2018年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題二 三角函數(shù)、平面 向量 第三講 平面向量教案

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1、 第三講　平面向量 [考情分析] 平面向量的命題近幾年較穩(wěn)定，一般是單獨命題考查平面向量的模、數(shù)量積的運算、線性運算等，難度較低，有時也與三角函數(shù)、解析幾何綜合命題，難度中等. 年份 卷別 考查角度及命題位置 2017 Ⅰ卷 向量垂直的應(yīng)用·T13 Ⅱ卷 向量加減法的幾何意義·T4 Ⅲ卷 向量垂直的應(yīng)用·T13 2016 Ⅰ卷 平面向量垂直求參數(shù)·T13 Ⅱ卷 平面向量共線求參數(shù)·T13 Ⅲ卷 向量的夾角公式·T3 2015 Ⅰ卷 平面向量的坐標運算·T2 Ⅱ卷 平面向量數(shù)量積的坐標運算·T4 [真題自檢] 1．(2017·高考全國

2、卷Ⅱ)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b| 解析：依題意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，選A. 答案：A 2．(2015·高考全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，從而

3、(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C. 答案：C 3．(2016·高考全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 4．(2017·高考全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________. 解析：因為a＋b＝(m－1,3)，a＋b與a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7. 答案：7 平面向量的概念及線性運算 [方法結(jié)論] 1．在用三角形加法法則時要保證

4、“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量． 2．利用平面向量基本定理實現(xiàn)了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線的向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2，常用方法有兩種：一是直接利用三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理來破解；二是利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解． [題組突破] 1．如圖，在△OAB中，點B關(guān)于點A的對稱點為C，D在線段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于點E.若＝λ，則λ＝(　　) A. B. C. D. 解析：通解

5、：設(shè)＝a，＝b，由題意得＝－＝＋－＝＋－＝2a－b. 因為＝λ＝λa，設(shè)＝μ＝2μa－μb，又＝＋，所以λa＝b＋2μa－μb＝2μa＋b， 所以，所以λ＝. 優(yōu)解：由題意知，AB＝AC，OD＝2DB，過點A作AF∥OB交CD于點F(圖略)，則＝＝， 即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，則OE＝OA，又＝λ，故λ＝. 答案：C 2．如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) A．2 B. C. D. 解析：法一：以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長為1，則＝(1，)，＝(－，1)，

6、＝(1,1)，∵＝λ＋μ＝(λ－μ，＋μ)， ∴，解得，∴λ＋μ＝，故選D. 法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝(λ－)＋(＋μ)， 又＝＋，∴，解得，∴λ＋μ＝，故選D. 答案：D 3．已知平面向量a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量b滿足(a－b)∥c，(a＋c)⊥b，則b＝(　　) A．(2,1) B．(1,2) C．(3,0) D．(0,3) 解析：通解：設(shè)b＝(x，y)，則a－b＝(2－x,1－y)，a＋c＝(3,0)，由(a－b)∥c可得， －(2－x)－(1－y)＝0，即x＋y－3＝0.由(a＋c)⊥b可得，3x＝0，則x＝0，y＝3，選D. 優(yōu)解：因

7、為a＋c＝(3,0)，且(a＋c)⊥b，逐個驗證選項可知，選D. 答案：D [誤區(qū)警示] 在運用向量共線定理時，向量a與b共線存在實數(shù)λ保持a＝λb成立的前提條件是b≠0. 平面向量的數(shù)量積 [方法結(jié)論] 1．平面向量的數(shù)量積的運算的兩種形式 (1)依據(jù)模和夾角計算，要注意確定這兩個向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進行轉(zhuǎn)化； (2)利用坐標來計算，向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標滿足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問題，化形為數(shù)，使向量問題數(shù)字化． 2．夾角公式 cos θ＝＝. 3．模 |a|＝＝. 4．向量a與b垂直?a·b＝0. [

