高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第二部分 解答題八 Word版含解析

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1、 解答題(八) 17．(2019·江西南昌一模)如圖，四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中點． (1)求證：AA1⊥BD； (2)求二面角E－A1C1－C的余弦值． 解　(1)證明：因為CC1⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD，因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面AC1C，又由四棱臺ABCD－A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四點共面，所以BD⊥平面A1ACC1，所以BD⊥AA1. (2)設(shè)AC交BD于點O，連接A1O，依

2、題意，有A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四邊形A1OCC1為平行四邊形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1.因為CC1⊥底面ABCD，所以A1O⊥底面ABCD. 以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示． 則A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－2，0,4)，B(0,2,0)， 由＝，得B1(－，1,4)，因為E是棱BB1的中點， 所以E， 所以＝，＝(－2，0,0)， 設(shè)n＝(x，y，z)為平面EA1C1的法向量， 則 取z＝3，得n＝(0,4,3)，平面A1C1C的法向量m＝(0,1，0)，又由圖可知，二

3、面角E－A1C1－C為銳二面角，設(shè)二面角E－A1C1－C的平面角為θ，則cosθ＝＝，所以二面角E－A1C1－C的余弦值為. 18．(2019·福建三明質(zhì)量檢查)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且b＝3(acosB＋bcosA)，b＋c＝8. (1)求b，c； (2)若BC邊上的中線AD＝，求△ABC的面積． 解　(1)由正弦定理，得sinB＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，所以sinB＝3sin(A＋B)，因為A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，即sinB＝3sinC，所以b＝3c，又因為b＋c＝8，所以b＝6，c＝2. (

4、2)在△ABD和△ACD中， 由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC. 因為b＝6，c＝2，BD＝DC＝，AD＝， 又因為∠ADB＋∠ADC＝π， 即cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以a2＝31， 所以cos∠BAC＝＝， 又因為∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝. 所以△ABC的面積S△ABC＝bcsin∠BAC＝. 19．(2019·湖北黃岡2月聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)

5、量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)； (2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. ①若某用戶從該企業(yè)購買了10件這種產(chǎn)品，記X表示這10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于(187.4,225.2)的產(chǎn)品件數(shù)，求E(X)； ②一天內(nèi)抽取的產(chǎn)品中，若出現(xiàn)了質(zhì)量指標值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的產(chǎn)品，就認為這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．右面的莖葉圖是檢驗員在一天內(nèi)抽取的15個產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，根據(jù)近似值判斷是否需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．

6、附：≈12.6，P(μ－σ

7、)， ∴E(X)＝10×0.8185＝8.185. ②由(1)，知μ－3σ≈200－12.6×3＝162.2， μ＋3σ≈200＋12.6×3＝237.8， ∵237.9?(162.2,237.8)， ∴需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查． 20．(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，過拋物線的焦點F且與y軸垂直的直線與拋物線相交于A，B兩點，且△OAB的周長為2＋. (1)求拋物線C的方程； (2)若直線l過焦點F且與拋物線C相交于M，N兩點，過點M，N分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交于點P，求|PF|

8、2－|MF|·|NF|的值． 解　(1)由題意，知焦點F的坐標為，將y＝代入拋物線C的方程可求得點A，B的坐標分別為，，則|AB|＝2p，|OA|＝|OB|＝＝p，可得△OAB的周長為2p＋p，則2p＋p＝2＋，解得p＝1.故拋物線C的方程為x2＝2y. (2)由(1)，知拋物線C的方程可化為y＝x2，求導(dǎo)可得y′＝x.設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋(直線l的斜率顯然存在)． 聯(lián)立方程整理，得x2－2kx－1＝0，則 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1， y1y2＝xx＝. 因為y1＝x，y′＝x1，所以直線l1的方程為

9、y－x＝x1(x－x1)，即y＝x1x－x.同理可得直線l2的方程為y＝x2x－x. 聯(lián)立方程解得 則點P的坐標為. 由拋物線的幾何性質(zhì)，知|MF|＝y(tǒng)1＋，|NF|＝y(tǒng)2＋，|PF|＝＝，所以|MF|·|NF|＝＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋＝＋×(2k2＋1)＋＝k2＋1，所以|PF|2－|MF|·|NF|＝0. 21．(2019·河南濮陽5月模擬)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－x2＋ax＋2. (1)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； (2)設(shè)正實數(shù)m1，m2滿足m1＋m2＝1，求證：對(－1，＋∞)上的任意兩個實數(shù)x1，x2，總有f(m

10、1x1＋m2x2)≥m1f(x1)＋m2f(x2)成立． 解　(1)由題意，知f′(x)＝－2x＋a，∵函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為減函數(shù)，即f′(x)≤0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x－在x∈[2，＋∞)上恒成立，設(shè)h(x)＝2x－，當x≥2時，單調(diào)遞減，2x單調(diào)遞增，∴h(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴h(x)min＝h(2)＝4－＝， ∴a≤，即a的取值范圍為. (2)證明：設(shè)－1

11、(x)＝m1f′(m1x＋m2x2)－m1f′(x)＝ m1[f′(m1x＋m2x2)－f′(x)]， ∵m1x＋m2x2－x＝x(m1－1)＋m2x2＝－m2x＋m2x2＝m2(x2－x)≥0，∴m1x＋m2x2≥x， ∵f′(x)＝－2x＋a，令g(x)＝f′(x)， 則g′(x)＝－－2<0， ∴f′(x)在x∈(－1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴f′(m1x＋m2x2)≤f′(x)， ∴m1[f′(m1x＋m2x2)－f′(x)]≤0，即F′(x)≤0， ∴F(x)在x∈(－1，x2]上是減函數(shù)， ∴F(x)≥F(x2)＝0，即F(x)≥0， ∴f(m1x＋m2x2)－m

12、1f(x)－m2f(x2)≥0， ∴x∈(－1，x2]時，f(m1x＋m2x2)≥m1f(x)＋m2f(x2)，∵－12的解集； (2)若二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3與函數(shù)y＝f(x)的圖象恒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍． 解　(1)當m＝5時，f(x)＝ 由f(x)>2解得不等式的解集為. (2)由二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，該函數(shù)在x＝－1處取得最小值2，因為 f(x)＝在x＝－1處取得最大值m－2，所以要使二次函數(shù)與y＝f(x)的圖象恒有公共點，只需m－2≥2，即m≥4.