5、橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________．
解析 設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
故即代入橢圓方程可得＋b2＝1，得b2＝，故橢圓方程為x2＋＝1.
答案 x2＋＝1
7．(20xx·四川，15)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝m與橢圓相交于點(diǎn)A，B.當(dāng)△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積是________．
解析 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，則|AF|＝2a－|AF1|＝4－|AF1|，
∴△AFB的周長為
2|AF|＋2
6、|AH|＝2(4－|AF1|＋|AH|)．
∵△AF1H為直角三角形，
∴|AF1|>|AH|，僅當(dāng)F1與H重合時(shí)，|AF1|＝|AH|，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，△AFB的周長最大，
此時(shí)S△FAB＝×2×|AB|＝3.
答案 3
8．(20xx·重慶，21)如圖，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e.
解 (1)由橢圓的定義，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
設(shè)橢圓的半焦距
7、為c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，即c＝，從而b＝＝1.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)法一 如圖，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，且PF1⊥PF2，則
＋＝1，x＋y＝c2，
求得x0＝±，
y0＝±.
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，從而
|PF1|2＝＋.
＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.
由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，從而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝
8、|PF1|，
因此，(2＋)|PF1|＝4a，
即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，解得
e＝＝－.
法二 如圖，由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.從而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，得|PF1|＝2(2－)a，從而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝
9、＝
＝＝－.
9．(20xx·福建，18)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0，
)，且離心率e＝.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)直線l：x＝my－1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
解 法一 (1)由已知得，
解得所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為H(x0，y0)．
得(m2＋2)y2－2my－3＝0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
從而y0＝.
所以|GH|2＝＋y
＝＋y
＝(m2＋1)y＋my0＋.
＝
＝
＝
＝(1＋m2)(y
10、－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋
＝－＋
＝＞0，
所以|GH|＞.
故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．
法二 (1)同法一．
(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝，
＝.
由得
(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
從而·＝＋y1y2
＝＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋
＝＋＋
＝＞0，
所以cos〈，〉＞0.
又，不共線，所以∠AGB為銳角．
故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．
考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì)
1．(20xx·浙江，9)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝
11、1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
解析 橢圓C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
又因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2為矩形，
所以∠F1AF2＝90°.
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.
所以在雙曲線C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，
故e＝＝＝，故選D.
答案 D
2．(20xx·新課標(biāo)全國，4)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x
12、＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為( )
A. B. C. D.
解析 設(shè)直線x＝與x軸交于點(diǎn)M，
則∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，
F2M＝－c，
故cos 60°＝＝＝，
解得＝，故離心率e＝.
答案 C
3．(20xx·江西，15)過點(diǎn)M(1，1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于________．
解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程相減得＋＝0，根據(jù)題意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y
13、2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.
答案
4．(20xx·福建，14)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
解析 由直線y＝(x＋c)知其傾斜角為60°，
由題意知∠MF1F2＝60°，
則∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.
故|MF1|＝c，|MF2|＝c.
又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a，
即e＝＝－1.
答案?。?
14、
5．(20xx·遼寧，15)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________.
解析 如圖所示．
根據(jù)余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，
得|BF|＝8.
又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.
根據(jù)橢圓的對稱性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.
又|OF|＝c＝5，故離心率e＝.
答案
6．(20
15、xx·新課標(biāo)全國，14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________．
解析 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
因?yàn)锳B過F1且A、B在橢圓上，
則△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.
又離心率e＝＝，
∴c＝2，∴b＝2，
∴橢圓的方程為＋＝1.
答案?。?
7．(20xx·陜西，20)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c，0)，(0
16、，b)的直線的距離為c.
(1)求橢圓E的離心率；
(2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．
解 (1)過點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，
則原點(diǎn)O到該直線的距離d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率＝.
(2)法一 由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.①
依題意，圓心M(－2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|＝，
易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，
設(shè)A(x1，y1
17、)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，
從而x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
由|AB|＝，得＝，
解得b2＝3，
故橢圓E的方程為＋＝1.
法二 由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2，②
依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(－2，1)對稱，且|AB|＝，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，
易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2，
所以AB的斜率kA
18、B＝＝，
因此直線AB的方程為y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，
故橢圓E的方程為＋＝1.
8．(20xx·北京，19)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解 (1)由題意得解得a2＝2，
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
設(shè)M(xM，0)．
因?yàn)閙≠0，所以－1＜n＜1.
直線PA的方程為y－1＝x.
所以xM＝，即M.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，
所以B(m，－n)．
設(shè)N(xN，0)，則xN＝.
“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得＝”，即yQ滿足y＝|xM||xN|.
因?yàn)閤M＝，xN＝，＋n2＝1.
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y軸上存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，)或
(0，－)．
五年高考真題高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第九章 第三節(jié) 橢圓及其性質(zhì) 理全國通用
