2018年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員系列 專題26 三角形（含解析）

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1、 考點(diǎn)二十六：三角形 聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解 一、三角形 1、三角形中的主要線段 （1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。 （2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。 （3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。 2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論 （1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。 推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。 （2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用： ①判斷三條已知線段能否組成三角形 ②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三

2、邊的范圍。 ③證明線段不等關(guān)系。 3、三角形的內(nèi)角和定理及推論 三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。 推論： ①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 ②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。 ③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 注：在同一個(gè)三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。 二、全等三角形 1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”） （2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“A

3、SA”） （3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”） 2.全等三角形的性質(zhì)： 三、等腰三角形 1、等腰三角形的性質(zhì)定理及推論： 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角） 推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。 推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。 2、等

4、腰三角形的判定定理及推論： 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 3、三角形中的中位線 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。 名師點(diǎn)睛☆典例分類 考點(diǎn)典例一、三角形的性質(zhì) 【例1】（2017郴州第8題）小明把一副的直角三角板如圖擺放

5、，其中，則等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故選B． 考點(diǎn)：三角形的外角的性質(zhì). 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，利用三角形的外角的性質(zhì)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可解決有關(guān)角的計(jì)算問題． 【例2】（2017貴州遵義第10題）如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是（　?。? A．4.5 B．5 C

6、．5.5 D．6 【答案】A. 【解析】 試題分析：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)， ∴AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，CF是△ACD的中線，AF是△ABE的中線，AG是△ACE的中線， ∴△AEF的面積=×△ABE的面積=×△ABD的面積=×△ABC的面積=， 同理可得△AEG的面積=， △BCE的面積=×△ABC的面積=6， 又∵FG是△BCE的中位線， ∴△EFG的面積=×△BCE的面積=， ∴△AFG的面積是×3=， 故選：A． 考點(diǎn)：三角形中位線定理；三角形的面積． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一

7、條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用． 【舉一反三】 1.（2017甘肅慶陽第6題）將一把直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=45°，則∠2為（　?。? A．115° B．120° C．135° D．145° 【答案】C． 2.（2017湖南張家界第5題）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果△ADE的周長是6，則△ABC的周長是（　　） A．6　　　　　　B．12　　　　　　C．18　　　　　　D．24 【答案】B． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 考點(diǎn)典例二、等腰

8、三角形 【例3】（2017湖北武漢第10題）如圖，在中，，以的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（ ） A．4 B．5 C． 6 D．7 【答案】C 【解析】 試題解析：①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，△BCD就是等腰三角形； ②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，△ACE就是等腰三角形； ③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分線交AC

9、于G，則△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形． 故選C. 考點(diǎn)：等腰三角形. 【點(diǎn)睛】本題考查了畫等腰三角形；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論． 【舉一反三】 1. （2017海南第13題）已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（ ）條． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B. 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì). 2.（2016湖南湘西州第14題）一個(gè)

10、等腰三角形一邊長為4cm，另一邊長為5cm，那么這個(gè)等腰三角形的周長是（　?。? A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不對 【答案】C. 【解析】 試題分析：分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰兩種情況：①當(dāng)4cm為等腰三角形的腰時(shí)，三角形的三邊分別是4cm，4cm，5cm符合三角形的三邊關(guān)系，周長為13cm；②當(dāng)5cm為等腰三角形的腰時(shí)，三邊分別是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系，周長為14cm，故答案選C. 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 考點(diǎn)典例三、全等三角形 【例4】（2017湖南懷化第15題）如圖，，，請你添加

11、一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ，使得. 【答案】CE=BC．本題答案不唯一． 【解析】 試題解析：添加條件是：CE=BC， 在△ABC與△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC． 故答案為：CE=BC．本題答案不唯一． 點(diǎn)：全等三角形的判定． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，證明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，還有直角三角形的HL定理． 【舉一反三】 （2017湖南懷化第6題）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，．寫出與之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【答案】證明見解析： 【解析】 試題分析：通過證明ΔCDF≌ΔABE，即可得出結(jié)論 試題解析：CD

12、與AB之間的關(guān)系是：CD=AB，且CD∥AB 證明：∵CE=BF，∴CF=BE 在ΔCDF和ΔBAE中 ∴ΔCDF≌ΔBAE ∴CD=BA，∠C=∠B ∴CD∥BA 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì). 考點(diǎn)典例四、相似三角形 【例5】（2017哈爾濱第9題）如圖，在中，分別為邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A錯(cuò)誤； B、∵DE∥BC，∴，故B錯(cuò)誤； C、∵DE∥BC，∴，故C正確； D、∵DE∥B

13、C，∴△AGE∽△AFC，∴，故D錯(cuò)誤； 故選C 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方，用△BDE的面積表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 （2017甘肅蘭州第13題）如圖，小明為了測量一涼亭的高度(頂端到水平地面的距離)，在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺階等高的臺階(米，三點(diǎn)共線)，把一面鏡子水平放置在平臺上的點(diǎn)處，測得米，然后沿直線后退到點(diǎn)處，這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹?，測得米，小明身高米，則涼亭的高度約為( ) A.米 B.米

