不定積分例題及答案-理工類(lèi).doc

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第4章 不定積分 內(nèi)容概要 名稱(chēng) 主要內(nèi)容 不 定 積 分 不 定 積 分 的 概 念 設(shè)， ，若存在函數(shù)，使得對(duì)任意均有 或，則稱(chēng)為的一個(gè)原函數(shù)。 的全部原函數(shù)稱(chēng)為在區(qū)間上的不定積分，記為 注：（1）若連續(xù)，則必可積；（2）若均為的原函數(shù)，則。故不定積分的表達(dá)式不唯一。 性 質(zhì) 性質(zhì)1：或； 性質(zhì)2：或； 性質(zhì)3：，為非零常數(shù)。 計(jì) 算 方 法 第一換元 積分法 （湊微分法） 設(shè)的 原函數(shù)為，可導(dǎo)，則有換元公式： 第二類(lèi) 換元積 分法 設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，有原函數(shù)，則 分部積分法 有理函數(shù)積分 若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對(duì)真分式的處理按情況確定。 本章 的地 位與 作用 在下一章定積分中由微積分基本公式可知---求定積分的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題；后繼課程無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個(gè)積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問(wèn)題會(huì)不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會(huì)慢慢體會(huì)到！ 課后習(xí)題全解 習(xí)題4-1 1.求下列不定積分： 知識(shí)點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)——求不定積分的基本方法。 思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分！ ★(1) 思路: 被積函數(shù) ，由積分表中的公式（2）可解。 解： ★(2) 思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解： ★(3) 思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解： ★(4) 思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解： ★★(5) 思路:觀察到后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。 解： ★★(6) 思路:注意到，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。 解： 注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個(gè)有理的假分式，通常先將其分解為一個(gè)整式加上或減去一個(gè)真分式的形式，再分項(xiàng)積分。 ★(7) 思路:分項(xiàng)積分。 解： ★(8) 思路:分項(xiàng)積分。 解： ★★(9) 思路:？看到，直接積分。 解： ★★(10) 思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。 解： ★(11) 解： ★★(12) 思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法： 指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然。 解： ★★(13) 思路:應(yīng)用三角恒等式“”。 解： ★★(14) 思路:被積函數(shù) ，積分沒(méi)困難。 解： ★★(15) 思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時(shí)，一般地先降冪，再積分。 解： ★★(16) 思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。 解： ★(17) 思路:不難，關(guān)鍵知道“”。 解： ★(18) 思路:同上題方法，應(yīng)用“”，分項(xiàng)積分。 解： ★★(19) 思路:注意到被積函數(shù) ，應(yīng)用公式(5)即可。 解： ★★(20) 思路:注意到被積函數(shù) ，則積分易得。 解： ★2、設(shè)，求。 知識(shí)點(diǎn)：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：即可。 解：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得： ★3、設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的原函數(shù)全體。 知識(shí)點(diǎn)：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。 解：由題意可知， 所以的原函數(shù)全體為：。 ★4、證明函數(shù)和都是的原函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：只需驗(yàn)證即可。 解：，而 ★5、一曲線通過(guò)點(diǎn)，且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。 知識(shí)點(diǎn)：屬于第12章最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。 解：設(shè)曲線方程為，由題意可知：，； 又點(diǎn)在曲線上，適合方程，有， 所以曲線的方程為 ★★6、一物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)秒后的速度是，問(wèn)： （1） 在秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？ （2） 物體走完米需要多少時(shí)間？ 知識(shí)點(diǎn)：屬于最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。 解：設(shè)物體的位移方程為：， 則由速度和位移的關(guān)系可得：， 又因?yàn)槲矬w是由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的，。 (1) 秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為:米； (2)令秒。 習(xí)題4-2 ★1、填空是下列等式成立。 知識(shí)點(diǎn)：練習(xí)簡(jiǎn)單的湊微分。 思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。 解： 2、求下列不定積分。 知識(shí)點(diǎn)：（湊微分）第一換元積分法的練習(xí)。 思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒(méi)有成塊的形式作為一個(gè)整體變量，這種能夠馬上觀察出來(lái)的功夫來(lái)自對(duì)微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類(lèi)換元法中的倒代換法對(duì)特定的題目也非常有效，這在課外例題中專(zhuān)門(mén)介紹！ ★（1） 思路:湊微分。 解： ★(2) 思路:湊微分。 解： ★(3) 思路:湊微分。 解： ★(4) 思路:湊微分。 解： ★(5) 思路:湊微分。 解： ★★(6) 思路:如果你能看到，湊出易解。 解： ★(7) 思路:湊微分。 解： ★★(8) 思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。 解： ★★(9) 思路:本題關(guān)鍵是能夠看到 是什么，是什么呢？就是！這有一定難度！ 解： ★★(10) 思路:湊微分。 解： 方法一：倍角公式。 方法二：將被積函數(shù)湊出的函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)。 方法三： 三角公式，然后湊微分。 ★★(11) 思路:湊微分：。 解： ★(12) 思路:湊微分。 解： ★★(13) 思路:由湊微分易解。 解： ★★(14) 思路:湊微分。 解： ★★(15) 思路:湊微分。 解： ★(16) 思路:湊微分。 解： ★★(17) 思路:經(jīng)過(guò)兩步湊微分即可。 解： ★★(18) 思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解： ★★(19) 思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解： ★(20) 思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解： ★(21) 思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解： ★★(22) 思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解： ★(23) 思路:湊微分。。 解： ★★(24) 思路:降冪后分項(xiàng)湊微分。 解： ★★★(25) 思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。 解： ★★★(26) 思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。 解： ★★★(27) 思路:湊微分。 解： ★★(28) 思路:湊微分。 解： ★★(29) 思路:湊微分。 解： ★★★★(30) 思路:湊微分。 解： ★★★★(31) 思路:被積函數(shù)中間變量為，故須在微分中湊出，即被積函數(shù)中湊出， 解： ★★★★(32) 思路: 解： ★★★★(33) 解：方法一： 思路:將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)除以 ，則湊微分易得。 方法二： 思路:分項(xiàng)后湊微分 方法三： 思路: 將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以 ，裂項(xiàng)后湊微分。 ★★★★(34) 解：方法一: 思路：分項(xiàng)后湊積分。 方法二：思路:利用第二類(lèi)換元法的倒代換。 令，則。 ★★★★(35) 解：方法一: 思路：分項(xiàng)后湊積分。 方法二： 思路: 利用第二類(lèi)換元法的倒代換。 令，則。 3、求下列不定積分。 知識(shí)點(diǎn)：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí)。 思路分析：題目特征是----被積函數(shù)中有二次根式，如何化無(wú)理式為有理式？三角函數(shù)中，下列二恒等式起到了重要的作用。 為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。 ★★★(1) 思路:令，先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。 解：令，則。 （或） （萬(wàn)能公式，又時(shí)，） ★★★(2) 思路:令，三角換元。 解：令，則。 （時(shí)，） ★★★(3) 思路:令，三角換元。 解：令，則。 ★★★(4) 思路:令，三角換元。 解：令，則。 ★★★★(5) 思路:先令，進(jìn)行第一次換元；然后令，進(jìn)行第二次換元。 解：，令得： ，令，則， （與課本后答案不同） ★★★(6) 思路:三角換元，關(guān)鍵配方要正確。 解：，令，則。 ★★4、求一個(gè)函數(shù),滿足，且。 思路:求出的不定積分，由條件確定出常數(shù) 的值即可。 解： 令，又，可知， ★★★5、設(shè)，求證：，并求。 思路:由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù) 分開(kāi)成，進(jìn)而寫(xiě)成： ，分項(xiàng)積分即可。 證明： 習(xí)題4-3 1、 求下列不定積分： 知識(shí)點(diǎn)：基本的分部積分法的練習(xí)。 