【2022高考必備】2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三角大題（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三角大題 （精解精析） 1．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． (1)求A； (2)若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值． 【答案】（1）；（2）． 解析：（1）由正弦定理可得：， ， ， （2）由余弦定理得：， 即． （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， ， 解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， 周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為． 【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長(zhǎng)最大值的求解問題；求解周長(zhǎng)最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本

2、不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值． 2．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． (1)求； (2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍． 【答案】(1);(2)． 【官方解析】 (1)由題設(shè)及正弦定理得， 因?yàn)椋裕? 由，可得，故． 因?yàn)椋?，因此? (2)由題設(shè)及(1)知的面積． 由正弦定理得． 由于為銳角三角形，故，．由(1)知， 所以，故，從而． 因此面積的取值范圍是． 【點(diǎn)評(píng)】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題． 3

3、．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．設(shè)． (1)求； (2)若，求． 【答案】解析：（1）由已知得，故由正弦定理得． 由余弦定理得．因?yàn)?，所以? （2）由（1）知，由題設(shè)及正弦定理得， 即，可得． 由于，所以，故 ． 4．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四邊形中，，， ,． (1)求; (2)若,求． 【答案】解析：（1）在中，由正弦定理得． 由題設(shè)知，，所以． 由題設(shè)知，，所以． （2）由題設(shè)及（1）知，． 在中，由余弦定理得 ． 所以． 5．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)的內(nèi)角的對(duì)邊分

4、別為,已知的面積為． (1)求; (2)若,,求的周長(zhǎng)． 【答案】(1);(2)的周長(zhǎng)為． 【分析】(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和,計(jì)算出,從而求出角,根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值,從而可求出的周長(zhǎng)． 【解析】(1)由題設(shè)得,即． 由正弦定理得． 故． (2)由題設(shè)及(1)得,即． 所以,故． 由題設(shè)得,即． 由余弦定理得,即,得． 故的周長(zhǎng)為． 【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其變換． 【點(diǎn)評(píng)】在處理解三角形問題時(shí),要注意抓住題目所給的條件,當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將

5、所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角,求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角,再有另外一個(gè)條件,求面積或周長(zhǎng)的值”,這類問題通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可． 6．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知，，． (1)求； (2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積． 【答案】(1) ;(2) 【解析】(1)由可得,因?yàn)?故． 由余弦定理可知:即

6、 整理可得,解得(舍去)或． (2)法一:設(shè),則在中,由勾股定理可得 在中,有 由余弦定理可得 即即 所以,解得 所以． 法二:依題意易知 又因?yàn)? 所以 所以． 法三:∵, 由余弦定理． ∵,即為直角三角形, 則,得． 由勾股定理． 又,則, ． 【考點(diǎn)】 余弦定理解三角形;三角形的面積公式 【點(diǎn)評(píng)】在解決三角形問題中,面積公式最常用,因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來．正、余弦定理在應(yīng)用時(shí),應(yīng)注意靈活性,已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角,該三角形具有

7、不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷． 7．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ,已知． (1)求 (2)若 , 面積為2,求 【答案】(1)；(2)． 【命題意圖】本題考查三角恒等變形，解三角形． 【試題分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形內(nèi)角和定理可知，將轉(zhuǎn)化為角的方程，思維方向有兩個(gè)：①利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合求出；②利用二倍角公式，化簡(jiǎn)，兩邊約去，求得，進(jìn)而求得．在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出． （Ⅰ） 【基本解法1】 由題設(shè)及，故 上式兩邊平方，整理得 解得 【基本

8、解法2】 由題設(shè)及，所以，又，所以， （Ⅱ）由，故 又 由余弦定理及得 所以b=2 【知識(shí)拓展】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎． 8．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本題滿分為12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知 (I)求； (II)若，的面積為，求的周長(zhǎng)． 【答案】 (I)；(II) 【官方解答】(I)由已知及正弦定理得： 即 故 ∴ 可得

9、∴ (II) 由已知得， 又所以 由已知及余定理得：，，從而 ∴周長(zhǎng)為． 【民間解答】(I) 由正弦定理得： ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ (II) 由余弦定理得：，， ∴ ∴ ， ∴周長(zhǎng)為 9．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ)求； (Ⅱ)若，，求和的長(zhǎng)． 【答案】 解析：（Ⅰ），，因?yàn)?，，所以．由正弦定理可得? （Ⅱ）因?yàn)?，所以．在和中，由余弦定理? ，． ．由（Ⅰ）知，所以． 考點(diǎn)：1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理． 10．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)

10、中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． (1)求； (2)若，求面積的最大值． 【答案】（1）；（2） 解析：（1）由已知及正弦定理得 又 由，可得 又 （2）的面積． 由已知及余弦定理得 又，故， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 因此的面積的最大值為 考點(diǎn)：（1）4．6．3正、余弦定理的綜合應(yīng)用；（2）7．3．2利用基本不等式求最值 難度： B 備注：高頻考點(diǎn) 11．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)如圖，在中，，，P為內(nèi)一點(diǎn)， (1)若，求； (2)若，求． 【答案】（1）　?。?） 解析：（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=； （Ⅱ）設(shè)，由

11、已知得,，在中，由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，， ∴=，∴=． 考點(diǎn):（1）4．5．2兩角和與差的公式的應(yīng)用；（2）4．6．1利用正弦定理求解三角形；（3）4．6．2利用余弦定理求解三角形． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn) 12．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊， (1)求 (2)若，的面積為，求． 【答案】(1) (2)=2． 解析：由及正弦定理得 ∵，∴ ∴， 又， ∴． (Ⅱ)的面積==,故=4， 而 故=8，解得=2． 考點(diǎn):(1)4．5．2兩角和與差的公式的應(yīng)用；(2)4．6．3正、余弦定理的綜合應(yīng)用 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn)