高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔:第一部分 考點二十二 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 Word版含解析

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1、 考點二十二 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解答題 1.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=x,圓C:(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線l與圓C的交點為M,N,求△CMN的面積. 解 (1)將C的參數(shù)方程化為普通方程, 得(x+1)2+(y+2)2=1, ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R), 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0. (2)將θ=代入ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0, 得ρ2+3ρ+4=0,解得ρ1=-2,ρ2=

2、-, |MN|=|ρ1-ρ2|=, ∵圓C的半徑為1, ∴△CMN的面積為××1×sin=. 2.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=4cosθ. (1)求曲線C1的普通方程及曲線C2的直角坐標(biāo)方程并說明各曲線名稱; (2)判斷曲線C1與曲線C2的位置關(guān)系?若相交,求出弦長. 解 (1)由消去t得x-2y-3=0, 所以曲線C1的普通方程為x-2y-3=0,是斜率為的直線. 由ρ=4cosθ兩邊同乘以ρ得ρ2=4ρcosθ, 所以x2+y2=4x,配方得(x-2)2

3、+y2=4, 即曲線C2的普通方程為(x-2)2+y2=4,是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓. (2)由(1)知,曲線C2:(x-2)2+y2=4的圓心為(2,0),半徑為2,由點到直線的距離公式得,圓心(2,0)到直線x-2y-3=0的距離為d==<2, 所以曲線C1與曲線C2相交,弦長為2 =. 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)),以射線Ox為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ-=0. (1)求曲線C的普通方程,及直線l的參數(shù)方程; (2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長. 解 (1)曲線C的參數(shù)方程化成普通方程為+=

4、1, 因為x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以l的直角坐標(biāo)方程為x-y-=0,其傾斜角為,過點(,0), 所以直線方程化成參數(shù)方程為(t為參數(shù),且t∈R). (2)將代入+=1, 得7t2+6t-6=0, Δ=(6)2-4×7×(-6)=384>0, 設(shè)方程的兩根是t1,t2,則t1+t2=-,t1t2=-, 所以AB=|t1-t2|===. 故直線l與曲線C相交所得的弦AB的長為. 4.(2019·全國卷Ⅲ)如圖,在極坐標(biāo)系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圓的圓心分別是(1,0),,(1,π),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧. (1)分

5、別寫出M1,M2,M3的極坐標(biāo)方程; (2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點P在M上,且|OP|=,求P的極坐標(biāo). 解 (1)由題設(shè)可得,弧,,所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ, 所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ, M2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ, M3的極坐標(biāo)方程為ρ=-2cosθ. (2)設(shè)P(ρ,θ),由題設(shè)及(1)知 若0≤θ≤,則2cosθ=,解得θ=; 若≤θ≤,則2sinθ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,則-2cosθ=,解得θ=. 綜上,P的極坐標(biāo)為或或或. 5.(2019·河南洛陽第三次統(tǒng)考)已知極點與坐

6、標(biāo)原點O重合,極軸與x軸非負(fù)半軸重合,M是曲線C:ρ=2sinθ上任一點,點P滿足=3.設(shè)點P的軌跡為曲線Q. (1)求曲線Q的平面直角坐標(biāo)方程; (2)已知曲線Q向上平移1個單位后得到曲線N,設(shè)曲線N與直線l:(t為參數(shù))相交于A,B兩點,求|OA|+|OB|的值. 解 (1)設(shè)P(ρ,θ),∵=3, ∴點M的極坐標(biāo)為,代入曲線C,得=2sinθ, 即曲線Q的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ, ∵ρ2=6ρsinθ,∴x2+y2=6y,∴x2+(y-3)2=9, ∴曲線Q的平面直角坐標(biāo)方程為x2+(y-3)2=9. (2)曲線Q向上平移1個單位后得到曲線N的方程為 x2+(y-4

7、)2=9.l的參數(shù)方程化為 兩方程聯(lián)立得t2-4t+7=0, ∴t1+t2=4,t1t2=7, ∴|OA|+|OB|=|t1|+|t2|=t1+t2=4. 6.(2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ+11=0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程; (2)求C上的點到l距離的最小值. 解 (1)因為-1<≤1, 且x2+2=2+=1, 所以C的直角坐標(biāo)方程為x2+=1(x≠-1), l的直角坐標(biāo)方程為2x+y+11=0. (2)由(1)可設(shè)C的參

