M作A8的垂線，交。E于點(diǎn)N,用等式表示線段NE與NO的數(shù)量關(guān)系，并證明. 22 .如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。是A8邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)4、B）,過點(diǎn)B作BE垂直于射線CD,垂足為E,點(diǎn)F在射線CC上，且EF=BE,連接A尸、BF. (1)求證：/\ABFs4CBE； (2)如圖2,連接AE,點(diǎn)P、M.N分別為線段4C、AE.EF的中點(diǎn)，連接PM、MN、 PN.求NPMN的度數(shù)及圓的值； PM (3)在(2)的條件下，若BC=&,直接寫出△PMN面積的最大值. 23 .某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究: (1)如圖1,在正方形A8CO中，點(diǎn)E,尸分別是A8,A3上的兩點(diǎn)，連接OE,CF, DEA.CF,則理的值為 ； CF (2)如圖2,在矩形ABC3中，AD=1,CD=4,點(diǎn)E是A£>上的一點(diǎn)，連接CE,BD, 且CE±BD,則％的值為； BD 【類比探究】 (3)如圖3,在四邊形ABCD中，/4=NB=90°,點(diǎn)E為A8上一點(diǎn)，連接OE,過點(diǎn)C作DE的垂線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證：DE?AB=CF? AD； 【拓展延伸】 (4)如圖4,在 中，NBA£>=90°,AD=9,tanZADB=1-,將△ABO沿8。 3 翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得△C8£),點(diǎn)E,產(chǎn)分別在邊A8,AD 連接。E,CF,DEL CF. ①求些的值； CF ②連接BF,若AE=1,直接寫出8尸的長(zhǎng)度. 24 .在平面宜角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，△OAB是等腰宜角三角形，ZOBA=90°,BO=BA,頂點(diǎn)4(4,0),點(diǎn)8在第一象限，矩形OCDE的頂點(diǎn)E(-看，0),點(diǎn)C在)，軸的正半軸上，點(diǎn)。在第二象限，射線。C經(jīng)過點(diǎn)8. (I)如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (II)將矩形O8E沿x軸向右平移，得到矩形O'CD'E',點(diǎn)O,C,D,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O'，C',。，E'.設(shè)。O'=t,矩形O'C'D'E'與△OAB重疊部分的面積為S. ①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E'在x軸正半軸上，且矩形O'CD'E'與△0A8重疊部分為四邊形時(shí)，E'與OB相交于點(diǎn)尸，試用含有r的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍； ②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)2 2 fy fy 圖② 25 .如圖1,在△ABC中，AB=AC,N是8c邊上的一點(diǎn)，。為AN的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CO的延長(zhǎng)線于T,且AT=BN,連接BT. (1)求證：BN=CN； (2)在圖1中AN上取一點(diǎn)O,使AO=OC,作N關(guān)于邊AC的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MT、 M。、OC、OT、CM得圖2. ①求證：△7OMs/\aoc； ②設(shè)力W與AC相交于點(diǎn)P,連接尸。，求證：PD//CM,PD=1.CM. 26 .問題提出 如圖（1）,在△ABC和△OEC中，ZACB=ZDCE=90a,BC=AC,EC=DC,點(diǎn)、E在 △ABC內(nèi)部，直線40與BE交于點(diǎn)F.線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究 (1)先將問題特殊化如圖(2),當(dāng)點(diǎn)£>,F重合時(shí)，宜接寫出一個(gè)等式，表示4F,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系； (2)再探究一般情形如圖(1),當(dāng)點(diǎn)尸不重合時(shí)，證明(1)中的結(jié)論仍然成立. 