2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題大題狂練 文

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1、 命題角度1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題 1.已知函數(shù)． （1）求函數(shù)圖象上所有點處的切線的傾斜角范圍； （2）若，討論的單調(diào)性． 【答案】（1）；（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減． 試題解析： （1）函數(shù)的定義域為，， 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，切線的傾斜角． （2）． ∴，令， ， 當(dāng)時，，方程兩實根為， ∴時，，∴，所以在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，方程兩實根為 ，且 所以在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增． 故當(dāng)時，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減． 考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式

2、． 【方法點晴】解答此類問題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯．解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉(zhuǎn)化：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2）將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理． 2.已知函數(shù)在處有極值10. （Ⅰ）求實數(shù)， 的值； （Ⅱ）設(shè)時，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性. 【答案】（Ⅰ）， ; （Ⅱ）見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ） ， 在處有極值10，所以且； （Ⅱ）求導(dǎo)得函數(shù)在R上的單調(diào)性，再討論函數(shù)定義域在哪個區(qū)間即可. 試題解析： （Ⅰ）定義域為，

3、 ， ∵在處有極值10. ∴且. 即 解得： 或 當(dāng)， 時， ， 當(dāng)， 時， ， ∴在處處有極值10時， ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其單調(diào)性和極值分布情況如表： 1 + 0 - 0 + 增 極大 減 極小 增 ①當(dāng)且，即時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減； ②當(dāng) ，即時， 在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增； 點睛：研究函數(shù)極值，首先研究導(dǎo)函數(shù)的零點，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負即可確定極值；導(dǎo)數(shù)為正時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)為負時單調(diào)遞減，若函數(shù)單調(diào)性確定，定義域不定時，只需討論定義域與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系即可. 3.已知函數(shù)． （Ⅰ）若，

4、求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性． 【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，即可得到所求切線方程；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的零點或，分別對兩個零點的大小關(guān)系作為分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性. 試題解析： 解：（Ⅰ）當(dāng)時， ，∴切線的斜率， 又， 在點處的切線方程為， 即． （Ⅱ）． 令，得或， ①當(dāng)時， 恒成立，∴在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時， ， 由，得或；由，得． ∴單調(diào)遞增區(qū)間為， ；單調(diào)減區(qū)間為． ③當(dāng)時， ， 由，得或；由，得． ∴單調(diào)增區(qū)間為，

5、 ，單調(diào)減區(qū)間為． 綜上所述：當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時， 單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時， 單調(diào)增區(qū)間為， ，單調(diào)減區(qū)間為． 4.設(shè)函數(shù)， 的圖象在點處的切線與直線平行. （1）求的值； （2）若函數(shù)（），且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析：(1) 根據(jù)切線的斜率，求出b的值即可; （2）求出的導(dǎo)數(shù)， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，等價于在上恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造求最值即可. 試題解析：(1)由題意知，曲線在點處的切線斜率為3，所以，又，即，所以. (2)由（1）知，所以，若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立， 即，

6、所以. 令， 則，由，得， ，得，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則， 無最大值，在上不恒成立，故在不可能是單調(diào)減函數(shù). 若在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在上恒成立，即，所以，由前面推理知， 的最小值為， ∴，故的取值范圍是. 點晴:本題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題. 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，等價于在上恒成立，通過變量分離可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，先構(gòu)造即可. 4.已知函數(shù). （Ⅰ）討論的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)，若對， ，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出的定義域為，求導(dǎo)數(shù)，若，若，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后推出函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）不妨設(shè)，而，由（

7、Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，從而， 等價于， ，令，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果. （Ⅱ）不妨設(shè)，而，由（Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，∴. 從而， 等價于， ①，令，則，因此，①等價于在上單調(diào)遞減，∴對恒成立，∴對恒成立，∴.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴，故的取值范圍為. 點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增， 得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合單調(diào)性求出或即得解. 5.已知函數(shù)（）．　 （Ⅰ）試判斷函數(shù)的零點個數(shù)； （Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求整數(shù)

8、的最大值. （可能要用的數(shù)據(jù)： ， ， ）. 【答案】（1）見解析（2）6 試題解析:解：（Ⅰ） 在上為增函數(shù)， 且，故在上為增函數(shù)， 又， ， 則函數(shù)在上有唯一零點. （Ⅱ）在上恒成立， 當(dāng)時顯然成立, 當(dāng)時，可得在上恒成立， 令，則， ， ， 由（Ⅰ）可知： 在上為增函數(shù)，故在上有唯一零點， 則在區(qū)間上為減函數(shù)， 在區(qū)間上為增函數(shù)， 故時， 有最小值， . 又， ， 則， 有， 所以， ， 令，則最小值 ， 因，則的最小值大約在之間， 故整數(shù)的最大值為6. 6.已知函數(shù)，（其中為在點處的導(dǎo)數(shù)， 為常數(shù)). （1）求的值； （2）求

