高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.6 垂直關(guān)系 1.6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì)課件 北師大版必修2

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1、6 6.2 2垂直關(guān)系的性質(zhì)1.理解并掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.會(huì)用兩個(gè)性質(zhì)定理解決相關(guān)問題.3.理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系.1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理 名師點(diǎn)撥名師點(diǎn)撥1.利用線面垂直的性質(zhì)來證明線線平行時(shí),其關(guān)鍵是找出一個(gè)平面,使所證直線都與該平面垂直.2.線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的性質(zhì)定理、平行于同一直線的兩條直線平行都是證明線線平行的依據(jù).證明線面平行、面面平行,歸結(jié)到最后還是證明線線平行.3.垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行.2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理 名師點(diǎn)撥名師點(diǎn)撥1.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)必須注意到兩個(gè)條件:(1)線在平面內(nèi);(

2、2)線垂直于兩平面的交線,因此找準(zhǔn)兩平面的交線是關(guān)鍵.2.已知面面垂直的條件,其性質(zhì)定理就給出了作輔助線的一種方法,設(shè)法找出(作出)一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于它們的交線,就可得到線面垂直的結(jié)論.【做一做】 如圖所示,已知平面平面,=b,直線a,且a.求證:a.證明:如圖所示,在平面內(nèi)作直線c,使cb.因?yàn)?=b,所以c.又a,因此,ac.又a,c,所以a.題型一題型二題型三題型四【例1】 已知直線m,n,平面,下列說法正確的是 ()A.m,n,mn,則B.,m,n,則mnC.,m,n,則mnD.,=m,mn,則n題型一題型二題型三題型四解析:如圖所示,在正方體ABCD- A1B1C1D1中,直

3、線C1C平面ABCD,直線D1C1平面A1B1C1D1,直線C1C直線D1C1,但是平面ABCD與平面A1B1C1D1平行,排除A選項(xiàng);平面ABCD平面D1DCC1,直線C1C平面ABCD,B1B平面D1DCC1,但是B1BC1C,排除B選項(xiàng);平面ABCD平面A1ABB1,平面ABCD平面A1ABB1=AB,ABBC1,但是BC1不垂直于平面A1ABB1,排除D選項(xiàng).答案:C反思反思本題是符號(hào)語言表述的位置關(guān)系的判斷題,以選擇題的形式出現(xiàn),通常借助幾何模型,利用排除法,排除錯(cuò)誤的選項(xiàng).題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】 已知平面平面,m是內(nèi)一條直線,n是內(nèi)一條直線,且mn,那么:m;n;m

4、或n;m且n.這四個(gè)結(jié)論中,不正確的三個(gè)是()A.B.C.D.解析:本題主要考查面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定,解決問題的關(guān)鍵是正確理解定理的條件及結(jié)論.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,令平面ABCD和平面CDD1C1分別為和,若m為AB,n為CC1,則mn,但m,故錯(cuò)誤;同理錯(cuò)誤.故選B.答案:B題型一題型二題型三題型四【例2】 如圖所示,在正方體ABCD- A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且EFA1D,EFAC.求證:EFBD1.分析:題目條件中給出了線線垂直,通過轉(zhuǎn)化可證得線面垂直,要證EFBD1,只需證明EF與BD1同垂直于某一平面即可,由條件可知這里選擇平面A

5、B1C.題型一題型二題型三題型四證明:連接AB1,B1C,BD,B1D1,如圖所示.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,又ACB1C=C, BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,且AC B1C=C,EF平面AB1C.EFBD1.反思反思當(dāng)題中垂直條件很多,但又需證明兩條直線平行時(shí),就要考慮用直線與平面垂直的性質(zhì)定理,從而完成由垂直向平行的轉(zhuǎn)化.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 (1)本例中的“正方體ABCD-A1B1C1D1”換為“長(zhǎng)方體ABCD-A1B

6、1C1D1”,結(jié)論“EFBD1”還成立嗎?(2)本例中去掉點(diǎn)E,點(diǎn)F,線段A1D,若AC與BD的交點(diǎn)為O,DD1的中點(diǎn)為G,證明:GO平面ACB1.題型一題型二題型三題型四(1)解:不一定成立.如例題解析在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BD與AC不一定垂直,故BD1與平面AB1C不一定垂直,所以EFBD1不一定成立.(2)證明:如圖所示,連接BC1,B1D1,則B1CBC1.又D1C1B1C,D1C1BC1=C1,B1C平面BC1D1.BD1平面BC1D1,B1CBD1.由例題知AC平面BB1D1D,且BD1平面BB1D1D,ACBD1.又ACB1C=C,BD1平面ACB1.由點(diǎn)G,O分

7、別為DD1,DB的中點(diǎn),知GOBD1,GO平面ACB1.題型一題型二題型三題型四【例3】 如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),四邊形ABCD是DAB=60的菱形,G為AD邊的中點(diǎn),側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.求證:(1)BG平面PAD;(2)ADPB.分析:由題干可獲取以下主要信息:四邊形ABCD是DAB=60的菱形;平面PAD平面ABCD.解答本題可先由面垂直于面得線垂直于面,再進(jìn)一步得出線垂直于線.題型一題型二題型三題型四證明:(1)如圖所示,連接PG,BD.PAD為正三角形,G是AD的中點(diǎn),PGAD.又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD

8、,PG平面ABCD.BG平面ABCD,PGBG.又四邊形ABCD是菱形,且DAB=60,ABD是正三角形,BGAD.又AD平面PAD,PG平面PAD,且ADPG=G,BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD,PGAD.又BG平面PBG,PG平面PBG,且BGPG=G,AD平面PBG.PB平面PBG,ADPB.題型一題型二題型三題型四反思反思證明線面垂直,一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理,本題已知面面垂直,故考慮利用面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí),要注意以下三點(diǎn):(1)兩個(gè)平面垂直;(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi);(3)直線必

9、須垂直于它們的交線.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四證明:如圖所示,取CD的中點(diǎn)E,連接PE,EM,EA.PCD為正三角形,PECD,PE=又平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD.又AM平面ABCD,PEAM.四邊形ABCD為矩形,ADE,ECM,ABM均為直角三角形,EM2+AM2=AE2,即AMEM.又PEEM=E,AM平面PME.AMPM.題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)點(diǎn):應(yīng)用定理時(shí)因忽視條件而致誤【例4】 如圖所示,已知S為ABC所在平面外一點(diǎn),SA平面ABC,平面SAB平面SBC.求證:BCAB.錯(cuò)解:SA平面ABC,且平面SAB平面SBC,BCSB,BC平面SAB

10、.又AB平面SAB,BCAB.錯(cuò)因分析:錯(cuò)因是沒有理解面面垂直的定理,誤認(rèn)為若兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直于另一個(gè)平面,顯然不正確.知道面面垂直,要證線線垂直,可將證線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,由已知面面垂直,則可在一個(gè)面內(nèi)作兩個(gè)平面的交線的垂線,由面面垂直的性質(zhì)定理可知該直線垂直于另一個(gè)平面.題型一題型二題型三題型四正解:如圖所示,過點(diǎn)A作AESB,垂足為E,平面SAB平面SBC,且平面SAB平面SBC=SB,AE平面SBC.BCAE,由已知SA平面ABC,得SABC,BC平面SAB,BCAB.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練4】 如圖所示,在三棱錐P-ABC中,平面PAB平面A

11、BC,PBBC.求證:BCPA.題型一題型二題型三題型四證明:如圖所示,作POAB,垂足為O.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以PO平面ABC,所以POBC.因?yàn)镻BBC,POPB=P,所以BC平面PAB.因?yàn)镻A平面PAB,所以BCPA.1 2 3 4 51.已知直線a,b,平面,且a,下列條件中,能推出ab的是()A.b B.bC.b D.b與相交解析:由線面垂直的性質(zhì)定理可知,當(dāng)b,a時(shí),ab.答案:C1 2 3 4 52.給出下列命題:平行于同一平面的兩直線平行;垂直于同一平面的兩直線平行;平行于同一直線的兩平面平行;垂直于同一直線的兩平面平行.其中正確的有()

12、A.B.C.D.1 2 3 4 5解析:如圖所示,A1B1平面ABCD,A1D1平面ABCD,而A1B1與A1D1相交,故錯(cuò)誤;C1C平面A1ABB1,C1C平面A1ADD1,而平面A1ABB1平面A1ADD1=A1A,故錯(cuò)誤;正確.故選A.答案:A1 2 3 4 53.已知m,n是直線,是平面,給出下列命題:若,=m,nm,則n或n;若,=m,=n,則mn;若m不垂直于,則m不可能垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線;若=m,mn,且n,n,則n且n.其中正確命題的序號(hào)是.1 2 3 4 5解析:如圖所示,命題顯然錯(cuò)誤.,與無公共點(diǎn).交線m與交線n也無公共點(diǎn).又m,n,mn.命題正確.雖然直線m不垂直于,但

13、m有可能垂直于平面內(nèi)的一條直線,于是內(nèi)所有平行于這條直線的無數(shù)平行直線都垂直于m.命題錯(cuò)誤.由直線與平面平行的判定定理可知:=m,m,m.又mn,n,n,必有n,n.命題正確.故應(yīng)填.答案:1 2 3 4 54.已知平面平面,=l,點(diǎn)Pl,給出下面四個(gè)結(jié)論,正確的有(只填序號(hào)).過點(diǎn)P與l垂直的直線在內(nèi);過點(diǎn)P與垂直的直線在內(nèi);過點(diǎn)P與l垂直的直線必與垂直;過點(diǎn)P與垂直的平面必與l垂直.解析:畫出示意圖,如圖所示,顯然,MPl,但MP不在平面內(nèi),故不正確;是面面垂直性質(zhì)定理的推論,故正確;l可能在平面內(nèi),故不正確;平面是過P且與垂直的平面,但l,而不是l,故不正確.答案:1 2 3 4 55.如圖所示,平面平面,=AB,CD,且CDAB,CE,EF,FEC=90.求證:平面EFD平面DCE.證明:,CD,CDAB,=AB,CD.EF,CDEF.又FEC=90,EFEC.ECCD=C,EF平面DCE.又EF平面EFD,平面EFD平面DCE.