2022年二輪復(fù)習(xí)高考導(dǎo)數(shù)解答題專練三 （零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題）

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1、高考導(dǎo)數(shù)解答題專練三(零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題) 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(需要熟記)： (1)曲線y 二在工=/處的切線的斜率等于廣(豌切線方程為尸"%)&-/) + /(%) (2)若可導(dǎo)函數(shù)y = /Q)在 工=豌 處取得極值，則:(%)=0。反之,不成立. (3)對于可導(dǎo)函數(shù)不等式/(的>0(<0)的解集決定函數(shù)/(冷的遞增(減)區(qū)間。 ⑷函數(shù)/⑴在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：Vxg/ f(x)>0於0)恒成立 (5)函數(shù)〃幻在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于/(外在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程((幻=0在區(qū)間 I上有實(shí)根且為非二重根口(若尸")為二次函數(shù)且I=R,則有A>0). (6

2、) /(1)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于/(外在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到尸。)2 0或尸(力0 0在I 上恒成立 (7)若 Br ￡ [ , fix) > 0 恒成立，則 /(x)min >0;若 Vxwf, f(x) < 0 恒成立，則 < 0 ⑻ 若三/￡/,使得/(演)>0,則/⑴皿>0；若后/，使得人/)<0,則/(處而口<0. (9) ⑼設(shè)/⑴與月⑺的定義域的交集為D若V xeD /(元)〉g(x)恒成立則有[『㈤可「0 (10)若對V王士三4，/(占)>雙超)恒成立，則/⑴聯(lián). 若對D玉￡ /], 3 x2gI29使得/(巧)> 冢/)，則/(—— > g(x)mi卻?

3、 若對■行三/1, 3 X2 E /2，使得/(內(nèi))<取々)，則/(8a < g(Anax ? (ID已知人刈在區(qū)間/]上的值域?yàn)锳,,烈幻在區(qū)間外上值域?yàn)锽, 若對D王三/17巧G使得―1)=烈々)成立,則AqB。 (12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程尸(兀)=0有兩個(gè)不等實(shí)根玉、馬，且極大值大于0,極小值 小于0. (13)證題中常用的不等式： ① In 元工工― 1 (x > 0)② In (x+1) —1) ③ 2 1 + % L 設(shè)函數(shù)/(無)= 3sin#-丁，g(x) = 2e L (1)證明:當(dāng)“w[-l, 0]時(shí),f(x) < 0； (2

4、)判斷函數(shù)F(x) = f(x)-g(x)在(-2,+oo)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù), 2”已知函數(shù)/") = 0? -2,1+力5 ho)在區(qū)間［-1, 2］上的最小值為-2,最大值為L (1)求實(shí)數(shù)】，方的值： (2)若函數(shù)gQ) = /a)-現(xiàn)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 3,已知函數(shù)一口心+ ?. (1)若函數(shù)y = /(力在(og)上單調(diào)遞減，求值的取值范圍； (2)若函數(shù)y = 在定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，求口的取值范圍. 4 .設(shè)a, b為實(shí)數(shù)，且a>l,函數(shù)/(x) = a*-bx + eXxeR). (I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (II)若對任意b>2e2,函數(shù)

5、/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求“的取值范圍； (HI)當(dāng)a = e時(shí)，證明：對任意函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)為，芻，滿足 blnh e2 X2>17X'+~b' (注:e = 2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)) 5 .已知函數(shù)/'(x) = gx2-(a + l)x + “阮c. (I)若a = l,求曲線y = /(x)在點(diǎn)(1 , f (1))處的切線方程; (II)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由. 6 .已知函數(shù) f(x) =+(l-a)x . (1)若4=0,求函數(shù)"X)的極值； (2)若函數(shù)〃x)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍. *7 7 .已知函數(shù)

6、/(x) = (x — a)? + 2sinx—. 4 (1)證明：f(x)有唯一極值點(diǎn)； (2)討論/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 8 .已知函數(shù)/(x) = xe*+e'. (1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)畫出函數(shù)/(x)的大致圖象，并說明理由； (3)求函數(shù)月(》)=/*)-“(4€/?)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 7 9 .已知函數(shù)/(x) = or + — + l(a e R). ex (1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間―)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍； (2)當(dāng)。工0時(shí)，討論函數(shù)g(x) = /(x)-。-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給予證明. 10 .已知函數(shù) f(x) = /n

