新編高一數(shù)學人教A版必修2學業(yè)分層測評14 直線與平面垂直的性質(zhì) 平面與平面垂直的性質(zhì) 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 學業(yè)分層測評(十四) (建議用時：45分鐘) [達標必做] 一、選擇題 1．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．異面 C．平行 D．不確定 【解析】　因為l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A， 所以l⊥平面ABC. 同理可證m⊥平面ABC， 所以l∥m，故選C. 【答案】　C 2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m?α，

2、n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 【解析】　A中，m，n可能為平行、垂直、異面直線；B中，m，n可能為異面直線；C中，m應(yīng)與β中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立． 【答案】　D 3．已知平面α、β和直線m、l，則下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥β B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β C．若α⊥β，l?α，則l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β 【解析】　選項A缺少了條件l?α；選項B缺少了條件α⊥β；選項C缺少了條件α∩β＝m，l⊥m；選項D具備了面面垂直的性質(zhì)定理的全部條件．故選D. 【

3、答案】　D 4．(2016·蚌埠高二檢測)如圖2-3-42，PA⊥矩形ABCD，下列結(jié)論中不正確的是(　　) 圖2-3-42 A．PD⊥BD B．PD⊥CD C．PB⊥BC D．PA⊥BD 【解析】　若PD⊥BD，則BD⊥平面PAD， 又BA⊥平面PAD，則過平面外一點有兩條直線與平面垂直，不成立，故A不正確； 因為PA⊥矩形ABCD， 所以PA⊥CD，AD⊥CD， 所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD， 同理可證PB⊥BC. 因為PA⊥矩形ABCD， 所以由直線與平面垂直的性質(zhì)得PA⊥BD.故選A. 【答案】　A 5．如圖2-3-43所示，三棱錐P-ABC的底

4、面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是(　　) 圖2-3-43 A．一條線段 B．一條直線 C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點 【解析】　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC. 又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC. ∴∠ACB＝90°. ∴動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點． 【答案】　D 二、填空題 6．如圖2-3-44，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則＝____

5、____. 圖2-3-44 【解析】　在三棱錐P-ABC中， 因為PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC. 因為EF?平面PAC，所以EF⊥AB， 因為EF⊥BC，BC∩AB＝B， 所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF， 因為F是AC的中點，E是PC上的點， 所以E是PC的中點，所以＝1. 【答案】　1 7．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為________． 【導學號：09960085】 【解析】　連接CM，則由題意知PC⊥平面ABC

6、，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時，CM有最小值，此時有CM＝4×＝2，所以PM的最小值為2. 【答案】　2 三、解答題 8．(2016·成都高一檢測)如圖2-3-45，三棱錐P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC. 【導學號：09960086】 圖2-3-45 【證明】　∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， ∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC， ∴PA⊥B

7、C. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB， PA?平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC. 9．如圖2-3-46，△ABC是邊長為2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD. 圖2-3-46 (1)求證：AE∥平面BCD； (2)求證：平面BDE⊥平面CDE. 【證明】　(1)取BC的中點M，連接DM， 因為BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2. 所以DM＝1，DM⊥BC. 又因為平面BCD⊥平面ABC， 所以DM⊥平面ABC， 又AE⊥平面ABC，所以A

8、E∥DM. 又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM， 又AE＝1，DM＝1，所以四邊形DMAE是平行四邊形， 所以DE∥AM.連接AM，易證AM⊥BC， 因為平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD， 所以DE⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，所以DE⊥CD. 因為BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE. 因為CD?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE. [自我挑戰(zhàn)] 10．設(shè)m，n，l是三條不同的直線，α是一個平面，l⊥m，則下列說法正確的是(　　) A．若m?α，l⊥α，則m∥α B．若l⊥n

9、，則m⊥n C．若l⊥n，則m∥n D．若m∥n，n?α，則l⊥α 【解析】　 若l⊥m，l⊥n，則m與n可能平行，也可能相交或異面，即B，C都不正確；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l(wèi)⊥α，即D不正確；對于A，可在l上取一點P，過P作m′∥m，則m′⊥l，m′與l確定一個平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a，又m′，a，l同在平面β內(nèi)，則由l⊥m′，l⊥a得m′∥a，于是m∥a，又m?α，所以m∥α.故選A. 【答案】　A 11．如圖2-3-47，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中點，沿DE將△ADE折起． (1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求證：A

10、B＝AC； (2)如果AB＝AC，求證：平面ADE⊥平面BCDE. 圖2-3-47 【解】　 (1)過點A作AM⊥DE于點M， ∵二面角A-DE-C是直二面角， 則AM⊥平面BCDE， ∴AM⊥BC.又AD＝AE， ∴M是DE的中點，取BC中點N，連接MN，AN，則MN⊥BC. 又AM⊥BC，AM∩MN＝M， ∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC. 又∵N是BC中點，∴AB＝AC. (2)取BC的中點N，連接AN， ∵AB＝AC，∴AN⊥BC. 取DE的中點M，連接MN，AM， ∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N， ∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC. 又M是DE的中點，AD＝AE， ∴AM⊥DE. 又∵DE與BC是平面BCDE內(nèi)的相交直線， ∴AM⊥平面BCDE. ∵AM?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCDE.