工程電磁場：第二章恒定電場

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1、第第 二二 章章恒定電場恒定電場第二章 恒定電場Steady Electric Field序?qū)щ娒劫|(zhì)中的電流基本方程 分界面銜接條件 邊值問題導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬電導(dǎo)和接地電阻下 頁電源電動勢與局外場強(qiáng)返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場 通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)中同時存在著電流場和恒定電場。恒定電場是動態(tài)平衡下的電荷產(chǎn)生的，它與靜電場有相似之處。Introduction2.0 序 本章要求: 熟練掌握靜電比擬法和電導(dǎo)的計(jì)算。 理解各種電流密度的概念，通過歐姆定律和焦耳定律深刻理解場量之間的關(guān)系。 掌握導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場基本方程和分界面銜接條件。 下 頁上 頁返 回第第 二二 章

2、章恒定電場恒定電場基本方程E 的旋度邊值問題邊界條件電 位一般解法電導(dǎo)與接地電阻特殊解(靜電比擬)恒定電場知識結(jié)構(gòu)基本物理量 J、 E歐姆定律J 的散度下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.1.1 電流 (Current)定義：單位時間內(nèi)通過某一橫截面的電量。2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流Current in Conductive Media三種電流：tqIddA傳導(dǎo)電流電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中的定向運(yùn)動。位移電流隨時間變化的電場產(chǎn)生的假想電流。運(yùn)動電流帶電粒子在真空中的定向運(yùn)動。下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場 1. 電流面密度 JSISJ d電流體電荷 以速度 v 作勻

3、速運(yùn)動形成的電流。vJ2mA電流密度2.1.2 電流密度（Current Density)下 頁上 頁返 回圖2.1.1 電流面密度矢量圖2.1.2 電流的計(jì)算第第 二二 章章恒定電場恒定電場2. 電流線密度 KmA vKlIld )(neK電流en 是垂直于 dl，且通過 dl 與曲面相切的單位矢量。面電荷 在曲面上以速度 v 運(yùn)動形成的電流。圖2.1.3 電流線密度及其通量下 頁上 頁電流線密度返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場3. 元電流的概念元電流是元電荷以速度 v 運(yùn)動形成的電流qdl lK Jd(dd(dd)( dISSVV線電流元）面電流元）體電流元工程應(yīng)用媒質(zhì)磁化后的表面磁

4、化電流；同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線密度分布；高頻時，因集膚效應(yīng)，電流趨于導(dǎo)體表面分布。下 頁上 頁圖2.1.4 媒質(zhì)的磁化電流返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.1.3 歐姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohms Law) J 與 E 共存，且方向一致。簡單證明：歐姆定律 微分形式。EJ在線性媒質(zhì)中對 兩邊取面積分EJ左邊ISSJ d 右邊SSE d 歐姆定律 積分形式。RIU 所以RIU 下 頁上 頁圖2.1.5 J 與 E 之關(guān)系返 回GUUlSSlUSd第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.1.4 焦?fàn)柖傻奈⒎中问?(Differential Form

5、 of Joules Law)導(dǎo)體有電流時，必伴隨功率損耗，其功率體密度為EJp W/m3RIUIVPV2dEJ W焦耳定律微分形式焦耳定律積分形式下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場 提供非靜電力將其它形式的能轉(zhuǎn)為電能的裝置稱為電源。2.2.1 電源 (Source)2.2 電源電動勢與局外場強(qiáng)Source EMF and 0ther Field Intensity電源電動勢是電源本身的特征量，與外電路無關(guān)。qfEee局外場強(qiáng)ef局外力2.2.2 電源電動勢 (Source EMF)下 頁上 頁返 回圖2.2.1 恒定電流的形成第第 二二 章章恒定電場恒定電場因此，對閉合環(huán)路積

6、分lEEd)(lec局外場 Ee 是非保守場。)(ecEEJ圖2.2.2 電源電動勢與局外場強(qiáng)lEdlee電源電動勢總場強(qiáng)ecEEE dlElee 0 llelElEcdd 下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.3.1 基本方程 (Basic Equations)2.3 基本方程分界面銜接條件 邊值問題Basic Equations Boundary Conditions Boundary Value Problem在恒定電場中0t恒定電場是一個無源場，電流線是連續(xù)的。故0 JtqSSJd電荷守恒原理1. J 的散度亦稱電流連續(xù)性方程0 dSJS散度定理0dVJV下 頁上 頁返