7、x + o￥ + sinx,其中 xc(0,4]. (1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y = /(x)在點(diǎn)/(]))處的切線方程； (2)判斷函數(shù)/(幻是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明 理由； (3)討論函數(shù)f(x)在白，加上零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 2 11 . f(x) = xsin x+cos x, g(x) = x2 + 4. (1)討論/(x)在[TT,句上的單調(diào)性； (2)令〃(x) = g(x)-4/(x),試判斷人。)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明. 12 .已知函數(shù)/(x) = a/nx+Zn?的圖象在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程為y = -2x-l .

8、 (1)若對任意有f(x) Wm恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍； (2)若函數(shù)g(x) = /(x) + x2+& + 2在區(qū)間(0,e)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)A的范圍. 高考導(dǎo)數(shù)解答題專練三(零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題)解析 2 1.設(shè)函數(shù) J'(x) = 3sinx-x3, g(x) = 2e L (1)證明：當(dāng)0］時(shí)，f(x) < 0； (2)判斷函數(shù)尸(x) = f(x)-g(x)在(-2,+oo)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 解：(1)證明：f\x) = 3cosx-3x2 = 3(cosx-x2) 令力(x) = cosx-x2 , /i,(x) = -sinx-2x. .0 , .■.〃。)在

9、［-1, 0］上單調(diào)遞增 注意到人(-l) = cosl-l<0,6(0) = 1 >0 存在唯一的為e (-1,0)使〃(％) = 0 且當(dāng)-L,x0, f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增； 注意到 f(-l) = -3sinl + l, /(0) = 0, ?.--3sinl + l<0. ??? f(x)<0. 2 2 (2) F(x) = 3sinx-x3 -2e Fr(x) = 3cosx-3x2 -2e 3 , 2 當(dāng)一2

10、2) - 2e~3 < 0 , .?.尸(x)單調(diào)遞減. 8 5 ??? F(-2) = -3sin2 + 8- 2e~3 > 0, F(-l) = -3sinl + l- 2e~3 < 0 F(x)在(一2,-1)上有一個(gè)零點(diǎn)% 當(dāng)0時(shí),由(1)知"r) = 3sin/-止,0, /. F(x)<0,/(x)無零點(diǎn) 當(dāng) x > 0 時(shí)，F(xiàn)(x) = 3sinx-x3 -2e < 3x- x3 - 2(x + -) = x- x3 -- 令(p(x) = x - x3 - g , “(x) = 1 - 3X2 = 0 = x =曰 且當(dāng)00，S(x)單調(diào)遞增

11、；當(dāng)x>當(dāng)時(shí)，0時(shí)，/(x)也無零點(diǎn) 綜上：F(x)在(_2,y)上有唯一的零點(diǎn)七. 2 .已知函數(shù)/（幻=53-2取2+仇”*0）在區(qū)間［-1, 2］上的最小值為-2,最大值為1. (1)求實(shí)數(shù)“，人的值； (2)若函數(shù)g(x) = /(x)-m有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍. 解：(1)函數(shù)/(》)=以3-2辦2+/), jjli] y((x) = 3ax2 -4ax = ax(3x-4), ①當(dāng)a>0時(shí)，令八x)>0,可得x>±或x<0, 此時(shí)函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(ro

12、,O), (：,+?), /(x)的減區(qū)間為(0,3) 由 /(0) = , f(-l) = -a-2a + b = h - 3af 4 64 32 32 f^ = ^a-—a + b = b-—af f (2)=—占=。, 3 27 9 27 因?yàn)楹瘮?shù)/。) = 0?_2以2+雙〃工0)在區(qū)間［T, 2］上的最小值為-2,最大值為1, \h = \ 則有， ，解得a = l, 6 = 1 ； 力- 3。二 一2 ②當(dāng)a<0時(shí)，令r(x)>0,可得0 f (—1) = ~ci - 2.c

13、i + b = b — 3u , 4 64 32 32 /'(一)= — a- - a + b = b a ? f (2) =&/-&7 +。=。， 3 27 9 27 因?yàn)楹瘮?shù)/*)=〃3_2以2+優(yōu)。工0)在區(qū)間［-1, 2］上的最小值為-2,最大值為1, \b = -2 則有 L c 「解得。=一1，b = —2. ［b-3a = l 綜上所述，a = l,。= 1 或〃 =一1, b = -2； (2)①當(dāng) a = b = l 時(shí)，f (0) = 1, /(—) = 1 — > 若函數(shù)g(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)膽的取值范圍為(一段」)； 當(dāng) a = —1, Z?

14、 = —2 時(shí)，f (0) = —2 , /(3) = —2+言=—1， 若函數(shù)g(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-2,-二). 3 .已知函數(shù) f(x) = e2x+u-^bvc+^ . (1)若函數(shù)y = /(x)在(0,3上單調(diào)遞減，求"的取值范圍； (2)若函數(shù)y = /(x)在定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，求。的取值范圍. 解：(1)因?yàn)楹瘮?shù))，= /(x)在(0,；)上單調(diào)遞減，所以廣(x),,0在(0,g)上恒成立, 由 f (x) - e2x+a -— Inx+> x>0 > c 1 4%2r+a_[ 可得 f'(x) = 2e2x+a --=— , 2x 2

15、x 由于x>0 ,貝lj 4xe2'+a - L,。在(0,；)上恒成立， 令 F(x) = 4xe2x+a-I , F'(x) = (8x + 4)rI+a >0 , 故尸(x)在(0,g)上單調(diào)遞增， 所以只需 F(3,,0即可，F(xiàn)(3 = 2e""-L,0, 所以4, -l-/n2, 所以a的取值范圍是(-oo, -l-ln2]. (2) f(x) = e2x+a -^lnx + ^ 的定義域?yàn)?0,*?), f'(x) = 2e2x+a 令 g(x) = 2e2"“，h(x) = —, 2x 2x 當(dāng) x>0 時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，g(x)w(2e", +oo), h

16、(x) e (0 , +oo), 故存在下 e(0,田)，使得八%) = 0,即2/3“ 一_L = o, 2x0 即4/*+"=’①，兩邊取對數(shù)得出4 + 2X()+ a = -lnx?②， % 而/'(x)在(0,端)上單調(diào)遞減，在(%, +oo)上單調(diào)遞增， 故人力加=/(X。)> 0 ,故 e2&+" - g /咻 + ] > 0 , 將①②代入上式得—+，,4 + 2/+。+ g > 0 ,化簡得q > -_L 一 毛 一及2 , 4x0 2 2 4x0 因?yàn)椤敢?%」，當(dāng)且僅當(dāng)一!一=%,即% =1時(shí)取等號(hào)， 4x0 4x0 2 所以 Xq — //?2? —

17、1 — ln2,, 4/ 故 a > -1 — ln2， 即a的取值范圍是(-1-加2,+a>). 4.設(shè)a, b為實(shí)數(shù)，且a>l,函數(shù)f(x) = a*-bx + e=xeR). (I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (II)若對任意b>2e，函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求“的取值范圍; (m)當(dāng)。=e時(shí)，證明：對任意/,>/,函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)為，芻，滿足 blnh e2 2e2 ' b (注:e = 2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)) 解：(I ) f\x) = a'lna - b , ①當(dāng)。,,0時(shí)，由于a>l,則a'7w>0,故/(x)>0,此時(shí)f(

18、x)在R上單調(diào)遞增; In — In— ②當(dāng)〃>。時(shí)，令r(x)>o,解得x>—令r(x)0時(shí)，/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間為 (F—^衛(wèi))，單調(diào)遞增區(qū)間為(一皿,+8); Ina Ina (II)由(I )知，要使函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需八幻加〃 =/(/也)<0即可, /. a ——-/?———+ ^2 <0對任意力>2/均成立, Ina Ina In— b In— 令

19、 t=—lna ,則 a-_ht+e2<0 ,即 e"m-bt + e2<0 ,即 e"^-h.—^- + ^<0 ,即 Ina Ina i In— Ina Ina h :.b-b ln——+ e2//i〃 vO對任意人>2『均成立， Ina t己 g(h) = b-h-In Verlna.b > 2e2 ? 則 gr(h) = 1 -(/n + b ?——) = In(lna)-Inh , Ina Ina b Ina 令g' (b) =0,得力= /〃a. ①當(dāng)加a>2/,即時(shí)，易知(b)在(2/,.)單調(diào)遞增，在(癡,內(nèi))單調(diào)遞減, 此時(shí) g (b) ,, g(lna) =