8、題組突破] 1．(2017·洛陽模擬)已知向量a＝(1,0)，|b|＝，a與b的夾角為45°.若c＝a＋b，d＝a－b，則c在d方向上的投影為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：依題意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，選D. 答案：D 2．如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，P為線段OC的中點，則·＝(　　) A．1 B. C. D．－ 解析：通解：因為△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，所以＝＋，所以＝＝(

9、＋)，則＝－＝－，所以·＝(－3)·(＋)＝(2－32)＝. 優(yōu)解：以O(shè)為原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,1)，B(2,0)，C，所以＝＝，＝，故·＝×＝. 答案：B 3．(2016·珠海摸底)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，則向量a與b的夾角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：通解：設(shè)a與b的夾角為θ，由已知可得a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，即4a·b＝a2＋b2，因為|a|＝|b|，所以a·b＝a2，所以cos θ＝＝，θ＝60°，選C. 優(yōu)解：由|a|＝|

10、b|，且|a＋b|＝|a－b|可構(gòu)造邊長為|a|＝|b|＝1的菱形，如圖，則|a＋b|與|a－b|分別表示兩條對角線的長，且|a＋b|＝，|a－b|＝1，故a與b的夾角為60°，選C. 答案：C 4．已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(1,0)，B(0，－)，C(－3,0)，動點P滿足||＝1，則|＋＋|的最小值是________． 解析：通解：由||＝1得點P(x，y)的軌跡方程為(x＋3)2＋y2＝1，又＝(1,0)，＝(0，－)，＝(x，y)，故＋＋＝(1＋x，y－)，|＋＋|的幾何意義是點M(－1，)與圓(x＋3)2＋y2＝1上的點之間的距離．||＝＝，由數(shù)形結(jié)合(圖略

11、)可知|＋＋|的最小值即為點M(－1，)到圓(x＋3)2＋y2＝1上的點的最短距離，故|＋＋|的最小值為－1. 優(yōu)解：動點P的軌跡為以C為圓心的單位圓，設(shè)P(cos θ－3，sin θ)(θ∈[0,2π))， 則|＋＋|＝＝＝， 其中tan φ＝，所以|＋＋|的最小值為＝－1. 答案：－1 [誤區(qū)警示] 1．在解決平面向量的數(shù)量積問題中的注意點 (1)兩個向量的夾角的定義；(2)兩個向量的夾角的范圍；(3)平面向量的數(shù)量積的幾何意義；(4)向量的數(shù)量積的運算及其性質(zhì)等． 2．向量的數(shù)量積運算需要注意的問題 a·b＝0時得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2＝

12、a2，但|a·b|≤|a|·|b|. 平面向量與其他知識的交匯問題 平面向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重型”，常與三角函數(shù)、解三角形、平面解析幾何、函數(shù)、不等式等知識交匯命題，平面向量的“位置”：一是作為解決問題的工具，二是通過運算作為命題條件． 交匯點一　平面向量與三角、解三角形的交匯 [典例1]　(2016·青島二中模擬)已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(sin C，sin A)，且m∥n. (1)若cos A＝，b＋c＝6，求△ABC的面積； (2)求sin B的取值范圍． 解析：因為m∥n，所以sin2 A＝

13、sin Bsin C，結(jié)合正弦定理可得a2＝bc. (1)因為cos A＝，所以＝，即＝，解得bc＝9. 從而△ABC的面積S△ABC＝bcsin A＝×9×＝，故△ABC的面積為. (2)因為a2＝bc，所以cos A＝＝≥＝(當且僅當b＝c時，取等號)． 因為0

14、對應(yīng)坐標乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對三角形的邊、角進行互化，即可破解平面向量與“三角”相交匯題． [演練沖關(guān)] 1．(2016·開封模擬)設(shè)a＝與b＝(－1,2cos θ)垂直，則cos 2θ的值等于(　　) A．－　　　　　　 B．0 C．－ D．－1 解析：∵a＝與b＝(－1,2cos θ)垂直，∴a·b＝0，即－＋2cos2 θ＝0，則cos 2θ＝2cos2 θ－1 ＝2cos2 θ－－＝－.故選C. 答案：C 2．已知向量a＝(1，sin ωx)，b＝(cos2 ωx－1，cos ωx)(ω>0)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期為π. (1)求ω的