7、 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場結(jié)論： 恒定電場是無源無旋場。2. E的旋度 所取積分路徑不經(jīng)過電源，則 3. 恒定電場（電源外）的基本方程0d SSJ0d llEEJ0 J0 E恒定電場是無旋場。得0E積分形式微分形式構(gòu)成方程0 d llE斯托克斯定理0 d)(SES下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.3.2 分界面的銜接條件（Boundary Conditions) 說明 分界面上 E 切向分量連續(xù)，J 的法向分量連續(xù)。 折射定律2121tantan圖2.3.1 電流線的折射0d llE 0d SSJ由得2t1tEE2n1nJJ下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電

8、場恒定電場 00022n2nJE0n1E例2.3.1 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的銜接條件。 0022J，解: 在理想介質(zhì)中空氣中2n21nn2EDD導(dǎo)體中不同導(dǎo)體分界面 ？ 提問：0表明 1 分界面導(dǎo)體側(cè)的電流一定與導(dǎo)體表面平行。 表明 2 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有面電荷。0 1n2nJJ故下 頁上 頁返 回圖2.3.2 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面第第 二二 章章恒定電場恒定電場0/11t2t1tJEE 若 （理想導(dǎo)體），導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，電流分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體不損耗能量。1yxEEeeE2n2t2導(dǎo)體周圍介質(zhì)中的電場：表明 3 電場切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表面非等位面。下 頁上 頁返

9、回圖2.3.3 載流導(dǎo)體表面的電場第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.3.3 邊值問題（Boundary Value Problem)分界面銜接條件拉普拉斯方程02得0 E由基本方程出發(fā)由得0 J2t1tEE 2n1nJJ21nn2211常數(shù)恒定電場中是否存在泊松方程？思考下 頁上 頁返 回 E )( E E0 第第 二二 章章恒定電場恒定電場 例2.3.2 試用邊值問題求解電弧片中電位、電場及導(dǎo)體分界面上的面電荷分布。01212212( 區(qū)域）1 解: 選用圓柱坐標(biāo)系，邊值問題為：0 02( 區(qū)域）201222222221121 ，時4021U下 頁上 頁圖2.3.4 不同媒質(zhì)弧形導(dǎo)電片返

10、回第第 二二 章章恒定電場恒定電場電位 2102121021)()(4UUeEeE)(4 )(42101221021UU電場強(qiáng)度電荷面密度)-()(4212100201012UEEDDnn通解DCBA21 , )(421012U下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.4 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬2.4.1 比擬方法 (Contrast Method)Contrast of Steady Electric Field and Electrostatics 0 DEDSqSD d02)(0靜電場0E恒定電場（電源外）EJSISJ d0 J0E02恒定電場JIE靜電場EDq 兩

11、種場各物理量滿足相同的定解問題，則解也相同。那么，通過對一個場的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對應(yīng)量關(guān)系便可得到另一個場的解。下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場兩種場可以比擬的條件1. 鏡像法的比擬)2 , (2122121 2.4.2 比擬方法的應(yīng)用（Contrast Method Application)圖2.4.1 靜電場與恒定電流場的鏡像法比擬靜電場微分方程相同；場域幾何形狀及邊界條件相同；媒質(zhì)分界面滿足2121恒定電場)2 , (2122121IIII 下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2. 恒定電場模擬靜電場實(shí)驗(yàn)固體模擬 （如導(dǎo)電紙模擬） 實(shí)驗(yàn)方法：液體模擬

12、（如電解槽模擬）圖2.4.2 靜電場平行板造型 恒定電流場的電極表面近似為等位面圖示恒定電流場對應(yīng)什么樣的靜電場？比擬條件是什么？思考( 條件 )媒質(zhì)電極下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2.5.1 電導(dǎo) (Conductance)1. 通過電流場計(jì)算電導(dǎo)2.5 電導(dǎo)與接地電阻或設(shè)IUConductance and Ground Resistor思路J J/E lUlE dUIG/E EJSISJ d UIG/設(shè)下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場當(dāng)滿足比擬條件時，用比擬法由電容計(jì)算電導(dǎo)。UIUQGC 多導(dǎo)體電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)可與靜電系統(tǒng)的部分電容比擬。（自學(xué)）

13、2. 比擬法CG即下 頁上 頁lSlSlESJlESDddddSSSESEdd返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場例2.5.1 求圖示同軸電纜的絕緣電阻。解 設(shè)I電導(dǎo)12ln2lUIG用靜電比擬法求解由靜電場,ln212lC 根據(jù)GC關(guān)系式，得12ln211lGR絕緣電阻U下 頁上 頁圖2.5.1 同軸電纜橫截面返 回lIJ2lIE2ldlE212dlI12ln2lI第第 二二 章章恒定電場恒定電場01222200 ,0U通解 ，代入邊界條件，得21CC )(0U電位函數(shù)解 取圓柱坐標(biāo)系 ，邊值問題)(下 頁上 頁eeE0U電場強(qiáng)度圖2.5.2 弧形導(dǎo)電片返 回例2.5.2 已知導(dǎo)電片厚度為

14、 h，當(dāng) ; 0 0時，試求電導(dǎo)片的電導(dǎo)。0, U時第第 二二 章章恒定電場恒定電場電流)(d)(d0eeSJhUISba電導(dǎo))mS(ln0abhUIG電流密度eUEJ0下 頁上 頁abhUln0返 回eeE0U電場強(qiáng)度第第 二二 章章恒定電場恒定電場圖2.5.3 深埋球形接地器1. 深埋球形接地器2.5.2 接地電阻 (Ground Resistor)解法一 通過電流場計(jì)算電阻解法二 比擬法24 rIJI24rIEaIrrIUa4d42aR41GC,4aC,4aG接地電阻越大越好嗎？如何改變R?思考下 頁上 頁aIUR41 由接地器電阻、接地器與土壤之間的接觸電阻、土壤電阻構(gòu)成。接地電阻：返

15、 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場2. 直立管形接地器解: 考慮地面的影響，可用鏡像法。實(shí)際電導(dǎo),212GUIG即dllR4ln21dllC4ln4在靜電場中 )2(4ln4dldllG比擬法,GC下 頁上 頁圖2.5.4 直立管形接地器返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場3. 非深埋的球形接地器解 用鏡像法)2(44hIaI)211(41haIR接地器接地電阻 aR2122 rIJ 解4. 淺埋半球形接地器a2Iuad lE設(shè) I下 頁上 頁圖2.5.5 非深埋的球形接地器返 回22rIE 圖2.5.6 淺埋半球形 接地器I第第 二二 章章恒定電場恒定電場002UIbx為危險區(qū)半徑2.5

16、.3 跨步電壓 (Step Voltage)bxxrrIUd22以淺埋半球接地器為例,22rIJ 人體的安全電壓U040V圖2.5.7 半球形接地器的危險區(qū)上 頁返 回)(2bxxbI22 rIJE第第 二二 章章恒定電場恒定電場同軸電纜返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場屏蔽室接地電阻（深度 20 m）下 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場高壓大廳網(wǎng)狀接地電阻（深度1米）上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場1. 干電池和鈕扣電池（化學(xué)電源）電 源 干電池電動勢1.5V，僅取決于（糊狀）化學(xué)材料，其大小決定儲存的能量，化學(xué)反應(yīng)不可逆。 鈕扣電池電動勢1.35V，用固體化學(xué)材料，

17、化學(xué)反應(yīng)不可逆。干電池鈕扣電池下 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場氫氧燃料電池示意圖2. 燃料電池（化學(xué)電源） 電池電動勢1.23V。以氫、氧作為燃料。約40%45%的化學(xué)能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔堋?實(shí)驗(yàn)階段加燃料可繼續(xù)工作。只要不斷供給燃料，就可以不斷輸出電能，化學(xué)反應(yīng)結(jié)果生成水，以水蒸汽的形式排走。 燃料電池屬環(huán)保產(chǎn)品，排出的水可以用作飲料或淋浴用。下 頁上 頁返 回第第 二二 章章恒定電場恒定電場3. 太陽能電池（光能電源） 一塊太陽能電池電動勢0.6V。太陽光照射到PN結(jié)上，會形成一個從N區(qū)流向P區(qū)的電流。約 11%的光能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔?，故常用太陽能電池板。 一個50cm2太陽能電池的電動勢為0.6V，電流為0.1A。下 頁上 頁返 回太陽能電池示意圖第第 二二 章章恒定電場恒定電場蓄電池示意圖4. 蓄電池（化學(xué)電源） 電池電動勢2V。使用時，電池放電，當(dāng)電解液濃度小于一定值時，電動勢低于2V，常要充電，化學(xué)反應(yīng)可逆。 蓄電池進(jìn)行化學(xué)反應(yīng)對外電路放電，當(dāng)硫酸濃度降到一定值時，電動勢小于 2 V ，要對蓄電池充電（還原反應(yīng)）。上 頁返 回