問題拓展 如圖(3),在△ABC和△OEC中，ZACB=ZDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常數(shù))，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，直線AO與BE交于點(diǎn)F.直接寫出一個(gè)等式，表示線段AF,BF,C尸之間的數(shù)量關(guān)系. (1) (2) (3) 27 .【證明體驗(yàn)】 (1)如圖1,40為△ABC的角平分線，NAOC=60°,點(diǎn)E在48上，AE=AC.求證: OE平分N4OB. 【思考探究】 (2)如圖2,在(1)的條件下，F(xiàn)為48上一點(diǎn)，連結(jié)FC交AO于點(diǎn)G.若FB=FC,DG=2,CD=3,求BD的長(zhǎng). 【拓展延伸】 (3)如圖3,在四邊形A8CD中，對(duì)角線AC平分N84O,NBCA=2/OCA,點(diǎn)E在AC上，NEDC=NABC.若8c=5,CD=2辰,AO=2AE,求AC的長(zhǎng). 圖1 圖2 圖3 28 .已知，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC. (1)如圖1,已知點(diǎn)。在8C邊上，ND4E=90°,AD=AE,連結(jié)CE.試探究BD與CE的關(guān)系； (2)如圖2,已知點(diǎn)。在8c下方，ND4E=90°,AD=AE,連結(jié)CE.若BOJL4O,AB=2jI5，CE=2,AD交BC于點(diǎn)F,求4F的長(zhǎng)； (3)如圖3,已知點(diǎn)。在BC下方，連結(jié)A。、BD、CD.若NCBD=30°,ZBAD>15°,AB2=6,AD2=4+V3«求sin/BCO的值. 29 .在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(--真，0),點(diǎn)B在直線/：上，過點(diǎn)8 作A8的垂線，過原點(diǎn)。作直線/的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C. (1)如圖，點(diǎn)8,C分別在第三、二象限內(nèi)，8c與AO相交于點(diǎn)£>. ①若BA=8。，求證：CD=CO. ②若/C8O=45°,求四邊形ABOC的面積. (2)是否存在點(diǎn)B,使得以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形與△BC。相似？若存在，求OB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 30 .如圖，△QAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,4),B(6,0),動(dòng)點(diǎn)P、。同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別沿x軸正方向和y軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位和每秒2個(gè)單位，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時(shí)點(diǎn)P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)。作MN〃08分別交40、AB于點(diǎn)M.N,連接PM、PN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為「(秒). (1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含，的式子表示)； (2)求四邊形MNBP面積的最大值或最小值； (3)是否存在這樣的直線/,總能平分四邊形MNBP的面積？如果存在，請(qǐng)求出直線/的解析式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由： (4)連接4尸，當(dāng)NOAP=NBPN時(shí),求點(diǎn)N到。A的距離. 參考答案 1.解：延長(zhǎng)E4交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作FHLv軸于點(diǎn)H,如圖, .,.AGJ_x軸. yAOIAD, ：.ZDAE+ZOAG=90Q. "：AEA.CD,：.ZDAE+ZD=90°.：.ZD=ZOAG. 在△/小£和△AOG中，fZDEA=ZAG0=90° "ZD=Z0AGAD=OA ；.△£>4£：絲ZXAOG(A4S). ：.DE=AG,AE=OG. ?.?四邊形ABC。是菱形，DE=4CE,:.AD=CD=>DE. 4 設(shè)£>E=4a,則4Z)=OA=5a. .,.OG=A£=iyAD2_[)E2=3a. ：.EG=AE+AG=la. :?E(3a,7a). :反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,x .?/=21/. VAGIGW,FH1.GH,AF^AG,...四邊形AG”尸為矩形. ：.HF=AG=4a. ?.?點(diǎn)尸在反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上，X .r=21a2_21 4aNa， ?"(21a,4a)- 4 :.OH=四，F(xiàn)H=4a. 4 :.GH=OH-0G=±»4a SaOEF~S^OEG+SEGHF-SaOFH，S/\EOF=^i， 8 ?■?yXQGXEG*EG+FH)?GH*HXHF=-y-|x21a2-»yx(7a+4a)Xja-yX21a2=^-解得：a2=A. 9 .?/=21a2=21X_l=工. 93 故選：A. 2.解：(1)連接CE,過點(diǎn)尸作FQLBC于Q, ?..BE平分NA8C,/R4c=90°, ：.FA=FQ, '：AB=AC, NABC=NACB=45°, ：.FQ=^2-CF, 2 VZBAC+ZDA£=180", NOAE=NBAC=90°, ：.ZBAD=ZCAE, 由旋轉(zhuǎn)知，AD=AE, ：./XABD^/XACE(SAS), ：.BD=CE=2,ZABD=ZACE=45a, /.ZBCE=90°, :.NCBF+NBEC=90°, 平分N4BC, NABF=NCBF, ZABF+ZBEC=90°, VZBAC=90°, AZABF+ZAFB=90°, :.NAFB=NBEC, ,//AFB=/CFE, :?/BEC=/CFE, ：.CF=CE=2, ：.AF=FQ=返CF=&； 2 (2)ag=Acd, 2 理由：延長(zhǎng)BA至點(diǎn)M,使AM=A8,連接EM, ???G是8E的中點(diǎn)， ?"G=XwE, 2 VZBAC+ZDAE=ZBAC+ZCAA/=180°, ：.ZDAE=ZCAMf ：.ZDAC=ZEAM, 9：AB=AM,AB=AC, ：.AC=AM, ?；AD=AE, ：./\ADC^/\AEM(SAS), :.CD=EM, ：.AG=l-CDx2 (3)如圖3,連接ORAO與BE的交點(diǎn)記作點(diǎn)N, VZBAC+ZDAE=180°,NBAC=120°, ：.ZDAE=60°, U：AD=AE, ：?/\ADE是等邊三角形， :?AE=DE,ZADE=ZAED=60°, VZAEC=150°, :./DEC=ZAEC-ZAED=90°, 在△ABC中，AB=AC,NA4c=120°, AZACB=ZABC=30°, VZAEC=150°, AZA5C+ZAEC=180°, ，點(diǎn)4B,C,E四點(diǎn)共圓， ：.ZBEC=ZBAC=120°, :.NBED=NBEC-ZDEC=30°, ：.ZDNE=\S0°-ZBED-ZADE=90°, ?；AE=DE, :.AN=DN, JBE是AD的垂直平分線， ：.AG=DG,BA=BD=AC, ：.ZABE=ZDBE=^ZABC=15°,2 ZACE=ZABE=15°, :?NDCE=45°, VZDEC=90°, .*.Z£DC=45°=ZDC£, :.DE=CE, ：.AD=DE, 設(shè)AG=〃，則。G=m 由（2）知，ag=Acd,2 ：.CD=2AG=2af I.CE=OE=返。。=方心2 ?*»AD=, DN=-LaD=,2 2 過點(diǎn)。作O〃J_AC于〃， 在RtZXfWC中，NAC8=30°,CD=2a, ：.DH=a, 根據(jù)勾股定理得， 在RtZkA〃O中，根據(jù)勾股定理得，^=7AD2-DH2=n, ：.AC=AH-^CH=a+Cfi, BD=a+y[^i, 3.解：(1);四邊形48CD和四邊形AEGF1都是正方形， ：.AD=AB,AF=AE,ZDAE=ZBAF=90a, ：.^\DAE^/\BAF(SAS), ：.DE=BF,ZADE=^ABF, VZABF+ZAFB=90°, AZADE+ZAFB=9Q°, 在Rtz^BA尸中，M是8F的中點(diǎn)， 二AM=FM=BM= 2 ：.DE=2AM. ：.NAFB=ZMAF, 又?.?NAOE+NAFB=90°, ZADE+ZMAF=90a, ...NAN£>=180°-(NAOE+NAMF)=90°, 即ANLDN； 故答案為OE=2AM,DELAM. (2)仍然成立， 證明如下：延長(zhǎng)AM至點(diǎn)”，使得AM=M”,連接尸〃, IM是5尸的中點(diǎn), :.BM=FM, 又丁NAMB=NHMF, ：.