思路分析：嚴(yán)格按照“‘反、對(duì)、冪、三、指’順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號(hào)下湊微分。”的原則進(jìn)行分部積分的練習(xí)。 ★（1） 思路:被積函數(shù)的形式看作，按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序，冪函數(shù)優(yōu)先納入到微分號(hào)下，湊微分后仍為。 解： ★★（2） 思路：同上題。 解： ★（3） 思路：同上題。 解： ★★(4) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(5) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★(6) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(7) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(8) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(9) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(10) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(11) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(12) 思路：詳見(jiàn)第(10) 小題解答中間，解答略。 ★★(13) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(14) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(15) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(16) 思路： 將積分表達(dá)式寫(xiě)成，將看作一個(gè)整體變量積分即可。 解： ★★★ (17) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(18) 思路：先將降冪得，然后分項(xiàng)積分；第二個(gè)積分嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★(19) 思路：分項(xiàng)后對(duì)第一個(gè)積分分部積分。 解： ★★★(20) 思路：首先換元，后分部積分。 解：令，則 ★★★(21) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★★★(22) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：方法一： 方法二： ★★★(23) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： 令，則 所以原積分。 ★★★(24) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： 注：該題中的其他計(jì)算方法可參照習(xí)題4-2，2（33）。 ★★★(25) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： 注： 該題也可以化為 再利用分部積分法計(jì)算。 ★★★(26) 思路：將被積表達(dá)式 寫(xiě)成，然后分部積分即可。 解： 2、 用列表法求下列不定積分。 知識(shí)點(diǎn)：仍是分部積分法的練習(xí)。 思路分析：審題看看是否需要分項(xiàng)，是否需要分部積分，是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń獬觯挥昧斜矸ā? ★(1) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★(2) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解：。 ★(3) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★(4) 思路：分項(xiàng)后分部積分即可。 解： ★(5) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★(6) 思路：嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分即可。 解： ★3、已知是的原函數(shù)，求。 知識(shí)點(diǎn)：考察原函數(shù)的定義及分部積分法的練習(xí)。 思路分析：積分 中出現(xiàn)了，應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分， 條件告訴你是的原函數(shù)，應(yīng)該知道 解： 又 ★★4、已知，求。 知識(shí)點(diǎn)：仍然是分部積分法的練習(xí)。 思路分析：積分中出現(xiàn)了)，應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分。 解： 又 ★★★★5、設(shè)，；證明：。 知識(shí)點(diǎn)：仍然是分部積分法的練習(xí)。 思路分析：要證明的目標(biāo)表達(dá)式中出現(xiàn)了，和 提示我們?nèi)绾卧诒环e函數(shù)的表達(dá)式中變出 和 呢？這里涉及到三角函數(shù)中的變形應(yīng)用，初等數(shù)學(xué)中有過(guò)專(zhuān)門(mén)的介紹，這里可變?yōu)椤? 證明： ★★★★6、設(shè)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，為其反函數(shù)，且 ， 求：。 知識(shí)點(diǎn)：本題考察了一對(duì)互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系，還有就是分部積分法的練習(xí)。 思路分析：要明白這一恒等式，在分部積分過(guò)程中適時(shí)替換。 解： 又 又 習(xí)題4-4 1、 求下列不定積分 知識(shí)點(diǎn)：有理函數(shù)積分法的練習(xí)。 思路分析：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時(shí)，要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，若是假分式，通常將被積函數(shù)分解為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后再具體問(wèn)題具體分析。 ★(1) 思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后分項(xiàng)積分。 解： ★★★(2) 思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后分項(xiàng)積分。 解： 而 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解此方程組得： ★★★(3) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解：，令等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解此方程組得： ★★★(4) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： ，解此方程組得：。 ★★★(5) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解：，令 等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解此方程組得：。 ★★★(6) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： ；令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解此方程組得： ★★★(7) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解此方程組得： 而 ★★★(8) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 又由分部積分法可知： ★★★(9) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 令， 等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解之得： 而 ★★★(10) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： ；解之得：。 ★★★(11) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解之得： ★★★(12) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： ，解之得： ★★★★★(13) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解之得： 注：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證 本題的另一種解法： 注：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證。 ★★★★★(14) 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。 解： 又 注：本題再推到過(guò)程中用到如下性質(zhì)：（本性質(zhì)可由分部積分法導(dǎo)出。） 若記 ，其中為正整數(shù)，，則必有： 。 2、 求下列不定積分 知識(shí)點(diǎn)：三角有理函數(shù)積分和簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)積分法的練習(xí)。 思路分析：求這兩種積分的基本思路都是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理函數(shù)積分去完成。 ★★(1) 思路：分子分母同除以變?yōu)楹鬁愇⒎帧? 解： ★★(2) 思路：萬(wàn)能代換！ 解：令，則 注：另一種解法是： ★★(3) 思路：萬(wàn)能代換！ 解：令，則 ★★(4) 思路：利用變換！（萬(wàn)能代換也可，但較繁?。? 解：令，則 ★★(5) 思路：萬(wàn)能代換！ 解：令，則 ★★(6) 思路：萬(wàn)能代換！ 解：令，則 而 ★★★★(7) 思路一：萬(wàn)能代換！ 解：令，則 而， 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解之得： 思路二：利用代換！ 解：令，則 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解之得: 注：比較上述兩解法可以看出應(yīng)用萬(wàn)能代換對(duì)某些題目可能并不簡(jiǎn)單！ ★★★★(8) 思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)得，對(duì)兩個(gè)不定積分分別利用代換和萬(wàn)能代換！ 解： 對(duì)積分，令，則 令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得： 解之得： 對(duì)積分，令 ★★(9) 思路：變無(wú)理式為有理式，變量替換。 解：令則 ★★(10) 思路：變無(wú)理式為有理式，變量替換。 解：令 ★★(11) 思路：變無(wú)理式為有理式，變量替換。 解：令 ★★★(12) 思路：變無(wú)理式為有理式，變量替換。 解：令 ★★★(13) 思路：變無(wú)理式為有理式，三角換元。 解：令 ★★★(14) 思路：將被積函數(shù) 變形為后，三角換元。 解：令則； 注： 另一種解法，分項(xiàng)后湊微分。 ★★★(15) 思路：換元。 解：令，則 總習(xí)題四 ★1、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，則 (A) (B) -2 (C) -4 (D) 4 知識(shí)點(diǎn)：原函數(shù)的定義考察。 思路分析：略。 解：(B)。 ★2、設(shè)，則 。 知識(shí)點(diǎn)：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。 思路分析：對(duì)條件兩邊求導(dǎo)數(shù)后解出后代入到要求的表達(dá)式中，積分即可。 解：對(duì)式子兩邊求導(dǎo)數(shù)得： ★★3、設(shè)，且，求。 知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的定義考察。 思路分析：求出后解得，積分即可。 解： 又 ★★★4、設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且， 試求。 知識(shí)點(diǎn)：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。 思路分析：注意到，先求出，再求 即可。 解： 即 又 又 又。 5、求下列不定積分。 知識(shí)點(diǎn)：求不定積分的綜合考察。 思路分析：具體問(wèn)題具體分析。 ★★(1) 思路：變無(wú)理式為有理式，變量替換。 解：令，則 ★(2) 思路：變無(wú)理式為有理式，變量替換。 解：令，則。 ★★★(3) 思路：將被積函數(shù) 變?yōu)楹髶Q元或湊微分。 解：令，則。 ★★(4) 思路：湊微分。 解： ★★(5) 思路：將被積函數(shù)進(jìn)行配方后換元或先湊微分再換元。 解：方法一： 令，則 方法二： 令 再令，則 ★★★(6) 思路：倒代換！ 解：令，則 ★★★★(7) 思路：大凡被積函數(shù)的分子分母皆為同一個(gè)角的正余弦函數(shù)的線性組合的形式的積分，一般思路是將被積函數(shù)的分子寫(xiě)成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式，然后分項(xiàng)分別積分即可。 解： ★★★★(8) 思路：分項(xiàng)積分后對(duì)前一積分采用分部積分，后一積分不動(dòng)。 解： ★★★★6、求不定積分： 知識(shí)點(diǎn)：分部積分法考察兼顧湊微分的靈活性。 思路分析：分項(xiàng)后，第二個(gè)積分顯然可湊現(xiàn)成的微分，分部積分第二個(gè)積分，第一個(gè)積分不動(dòng)，合并同種積分，出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個(gè)任意常數(shù)即可。 解： 而 ★★★★7、設(shè)，求證：，并求。 知識(shí)點(diǎn)：分部積分法考察，三角恒等式的應(yīng)用，湊微分等。 思路分析：由要證明的目標(biāo)式子可知，應(yīng)將分解成，進(jìn)而寫(xiě)成 ，分部積分后即可得到。 證明： 。 ★★★8、 思路：化無(wú)理式為有理式，三交換元。 解：令，則。 ★★★9、設(shè)不定積分，若，則有。 思路：，提示我們將被積函數(shù)的分子分母同乘以后再積分。 解： 又 選。 10、求下列不定積分: 知識(shí)點(diǎn)：求無(wú)理函數(shù)的不定積分的綜合考察。 思路分析：基本思路——將被積函數(shù)化為有理式。 ★★★★(1)、 思路：先進(jìn)行倒代換，在進(jìn)行三角換元 。 解：令，則。 令，則。 ★★★(2)、 思路：進(jìn)行三角換元，化無(wú)理式為有理式。 解：令，則 注： ★★★(3)、 思路：進(jìn)行三角換元，化無(wú)理式為有理式。 解：令，則 ★★★★★(4)、 思路：進(jìn)行三角換元，化無(wú)理式為有理式。 解：令，則 ★★★(5)、 思路：進(jìn)行三角換元，化無(wú)理式為有理式。 解：令，則 11、求下列不定積分: 知識(shí)點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。 思路分析：基本思路——嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分。 ★★★(1)、 思路：分部積分。 解： ★★(2)、 思路：分部積分。 解： 。 ★★★★(3)、 思路：分部積分。 解： ★★★(4)、 思路：分項(xiàng)后分部積分。 解： ★★★★(5)、 思路：分部積分后 倒代換。 解： 對(duì)于積分應(yīng)用倒代換，令，則， ★★★(6)、 思路：將被積函數(shù)變形后分部積分。 解： 。 ★★★12、求不定積分:為自然數(shù)。 知識(shí)點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。 思路分析：基本思路——嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分，推一個(gè)遞推關(guān)系式。 解： ★★★13、求不定積分: 知識(shí)點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。 思路分析：基本思路——嚴(yán)格按照“反、對(duì)、冪、三、指”順序湊微分，分項(xiàng)后分別積分。 解： 14、求下列不定積分: 知識(shí)點(diǎn)：求解較復(fù)雜的有理函數(shù)和無(wú)理函數(shù)的不定積分。 思路分析：基本思路——有理式分項(xiàng)、無(wú)理式化為有理式。 ★★★★(1)、 思路：將被積函數(shù)化為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后積分。 解： ★★★★(2)、 思路：將被積函數(shù)化為一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后積分。 解： 對(duì)采用倒代換，令，則。 而 ★★★★(3)、 思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)后分部積分。 解： ★★★(4)、 思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)分項(xiàng)后積分。 解： ★★★★(5)、 思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)后積分。 解：令，等式右邊通分后比較等式兩邊分子上的同次冪項(xiàng)的系數(shù)得：； 解之得： ★★★(6)、 思路:化無(wú)理式為有理式，第二類(lèi)換元法。該題中欲同時(shí)去掉，，應(yīng)令。 