【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第7篇 第4講 垂直關系

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1、 第4講　垂直關系 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．設平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的 (　　)． A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件　 D．既不充分也不必要條件 解析　若α⊥β，因為α∩β＝m，bβ，b⊥m，所以根據(jù)兩個平面垂直的性質定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反過來，當a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.故選A. 答案　A 2．(20xx·臨川一中模擬)設α，β為不重合的平面，m，n為不重

2、合的直線，則下列命題正確的是 (　　)． A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α B．若mα，nβ，m⊥n，則n⊥α C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α D．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β 解析　與α，β兩垂直平面的交線垂直的直線m，可與α平行或相交，故A錯；對B，存在n∥α情況，故B錯；對D；存在α∥β情況，故D錯；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正確． 答案　C 3．(20xx·浙江溫嶺中學模擬)設a是空間中的一條直線，α是空間中的一個平面，則下列說法正確的是 (　　)． A．過a一定存在平面β，使得β∥α B．過a一定存在平面

3、β，使得β⊥α C．在平面α內(nèi)一定不存在直線b，使得a⊥b D．在平面α內(nèi)一定不存在直線b，使得a∥b 解析　當a與α相交時，不存在過a的平面β，使得β∥α，故A錯誤；當a與α平行時，在平面α內(nèi)存在直線b，使得a∥b，故D錯誤；平面α內(nèi)的直線b只要垂直于直線a在平面α內(nèi)的投影，則就必然垂直于直線a，故C錯誤；直線a與其在平面α內(nèi)的投影所確定的平面β滿足β⊥α，故選B. 答案　B 4.(20xx·白鷺洲中學模擬)如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列正確的是 (　　)． A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面A

4、BC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析　因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C. 答案　C 5．(20xx·西安中學)已知平面α，β，γ和直線l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，給出下列四個結論： ①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β. 其中正確的是 (　　)． A．①④　 B．②④　 C．②③　 D．③④ 解析　如圖，由題意，β

5、∩γ＝l，∴l(xiāng)γ，由α⊥γ，α∩γ＝m，且l⊥m，∴l(xiāng)⊥α，即②正確；由β∩γ＝l，∴l(xiāng)β，由l⊥α，得α⊥β，即④正確；而①③條件不充分，不能判斷． 答案　B 二、填空題 6.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可)． 解析　∵PC在底面ABCD上的射影為AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC) 7．設α，β是

6、空間兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題：________(用代號表示)． 解析　逐一判斷．若①②③成立，則m與α的位置關系不確定，故①②③?④錯誤；同理①②④?③也錯誤；①③④?②與②③④?①均正確． 答案　①③④?②(或②③④?①) 8.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的正投影，給出下列結論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結論的序號是________．

7、 解析　由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A， ∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確． 答案　①②③ 三、解答題 9．(20xx·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點．求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)

8、因為平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD. (2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD. 又因為BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.又E， F分別是CD和CP的中點，所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD平面PCD，由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF

9、∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD. 10．(20xx·商洛模擬) 如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點． (1)求證：B1D1∥平面A1BD； (2)求證：MD⊥AC； (3)試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. (1)證明　由直四棱柱，得BB1∥DD1， 又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD. 而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD， ∴B1D1∥平面A1BD. (2)證明　∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴BB1⊥

10、AC. 又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D. 而MD平面BB1D，∴MD⊥AC. (3)解　當點M為棱BB1的中點時， 平面DMC1⊥平面CC1D1D. 取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如圖所示． ∵N是DC的中點，BD＝BC， ∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線， 而平面ABCD⊥平面DCC1D1， ∴BN⊥平面DCC1D1.又可證得O是NN1的中點， ∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四邊形． ∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D. ∵OM平面DMC1，∴平面DM

11、C1⊥平面CC1D1D. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在 (　　)． A．直線AB上　　 B．直線BC上 C．直線AC上　　 D．△ABC內(nèi)部 解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，則AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上． 答案　A 2．(20xx·衡水中學模擬) 如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H.則以下命題中，錯誤的命題是 (　　)． A．點H

12、是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH延長線經(jīng)過點C1 D．直線AH和BB1所成角為45° 解析　對于A，由于AA1＝AB＝AD，所以點A在平面A1BD上的射影必到點A1、B、D的距離相等，即點H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故點H是△A1BD的垂心，命題A是真命題；對于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，從而AH⊥平面CB1D1，命題B是真命題；對于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延長線經(jīng)過點C1，命題C是真命題；對于D，由C知直線AH即是直線AC1，又直線AA1∥BB1，因此直線AC

13、1和BB1所成的角就等于直線AA1與AC1所成的角，即 ∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝＝，因此命題D是假命題． 答案　D 二、填空題 3．(20xx·河南師大附中二模)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)． 解析　由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；

14、又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；由正六邊形的性質得BC∥AD，又AD平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確． 答案　①④ 三、解答題 4．(20xx·北京西城一模) 在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB. (1)求證：AC⊥平面FBC； (2)求四面體F－BCD的體積； (3)線段AC上是否存在點M，使EA∥平面FDM？證明你的結論． (1)證明　在△ABC中，因為AC

15、＝，AB＝2，BC＝1，則AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，又因為AC⊥FB，且FB∩BC＝B，所以AC⊥平面FBC. (2)解　因為AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC. 因為CD⊥FC，且CD∩AC＝C， 所以FC⊥平面ABCD. 則FC為四面體F－BCD的高， 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1， 所以△BCD的面積為S＝. 所以四面體F－BCD的體積為VF－BCD＝S·FC＝. (3)解　線段AC上存在點M，且M為AC中點時， 有EA∥平面FDM，證明如下： 連接CE，與DF交于點N，連接MN，因為四邊形CDEF為正方形，所以N為CE中點，所以EA∥MN.因為MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA∥平面FDM，所以線段AC上存在點M，使得EA∥平面FDM.