高等數(shù)學(xué)：02第一章 第2節(jié) 數(shù)列的極限

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1、1數(shù)列的極限第二節(jié)一、概念的引入 二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四、數(shù)列極限的性質(zhì)五、小結(jié)2“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入3R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126nnA,nAAAA321S42 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;222121X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖

2、長(zhǎng)總和;nnXn2121212天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnX21115二、數(shù)列的定義如果按照某個(gè)法則，可以得到一列有序數(shù)：如果按照某個(gè)法則，可以得到一列有序數(shù)： ,21nxxx (1) 稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)項(xiàng),nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx. 例如例如;,n2842;,n21814121n2n21定義：定義：6注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整

3、標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn;,)( ,11111n)(11n;,)(,nnn 1134212)(nnn 11nnx2如如Nxxfx 2)(,3333337.)(時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列nnn 111播放播放三、數(shù)列的極限8 .)(,1111無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn問題問題:“無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它?10nx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:( 1)11nnxn 充分小，充分小，充分大時(shí)，充分大時(shí)，即當(dāng)即當(dāng)1nxn因?yàn)樗?0 給定給定,)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1Nn.成成立立

4、恒恒有有 1nx也就是說：也就是說：充充分分大大即即可可；充充分分小小，只只要要要要使使nxn1或者說：或者說：,（無論多么?。o論多么?。? 1nx要使要使充分大即可辦到，充分大即可辦到，只要只要n多大才能辦到？）多大才能辦到？）（n，要使要使 1nx1nxnnn1111)(, n1只只要要即可，即可，即即 1n，取取 1N101111無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn)(,0 給定給定,（無論多么?。o論多么?。?，取取)( 1NN總存在正整數(shù)總存在正整數(shù),)(時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) 1 Nn.成成立立恒恒有有 1nx11 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說

5、數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;.的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn 1.有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N2語(yǔ)言）：語(yǔ)言）：N (定義定義,axn及常數(shù)及常數(shù)對(duì)于對(duì)于,（無論多么?。o論多么小）0 ,N總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Nn , axn恒有恒有,axxann收斂于收斂于的極限，或稱的極限，或稱是是則稱則稱limnnxa記作()nxan 或12x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa只有有限個(gè)的幾何意義：的幾何意義：、axnnlim3, 0 axn axan,NnN，只要，只要可找到一個(gè)可找到一個(gè)即即0 (,)aa內(nèi)，項(xiàng)）在這個(gè)區(qū)間之外。

6、項(xiàng)）在這個(gè)區(qū)間之外。（至多（至多Nnnxa隨著 的增大， 代表的點(diǎn)越來越“密集”在點(diǎn) 附近。nx所有都落在13例例1證證,1 n只要只要,1 n即即,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 0nx就有就有. 0limnnx即的的極極限限。是是否否為為、此此定定義義只只能能用用來來判判斷斷nxa4. 0lim,) 1() 1(2nnnnxnx證明證明已知已知,0 ,0 nx要使要使0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11nn114說明說明:, 0 關(guān)鍵是任給關(guān)鍵是任給用定義證明數(shù)列存在，用定義證明數(shù)列存在，.N但不必要求是最小的例例2.,10 q設(shè)證明等比數(shù)列,112nqqq的極限為 0 0 .證

7、證:0 ),1 （設(shè)（設(shè),0 nx要使要使0nx110nnqq,1 nq只要只要,lnln) 1( qn即即,N尋求15.lnln1qn 亦即亦即,lnln1 qN 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0 nq恒有恒有1limlim0.nnnnxq所以16四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.3nnx 數(shù)列數(shù)列有界有界無界無界注：注：不是唯一的；不是唯一的；）（M1.,2MMxMxnn則在數(shù)軸上則在數(shù)軸上）若）若（17定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時(shí)恒有時(shí)恒有使得當(dāng)使得當(dāng)則則

8、. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對(duì)一切自然數(shù)則對(duì)一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意注意(1)數(shù)列數(shù)列有界不一定收斂有界不一定收斂.(2) (2) 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .nnx) 1(如如182.唯一性唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設(shè)設(shè)使使得得則則.,21NN;1 axNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2 bxNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,max21NNN 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng)Nn )()(axbxbann axbxnn ab 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂

9、數(shù)列極限唯一., ba 若若,2ab 取取矛盾矛盾ab)()(193. 保號(hào)性保號(hào)性.定理定理3 3 若,limaxnn且0a,NN則Nn 當(dāng)時(shí), 有0nx, )0(. )0(證證: 對(duì) a 0 ,取,2aN則,時(shí)當(dāng)Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明)問題：，0nx,limaxnn？是否0a不一定nnx1如20、子數(shù)列、子數(shù)列3定義：定義：，項(xiàng)后任取項(xiàng)后任取，在，在中，第一次抽取中，第一次抽取在在211nnnnxxxxknnnnnxxxxx,2132這樣得到這樣得到，后再任取后再任取在在,knx記作記作的子

10、數(shù)列；的子數(shù)列；為為稱稱nnxxk,1,31,21, 1n如如為子列。為子列。,21,41,21k21系）（收斂數(shù)列與子列的關(guān)定理4證明：證明：, 0 .knxalim,nnxa因?yàn)?,0,NnN對(duì)上面的存在當(dāng)時(shí)，恒有.nxa,kKNKNkKnnnN取則當(dāng)時(shí)，恒有.knxalim.knkxa所以.axaxknn都都收收斂斂于于，則則它它的的任任一一子子列列收收斂斂于于若若KkK要證存在正整數(shù) ，使當(dāng)時(shí)，恒有22說明：說明：發(fā)散；發(fā)散；數(shù)，則數(shù)，則存在兩子列收斂于不同存在兩子列收斂于不同）若）若（1nnxx，如如1111此數(shù)列發(fā)散。此數(shù)列發(fā)散。，收斂于收斂于，收斂于收斂于11212kkxx.,2

11、212自證自證則則若若）對(duì)于）對(duì)于（axaxaxxnkkn234例例. 0lim0limnnnnnnyxyx，證明，證明有界，又有界，又設(shè)設(shè)證明：證明：nx因?yàn)?有界，0,nMxM所以使；, 0 .0 nnyxNnN時(shí)，有時(shí)，有，當(dāng)，當(dāng)要證要證, 0limnny而而11,NnNM對(duì)于給定的當(dāng)時(shí)，恒有0,nnyyM,1NN 取取nN當(dāng)時(shí)，恒有0,nnnnnx yx yM yMMlim0.nnnx y 所以24五.小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性，唯一性，保號(hào)性有界性

12、，唯一性，保號(hào)性.251. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個(gè)趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時(shí), 下述作法是否正確? 說明理由.設(shè),limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對(duì)不對(duì)!此處nnxlim練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題2626231223limnnn證：證：231223nnaxn0只要1N取成立恒有時(shí)當(dāng)則對(duì)2312230nnNn231223limnnn注(1)化簡(jiǎn)axn（必要時(shí)適當(dāng)?shù)胤糯螅?2)用倒推法得到與n有關(guān)的一系列不等式的函數(shù)）僅是）中不含（）（, nn 3、求證1221n121nn1

13、1,n即當(dāng)1n時(shí)，恒有nxa271 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入281 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入29“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入30“割

14、之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入31“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入32“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入33“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又

15、失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入34“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入35“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入36.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極

16、限37.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限38.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限39.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限40.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限41.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限42.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限43.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限44.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限45.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限46.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限47.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限48.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限