9、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析: (1)對 求導(dǎo),令 ,即可求出 ;(2)將代入中,求導(dǎo)后,分別令 ,求出的范圍,得到單調(diào)增區(qū)間,減區(qū)間;(3)由已知有 恒成立,且 ,得出 ,令 ,由 ,求出 的范圍. 試題解析:（1） （3） ∵在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴ 恒成立. ∵ ∴ 設(shè)則 ， ∴， ∴ 答： 的取值范圍是. 點睛:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計算,

10、導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用,屬于中檔題.求函數(shù)在某區(qū)間為增函數(shù),一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于或等于零問題.第三問另解: 得出 恒成立, ,分離出常數(shù) ,即 ,當(dāng) 時, 有最大值為11.所以 . 8. 已知函數(shù)，其中均為實數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)． （I）求函數(shù)的極值； （II）設(shè)，若對任意的， 恒成立，求實數(shù)的最小值． 【答案】（1）當(dāng)時， 取得極大值，無極小值；（2）. 【解析】試題分析：（1）由題對 得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時， 取得極大值，無極小值； （2）由題當(dāng)時， ，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)， 由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)， 則等價于， 即，

11、 故又構(gòu)造函數(shù)， 可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立， 即在區(qū)間上恒成立， ∴，設(shè) 則， ∵， ∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)， ∴在區(qū)間上的最大值，∴， 試題解析：（1）由題得， ， 令，得．， 列表如下： 1 大于0 0 小于0 極大值 ∴當(dāng)時， 取得極大值，無極小值； （2）當(dāng)時， ， ∵在區(qū)間上恒成立， ∴在區(qū)間上為增函數(shù)， 設(shè)， ∵在區(qū)間上恒成立， ∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)， 則等價于， 即， 設(shè)， 則在區(qū)間上為減函數(shù)， ∴在區(qū)間上恒成立， ∴在區(qū)間上恒成立， ∴， 設(shè)， ∵， ∴，則在

12、區(qū)間上為減函數(shù)， ∴在區(qū)間上的最大值，∴， ∴實數(shù)的最小值為． 點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時的綜合應(yīng)用，屬難題.解題時要認真研究題意，進而構(gòu)造新函數(shù)賓研究其性質(zhì)以達到解決問題的目的 9. 已知函數(shù)， (為常數(shù))． （Ⅰ）求函數(shù)在點處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)函數(shù)在處取得極值,求函數(shù)的解析式； （Ⅲ)當(dāng)時，設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）g(x)= (x∈R) ;(3) ，). 【解析】試題分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點,運用點斜式方程即可得到切線方程; (2)求得的導(dǎo)數(shù),根據(jù)題意可得, ,解方程即可得到所求

13、解析式; (3)若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間依題存在使， 即存在使,運用參數(shù)分離,求得右邊的最小值,即可得到所求范圍. 試題解析：（Ⅰ）由 ()，可得 ()，∴f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是，即，所求切線方程為； （Ⅱ）∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2處取得極值-2． ∴，可得解得，．所求g(x)= (x∈R) ． (3)∵， ()． 依題存在使，∴即存在使， ∵不等式等價于 (min) 由基本不等式知，，) ∵存在，不等式(*)成立，∴．所求，) 10.已知函數(shù)，其中． （1）若曲線與曲線在點處有相同的切線，試討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若，函

14、數(shù)在上為增函數(shù)，求證：． 【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. 【解析】試題分析：(1)根據(jù)求得 ，再求 ，導(dǎo)數(shù)的兩個零點分別是和 ，分 三種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，將問題轉(zhuǎn)化為 ，當(dāng) ，即 ，當(dāng)時，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，求所設(shè)函數(shù)的最值，即可求得結(jié)果. ③當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，； 在上遞增，在上遞減； （2）由題意可得對恒成立， ∵，∴，即對恒成立， ∴，即對恒成立， 設(shè)，， 則， ∴在上遞增， ∴，∴． 又，∴． 【點睛】討論函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)這道題比較常見的類型，一般求導(dǎo)后，判斷函數(shù)的類型，有沒有恒成立的類型，求函數(shù)的極值點，討論函數(shù)的極值點和定義域的關(guān)系，得到不同情況下的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)數(shù)的第二問，對于恒成立的類型也比較常見，可通過參變分離后，將問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解. - 15 -