高等數(shù)學有理式的不定積分方法.ppt

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1 有理式的不定積分 3 3有理式的不定積分與有理化方法 有理函數(shù) 時 為假分式 時 為真分式 有理函數(shù) 多項式 真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式為 部分分式 有理函數(shù)積分法 如果有一個重實根 則的部分分式中一定包含下列形式的項部分分式之和 如果中包含因子時 則的部分分式中一定包含下列形式的項部分分式之和 例如將真分式分解成部分分式 四種典型部分分式的積分 變分子為 再分項積分 而最后一個積分可以用上上一節(jié)例6中的遞推公式 說明 遞推公式 已知 利用遞推公式可求得 例如 例1求 解 第一種方法 待定系數(shù)法 可以用如下的方法求出待定系數(shù) 上式通分后得 比較恒等式兩端同次冪的系數(shù) 得一方程組 從而解得 故有 于是 化簡并約去兩端的公因子后為 得 例2求 兩端去分母 得 或 比較兩端的各同次冪的系數(shù)及常數(shù)項 有 解之得 解 補例 解 例3求 解 即有 即 或 總之 有理函數(shù)分解為多項式及部分分式之和以后 各個部分都能積出 且原函數(shù)都是初等函數(shù) 此外 由代數(shù)學知道 從理論上說 多項式Q x 總可以在實數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的乘積 從而把有理函數(shù)分解為多項式與部分分式之和 因此 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) 但是 用部分分式法求有理函數(shù)的積分 一般說來計算比較繁 只是在沒有其它方法的情況下 才用此方法 例4求 解 補例求 解原式 注意本題技巧 按常規(guī)方法較繁 1 三角有理式 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù) 三角函數(shù)有理式可記為 2 三角函數(shù)有理式的不定積分 2 三角有理式的積分法 令 萬能替換公式 例4求 解 令 則 注 1 用萬能代換一定能將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分 2 萬能代換不一定是最好的 3 常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法 非 萬能的 1 若R sinx cosx R sinx cosx 可取u cosx為積分變量 2 若R sinx cosx R sinx cosx 可取u sinx為積分變量 3 若R sinx cosx R sinx cosx 可取u tanx為積分變量 例5求 解 例6求 解 例7求 解 注 3 某些根式的不定積分 令 令 被積函數(shù)為簡單根式的有理式 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分 例如 令 例8求 解令 則 原式 例9求 解令 則 原式 補例求 解為去掉被積函數(shù)分母中的根式 取根指數(shù)2 3的 最小公倍數(shù)6 則有 原式 令 內(nèi)容小結(jié) 1 可積函數(shù)的特殊類型 有理函數(shù) 分解 多項式及部分分式之和 三角函數(shù)有理式 萬能代換 簡單無理函數(shù) 三角代換 根式代換 2 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 簡便計算 簡便 習題3 37 9 13 19 21 25 31 33