(SAS),：.AB=HFf/ABM=NHFM,：.AB//HF, ：?4HFG=4AGF, ,/四邊形ABCD和四邊形AEGF是正方形，；?NDAB=NAFG=90°，AE=AFfAD=AB=FH,NE4G=NAGF, 1,NEAD=NEAG+/DAB=NAFG+NAGF=NAFG^/HFG=NAFH,：./\EAD^/\AFH(SAS), :?DE=AH,又?.?AM=MH, ：.DE=AM-^MH=2AM, ?：l\EA。組4AFH,：.ZADE=ZFHAf,:4AMB烏叢HMF,：,/FHA=/BAM,：.ZADE=ZBAM,又?.?N8AM+N£)AM=N£>AB=90°, AZADE+ZDAM=90°, ???N4N£>=180°-(NAOE+NQAM)=90°,即AN.LDN. 故線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE=2AM.線段DE與AM之間的位置關(guān)系是DE±AM. 4.解：(1)方法一：如圖1,連接P3,PC, ? ?,四邊形ABCD是平行四邊形， ：.AD//BC,AB//CD.AD=BC, Va=120°,即NB4==12O°, ：.ZB=ZADC=60°, ：.ZBEP=60°=NB, 由旋轉(zhuǎn)知：EP=EB, ：?/\BPE是等邊三角形， ；?BP=EP,NEBP=NBPE=W, ；?NCBP=NABC+NEBP=120°, ? ZAEP=180°-^BEP=nO°, :./AEP=/CBP, 〈OE平分NAOC, AZADE=ZCDE=30°, ZAED=ZCDE=30Q=ZADE, ：.AD=AE, ：.AE=BC, :?△APEWXCPB(SAS), :.AP=CP,ZAPE=ZCPB, ? ??NAPE+NCPE=NCPB+NCPE, ^ZAPC=ZBPE=60°, ? ??△APC是等邊三角形， ：.AP=AC； 方法二:如圖1,延長(zhǎng)PE交CD于點(diǎn)Q,連接AQ, ? ??四邊形48CO是平行四邊形， J.AD//BC,AB//CD, Va=120°,即/BAO=120°, AZB=ZADC=60", ? ??/B£P=60°=/B, ：.PE//BC//AD, J四邊形ADQE和四邊形BCQE是平行四邊形， TOE平分NAOC, AZADE=ZCDE=30°, AZAED=ZCDE=30°=NADE, ：.AD=AEf ? ?.四邊形ADQE是菱形， ：.ZEAQ=ZAEQ=60°, ? ??△AEQ是等邊三角形， ：.AE=AQfNAQE=60°， ? ??四邊形BCQE是平行四邊形， :?PE=BE=CQ,ZB=ZCQE=60°, ? ZAEP=\20°,ZAQC=ZAQE+ZCQE=120°, :.NAEP=NAQC, AAAEP^AAQC(SAS), ：.AP=AC； (2)AB2+AD2=2AF2, 理由：如圖2,連接CR 在。ABC。中，NBAD=90°, AZADC=ZABC=ZBAD=90°,AD=BC, TOE平分NAOC, AZADE=ZCDE=45°, AZAED=ZADE=45°, ：.AD=AE, ：.AE=BC, VBF1EP, AZBFE=90°, VZBEF=Aa=Az^AD=Ax90°=45°,2 2 2 ：?NEBF=NBEF=45°, :.BF=EF, ?：/FBC=NFBE+NABC=450+90°=135°, ZAEF=I8O°-NFEB=135°, ；?/CBF=ZAEF, :?△BCFQAEAF(SAS), ：.CF=AF,/CFB=NAFE, ；?/AFC=NAFE+NCFE=/CFB+NCFE=NBFE=90°, AZACF=ZCAF=45°, VsinNACr=2L,AC ：.AC= AF AF AF sinZACF sin45° 加 2 在RtZkABC中，AB2+BC2=AC2, ：.AB2+AD1=2AF2； (3)方法一：由(1)知，BC^AD=AE=AB-BE, '：be=1ab,AB=CD,2 ：.AB=CD=2BE, 設(shè)BE=a,則PE=AO=AE=a,AB=CD=2a, ①當(dāng)點(diǎn)E在48上時(shí)，如圖3,過點(diǎn)G作GML4O于點(diǎn)M,作GMLCO于點(diǎn)N,過點(diǎn)C作CKLAD于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作AHLPE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,當(dāng)a=120°時(shí)，NB=NAOC=60°, 平分N4OC,GMLAD,GN±CD,:.GM=GN, ；Sa4cd=?CK=L?2a?sin60° S^ADGyAD-GM ?,S/xcdg_-2saADG， S^CDG=—S^ACD=^-a2， 3 3 由（1）PE//BC, ：.ZAEH=ZB=60°, VZ/7=90°,/.A//=A£«sin60° 2 :.Saape=LpE?AH=L^=立乩 2 2 2 4 V32 ?saape__4 =3 SACDG返/4 3a ②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，由①同理可得：Sacdg=-Saacd=—XAX2aX Saape=工尸小AE=工X X3a=, 2 2 2 4 ...