解：令，則 ★★★★(7)、 思路:分母有理化，換元。 解： 對(duì)于積分，令，則 對(duì)于積分，令，則 ★★★★★(8)、 思路：換元倒代換。 解：令，則 （解題過(guò)程中涉及到開(kāi)方，不妨設(shè)，若小于零，不影響最后結(jié)果的形式。也就是：不論正負(fù)，結(jié)果都一樣。） ★★★(9)、 解答詳見(jiàn)習(xí)題4-4第2題的（15）題。 ★★★★★(10)、 思路:“一路”換元。 解： 令，則 令則 15、求下列不定積分: 知識(shí)點(diǎn)：求解較復(fù)雜的三角函數(shù)有理式的不定積分。 思路分析：基本思路——三角代換等，具體問(wèn)題具體分析。 ★★★(1)、 思路:萬(wàn)能代換。 解：令，則 ★★★(2)、 思路:萬(wàn)能代換。 解：令，則 ★★★★★(3)、 思路:將被積函數(shù)的分子1變換一下，。 解： ★★★★★(4)、 思路:注意到，而，此題易解。 解： ★★★★★(5)、 思路:將被積函數(shù)積化和差。 解： 注：另一種解法是： ★★★★★(6)、 思路:注意到被積函數(shù)的分子，分母，易解。 解： ★★★★★(7)、、 思路:萬(wàn)能代換。 解：令，則，代入得： ★★★★★(8)、 思路:非常典型的解題思路----將被積函數(shù)的分子表示成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式。 解： ★★★★16、求 知識(shí)點(diǎn)：被積函數(shù)表現(xiàn)為一個(gè)分段函數(shù)，則不定積分也表現(xiàn)為一個(gè)分段函數(shù)。 思路分析：基本思路——討論。 解：當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由的連續(xù)性可知：設(shè) ★★★★17、設(shè)求 思路: 變量替換。 解：令，則 。 ★★★★18、設(shè)定義在上，,又在連續(xù)，為的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，問(wèn)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？ 知識(shí)點(diǎn)：考察對(duì)原函數(shù)定義的理解。 思路分析：反證法。 解證：假設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，考察在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)， 而 在點(diǎn)連續(xù)，這與為的第一類(lèi)間斷點(diǎn)矛盾！ 課外典型例題與習(xí)題解答 ★★★1、 思路分析：此題屬于有理函數(shù)的積分，且分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，可使用倒代換。下面的解答采用另一種方法，仔細(xì)體會(huì)，你會(huì)收獲不??！ 解： ★★★2、 思路分析：此題屬于有理函數(shù)的積分，且分子的次數(shù)大于分母的次數(shù)。經(jīng)典的解法----將被積函數(shù)寫(xiě)成一個(gè)整式加上一個(gè)真分式的形式，然后分項(xiàng)積分。 解： ★★★3、 思路分析：經(jīng)典思路----若被積函數(shù)為弦函數(shù)的奇數(shù)次冪，則取其一次湊微分，余下部分化為余函數(shù)的形式積分即可。 解： ★★★4、 思路分析：經(jīng)典思路----若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶數(shù)次冪，則將被積函數(shù)降冪，然后分項(xiàng)積分即可。 解： ★★★5、 思路分析：經(jīng)典思路----大凡被積函數(shù)表現(xiàn)為反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等五大類(lèi)基本初等函數(shù)中的某兩類(lèi)的乘積的形式，則使用分部積分法求解！且按照“反、對(duì)、冪、三、指”的順序，順序排后者優(yōu)先納入到微分號(hào)下湊微分。其中“反、對(duì)、冪、三、指”依次代表“反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)”五類(lèi)函數(shù)。 解： 6、 思路分析： 湊微分。 解： 。 7、 思路分析： 湊微分。 解： 注：第一類(lèi)換元法，6、7小題均為中間變量較復(fù)雜的情形，這需要大家對(duì)第3章求導(dǎo)數(shù)過(guò)程比較熟悉，請(qǐng)大家好好體會(huì)！ 8、 解： 方法一：湊微分。注意到被積函數(shù)中有，而，這同樣需要大家對(duì)經(jīng)常出現(xiàn)的求導(dǎo)過(guò)程比較熟悉。 方法二：分部積分法。先分項(xiàng)，再用分部積分法，注意到。 9、 思路：湊微分。三角函數(shù)，且。 解： 10、設(shè)計(jì)算（2000年數(shù)學(xué)二、三） 思路：先求出，再根據(jù)分部積分法計(jì)算。 解： 令，則帶入原式得： ，故 具體求解過(guò)程見(jiàn)習(xí)題4-3，1（24）。 11、 （94年數(shù)學(xué)二） 思路： 分部積分法。。 解： 12、 （98年數(shù)學(xué)二） 思路： 分部積分法。 解： 13、已知，求。 思路：先求，再積分求。 解： 。 13、 （01年數(shù)學(xué)一） 思路：綜合題。 解： 14、設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，是指的充要條件是，則下列說(shuō)法正確的是 。（05年數(shù)學(xué)二） （A ）是偶函數(shù)是奇函數(shù)； （B） 是奇函數(shù)是偶函數(shù)； （C）是周期函數(shù)是周期函數(shù)； （D）是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)； 思路：，用排除法。 解： 對(duì)（B） 令，則為其一個(gè)原函數(shù)，但非奇非偶。 （C） 令，其周期為，不是周期函數(shù)。 （D）令，單增函數(shù)。但不是單調(diào)函數(shù)。 故答案為 A。