20、Ina - Ina - Ini + e2lna = Ina (e2 +l)>0 ,不合題意; ②當(dāng)加心2/,即l

21、b ,令/(幻=0,解得 x 力>4, 易 知 = f(lnb) = elnb -b- Inb + e1 =b-blnb + e2 —+ —, 即證一 >—r-x ,即證—丁X , ~ 2e2 b b 2e2 2e2 1 而 /(*-) = e 0 — 2

22、e2 +e2 = e h -e2 N，即證 1 > blnb ,即證 x2 > In(blnb), 而 f (ln(blnb)) = eb,(bl,tb} — bln(blnb) + e2 = blnb-bln(blnb) 4- e2 < blnb — bln(4b) +/=b? bi— + e2 =/一bl〃4 < 0 4 /. x2 > ln(blnb),即得證. 5.已知函數(shù)/(x)= — x" — (

23、)處的切線方程； (II)當(dāng)a vl時(shí)，求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由. 1 7 解：(I )當(dāng)a = l時(shí)，/(I) = — — 2 + Znl = — ? /(X)=狂二匕，則切線的斜率上 =((1) =0, X 所以切線方程為y —（—T）=左（X —1）,即y = —|, 所以曲線?⑴在點(diǎn)（一⑴逸的切線方程為3，7? （n）穴無）的定義域?yàn)椋╫,y）,r⑴="一m（1）， 令 /'（、）= ———— = 0，解得司=白，= 1 ? x ①當(dāng)。<〃vl時(shí)，與尸（外在區(qū)間（0,+oo）上的情況如下: 4 (OM a ⑷） 1 。收） frM + 0

24、— 0 + fix) / 極大值 極小值 / /0）在（0汨）上遞增，在31）上遞減，在。，”）上遞增. 此時(shí) 了（無）極大值= / （0）=-g4 —0 + alna < 0 , f（2a + 2） = aln（2a + 2） > alnl > 0 , 所以在（0, ~K◎上只有一個(gè)零點(diǎn)， ②當(dāng)值=0時(shí)，/（/） = gd—尤，由/。） = 0,得%=2,電=0 （舍）， 所以/在（0,+oo）上有一個(gè)零點(diǎn)； ③當(dāng)日 < 0時(shí)，/（外與/⑴在區(qū)間（0, +oo）上的情況如下： (OJ) 1 a”) f\x) — 0 十 fw 極小值 /

25、 此時(shí)/⑴極小恒- —g 若日<—g時(shí): /（*）擢加= /XD = —值―，所以/（x）在Qx°）上無零點(diǎn)， 若口 =一1 時(shí)，/(x)^=/(l) = -^-- = 0,所以/(x)在(0,+oo)上有一個(gè)零點(diǎn), 1 ? 若一3 o, 1 f (4) = 8 - 4(4 + 1) + 出也4 > 4 --//;4 = 4-加2 > 0, 所以/(幻有兩個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，當(dāng)Q, "1或47=」時(shí)，/(X)在(0,”)上有

26、一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)-!0, 單調(diào)遞增. 所以x = 0為函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，極小值為/(0) =

27、1； /(幻無極大值. (2)由/*)="工— 得廣(x) = 3 + (1 -a) = 0i)'二 1 . ex ①當(dāng)a = l時(shí)，f(x) = e~x>0,此時(shí)函數(shù)/(x)沒有零點(diǎn)，符合題意； ②當(dāng)a >1時(shí)，f\x)<0 ,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞減. 1 -L X/(0) = l>0,且/(——) = e[-a -l<0, a-1 所以函數(shù)“X)有零點(diǎn)，不符合題意； ③當(dāng) a < 1 時(shí)，令 f'(x) = —~— = 0 ,則 x = -ln(\ - a). ex 當(dāng)xw(-oo, T”(l-a))時(shí)，f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)xw(-歷(

