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1、
考點四 平面向量
一、選擇題
1.(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,則實數(shù)λ=( )
A.- B.
C.-2 D.2
答案 C
解析 因為a=(1,2),b=(-2,3),所以a+λb=(1-2λ,2+3λ),又(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即4(1-2λ)+5(2+3λ)=0,解得λ=-2.故選C.
2.已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因為=(3,-4),所以與其同方向的單位向量e=
2、=(3,-4)=,故選A.
3.設(shè)向量e1,e2為平面內(nèi)所有向量的一組基底,且向量a=3e1-4e2與b=6e1+ke2不能作為一組基底,則實數(shù)k的值為( )
A.8 B.-8
C.4 D.-4
答案 B
解析 由a與b不能作為一組基底,則a與b必共線,故=,即k=-8.故選B.
4.(2019·湖南長沙一中一模)若非零向量a,b滿足|a|=2|b|=4,(a-2b)·a=0,則a在b方向上的投影為( )
A.4 B.8
C. D.
答案 A
解析 由(a-2b)·a=a2-2a·b=0得a·b===8,從而a在b方向上的投影為==4,故選A.
5.在平行四邊形ABC
3、D中,點E為CD的中點,BE與AC的交點為F,設(shè)=a,=b,則向量=( )
A.a(chǎn)+b B.-a-b
C.-a+b D.a(chǎn)-b
答案 C
解析 由△CEF∽△ABF,且E是CD的中點,得==,則==(+)==-a+b,故選C.
6.(2019·遼寧朝陽四模)已知P為等邊三角形ABC所在平面內(nèi)的一個動點,滿足=λ(λ∈R),若||=2,則·(+)=( )
A.2 B.3
C.6 D.與λ有關(guān)的數(shù)值
答案 C
解析 設(shè)BC的中點為O,則||=,因為=λ(λ∈R),所以點P在直線BC上,即在方向上的投影為||,所以·(+)=2·=2||2=6,故選C.
7.已知向量a=(-2
4、,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是( )
A.∪(2,+∞) B.(2,+∞)
C. D.
答案 A
解析 因為a與b的夾角為鈍角,所以a·b<0且a,b不共線,即-2λ-1<0且-2+λ≠0,故λ的取值范圍是∪(2,+∞).
8.若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點,且滿足(-)·(+-2)=0,則△ABC的形狀為( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 (-)·(+-2)=0,
即·(+)=0,
∵-=,
∴(-)·(+)=0,即||=||,
∴△ABC是等腰三角形,故選A.
二、填空題
5、
9.(2019·山東棲霞模擬)若向量a=(2,x),b=(-2,1)不共線,且(a+b)⊥(a-b),則a·b=________.
答案 -3
解析 因為a+b=(0,x+1),a-b=(4,x-1),且(a+b)⊥(a-b),所以0×4+(x+1)(x-1)=0,解得x=1或x=-1,因為向量a=(2,x),b=(-2,1)不共線,所以x=-1不成立,即x=1,所以a·b=2×(-2)+1×1=-3.
10.向量e1,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若a-b=xe1+ye2,則y=________.
答案 -3
解析 由題圖易得a=-e1-4e2,b=-2e1-e
6、2,則a-b=(-e1-4e2)-(-2e1-e2)=e1-3e2,所以x=1,y=-3.
11.(2019·四川棠湖中學適應(yīng)性考試)在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),若點P滿足++=0,則||=________.
答案 2
解析 因為++=0,所以P為△ABC的重心,故P的坐標為,即(2,2),故||=2.
12.(2019·山東德州二模)已知△ABC中,||=2,·=-2.點P為BC邊上的動點,則·(++)的最小值為________.
答案 -
解析 以BC的中點為坐標原點,建立如圖的直角坐標系,可得B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(a
7、,0),A(x,y),由·=-2,
可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y≠0,則·(++)=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=32-,當a=時,·(++)的最小值為-.
三、解答題
13.已知=a,=b,任意點M關(guān)于點A的對稱點為S,點S關(guān)于點B的對稱點為N.
(1)用a,b表示向量;
(2)設(shè)|a|=1,|b|=2,⊥,求a與b的夾角.
解 (1)由題意可得,AB是△SMN的中位線,
故有=2=2(-)=2(b-a).
(2)記a與b的夾角為θ,因為⊥,
所以·
8、=0,即2(b-a)·a=0,則b·a-a2=0,所以|b|·|a|·cosθ-|a|2=0,又|a|=1,|b|=2,則2cosθ-1=0,即cosθ=,
而θ∈[0,π],所以θ=.
14.(2019·四川成都龍泉中學模擬)已知平面向量a=(,-1),b=.
(1)證明:a⊥b;
(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t).
解 (1)證明:∵a·b=×-1×=0,∴a⊥b.
(2)∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,
∴c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=-ka2+t(
9、t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0.
又a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0,
∴c·d=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)=(t≠0).
一、選擇題
1.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個選項中,一定能使+=0成立的是( )
A.a(chǎn)=2b B.a(chǎn)∥b
C.a(chǎn)=-b D.a(chǎn)⊥b
答案 C
解析 “+=0,且a,b都是非零向量”等價于“非零向量a,b共線且反向”,則答案為C.