8、數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π). C上的點到l的距離為 =. 當(dāng)α=-時,4cos+11取得最小值7, 故C上的點到l距離的最小值為. 解答題 1.(2019·全國卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P. (1)當(dāng)θ0=時,求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程; (2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標(biāo)方程. 解 (1)因為M(ρ0,θ0)在曲線C上, 當(dāng)θ0=時,ρ0=4sin=2. 由已知得|OP|=|OA|cos=2. 設(shè)Q(ρ,θ)為l上除P外的任意一點.連

9、接OQ, 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2. 經(jīng)檢驗,點P在曲線ρcos=2上, 所以,l的極坐標(biāo)方程為ρcos=2. (2)設(shè)P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ. 因為P在線段OM上,且AP⊥OM, 所以θ的取值范圍是. 所以,P點軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,θ∈. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線l及圓C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線l與圓C交于A,B兩點,求cos∠AOB

10、的值. 解 (1)由直線l的參數(shù)方程得, 其普通方程為y=x+2, ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=ρcosθ+2. 又∵圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5, 將代入并化簡得ρ=4cosθ+2sinθ, ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ+2sinθ. (2)將直線l:ρsinθ=ρcosθ+2, 與圓C:ρ=4cosθ+2sinθ聯(lián)立, 得(4cosθ+2sinθ)(sinθ-cosθ)=2, 整理得sinθcosθ=3cos2θ, ∴θ=或tanθ=3. 不妨記點A對應(yīng)的極角為,點B對應(yīng)的極角為θ,且tanθ=3. 于是,cos∠AOB=cos=sinθ

11、=. 3.(2019·湖北4月調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α是參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ. (1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若射線θ=β與曲線C1交于O,A兩點,與曲線C2交于O,B兩點,求|OA|+|OB|取最大值時tanβ的值. 解 (1)由得x2-2x+y2=0, 將代入得ρ=2cosθ, 故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ. 由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ, 將代入得x2+y2=4y, 故曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0.

12、(2)設(shè)點A,B的極坐標(biāo)分別為(ρ1,θ),(ρ2,θ),將θ=β分別代入曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程得ρ1=2cosβ,ρ2=4sinβ, 則|OA|+|OB|=2cosβ+4sinβ=2=2sin(β+φ), 其中φ為銳角,且滿足sinφ=,cosφ=, 當(dāng)β+φ=時,|OA|+|OB|取最大值, 此時β=-φ, tanβ=tan====. 4.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤φ<π),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1,l與C交于不同的兩點P1,P2. (1)求φ的取值范圍; (2)以φ為參數(shù),求線段P1P2中點M的軌跡的參數(shù)

13、方程. 解 (1)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1, 根據(jù)ρ2=x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1, 將代入x2+y2=1, 得t2-4tsinφ+3=0. (*) 由Δ=16sin2φ-12>0得|sinφ|>. 又0≤φ<π,所以φ的取值范圍是. (2)由(1)中的(*)可知 =2sinφ,代入 得 整理得P1P2中點M的軌跡的參數(shù)方程為 . 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π),在以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,

14、0),直線l與曲線C相交于A,B兩點,求+的值. 解 (1)曲線ρ2=,即ρ2+ρ2sin2θ=2, ∵ρ2=x2+y2,ρsinθ=y(tǒng), ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2=2,即+y2=1. (2)將代入x2+2y2=2并整理得 (1+sin2α)t2+2tcosα-1=0, ∴t1+t2=-,t1·t2=, ∴+===, ∵|t1-t2|= = =, ∴+==2. 6.(2019·江西省名校5月聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1過點P(a,1),其參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R),以O(shè)為極點,x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+

15、4cosθ-ρ=0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知曲線C1和曲線C2交于A,B兩點,且|PA|=2|PB|,求實數(shù)a的值. 解 (1)C1的參數(shù)方程為消參得普通方程為x-y-a+1=0,C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,得y2=4x,所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2=4x. (2)曲線C1的參數(shù)方程可轉(zhuǎn)化為(t為參數(shù),a∈R),代入曲線C2:y2=4x,得t2-t+1-4a=0, 由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0,得a>0, 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由|PA|=2|PB|得 |t1|=2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2, 當(dāng)t1=2t2時,解得a=; 當(dāng)t1=-2t2時,解得a=, 綜上,a=或.

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