2018年高考數(shù)學(xué) 專題14 不等式選講熱點(diǎn)難點(diǎn)突破 文

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1、 專題14 二項(xiàng)式定理及數(shù)學(xué)歸納法 1.若f(x)=logx,R=f,S=f,T=f,a,b為正實(shí)數(shù),則R,S,T的大小關(guān)系為(  ) A.T≥R≥S B.R≥T≥S C.S≥T≥R D.T≥S≥R 答案 A 2.已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|x+5|. (1)試求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范圍; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)

2、(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9, 所以若關(guān)于x的不等式f(x)f(x)min=9,即a的取值范圍是(9,+∞). 3.已知函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)試求f(x)的值域; (2)設(shè)g(x)=(a>0),若任意s∈(0,+∞),任意t∈(-∞,+∞),恒有g(shù)(s)≥f(t)成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 (1)函數(shù)可化為 f(x)= ∴f(x)∈[-3,3]. (2)若x>0,則g(x)==ax+-3≥2-3,即當(dāng)ax2=3時,g(x)min=2-3, 又由(1)知f(x)max=3. 若?s∈(0,

3、+∞),?t∈(-∞,+∞),恒有g(shù)(s)≥f(t)成立,則有g(shù)(x)min≥f(x)max,∴2-3≥3, ∴a≥3,即a的取值范圍是[3,+∞). 4.設(shè)不等式|x-2|>1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b>0的解集相同. (1)求a,b的值; (2)求函數(shù)f(x)=a+b的最大值,以及取得最大值時x的值. 5.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)>2的解集; (2)?x∈R,使f(x)≥t2-t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 (1)f(x)= 當(dāng)x<-時,-x-3>2?x<-5, ∴x<-5. 當(dāng)-≤x<2時,3x-1>2?x>1

4、, ∴12?x>-1, ∴x≥2. 綜上所述,不等式f(x)>2的解集為 {x|x>1或x<-5}. (2)易得f(x)min=-, 若?x∈R都有f(x)≥t2-t恒成立, 則只需f(x)min=-≥t2-, 解得≤t≤5. 6.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)>2的解集; (2)?x∈R,使f(x)≥t2-t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 7.若關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集為?,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)<-1或a>3 B.a(chǎn)<0或a>3 C.-1

5、<a<3 D.-1≤a≤3 解析 |x-1|+|x-3|的幾何意義是數(shù)軸上與x對應(yīng)的點(diǎn)到1、3對應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和,故它的最小值為2, ∵原不等式解集為?,∴a2-2a-1<2. 即a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 故選C. 答案 C 8.設(shè)f(x)=x2-bx+c,不等式f(x)<0的解集是(-1,3),若f(7+|t|)>f(1+t2),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________. 答案 (-3,3) 9.已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|x+5|. (1)試求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范圍; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)

6、的取值范圍. 解 (1)f(x)=|x-4|+|x+5|= 又|2x+1|= 所以若f(x)=|2x+1|,則x的取值范圍是(-∞,-5]∪[4,+∞). (2)因?yàn)閒(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9, ∴f(x)min=9. 所以若關(guān)于x的不等式f(x)f(x)min=9,即a的取值范圍是(9,+∞). 10.已知函數(shù)f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)試求f(x)的值域; (2)設(shè)g(x)=(a>0),若任意s∈(0,+∞),任意t∈(-∞,+∞),恒有g(shù)(s)≥f(t)成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 11.

7、設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式f(x)≥3的解集; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥t2-3t在[0,1]上無解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 (1)f (x)= 所以原不等式轉(zhuǎn)化為或或所以原不等式的解集為∪[6,+∞). (2)只要f(x)max<t2-3t, 由(1)知f(x)max=-1<t2-3t解得t>或t<. 12.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+|+|x-a|(a>0). (1)證明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范圍. 13.已知函數(shù)f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)≥4-|x-4|

8、的解集; (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2},求a的值. 解 (1)當(dāng)a=2時,f(x)+|x-4|= 當(dāng)x≤2時,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 當(dāng)2

9、知函數(shù)f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集為[-1,1]. (1)求k的值; (2)若a,b,c是正實(shí)數(shù),且++=1. 求證:a+2b+3c≥9. 15.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍. 解:(1)當(dāng)a=-3時, 不等式f(x)≥3化為|x-3|+|x-2|≥3.① 若x≤2時,由①式,得5-2x≥3,∴x≤1. 若2

10、綜上可知,f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. (2)原不等式等價于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,② 當(dāng)1≤x≤2時,②式化為4-x-(2-x)≥|x+a|, 解之得-2-a≤x≤2-a. 由條件,[1,2]是f(x)≤|x-4|的解集的子集, ∴-2-a≤1且2≤2-a,則-3≤a≤0. 故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,0]. 16.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足:a2+b2=2. (1)求+的最小值m; (2)設(shè)函數(shù) f(x)=|x-t|+(t≠0),對于(1)中求得的實(shí)數(shù)m是否存在實(shí)數(shù)x,使得f(x)=成立,說明理由. 17.已知函數(shù)f (x)=|x|

11、+|x-1|. (1)若f(x)≥|m-1|恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值M; (2)在(1)成立的條件下,正實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=M,證明:a+b≥2ab. (1)解:∵f(x)=|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1, 當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1時,取等號, ∴f(x)=|x|+|x-1|的最小值為1. 要使f(x)≥|m-1|恒成立,只需|m-1|≤1, ∴0≤m≤2,則m的最大值M=2. (2)證明:由(1)知,a2+b2=2, 由a2+b2≥2ab,知ab≤1,① 又a+b≥2,則(a+b)≤2ab, 由①知,≤1, 故a+b≥2ab. 18.已知函數(shù)f(x)=|x+1|. (1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M; (2)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)-f(-b). (1)解:①當(dāng)x≤-1時,原不等式可化為-x-1<-2x-2,解得x<-1; 10

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