28、l-a), +8)時(shí)，f'(x)>0,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞增. 所以 fCO* = /(-/n(l-a)) = (l-a)[l-/n(l-a)], 若函數(shù)/(x)沒有零點(diǎn)，則需/(%)〃而>0 ,即(1 — a)[l —加(1 — a)]>0,得l — evavl. 綜上所述，若函數(shù)/(x)無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1-1]. ■ 7 7.已知函數(shù) f(x) = (x-a)2 +2sinx——? 4 (1)證明：/(x)有唯一極值點(diǎn)； (2)討論/*)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 解：(1) f{x) = 2(x-a) + 2cosx. 設(shè) g(x) = /'。)，則 g'(x) =

29、 2 — 2sinx..O，故((幻單調(diào)遞增. 又 f\a - 2) = -4 + 2cos(a - 2) < 0, f\a + 2) = 4 + 2cos(a + 2) > 0 . 故存在唯一 與 w (a - 2,a+ 2),使得/'(xo) = O? 當(dāng)工時(shí)，/Xx)<0, /(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，/V)>0, /(x)單調(diào)遞增. 故/是/(x)的唯一極值點(diǎn); (2)由(1) /是/(x)的極小值點(diǎn)，且滿足/一a + cosx()=0. , 7 7 又 f (七—3) = (-3 — cosx0)~ + 2sin(，q — 3) — —. 4 + 2sin(x0 — 3)

30、— — > 0 ； 7 7 同理 +3) = (3-cos % > + 2 sin(Ao +3)--..4 + 2 sin($ +3)-->0. 故/(而)<0時(shí)，/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；/($) = 0時(shí)，/⑴ 有一個(gè)零點(diǎn)；/(與)>0時(shí)，/(1)無 零點(diǎn). T7 2.7.2 . 3 . 3 . 1 乂 f (.Xq) = (― cos + 2sin — — = —sin-毛 + 2sin x0 — — = —(sin /—)(sin /—) 1 /7

31、 令h(x) = x + cosx， hXx) = l-sinx..O 此時(shí)a = xQ +cosa^關(guān)于x0單調(diào)遞增，故2Qr -上一等? v a < 2/ctt +瑩+弓~伏e Z). 1 7 IT TT 令 /&o)=。，解得sin=—，即 / = 2k兀 或品=2Atf + — (Z eZ). 2 6 6 此時(shí) a = xl) +cos/ ,故 a = 2k7T——-- — ^a = 2^ + — + —(/: g Z) 6 2 6 2 令/(人))>。，解得sinx。> —,即 2k7T + —<\ <2k7r +—(ke：Z>). 2 6 6 此時(shí) a = xQ

32、+cos/ 關(guān)于 與 單調(diào)遞增，2k tv 4- — +

33、?)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 解：(1)函數(shù)/(x) = xe'+e、，定義域?yàn)?A,則/'(x) = (x + 2)e、， 令 _f(x) = O,解得 x = -2, 當(dāng)x<—2時(shí)，f'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>-2時(shí)，f'(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增， 故當(dāng)x = -2時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值〃-2) = -±, e 所以/a)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,―),單調(diào)遞減區(qū)間為(70,-2),有極小值一二，，無極大 值； (2)令/'(x) = 0,解得 x = -l,當(dāng) x-l 時(shí)，f(x)>0, 所以的圖象經(jīng)過特殊點(diǎn)&-2,-±), 8(

34、-1,0), C(0,l), e 當(dāng)xr-oo時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)丫 =，呈爆炸式增長，增長速度更快， 結(jié)合(1)中的單調(diào)性與極值情況，作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示： (3)函數(shù)g(x) = /(x)-e R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為函數(shù)y = f(x)的圖象與直線y = 4的交點(diǎn)個(gè) 數(shù)， 由(1)以及(2)的圖象可知，當(dāng)x = -2時(shí)，/(x)有極小值f(-2) = -4 , 結(jié)合函數(shù)/Xx)的圖象，所以關(guān)于函數(shù)g(x) = /(x)-a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)如下： 當(dāng)■時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)： 當(dāng). = 或時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)： e 當(dāng)-2

35、2 9 .已知函數(shù)/(x) = ar + —+ l(ae/?). ex (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,+oo)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍: (2)當(dāng)axO時(shí)，討論函數(shù)g(x) = /(x)-a-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給予證明. 7 解：(1) f\x) = a , ex 7 由題意得尸(x).. 0，即a. 2在區(qū)間(1, +oo)上恒成立, ex 當(dāng)xe(l,y)時(shí)，—e(0,-),所以a..2, ex e e 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2, +oo). e , ,, o . 2 aex — 2 (2)由己知得 g(x) = ax + a-2 ,則 g〈x) = a =