14、 C.米 D.10米 【答案】A. 【解析】 故選A． 點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用． 考點(diǎn)典例五、位似三角形 【例6】（2017黑龍江綏化第6題）如圖， 是在點(diǎn)為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若的面積與的面積比是，則為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：位似變換． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的面積比等于位似比的平方得出是解題關(guān)鍵． 【舉一反三】 （2017甘肅蘭州第17題）如圖，四邊形與四邊形相似，位似中心點(diǎn)是，，則 . 【答案】 【解析】 試

15、題解析：如圖所示： ∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 考點(diǎn)：位似變換． 考點(diǎn)典例六：直角三角形 【例7】（2017遼寧大連第8題）如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長為（ ） A． B． C. D． 【答案】B. 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線. 【點(diǎn)睛】本題可以考查直角三角形的性質(zhì)，觀察圖形根據(jù)條件能夠看出CE是Rt△ABC的斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵． 【例8】（2017甘肅蘭州第3題）如圖，一個(gè)斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，

16、那么這個(gè)斜坡與水平地面夾角的正切值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C． 考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題． 【點(diǎn)睛】本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比邊． 【舉一反三】 1.（2017江蘇無錫第10題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線段CE的長等于（　?。? A．2 B． C． D． 【答案】D． 【解析】 試題解析：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC

17、于H． 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3， ∴BC==5， ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB=， ∵?BC?AH=?AB?AC， ∴AH=， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形， ∵?AD?BO=?BD?AH， ∴OB=， ∴BE=2OB=， 在Rt△BCE中，EC= . 故選D． 考點(diǎn)：1.翻折變換（折疊問題）；2.直角三角形斜邊上的中線；3.勾股定理． 2. （2017河池第12題）已知等邊的邊長為，是上的動(dòng)點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，的長是（） A． B．

18、 C. D． 【答案】B. 【解析】 試題分析：設(shè)AD=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定義得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論． 設(shè)AD=x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AC于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB， ∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x， ∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24， ∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4． 故選B． 考

19、點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形. 課時(shí)作業(yè)☆能力提升 一、選擇題 1. （2017甘肅慶陽第8題） 已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡|a+b-c|-|c-a-b|的結(jié)果為（　　） A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0 【答案】D 【解析】 試題解析：∵a、b、c為△ABC的三條邊長， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =0． 故選D． 考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系． 2. （2017貴州黔東南州第2題）如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數(shù)是（　　） A．120° B．90° C

20、．100° D．30° 【答案】C． 【解析】 試題解析：∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故選：C． 考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)． 3. （2017重慶A卷第8題）若△ABC～△DEF，相似比為3：2，則對應(yīng)高的比為（　?。? A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9 【答案】A． 【解析】 試題解析：∵△ABC～△DEF，相似比為3：2， ∴對應(yīng)高的比為：3：2． 故選A． 考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì). 4. （2017浙江嘉興第2題）長度分別為，，的三條線段能組成一個(gè)三角形，的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C.

21、 【解析】 試題解析：由三角形三邊關(guān)系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9． 因此，本題的第三邊應(yīng)滿足5＜x＜9，把各項(xiàng)代入不等式符合的即為答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式， 故選C． 考點(diǎn)：三角形的三邊關(guān)系. 5. （2017湖南株洲第5題）如圖，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，則∠BAD=（　?。? A．145° B．150° C．155° D．160° 【答案】B. 【解析】 試題分析：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°， ∴6x=180，∴x=30，

22、∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故選B． 考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理． 6. （2017湖南株洲第10題）如圖示，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)．三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocard point）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點(diǎn)Q為△DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1，則EQ

23、+FQ=（　?。? A．5 B．4 C．3+ D．2+ 【答案】D. 【解析】 試題分析：如圖，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3， ∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3， ∴△DQF∽△FQE，∴， ∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+， 故選D. 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 二、填空題 7. （2017湖南常德第14題）如圖，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是線段AE上的一動(dòng)點(diǎn)，過D作CD交BE于C，并使得∠C

24、DE=30°，則CD長度的取值范圍是 ． 【答案】0≤CD≤5． 考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線． 8. （2017黑龍江齊齊哈爾第17題）經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段是的“和諧分割線”，為等腰三角形，和相似，，則的度數(shù)為 ． 【答案】113°或92°． 【解析】 試題分析：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°， ∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴

25、∠ADC＞∠A，即AC≠CD， ①當(dāng)AC=AD時(shí)，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°， ②當(dāng)DA=DC時(shí)，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°， 故答案為113°或92°． 考點(diǎn)：1.相似三角形的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)． 9. （2017黑龍江綏化第20題）在等腰中，交直線于點(diǎn)，若，則的頂角的度數(shù)為 ． 【答案】30°或150°或90°． 【解析】 試題分析：①BC為腰， ∵AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BC，∴∠ACD=30°， 如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，頂角∠C=30°， 如圖2，AD在△A