15、值； (2)求函數(shù)f(x)在上的單調(diào)區(qū)間． 解析：(1)由題意知，f(x)＝a·b＝cos2 ωx－1＋sin ωx·cos ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx－ ＝sin－， 因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π，所以＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝sin－，當x∈時，2x＋∈， 所以當2x＋∈，即x∈時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當2x＋∈，即x∈時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 交匯點二　平面向量與“簡單線性規(guī)劃”相交匯 [典例2]　已知x，y滿足若向量＝(1,2)，＝(x，y)，則z＝·的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．2 解析：原不等式組所

16、表示的可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界)，因為向量＝(1,2)，＝(x，y)，所以z＝·＝x＋2y.當目標函數(shù)z＝x＋2y過點(0,1)時，z＝x＋2y取得最大值zmax＝0＋2×1＝2.故選D. 答案：D [類題通法] 解決平面向量與“簡單線性規(guī)劃”相交匯題的常用方法是“轉(zhuǎn)化法和數(shù)形結(jié)合法”，即先利用平面向量數(shù)量積的坐標表示，把平面向量問題轉(zhuǎn)化為求線性目標函數(shù)問題；再借用圖形，判斷可行域；最后通過平移目標函數(shù)圖象，求其最值． [演練沖關(guān)] 3．已知變量x，y滿足約束條件若向量＝(x，－1)，＝(2，y)，則·的最小值等于(　　) A．－ B．－2 C．－ D．2

17、解析：約束條件所表示的可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界)，因為向量＝(x，－1)，＝(2，y)，所以z＝·＝2x－y.當z＝2x－y過點A(－1，)時，z＝2x－y取得最小值，且zmin＝2×(－1)－＝－.故選A. 答案：A 交匯點三　平面向量與“充分必要條件”相交匯 [典例3]　(2015·高考北京卷)設(shè)a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a|·|b|cos θ.若a·b＝|a||b|，則cos θ＝1，因為θ∈

18、[0，π]，所以θ＝0，所以a∥b，即“a·b＝|a||b|”?“a∥b”；若a∥b，則θ＝0或θ＝π，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”?/ “a∥b”，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要條件．故選A. 答案：A [類題通法] 平面向量與“充分必要條件”相交匯問題的破解方法：“以小推大法”，即準確理解充分條件、必要條件及充要條件的含義，利用平面向量的有關(guān)概念、公式、定理(有時要利用數(shù)形結(jié)合思想)等，判斷小范圍和大范圍之間的關(guān)系． [演練沖關(guān)] 4．已知直線m，n的方向向量分別為a，b，則“m∥n”是“a∥b”的(　　)

19、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：m∥n?a∥b；反之，當a∥b時，直線m，n可能重合，所以“m∥n”是“a∥b”的充分不必要條件．故選A. 答案：A 交匯點四　平面向量與解析幾何相交匯 [典例4]　(2017·大慶質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使(＋)·＝0(O為坐標原點)，則△F1PF2的面積是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：∵(＋)·＝(＋)·2＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∴∠F1PF2＝90°.設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝4，m2＋n2＝1

20、2，∴2mn＝4，∴S△F1PF2＝mn＝1，故選D. 答案：D [類題通法] 破解平面向量與“解析幾何”相交匯問題的常用方法有兩種：一是“轉(zhuǎn)化法”，即把平面向量問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，利用平面向量的數(shù)量積、共線、垂直等的坐標表示進行轉(zhuǎn)化，再利用解析幾何的相關(guān)知識給予破解；二是“特值法”，若是選擇題，常可用取特殊值的方法來快速破解． [演練沖關(guān)] 5．(2017·廣州模擬)已知以F為焦點的拋物線y2＝4x上的兩點A，B滿足＝2，則弦AB的中點到拋物線準線的距離為________． 解析：設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵＝2，∴1－xA＝2(xB－1)，又xAxB＝1，∴xA＝2，xB＝，弦AB的中點到拋物線準線的距離為＋1＝＋1＝. 答案： - 10 -