§AAPE_42=5, SACDG^ZZ24 5a 綜上所述，XAPE與△CDG面積的比值為3或互. 44 方法二：如圖3,：四邊形A8CQ是平行四邊形， ：.AD//BC,AB//CD,AB=CD, :.i\AEGsl\CDG, .SAAEG_zAE>2EG_AE ,△CDGCDDGCD ①當(dāng)點(diǎn)E在48上時(shí)， '：be=1ab,2 :.ae=be=1ab=1.cd,2 2 .saaeg_(AE)2=_1； ,△CDGCD4 又",EG=AE=] *DGCDT ??圖=1,即敢=3, ED3EG .SAAED=ED=3^aaegEG 當(dāng)a=120°時(shí)，NB=/ADC=60°, ,.,£>E平分NAQC, ；./ADE=30°, ZAED=\80°-ABAD-ZADE=30°=ZADE, ：.AE^AD, '：EP=EB=AE,EP//AD, ：.EP=AD=AE,ZAEP=ZDAE=120°, ??SaAED=S△EAP， =3 X A—,i； 4 4 .?△APE$AAPE.S/kAEGS&AED.$AAEG $ACDGS&AEG2ACDG‘AAEG$2kCDG ②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)， '：be=1ab, 2 :.ae=1ab=1cd, 2 2 由①知，AD=AE=^.CD,2 '：EP=BE=1aE^1aD,EP//AD,3 3 ? saape^-EP=1 SAADE&3 ..EG_AE_3 ? 一,一—-， DGCD2 .ED_5 ??―, EG3 .saade=ED=5. SAAEGEG3 ..SAAEG_rAE、2_r3、2_9 SacdgCD2 4 ...SAAPESAAPE.SAADE.SAAEG=1y_5x9=$. S/kCDG^AADE^AAEG^ACDG3344 綜上所述，AAPE與△CQG面積的比值為3或5. 44 圖2 圖1 5.解：(1)猜想：OC=OD. 理由：如圖1中，VAC1CD,BDLCD, ：.ZACO=ZBDO=90° 在△AOC與△BOO中， fZAC0=ZBD0 < ZA0C=ZD0B« OA=OB .?.△40C絲△BO。(A4S), OC=OD, 故答案為：oc=。。； (2)數(shù)量關(guān)系依然成立. 理由：過點(diǎn)。作直線EF〃C£),交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E, '：EF//CD, :.NDCE=NE=NCDF=90°, 四邊形CE/7）為矩形， ：.NOFD=90°,CE=DF, 由（1）知，OE=OF, 在△COE與△OO尸中， 'CE=DF < ZCE0=ZDF0> OE=OF .?.△COE/DOF（SAS）, ：.OC=OD； （3）①結(jié)論成立. 理由：如圖3中，延長(zhǎng)CO交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E, 圖3 \'AC±CD,BD±CD, ：.AC//BD,：.ZACO=ZE, V .?點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)， ：.AO=BO, 又,:ZAOC=ZBOE,.?.△AOgABOE(AAS),：.CO=OE, V ZC£>£=90°,：.OD=OC=OE, ：.OC=OD. ②結(jié)論：AC+BD=\J3OC. 理由：如圖3中，,.,ZCOD=60°,OD=OC,:.[XCOD是等邊三角形，：.CD=OC,ZOCD=60", V ZCD£=90°,.,.tan60°=延， CD：.DE=y[jCD,,:△AOC絲△BOE,：.AC^BE, ：.AC+BD=BD+BE=DE=y[jCD,：.AC+BD=s/3OC. 6.解：(1)如圖， 在RtZXPOQ中，AD=yJ2pm,/尸。0=60°,/.tan60°=-^5.=V3> DQ ;.dq=^2aD=\cm.3 (2)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3+1=3(s), .?.點(diǎn)P在BC上時(shí) (x-3). (3)當(dāng)0Wx<3時(shí)，點(diǎn)P在A8上，作PMLCZ)于點(diǎn)M,PQ交AB于點(diǎn)E,作ENd_C£)于點(diǎn)N, DQ=DM+MQ=AP+MQ=(x+1)cm, 當(dāng)x+l=3時(shí)x=2, .,.0〈x《2時(shí)，點(diǎn)Q在OC上， ■:tan/BDC=^=近,CD3 ：.ZDBC=30°, ?.,/PQO=60°, /.ZD£0=9O°. Vsin30°=EQ=A,DQ2 ：.EQ=l.DQ=^k, 2 2 ,.,sin60° 返， EQ2 :.EN=®EQ=®(x+1)cm,2 4 ：.y=XDQ'EN=l.(x+1)X®(x+1)=返(x+1)2=^1r2+2^：+返(0<xW2).■2 2 4 8 8 4 8 當(dāng)2VxW3時(shí)，點(diǎn)。在。C延長(zhǎng)線上，PQ交BC于點(diǎn)、F,如圖， ■：CQ=DQ-DC=x+\-3=x-2,tan60° CO /.CF=C(2*tan60o=5/3(x-2)cm, ：.S^cqf=—CQ*CF=1.(x-2)X>/§(x-2)=(2/1^-2疝+2，)cm2,2 2 2 = -S4CQF=返A(chǔ)■退■史-(亞^-2百t+2F)=(-■§?/時(shí)+則3 8 4 8 2 8 4 -1^3.)C7M2(2<xW3).8 當(dāng)3cxW4時(shí)，點(diǎn)P在8c上，如圖， ?.?CP=C8-BP=«-«(x-3)=(4«-⑥)cm, .R=1OUCP=_1X3(4«-«r)=6«-色氏(3<后4). 2 2 2 第x2亭亭0<x<2) 綜上所述，尸¥*2呼x令巨(2<x<3) 65/3--3*^x(3<x44) 7.(1)證明：如圖①中， 圖① ,：EA=ED,Z£40=45°, ：.ZEAD=ZEDA=45°, AZAED=90°, ,:BF=FD, :.ef=Ldb,2 ,：ZCAB=90°, ：.ZCAD=ZBAD=45°, ；NABC=』N4E£>=45°,2 ZACB=ZABC=45°, ：.AC=AB, ?,?AQ垂直平分線段BC, :.DC=DB, ：.EF=1.CD. 2 (2)解：如圖②中，結(jié)論：EF=1CD. 圖② 理由：取CD的中點(diǎn)T,連接AT,TF,ET,TE交AO于點(diǎn)。 V ZCAD=90°,CT=DT, ；?AT=CT=DT, ?：EA=ED, ???“垂直平分線段A£>, ：.AO=OD, V ZAED=90°, ：.OE=OA=OD, V ：CT=TD,BF=DF, ：.BC〃FT, ：.ZABC=ZOFT=45°, V ZTOF=90°, ：.ZOTF=ZOFT=45°, ：.OT=OF, ：.AF=ET, 7FT=TF,ZAFT=ZETF,FA=TE, ：./\AFT^AETF(SAS), :?EF=NT, ：.EF=1.CD. 2 如圖③中，結(jié)論：EF=返CD2 圖③ 理由：取AO的中點(diǎn)。，連接。F,0E. '：EA=ED,ZAED=60°, .?.△AOE是等邊三角形， '：AO=OD, J.OE1AD,ZAEO=ZOED=30°, ：.lanZAEO=OE3 ?OE-V3??, AD2 VZA^C=AzAED=30",ZBAC=90°,2 ：.AB=y12AC, *：AO=OD,BF=FD, :.of=1ab,2 V3一 2 "Ac - - OF一AcOEAD ■:OF//AB, ：./DOF=ND48, VZDOF+ZEOF=90Q,N£>AB+NZ)AC=90°, :.ZEOF=ZDAC, /.△EOF^ADAC, ? EF-0E-V3 ? ?-，，-—―—- , CDAD2 ：.EF=^3.CD. 2 8.解：(1)如圖1,連接80, ???△ABC是等邊三角形，：.AB=BC,NABC=60°, 在ABA尸和△BCD中， 'AB=BC ,NBAP=/BCD， AP=CD .'.△BAP^ABCD(SAS), ：.BP=BD,NABP=NCBD, ；NABP+NPBC=60°,：.^CBD+ZPBC=6Q°, 即NPBO=60°, ...△B。尸是等邊三角形， AZBPD=60°,是。。的宜徑， AZBPC=90°,：.NCPD=NBPC-NBPD=90°-60°=30°； (2)如圖2,連接AP交BC于。， ???△ABC是等邊三角形， ：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°, BP=CP, ：.AD±BC,BD=CD=1.BC=1aB,2 2 ：.AD=AB'sinZABC=AB-sm60°=J^AB,2 ■:夜AB=4BP, .