26、BC外部時(shí)，頂角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC為底，如圖3， ∵AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°， ∴頂角∠BAC=90°， 綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°． 考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性質(zhì)． 10. （2017黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長為2 的等腰直角三角形各邊中點(diǎn)得到第1個(gè)小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點(diǎn)得到第2個(gè)小三角形，如此操作下去，則第個(gè)小三角形的面積為 ． 【

27、答案】 【解析】 試題分析：記原來三角形的面積為s，第一個(gè)小三角形的面積為s1，第二個(gè)小三角形的面積為s2，…， ∵s1= ?s= ?s， s2=?s=?s， s3=?s， …… ∴sn=?s=??2?2=. 考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.等腰直角三角形． 11. （2017湖北咸寧第16題）如圖，在中，，斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線上滑動(dòng)，下列結(jié)論： ①若兩點(diǎn)關(guān)于對稱，則； ②兩點(diǎn)距離的最大值為； ③若平分，則； ④斜邊的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長為. 其中正確的是 ． 【答案】①②③． 試題分析：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=3

28、0°， ∴AB=4，AC= ， ①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，如圖1， ∴AB是OC的垂直平分線， 則OA=AC=2； 所以①正確； ②如圖1，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE、CE， ∵∠AOB=∠ACB=90°， ∴OE=CE=AB=2， 當(dāng)OC經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，OC最大， 則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4； 所以②正確； ③如圖2，同理取AB的中點(diǎn)E，則OE=CE， ∵AB平分CO， ∴OF=CF， ∴AB⊥OC， 所以③正確； ④如圖3，斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的，則：=π．所以④不正確； 綜上所述，本題正確的有：①②③； 考點(diǎn)：

29、三角形綜合題． 三．解答題 12. （2017四川瀘州第18題）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一條直線上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求證：AB=DE． 【答案】證明見解析. 【解析】 試題分析：欲證明AB=DE，只要證明△ABC≌△DEF即可． 試題解析：∵AF=CD， ∴AC=DF， ∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE． 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)． 13. （2017江蘇徐州第25題）如圖，已知，垂足為，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接. （1）線

30、段 ； （2）求線段的長度. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】 試題分析：（1）證明△ACD是等邊三角形，據(jù)此求解； （2）作DE⊥BC于點(diǎn)E，首先在Rt△CDE中利用三角函數(shù)求得DE和CE的長，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解． 試題解析：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°， ∴△ACD是等邊三角形， ∴DC=AC=4． （2）作DE⊥BC于點(diǎn)E． ∵△ACD是等邊三角形， ∴∠ACD=60°， 又∵AC⊥BC， ∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°， ∴Rt△CDE中，DE=DC=2， CE=DC?cos30°=

31、4×， ∴BE=BC-CE=3-2=． ∴Rt△BDE中，BD=． 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 14. （2017湖南株洲第22題）如圖示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF． ①求證：△DAE≌△DCF； ②求證：△ABG∽△CFG． 【答案】①.證明見解析；②證明見解析. 【解析】 試題分析：①由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；②由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到∠BAG=∠BCF，再由對頂角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證． 試

32、題解析：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF， ∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△CDF中，， ∴△ADE≌△CDF； ②延長BA到M，交ED于點(diǎn)M， ∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF， ∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF， ∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG． 考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 15.

33、 （2017湖南常德第26題）如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F． （1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE； （2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論； （2）①過G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根據(jù)已知條件設(shè)DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，求得

34、GM=2MC； ②過C作CN⊥AD交AD的延長線于N，則CN∥AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；和差倍分． 16. （2017內(nèi)蒙古呼和浩特第18題）如圖，等腰三角形中，，分別是兩腰上的中線． （1）求證：； （2）設(shè)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段和的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹匦牡巾旤c(diǎn)的距離與底邊長相等時(shí)，判斷四邊形的形狀，無需說明理由． 【答案（1）證明見解析；（2）四邊形DEMN是正方形. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到AD

35、=AE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到ED∥BC，ED=BC，MN∥BC，MN=BC，等量代換得到ED∥MN，ED=MN，推出四邊形EDNM是平行四邊形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四邊形EDNM是矩形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OB=OC，由三角形的重心的性質(zhì)得到O到BC的距離=BC，根據(jù)直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到結(jié)論． 試題解析：（1）由題意得，AB=AC， ∵BD，CE分別是兩腰上的中線，∴AD=AC，AE=AB，∴AD=AE， 在△ABD和△ACE中 ，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE； 考點(diǎn)：1

36、.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性質(zhì)． 17. （2017上海第21題）如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是△ABC，水平橫梁BC長18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中點(diǎn)，且AD⊥BC． （1）求sinB的值； （2）現(xiàn)需要加裝支架DE、EF，其中點(diǎn)E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，求支架DE的長． 【答案】（1）sinB= ；（2）DE =5． 【解析】 試題分析：（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)sinB=計(jì)算即可； （2）由EF∥AD，BE=2AE，可得 ,求出EF、DF即可利用勾股定理解決問題； 考點(diǎn)：1.解直角三角形的應(yīng)用；2.平行線分線段成比例定理. 27