高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第二部分 解答題二 Word版含解析

解答題(二) 17．(2019·廣東肇慶第三次統(tǒng)一檢測(cè))在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，sinC＝2sinB. (1)求； (2)若AD＝AC＝1，求BC的長(zhǎng)． 解　(1)由正弦定理可得在△ABD中，＝， 在△ACD中，＝， 又因?yàn)椤螧AD＝∠CAD，所以＝＝2. (2)sinC＝2sinB，由正弦定理得AB＝2AC＝2，設(shè)DC＝x，則BD＝2x，則cos∠BAD＝＝，cos∠CAD＝＝，因?yàn)椤螧AD＝∠CAD，所以＝，解得x＝，即BC＝3x＝. 18. (2019·湖北4月調(diào)研)已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝3，BC＝4，AC＝5. (1)當(dāng)AP變化時(shí)，點(diǎn)C到平面PAB的距離是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)當(dāng)直線PB與平面ABCD所成的角為45°時(shí)，求二面角A－PD－C的余弦值． 解　(1)由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2＋BC2＝AC2，則AB⊥BC， 由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB， 則BC⊥平面PAB，則點(diǎn)C到平面PAB的距離為定值BC＝4. (2)由PA⊥平面ABCD，則∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA＝45°，所以PA＝AB＝3.由AD∥BC，AB⊥BC得AB⊥AD，故直線AB，AD，AP兩兩垂直，因此，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得P(0,0,3)，D(0,3,0)，C(3,4,0)，于是＝(0，－3,3)，＝(3,1,0)， 設(shè)平面PDC的法向量為n1＝(x，y，z)，則即取x＝1，則y＝－3，z＝－3，即n1＝(1，－3，－3)，顯然n2＝(1,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量， 于是，cos〈n1，n2〉＝＝＝. 又二面角A－PD－C為鈍角， 所以二面角A－PD－C的余弦值為－. 19．(2019·黑龍江哈爾濱六中第二次模擬)某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額(單位：元)，如圖所示： (1)現(xiàn)從去年的消費(fèi)金額超過(guò)3200元的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取2人，求至少有1位消費(fèi)者去年的消費(fèi)金額在(3200,4000]范圍內(nèi)的概率； (2)針對(duì)這些消費(fèi)者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制，詳情如下表： 會(huì)員等級(jí) 消費(fèi)金額 普通會(huì)員 2000 銀卡會(huì)員 2700 金卡會(huì)員 3200 預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在(0,1600]內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請(qǐng)辦理普通會(huì)員，消費(fèi)金額在(1600,3200]內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理銀卡會(huì)員，消費(fèi)金額在(3200,4800]內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理金卡會(huì)員，消費(fèi)者在申請(qǐng)辦理會(huì)員時(shí)，需一次性繳清相應(yīng)等級(jí)的消費(fèi)金額，該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對(duì)這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案： 方案一：按分層抽樣從普通會(huì)員、銀卡會(huì)員、金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì)： 普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)500元；銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)600元；金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)800元． 方案二：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球(球只有顏色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球，若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加1次摸獎(jiǎng)游戲；每位銀卡會(huì)員均可參加2次摸獎(jiǎng)游戲；每位金卡會(huì)員均可參加3次摸獎(jiǎng)游戲(每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立)．請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪一種返利活動(dòng)方案該健身機(jī)構(gòu)的投資較少？并說(shuō)明理由． 解　(1)去年的消費(fèi)金額超過(guò)3200元的消費(fèi)者有12人，隨機(jī)抽取2人，設(shè)消費(fèi)金額在(3200,4000]范圍內(nèi)的人數(shù)為X，X的可能取值為1,2，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝，即所求概率為. (2)方案一：按分層抽樣從普通會(huì)員、銀卡會(huì)員、金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”，則“幸運(yùn)之星”中的普通會(huì)員、銀卡會(huì)員、金卡會(huì)員的人數(shù)分別為×25＝7，×25＝15，×25＝3，按照方案一獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為ξ1＝7×500＋15×600＋3×800＝14900(元)． 方案二：設(shè)η表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金，則η的可能取值為0,200,300， 由摸到紅球的概率為P＝＝， ∴P(η＝0)＝C×0×3＋C××2＝， P(η＝200)＝C×2×＝， P(η＝300)＝C×3＝， η的分布列為： η 0 200 300 P 數(shù)學(xué)期望為E(η)＝0×＋200×＋300×＝76.8(元)， 按照方案二獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為ξ2＝(28＋2×60＋3×12)×76.8＝14131.2(元)， 由ξ1＞ξ2知，方案二投資較少． 20．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知P是圓F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)記曲線C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，M是直線x＝1上任意一點(diǎn)，直線MA，MB與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)H(4,0)． 