\bp=^1ab, 4 P£>=VbP2-BD2=-J(^AB)2-(yAB)2=2YAfi, pd=1ad,即點(diǎn)尸是AO的中點(diǎn)， 2 °：EC=3BE, ：.BE=1.BC,BC=4BE, 4 ,:bd=~Lbc, 2 be=Lbd,即點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)， 2 ；.EP是△ABO的中位線， J.EF//A.B, :.XCEFsXCBA, .EF=CE_3BE_3 "AB麗嬴， ：.4EF=3AB； (3)如圖3,過點(diǎn)A作AOLBC于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)E,交4C于點(diǎn)凡作P〃_LAC于點(diǎn)H, 由(2)得：AD=^AB=3七,ZACB=60°,BC=AC^AB=6a,2 VZCA/P=150°, 尸=180°-NCMP=180°-150°=30°, ；NCHP=9Q°, ，PH=PM.sinNPMF=«a.sin30。=~°' MH=:PM'cosZPMF=y/3a-cos300=*， VEEIBC, ；.NCEF=90°, ：.ZCFE=90°-ZACB=90°-60°=30°, :.NCFE=NPMF, ：.PF=PM=y[^i, ：.FH=PF'cosZPFH=y/yfcos30°=當(dāng)， 2 ：AM=2MC, .'.CM=^AC=—X6a=z2a, 3 3 CF=CM++MH+HF=5a, EF=C尸sinZACB=5wsin60° 2 ：.PE=EF-PF=^fia-仁 2 2 .".Si-S2=S^ABC-S^,bcp=—BC'AD-1.BC'PE=1-BC<AD-PE}=_lx6“X(3杼 2 2 2 2 2 2 圖3 圖2 圖1 9.(1)證明：如圖, 圖① 連接EC, '：ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=45°, AABC和MADE為等腰直角三角形， ：.AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即NBAC=NCAE,在△A4O與△CAE中， 'AB=AC ，ZBAD=ZCAE) AD=AE :.XBAD會(huì)XCAE(SAS), /.ZABD=ZACE=45a,ZACB+ZACE=90°,貝I]CE_L8。， '：AFLBD, J.AF//CE,BF=FC, .BG=BF=1 ,,而FC' :.BG=EG. (2)解：如圖, 過點(diǎn)D作。M_LAG,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)。作CNLAG,交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M 在△ABC和△AE。中，ZBAC=ZDAE=90°,ZACB=ZADE=30°, 設(shè)AE=mAB=b,貝ijAO=«a,AC=\[^, VZ1+ZEAF=9O°,N2+NEA尸=90°, /.Z1=Z2, :.sinZl=sinZ2, 同理可證N3=/4,更=返2=、/§,AFb aDM=CN> "afaf" ：.DM=CN, 在△OGM和ACGN中，有： ，ZDGM=ZCGN <ZGMD=ZGNC- DM=CN ，叢DGM會(huì)叢CGN(AAS), ：.DG=CG, ? DG-. ? ???~-1? CG 10.解：(1)①當(dāng)〃=60時(shí)，△ABC和△OEC均為等邊三角形, ：.BC=AC,EC=DC, 又,；BE=BC-EC, AD=AC-DC, ：.BE=AD, 故答案為：BE=AD； ②BE=AD,理由如下： 當(dāng)點(diǎn)。不在AC上時(shí)， VZACB=ZACD+ZDCB=60",NDCE=NBCE+NDCB=60°,，NACD=NBCE, 在△ACO和ABCE中， 'AC=BC ,Zacd=Zbce« DC=EC ...△AC£>絲△BCE(SAS), ；.AD=BE； (2) @BE=y/2AD,理由如下： 當(dāng)〃=90時(shí)，在等腰直角三角形DEC中：1C=sin45。=2區(qū)，EC 2 在等腰直角三角形ABC中：&C=sin45。=返，BC 2 ?.?/ACB=NACE+NECB=45°,ZDC£=ZACE+ZDCA=45°, :.NECB=ZDCA 在△OCA和AECB中， 'DC_AC二& <EC=BC ZDCA=ZECB ：.4DCAs4eCB, .AD& ?? = » BE2 ；.8E=&AD, ②OC=5或?。萑?，理由如下： 當(dāng)點(diǎn)。在△ABC外部時(shí)，設(shè)EC與AB交于點(diǎn)F,如圖所示： B l ,:AB=3品,40=1 由上可知：4C=AB=3&,BE=V2AD=V2-又,：BEHAC, ：.ZEBF=ZCAF=90°, 而NEFB=NC項(xiàng)， :.