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1、專 題 一專 題 一 1. 1. 函數思想函數思想，就是運用運動和變化的觀點、，就是運用運動和變化的觀點、集合與對應的思想去分析和研究數學問題中的集合與對應的思想去分析和研究數學問題中的數量關系，建立或構造函數關系，再運用函數數量關系，建立或構造函數關系，再運用函數的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決的思想的，從而使問題獲得解決的思想. . 方程思想，就是從問題的數量關系入手，運方程思想，就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型方程或方程組，通過解方程或方程組或者運
2、方程或方程組，通過解方程或方程組或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想解決的思想. . 2. 2. 運用函數思想解決問題主要從以下四個方面著手運用函數思想解決問題主要從以下四個方面著手： 一是根據方程與函數的密切關系，可將方程轉化為一是根據方程與函數的密切關系，可將方程轉化為函數來解決；函數來解決； 二是根據不等式與函數的密切關系，可將不等問題二是根據不等式與函數的密切關系，可將不等問題轉化為函數問題，利用函數圖象和性質進行處理；轉化為函數問題，利用函數圖象和性質進行處理； 三是在決實際問題中，常涉及到最值問題，三是在決實際問題中，常涉
3、及到最值問題，通常通過建立目標函數，利用求函數最值的通常通過建立目標函數，利用求函數最值的方法加以解決；方法加以解決； 四是中學數學的某些數學模型（如數列的通四是中學數學的某些數學模型（如數列的通項公式或前項公式或前n n項和公式，含有一個未知量的二項和公式，含有一個未知量的二項式等）可轉化為函數問題，利用函數相關項式等）可轉化為函數問題，利用函數相關知識或借助處理函數問題的方法進行解決知識或借助處理函數問題的方法進行解決. . 3.3.運用方程思想解決問題主要從以下四個方面著手：運用方程思想解決問題主要從以下四個方面著手： 一是把問題中的已知與未知建立等量關系，通過解方程一是把問題中的已知與
4、未知建立等量關系，通過解方程解決；解決； 二是從問題的結構入手找出主要矛盾，抓住一個關鍵變二是從問題的結構入手找出主要矛盾，抓住一個關鍵變量，將等式看成關于這個主變元的方程，利用方程的特量，將等式看成關于這個主變元的方程，利用方程的特征解決；征解決； 三是根據幾個變量間的關系符合某些方程的性質和特征三是根據幾個變量間的關系符合某些方程的性質和特征（如利用根與系數的關系構造方程等），通過研究方程（如利用根與系數的關系構造方程等），通過研究方程所具有的性質和特征解決；所具有的性質和特征解決； 四是中學數學中常見的數學模型（如函數、曲線等），四是中學數學中常見的數學模型（如函數、曲線等），常轉化為方
5、程問題去解決常轉化為方程問題去解決. .22222 550.50,02404.52510210252024.2.1abcaxbxcaxbxcbacbacbaaccaca cacbacBB ：由題意有因為是實系數方程的一個實根 即方程至少有一個根，所以，所以故選去分母移項兩解法解法 ：邊平方解析:有，所以故選222251(0),5A.4B.4C.4D.4bcaabcRabacbacbacbac已知：， 、 、則有（）1例 .考點考點1 1 選取變元，構造函數或方程選取變元，構造函數或方程2.12bac通 過 簡 單 轉 化 ， 敏 銳 地 抓 住了 數 與 式 的 特 點 ， 運 用 方 程 的
6、 思 想 使 問 題得 到 解 決 轉 化 為是 、 的 函 數 ， 運 用 基 本 不等 式 求 解 ， 思 路 清 晰 、 自【 評 析 】然 水方 法方到 渠 成法 【評析評析】本題通過構造函數，借助函數的單調性本題通過構造函數，借助函數的單調性解不等式解不等式. .解法巧妙、簡捷解法巧妙、簡捷. . 234log,(0,).( )(0,)15,( )(1)1.f xxxxCxf xff xfx令易判斷在上單調遞增，又原不等式可化為解，所以 故選析：234log5A. B.C. |1D. |2xxxx xx x不等式 的解集為（） 式題：變+RR111112log112321231.aa
7、nnnnna已知不等式對于一切大于 的自然數 都成立求實數例2的取值范圍.考點考點2 2 函數性質的應用函數性質的應用 .2 3 4.12log1.123.annna由于不等式的左端不能化簡成一個關于的解析式，故常規(guī)解法不行由題設寫出當， ， ， 時成立的不等式，求解也無法進行從函數的觀點看，左式可看作關于 的函數，故原不等式成立可轉化成此函數的最小值大于怎么求函數的最小值呢？應從函數的分：性質入手析1111( )1232(*2 .2*(1)( )11111()232212211111()123221111 022121 (21)(1)( )(*,2),(2)(3)(4)(5)f nnnnnn
8、NnnnNf nf nnnnnnnnnnnnnnnf nf n nNnffff令，且）當，時 ，所以且故解析：. ( )(*,2)1172.3412152712log11212315log (1)11.2aaf n nNnfaaaa所以且的最小值為又因為恒成立，則實數 的取值范圍為，解得 (1,所以).( )( ).( ).f nf nf n本 題 主 要 考 查 了 函 數 、 數 列 、 對 數 等 知 識的 綜 合 應 用 能 力 和 閱 讀 分 析 能 力 解 答 本 題 的 關 鍵 是建 立 目 標 函 數， 而 由 于無 法 求 和 常 規(guī) 數 列方 法 就 不 起 作 用 ， 而
9、 應 采 用 函 數 的 思 想 ， 用 研 究 函數 單 調 性 的 方 法 研 究 數 列 單 調 性 ， 求 出的 最 小 值結 合 不 等 式 恒 成 立 ， 進 一 步 用 函 數 與 方 程 思 想 分析 突 破 ， 因 此 函 數 不 僅 可 以 解 決 方 程 、 不 等 式 的 問題 ， 也 可 以 解 決 數 列 問 題 ， 這 種 思 想 在 解 數 學 試 題中 尤【析 】為 重 要評 21121111*).2311( )log (1).20nnnmSnnf nSSmnf nm 已知（設，試確定實數 的取值范圍使得對于一切大于 的正整數 ，變式不等式立題：恒成N1 21
10、11( )(),2321111(1)( )2223234 0,2223 (2)119( )( )2().4520911log (1)20201log11,mmf nnnnnf nf nnnnnnnnf nf nfnmm 因為所以所以為增函數，故所以恒成立,即解析：115(,).loglog1log.1151,1,2.2mmmmmmmmmmm即又所以解得所以實數 的取值范圍是 11(0 0)(3 0),(2 0)(1).21;(0 0).ABCOFDAPPAMOBC已知在平面直角坐標系中的一個橢圓的中心在，左焦點， 右頂點，設點，（ ）求該橢圓的標準方程（ ）若 是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡
11、方程過，的直線交橢圓于 、 ，求例3.的最大值23S考點考點3 3 選定主元，構造函數選定主元，構造函數2222122222(0,0)1.2 02.3 0314(1).1.OxxyabDaFcabcbxy由于橢圓的中心在，焦點在軸上，則設橢圓的標準方程為由于右頂點為（ ， ），則因為解析：橢圓方左焦點為 （， ），所由得程為以，故222222,).141212112222212121411)41.242M x yPx yxPyMPAxxxxyyyyxyxyM 令 （）與之相應的動點 為（因為動點 在橢圓上有，且為的中點，所以，即，代入橢圓方程，得即（為所求點的軌（跡方程）22221| 12(,
12、),(,).14,(14)40,AkyBCbS ABCBCxOBCykxB x yC xyykxxyykx當直線的斜率 不存在時，直線為 軸，此時，當直線過（ ， ）且斜率存在時，可設直線的方程為，聯立，（去）消得1122220 03121222222222222240,.1441141441,1|211|1112422141| 21|14441.114144xxx xkkBCkkkABCkdkkkS ABCBC dkkkkkkkkk所以由弦長公式，由點到直線的距離公式得到的距離為，1044;110,44(),212.22.kkkkkkkkS ABCABC 由于 時， 時此可知時，的最大綜上所