解　(1)由線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q，得|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，所以點(diǎn)Q的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，故2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，曲線C的方程為＋＝1. (2)證明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，m)，直線MA的方程為y＝(x＋2)， 將y＝(x＋2)與＋＝1聯(lián)立整理得 (4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0， 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(xD，yD)，則－2xD＝， 故xD＝，則yD＝(xD＋2)＝， 直線MB的方程為y＝－m(x－2)，將y＝－m(x－2)與＋＝1聯(lián)立整理得(4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0， 設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(xE，yE)，則2xE＝， 故xE＝，則yE＝－m(xE－2)＝， HD的斜率為k1＝＝ ＝－， HE的斜率為k2＝＝ ＝－， 因?yàn)閗1＝k2，所以直線DE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H. 21．(2019·河北中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝aln x(a>0)． (1)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)≤x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)當(dāng)a＝1時(shí)，曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)是否存在公共切線？并說(shuō)明理由． 解　(1)令m(x)＝g(x)－x＝aln x－x，則m′(x)＝－1＝. 若0<x<a，則m′(x)>0，若x>a，則m′(x)<0. 所以m(x)在(0，a)上是增函數(shù)，在(a，＋∞)上是減函數(shù)． 所以x＝a是m(x)的極大值點(diǎn)，也是m(x)的最大值點(diǎn)，即m(x)max＝aln a－a. 若g(x)≤x恒成立，則只需m(x)max＝aln a－a≤0，解得0<a≤e. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，e]． (2)假設(shè)存在這樣的直線l且與曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)分別相切于點(diǎn)A(x1，e )，B(x2，ln x2)． 由f(x)＝ex，得f′(x)＝ex. 曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的切線方程為y－e＝e (x－x1)，即y＝ex＋(1－x1)e. 同理可得，曲線y＝g(x)在點(diǎn)B處的切線方程為 y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1. 所以 則(1－x1)e＝ln e－1， 即(1－x1)e＋x1＋1＝0. 構(gòu)造函數(shù)h(x)＝(1－x)ex＋x＋1，存在直線l與曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)相切等價(jià)于函數(shù)h(x)＝(1－x)·ex＋x＋1在R上有零點(diǎn)， 又h′(x)＝1－xex，當(dāng)x≤0時(shí)，h′(x)>0，h(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)閔″(x)＝－(x＋1)ex<0，所以h′(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 又h′(0)＝1>0，h′(1)＝1－e<0， 所以存在x0∈(0,1)，使得h′(x0)＝1－x0e＝0，即e＝. 且當(dāng)x0∈(0，x0)時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)x0∈(x0，＋∞)時(shí)，h′(x)<0. 綜上，h(x)在(0，x0)上是增函數(shù)，在(x0，＋∞)上是減函數(shù)． 所以h(x0)是h(x)的極大值，也是最大值，且h(x)max＝h(x0)＝(1－x0)e＋x0＋1＝(1－x0)·＋x0＋1＝＋x0>0， 又h(－2)＝3e－2－1<0，h(2)＝－e2＋3<0，所以h(x)在(－2，x0)內(nèi)和(x0,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)． 故假設(shè)成立，即曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)存在公共切線． 22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．直線l與x軸交于點(diǎn)A.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，射線l′：θ＝(ρ≥0)，直線l與射線l′交于點(diǎn)B. (1)求B點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)P是橢圓C：x2＋＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的最大值及面積最大時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)． 解　(1)l：y＝(x－)＝x－3， 則l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝ρcosθ－3. 令θ＝得ρ＝3，∴B點(diǎn)的極坐標(biāo)為. (2)∵|AB|＝|OA|＝，∴S＝d. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(cosα，sinα)，l：x－y－3＝0. ∴d＝＝|(cosα－sinα)－| ＝. 當(dāng)α＋＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，dmax＝， ∴Smax＝. 此時(shí)cosα＝cos＝－，sinα＝sin＝， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為. 23．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|， (1)求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若直線y＝a與曲線y＝f(x)圍成的封閉區(qū)域的面積為9，求a的值． 解　(1)①當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3x－3≥3； ②當(dāng)－1<x<2時(shí)，f(x)＝5－x∈(3,6)； ③當(dāng)x≤－1時(shí)，f(x)＝3－3x≥6， ∴f(x)min＝3. (2)f(x)＝f(x)的圖象如圖所示： y＝6與y＝f(x)圍成的三角形面積為S＝×[3－(－1)](6－3)＝6<9，∴a>6. 故y＝f(x)，y＝6，y＝a圍成的梯形面積為3. 令f(x)＝3x－3＝a?x1＝； 令f(x)＝3－3x＝a?x2＝， 故梯形面積為×(a－6)＝3， ∴a＝3.