36、 ex e e 當(dāng)avO時(shí)，g'(x)vO,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減, 7 又g(0) = -a>0, g (1) =--2<0,故函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn). e 當(dāng)a>0時(shí)，令g")<0,得x0,得x>/〃2,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增， a o 7 9 〃 + 2 2 而 g(ln—) = a{ln ) <0 , g( ) => 0(/〃x/nr,所以史 a a a 所以g(x)在(/〃2,巴±2)上存在一個(gè)零點(diǎn)， a a 又 gQn 2 ) = a(

37、a - In " +" + '),且 /〃 - 0在(0,+o5)怛成乂, 2 。+。+ 2。~+。+ 2 故人(a)在(0,+oo)上單調(diào)遞增， 而〃 (0) = 0,所以"(a) >0在(0,400)上恒成立，所以g(歷f )>0, 4+4 + 2 所以g(x)在 //)上存在一個(gè)零點(diǎn). a~+a + 2 a 綜上所述，當(dāng)“<0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)”>0時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn). 10 .已知函數(shù)/'(x) = /nr + or

38、 + sinx,其中 xw(O,. (1)當(dāng)a = 0時(shí)，求曲線y = f(x)在點(diǎn)6，/(生))處的切線方程； (2)判斷函數(shù)/(X)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值：若不存在，說明 理由； (3)討論函數(shù)/(x)在弓，加上零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 解：(1) a=0時(shí)，f (x) = Inx + sinx> xg(0 ,4], f\x)=--}-cosx f r(g)=2, x 2 2 In 故切線方程是：y = -x + ln-; 7t 2 (2) /'(x) = - + 〃 + cosx, X 1 1 設(shè) g(x) = —+ 4 + COSX， g\x)=——r

39、-sinx<0 , X X 故 r(x)遞減，r(x).=/1，(兀)=工+a -1, n 又 x -> 0 時(shí)，ff(x) t +0, /(x)遞增， 當(dāng)x w (與，兀)時(shí)，f\x) < 0， f(x)遞減, .,./(x)在/處取極大值，不存在極小值， ②若廣(外..0,即a.l--, /Xx)>0, 冗 ”(%)在(0,X]遞增，此時(shí)/(x)無極值， (3)由(2)可知： (i)若4. 1 時(shí)，由上I可可知： n //

40、\ _￡?/"*、1) ]/[ 1、 1 14 冗 1 八 (”蚱 + 彳(1一一) + 1 = /?- + - + ->0, 2 2 2 71 2 2 2 即?時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)， 71 (，)若 4<1一,時(shí)，X6(0, %]時(shí)，/(X)遞增， 冗 XG(J^ ,乃]時(shí)，/(X)遞減, 由 r(x())= O 得 Fa + cosx() =0 ,從而 a = cosx(), 再設(shè) /z(x) = ---cosx,則6(x) = —4-sinx>0 從而a 關(guān)于 x()遞增， X AT ①若天￡(0,—],此時(shí) 4 ￡(-00,, 2 n 若 f (―)/(/r) > 0 a

41、< --(1 + /n—) a > , 2 7r 2 n + /〃工)時(shí)無零點(diǎn)， 71 2 f (―)/(乃)v0得(1 + In—) 0 , /(乃)=ln7r + na , f(x)lllaK = /(%) = ln

42、x()+ ax[} 4- sin x = /叫 + sin 演)-/ cos 玉)- 1, 設(shè) 〃/(x) = Inx + sinx — xcosx — 1 , 則 m\x) = — + xsinx>0 , x 故 f(x)MX > 嗚)=/吟 >。, 若/(萬)>0即a>-色￡，即一色工va<1--!■時(shí)無零點(diǎn)， 71 n n 若/SKO即a, -"竺，即-2, --(l + /n-)U(--, +8)時(shí)無零點(diǎn)， 71 2 兀 ae[--(\ + ln—), -色馬時(shí)有1個(gè)零點(diǎn). zr 2 7r 11 .設(shè)/(x