13、述，三角形面積的最大為值為值時時.ABCk將表 示 為 關 于 的 函 數 ， 利 用目 標 函 數 求 最 值 是 函 數 思 想 的 重 要 應 用 也是 求 最 值 常 用【 評 析 】的 方 法S變式題：直線M:Y=KX+1和雙曲線X2-Y2=1的左支交于A、B兩點.直線L過P（-2，0）和線段AB的中點M，求L在Y軸上的截距B的取值范圍. 分析：分析：b的變化是由的變化是由k的變化而引起的，即對于的變化而引起的，即對于k的的任一確定的值，任一確定的值，b有確定值與之對應，因而有確定值與之對應，因而b是是k的函的函數，即所求為這個函數的值域數，即所求為這個函數的值域.222222221
14、22122221(1)1,(1)220(1)2201,48(1)020112.201(1)( 1)2120ykxxxyykxkxmkxkxkkkxxkkxxkkk 由消去得因為直線 與雙曲線的左支有兩個交點，即方程有兩個根，且均小于等于所以,解得 解析： 212012000022222(,),1111( 2,0),(0, )112.22( )2212( 2)( )1( )022)( )221( )2.0 xxxkkM xyykxkkPMQbkkbkkf kbbkkff kff kf kf k 設則由， （），三點共線，所以又在（， ）上解得為減函數，所以，且，所以 （或，且 【評析評析】據函數
15、的思想建立據函數的思想建立b與與k的函數關系，據的函數關系，據方程的思想，運用二次方程的理論具體求出方程的思想，運用二次方程的理論具體求出b的表達的表達式是解此題的兩個關鍵問題式是解此題的兩個關鍵問題.不少解析幾何問題中的不少解析幾何問題中的某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯系，相某些元素處于運動變化之中，存在著相互聯系，相互制約的量，它們之間往往構成函數關系互制約的量，它們之間往往構成函數關系.對于直線對于直線和曲線交點問題，經常要轉化為方程問題，用方程和曲線交點問題，經常要轉化為方程問題，用方程的理論加以解決的理論加以解決.2(2,cos2 )( ,sin),2 ,2A.-6 1 B.
16、4 8C.-1,1 D.-1,6mmmabmab設兩個向量和其中 、 、 為實數,若則的取值范圍是（） ， ， 備選例題：2222222222 ,cos2sin.22,22cos2sin492sincos4sin2sin3(sin1)2.mmmmmmmm 由題知由有因為（），所以解析： 【評析評析】本題主要考查三角函數、向量、不等本題主要考查三角函數、向量、不等式的綜合運用以及函數與方程思想的靈活運用式的綜合運用以及函數與方程思想的靈活運用. .2649212.4226,1 ,.mmmmAm 所以，解得所以選 構造函數或確定方程主要手段有以下幾種：構造函數或確定方程主要手段有以下幾種： 選取變
17、元，確定新的函數關系；選取變元，確定新的函數關系； 選定主元，揭示函數；選定主元，揭示函數； 分析結構，構造函數解方程、不等式及數列問題；分析結構，構造函數解方程、不等式及數列問題； 在直線與圓錐曲線的位置關系中通過列方程（組）在直線與圓錐曲線的位置關系中通過列方程（組）解決；解決； 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，常立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，常需運用列方程（組）或建立函數關系的方法去解決需運用列方程（組）或建立函數關系的方法去解決. .1.(2011)12.xxaxa若不等式對任意恒成立，則 的取值范圍是_陜西卷_R 121121221312121232121221233(13.afxxxxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxfxxxaa 依題意只要 不大于函數的最小值即可當時，；當時，；當 時，綜上解析：實可得的最小值為 ，數 的取值范圍是所以只要，即， 3(1)2,2A1B 2C 32.(D 42011)kababaa b 重慶卷 已知向量， ，且與 共線，那么的值為(31 21 24.2)31201kkkk abaabba由條件知，因為與 共線，所以，得，所以解析：
高中數學第2輪總復習 專題1 第1課時 函數與方程思想課件 理 新人教B版