△EFBs/\CFA, .EFBFBE=&=1 "CF"aF'AC^23" ：.AF=3BF,而A8=B尸+AF=3我， ，Tx收乎 在RS*中：所=五e(cuò)2+b'2=J（后產(chǎn)+（平產(chǎn)平 又,：CF=3EF=3X殳叵=2§返，4 4 :.EC=EF+CF=®2F迎=5近（或EC=4EF=5近）， 4 4 在等腰直角三角形OEC中，DC=£C'cos45°=5&X返=5. 2 當(dāng)點(diǎn)。在△48C內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)。作O〃J_AC于〃 ???。:加24cH2='（冬2+（^1）2=行,綜上所述，滿足條件的CD的值為5或小石. 11.解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形. 理由如下：如圖2,連接AC、BD, 圖2 "：AB=AD, ...點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上， "：CB=CD, ...點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上， 直線AC是線段BD的垂直平分線， J.ACX.BD,即四邊形A8C。是垂美四邊形; (2)AB1+Cb1=AD1+BC1, 理由如下： 如圖1中， ,：ACLBD, ：.ZAOD=ZAOB=NBOC=ZCOD=90°,由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO1+Cd2, A^+CD2=AO1+Bd1+Cd1+Dd1, :.ad2+bc1=ab2+cd1； (3)如圖3,連接CG、BE, ;正方形ACFG和正方形ABDE, ：.AG=AC,AB=AE,NCAG=NB4E=90°, ZCAG+ABAC=NBAE+NBAC,即NGAB=ZCAE,在△GAB和△CAE中， <AG=AC ,NGAB=NCAE，AB=AE ：./\GAB^/\CAE(SAS), :.NABG=NAEC, ? ZA£C+ZAM£=90°, ? ??NA8G+/AME=90°, ? ??NAME=/BMN, ? ??NABG+NBMN=9(T, 即CE1.BG, ：.四邊形CGEB是垂美四邊形， 由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2, VAC=4,AB=5, ? <,BC=\IAB2-AC2=V52-42==3, cg=VaC2+AG2=V42+42=4^2,B£=VaB2+AE2=V52+52=5^2, .,.GE2=CG2+BE2-CB2=(4«)2+(5&)2-32=73, ：.GE=473. 12.解：(1)I?四邊形ABC。為正方形，：.CD=AD,NDCE=NDAF=90", VCE=AF, ：.^DCE^/\DAF(SAS)； (2)①?.?△QCE4△ZMF, ：.DE=DF,NCDE=NADF, ：.NFDE=NADF+NADE=NCDE+NADE=ZADC=90°, .?.△OFE為等腰直角三角形， ,：DH1EF, ...點(diǎn)，是EF的中點(diǎn)， :.dh=Lef, 2 同理，由HB是RtZXEBF的中線得：HB=LeF, 2 :.HD=HB； ②：四邊形ABCD為正方形， 故CD=CB, ? :HD=HB,CH=CH, :?△DCHWdBCH(555), ：./DCH=NBCH=45°, ? ??叢DEF為等腰直角三角形， ；?NDFE=45°, :?/HCE=/DFK, ? ??四邊形ABC。為正方形， J.AD//BC, :./DKF=NHEC, :?△DKFsAHEC, ? DKDF??,HEHC ：.DK-HC=DF'HE, 在等腰直角三角形OFH中，DF=6fIF=6fiE, ：.DMHC=DF*HE=®HR-5/2. ：.HE=\. 13.(1)解：如圖1中, 圖1 ?.,四邊形4BCQ是正方形， ：.AB=AD=BC=CD,NBAD=90°, ：.ABC,AAOC都是等腰三角形， ,/ZBAE=NCAE,ZDAF=ZCAF, ：.ZEAF=1-(NBAC+ND4C)=45",2 VZBAE=ZDAF=22.5°,Zfi=ZD=90°,AB=AD, .'.△BAE^ADAF(ASA), ：.BE=DF,AE=AF, '：CB=CD, :?CE=CF, AAAEF, 都是等腰三角形， 故答案為：45,AAEF,AEFC,AABC,AADC. (2)解：結(jié)論：PQ=BP+DQ. 理由：如圖2中，延長(zhǎng)CB到。使得87=。。. 圖2 ? ??AD=AB,ZADQ=ZABT=90°,DQ=BT, ：./\ADQ^^ABT(SAS), ：.AT=AQ