43、) = xsinx + cosx, ^(x) = x2 +4 . (1)討論,f(x)在[-]，幻上的單調(diào)性； (2)令〃(x) = g(%)-4/(幻，試判斷〃(尤)在A上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明. 解：(1) f,(x) = sin x + xcos x - sin x = xcos x ? 令r(x)=o,則x=o,或工=±1, 為時(shí)，/(x)>0, "r)單調(diào)遞增， xe(?-, 0)時(shí)，f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減， xe(0,為時(shí)，/r(x)>0, f(x)單調(diào)遞增， xe(-, Z)時(shí)，f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減， 綜上，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?萬丐)

44、和(0,9, 單調(diào)遞減區(qū)間為(?5, 0)和彳，力). (2)力。)在R上有3個(gè)零點(diǎn)，證明如下： h(x) = x2 + 4 -4(xsin x + cosx).則 /?(0) = 0, 故x = 0是Mx)的一個(gè)零點(diǎn)， h(-x) = (-x)2 +4-4[-Jcsin(-x) + cos(-x)] = x2 + 4-4(xsinx + cosx) = A(x), ??.要確定〃(x)在/?上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需確定x>0時(shí)，爪外的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可, S TT ①當(dāng)0vxV2—時(shí)，hf(x) = 2x(1 -2cosx), 3 令 〃'(x) = 0,即 cosx = —, X = 2

45、k7T± —, 2 3 X€(0,g)時(shí)，h'(X)<0, /Z(X)單調(diào)遞減，/7(y)<0, xe(-.且)時(shí)，〃'(x)>0,力(x)單調(diào)遞增，6(')="工+坦旦+ 2>0, 3 3 3 9 3 /.以此在(0,弓)有唯一零點(diǎn). ②當(dāng) X..?王時(shí)，由于 sin%, I, cosx,, 1 , 3 h(x) = x2 + 4-4xsinx-4cosx.x2 + 4-4x-4 = x2-4 = r(x), 而*x)在斗，+8)單調(diào)遞增，r(X)../(y)>0,故〃(X)>0, 故h(x)在(彳，+00)無零點(diǎn), h(x)在(0,+oo)有一個(gè)零點(diǎn), 由于/i(x)是偶函

46、數(shù)，〃(x)在(-00,0)有一個(gè)零點(diǎn)，而〃(0) = 0, 故〃(x)在A上有且僅有3個(gè)零點(diǎn). 12 .已知函數(shù)/⑴二口妹+ A的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.尸-2工-1. (1)若對任意度￡耳,也)有f(x) < m恒成立,求實(shí)數(shù)陽的取值范圍； (2)若函數(shù)取制= /O) + f+A + 2在區(qū)間(0,包)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的范圍. 解：(1) f\x) = --\-b (x > 0). x ?函數(shù)穴幻的圖象在點(diǎn)"-3)處的切線的方程為y = -2龍-1 . /. f (1) =—2, / (1) 二一3 〃 + b = —2 &口后 、 ?解得 6 = -3, v = I

47、, b = -3 f(x}-lnx-3x. 1 -3(工 一4) /⑴= —— 3 = 工 X X v ,「.尸(女 0 . ，當(dāng)時(shí)，函數(shù),⑺取得最大值，/g = -加3-1. ,「對任意.￡弓,+00)有/(戲,丁恒成立?酬…/⑴…，xe[-,+oo) * ，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[—上3 — 1 ,十⑹. (2)由(1)可得： g(x) = Inx - 3x + x7 + A: + 2 j ■ " g (x) = - + Zx - 3 = ——— ? X X 令 g'(x) = 0,解得龍=；,1. 列表如下： X 畤 2 3 1 a”) 以幻 + 0 一 0 + g⑶ 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 由表格可知：當(dāng)天=1時(shí)，函數(shù)人外取得極小值g (I) =k；當(dāng)尤二g時(shí)，函數(shù)g(#取得極 大值 g（；）= T"2 + ? + Z . 要滿足函數(shù)g（x） = /。） + /+無+ 2在區(qū)間（0,切）內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn), 3 -ln2 + — + k>0 5 4 ， k<0 解得/〃2——vk<0， 4 則實(shí)數(shù)k的取值范圍（歷2-3,0）.