2.(2019·全國卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,則·=( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
答案 C
解析 ∵=-=(3,t)-(2,
10、3)=(1,t-3),||=1,∴=1,∴t=3,∴=(1,0),
∴·=2×1+3×0=2.故選C.
3.(2019·山東臨沂、棗莊二模)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則=( )
A.-2 B.-
C.- D.
答案 A
解析 ∵=+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-,∴=-2,故選A.
4.△ABC所在的平面內(nèi)有一點P,滿足++=,則△PBC與△ABC的面積之比是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因為++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC邊的一個三等分點,且PC=AC,由三角形的面積公式可知,==.
5.(201
11、9·福建模擬)已知向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,且|a|=,|b|=1,則向量b與a-b的夾角為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因為|a+b|=|a-b|,所以a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b.如圖,設(shè)=a,=b,則向量b與a-b的夾角為∠BDE,因為tan∠BDA=,所以∠BDA=,∠BDE=.故選B.
6.如圖,在△ABC中,=,P是BN上的一點,若=m+,則實數(shù)m的值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵=,∴=5,
∵=m+,∴=m+,
∵P是BN上的一點,∴B,P,N三點共線,
12、
∴m+=1,∴m=,故選D.
7.O是平面內(nèi)一定點,A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點,動點P滿足=+λ,λ∈[0,+∞),則點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的( )
A.外心 B.內(nèi)心
C.重心 D.垂心
答案 B
解析?。剑溅?,因為+所在直線與∠A的角平分線重合,則點P的軌跡是∠A的角平分線,一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心,故選B.
8.(2019·廣東深圳適應(yīng)性考試)在平行四邊形ABCD中,AB=3,AD=2,=,=,若·=12,則∠ADC=( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 如圖所示,平行四邊形ABCD中,
=+=--,
=+=--,
因為·=12,所
13、以·=·=2+2+·=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12,
則cos∠BAD=,即∠BAD=,
所以∠ADC=π-=,故選C.
二、填空題
9.(2019·湖北四地七校聯(lián)考)正三角形ABC的邊長為1,則·+·+·=________.
答案?。?
解析 ∵正三角形ABC的邊長為1,∴·+·+·=-(·+·+·)
=-(1×1×cos60°×3)=-.
10.(2019·安徽A10聯(lián)盟4月聯(lián)考)在四邊形ABCD中,=,=(2,4),=(-3,-5),則在上的投影為________.
答案
解析 由=得四邊形ABCD是平行四邊形,
且=+=(2,4)+(-3,-5)
14、=(-1,-1),
則=+=(2,4)+(-1,-1)=(1,3),
∴在上的投影為||cos〈,〉===.
11.(2019·唐山模擬)在△ABC中,(-3)⊥,則角A的最大值為________.
答案
解析 因為(-3)⊥,所以(-3)·=0,(-3)·(-)=0,2-4·+32=0,即cosA==+≥2=,當且僅當||=||時等號成立.因為0
15、建立如圖所示的直角坐標系,由題意可得,
A(2,0),B(0,0),C(0,2),O,D(cosθ,2+sinθ),
即=,
=,
=,
則++=,
|++|=
= = ,
當sin(θ+φ)=-1時,|++|取到最小值=-1.
三、解答題
13.(2019·安徽渦陽一中第二次質(zhì)檢)如圖,設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量,若向量=xe1+ye2,則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量在坐標系xOy中的坐標,假設(shè)=3e1+2e2.
(1)計算||的大??;
(2)設(shè)向量a=(m,-1),若a與共線,求實數(shù)m的值;
16、(3)是否存在實數(shù)n,使得向量與b=(1,n)垂直?若存在,求出n的值;若不存在,說明理由.
解 (1)e1·e2=1×1×cos60°=,
所以||=|3e1+2e2|=
==.
(2)因為a=(m,-1)=me1-e2,又a與=3e1+2e2共線,所以存在實數(shù)λ使得a=λ,即me1-e2=λ(3e1+2e2)=3λe1+2λe2,由平面向量基本定理得解得m=-.
(3)假設(shè)存在實數(shù)n,使得與向量b=(1,n)垂直,
則·b=0,即
(3e1+2e2)·(e1+ne2)=3e+(3n+2)e1·e2+2ne=3|e1|2+(3n+2)e1·e2+2n|e2|2=3+(3n+2)
17、×+2n=0,得n=-,所以存在實數(shù)n=-,使得向量與b=(1,n)垂直.
14.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=2.
(1)若△ABC為等邊三角形,且AD∥BC,E是CD的中點,求·;
(2)若AC=AB,cos∠CAB=,·=,求||.
解 (1)因為△ABC為等邊三角形,且AD∥BC,
所以∠DAB=120°,又AD=2AB,所以AD=2BC,
因為E是CD的中點,所以=(+)=(++)==+.
又=-,所以
·=·(-)
=2-2-·
=×16-×4-×4×2×=11.
(2)因為AB=AC,AB=2,所以AC=2,
因為·=,所以·(-)=,
所以·-·=.
又·=||||cos∠CAB=4×=,
所以·=+·=.
所以||2=|-|2=2+2-2·=4+16-2×=.
所以||=.