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1、
A級 基礎通關
一、選擇題
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
解析:如圖,由題設知,A1B1⊥平面BCC1B1,從而A1B1⊥BC1.
又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1,
所以BC1⊥平面A1B1CD.又A1E?平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1.
答案:C
2.(2018·全國卷Ⅰ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為( )
A.8 B.
2、6 C.8 D.8
解析:連接BC1,AC1,AC,因為AB⊥平面BB1C1C,
所以∠AC1B=30°,AB⊥BC1,所以△ABC1為直角三角形.
又AB=2,所以BC1=2.
又B1C1=2,所以BB1==2,
故該長方體的體積V=2×2×2=8.
答案:C
3.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E是A1B1的中點,則點E到平面ABC1D1的距離為( )
A. B. C. D.
解析:因為A1B1∥AB,所以EB1∥AB,
因此點E到平面ABC1D1的距離轉(zhuǎn)化為點B1到平面的距離,
取BC1的中點O,則OB1⊥BC1,OB1⊥AB,
3、所以B1O⊥平面ABC1D1,則B1O為所求的距離.
因此B1O=是點E到平面ABC1D1的距離.
答案:B
4.(2018·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為( )
A. B. C. D.
解析:如圖,因為AB∥CD,所以AE與CD所成的角為∠EAB.
在Rt△ABE中,設AB=2,
則BE=,
則tan∠EAB==,
所以異面直線AE與CD所成角的正切值為.
故選C.
答案:C
5.對于四面體A-BCD,有以下命題:①若AB=AC=AD,則AB,AC,AD與底面所成的角相等;②若
4、AB⊥CD,AC⊥BD,則點A在底面BCD內(nèi)的射影是△BCD的內(nèi)心;③四面體A-BCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體A-BCD的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為.其中正確的命題序號是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
解析:①正確,若AB=AC=AD,則AB,AC,AD在底面的射影相等,即與底面所成角相等;
②不正確,如圖1,點A在平面BCD的射影為點O,連接BO,CO,可得BO⊥CD,CO⊥BD,所以點O是△BCD的垂心;
③正確,如圖2,若AB⊥平面BCD,∠BCD=90°,則四面體A-BCD的四個面均為直角三角形;
④正確
5、,設正四面體的內(nèi)切球的半徑為r,棱長為1,高為,根據(jù)等體積公式×S×=×4×S×r,
解得r=,那么內(nèi)切球的表面積S=4πr2=.
故正確的命題是①③④.
答案:D
二、填空題
6.如圖,在空間四邊形ABCD中,點M∈AB,點N∈AD,若=,則直線MN與平面BDC的位置關系是________.
解析:由=,得MN∥BD.
而BD?平面BDC,MN?平面BDC,
所以MN∥平面BDC.
答案:平行
7.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點,若平面BC1D∥平面AB1D1,則=________.
解析:如圖所示,連接A1B,與AB1交于點
6、O,連接OD1,因為平面BC1D∥平面AB1D1,平面BC1D∩平面A1BC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O.
所以=.
同理AD1∥DC1,所以=,因此=,
又因為=1,所以=1,即=1.
答案:1
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段B1D1上的一個動點,則下列結論中正確的是________(填序號).
①AC⊥BE;
②B1E∥平面ABCD;
③三棱錐E-ABC的體積為定值;
④直線B1E⊥直線BC1.
解析:因AC⊥平面BDD1B1,而BE?平面BDD1B,故①正確;因B1D1∥平面ABCD,故②正確;記正方體
7、的體積為V,則VE-ABC=V,為定值,故③正確;B1E與BC1不垂直,故④錯誤.
答案:①②③
三、解答題
9.(2019·江蘇卷)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點,AB=BC.
求證:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
證明:(1)因為D,E分別為BC,AC的中點,所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,
所以A1B1∥ED.
又因為ED?平面DEC1,A1B1?平面DEC1,
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因為AB=BC,E為AC的中點,所以BE⊥AC.
因為三棱柱ABC-
8、A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC.
又因為BE?平面ABC,所以C1C⊥BE.
因為C1C?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,
C1C∩AC=C,
所以BE⊥平面A1ACC1.
因為C1E?平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.
10.(2019·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;
(3)棱PB上是否存在點F,使得CF∥平面PAE?說明理由.
(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因
9、為底面ABCD為菱形,
所以BD⊥AC.
又PA∩AC=A,
所以BD⊥平面PAC.
(2)證明:因為PA⊥平面ABCD,
AE?平面ABCD,
所以PA⊥AE.
因為底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,且E為CD的中點,
所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.
又AB∩PA=A,所以AE⊥平面PAB.
因為AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)解:棱PB上存在點F,使得CF∥平面PAE.
取PB的中點F,PA的中點G,連接CF,F(xiàn)G,EG,
則FG∥AB,且FG=AB.
因為底面ABCD為菱形,且E為CD的中點,
所以CE∥AB,且CE=AB.
10、
所以FG∥CE,且FG=CE.
所以四邊形CEGF為平行四邊形.所以CF∥EG.
因為CF?平面PAE,EG?平面PAE,
所以CF∥平面PAE.
B級 能力提升
11.(2019·全國卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為________.
解析:如圖,過點P作PO⊥平面ABC于O,則PO為P到平面ABC的距離.
再過O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,連接PC,PE,PF,則PE⊥AC,PF⊥BC.
又PE=PF=,所以OE=OF,
所以CO為∠ACB的平分線,
即∠ACO=4
11、5°.
在Rt△PEC中,PC=2,PE=,所以CE=1,
所以OE=1,
所以PO===.
答案:
12.(2019·河南鄭州第二次質(zhì)量預測)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=,△PAD是等邊三角形,F(xiàn)為AD的中點,PD⊥BF.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)若E在線段BC上,且EC=BC,能否在棱PC上找到一點G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求出三棱錐D-CEG的體積;若不存在,請說明理由.
(1)證明:連接PF,
因為△PAD是等邊三角形,F(xiàn)是AD的中點,
所以PF⊥AD.
因為底面ABCD是菱形,∠BAD=,
所以
12、BF⊥AD.
又PF∩BF=F,
所以AD⊥平面BFP.又PB?平面BFP,
所以AD⊥PB.
(2)解:能在棱PC上找到一點G,使平面DEG⊥平面ABCD.
由(1)知AD⊥BF,因為PD⊥BF,AD∩PD=D,
所以BF⊥平面PAD.
又BF?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD,
又平面ABCD∩平面PAD=AD,且PF⊥AD,
所以PF⊥平面ABCD.
連接CF交DE于點H,過H作HG∥PF交PC于G,所以GH⊥平面ABCD.
又GH?平面DEG,
所以平面DEG⊥平面ABCD.
因為AD∥BC,所以△DFH∽△ECH,
所以==,
所以==,
所以GH=PF=,
所以VD-CEG=VG-CDE=S△CDE·GH=×DC·CEsin ·GH=.