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1、第十六章 二 次 根 式
1.二次根式的相關概念
(1)正確理解二次根式的概念要把握以下幾點:
①二次根式是從形式上定義的,必須含有二次根號;
②在二次根式中,被開方數可以是數,也可以是單項式、多項式、分式等代數式,但必須注意:因為負數沒有平方根,都必須滿足被開方數(式)是非負數;
③根指數是2;
④形如b(a≥0)的式子也是二次根式.
【例1】要使二次根式有意義,x必須滿足 ( )
A.x≤2 B.x≥2
C.x<2 D.x>2
【標準解答】選B.根據題意,得x-2≥0,解得x≥2.
(2)正確
2、理解最簡二次根式:
①被開方數中不含分母,也就是被開方數必須是整數或整式;
②被開方數中每個因數或因式的指數都是1.
【例2】下列二次根式中的最簡二次根式是 ( )
A. B.
C. D.
【標準解答】選A.=2,=2,=,而是最簡二次根式.
1.要使代數式有意義,則x的 ( )
A.最大值是 B.最小值是
C.最大值是 D.最小值是
2.下列屬于最簡二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
2.非負數性質的應用
在實數范圍內,正數和零統(tǒng)稱非負數.我們
3、已學過的非負數有如下形式:
(1)任何一個數a的絕對值是非負數,即|a|≥0.
(2)任何一個數a的平方是非負數,即a2≥0.
(3)任何非負數的算術平方根是非負數,即≥0(a≥0).
即若a為實數,則a2,|a|,(a≥0)均為非負數.
非負數具有以下性質:
(1)非負數的最小值為零.
(2)有限個非負數的和仍是非負數.
(3)若幾個非負數的和等于零,則每個非負數都等于零.
【例】若x,y為實數,且|x+2|+=0,則(x+y)2 016的值為 .?
【標準解答】根據絕對值和算術平方
4、根的意義可知,
|x+2|≥0,≥0,
又因為|x+2|+=0,
因此|x+2|=0,=0,
∴x+2=0,y-3=0,∴x=-2,y=3,
∴(x+y)2 016=1.
答案:1
1.已知實數x,y滿足-1+|y+3|=0,則x+y的值為 ( )
A.-2 B.2 C.4 D.-4
2.若+(y+2)2=0,則(x+y)2 014等于 ( )
A.-1 B.1 C.32 014 D.-32 014
3.化簡二次根式的技巧
(1)被開方數是帶分數
先把帶分數化成假分數,再把分子、分母乘以適當的數,把分
5、母變成平方數,應用商的算術平方根的性質把分母中的數開出來.
【例1】化簡:.
【標準解答】原式====.
(2)被開方數為單項式
先把單項式寫成數或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數或字母開出來.
【例2】化簡:.
【標準解答】=
=2ab2.
(3)被開方數為多項式
先把多項式分解因式成數或字母積的平方與另一因式積的形式,再把能開出來的數或字母開出來.
【例3】化簡:.
【標準解答】原式=
=2x2y.
(4)被開方數是分式
把分式的分母和分子乘以適當的數或字母,把分母變成平方數(式),應用商的算
6、術平方根的性質把分母中的數或字母開出來.
【例4】化簡:.
【標準解答】原式=
==.
1.化簡的結果是 ( )
A.4 B.2 C.3 D.2
2.化簡:= .?
3.若=3-x,則x的取值范圍是 .?
4.二次根式的有關運算
(1)二次根式的乘除運算有兩種策略:一是先把它們都化成最簡二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法則化簡.要根據題目的特點靈活選擇,單純的乘除混合運算,一般采用第二種方法.
【例1】計算×的結果是 ( )
A. B.4 C. D.2
【標準解答】選B.×==4.
7、 (2)二次根式的加減運算,可以簡記為“一化,二找,三合并”,即①把二次根式化成最簡二次根式;②找出被開方數相同的根式;③合并被開方數相同的二次根式.(被開方數不同的不能合并)
【例2】計算-3= .?
【標準解答】原式=2-3×=2-=.
答案:
(3)二次根式的混合運算,首先要搞清楚運算的順序,其次是認真觀察式子的結構特點,能利用運算律或公式的,要優(yōu)先考慮使用運算律或公式(或公式的逆用),簡化運算.在有理數范圍內成立的運算律、運算法則、公式及因式分解、約分、通分等方法對二次根式同樣適用.
【例3】計算:×= .?
【標準解答】原式=-=9-1=8.
8、答案:8
1.計算:-2等于 .?
2.計算的結果是 .?
3.計算:(+)2-= .?
5.數學思想在解答二次根式題目中的應用
(1)轉化思想
轉化思想是將不易解決的問題變成我們容易解決的問題,從而達到將抽象轉化為具體,復雜轉化為簡單的一種數學思想.如例1中,將復雜的形式轉化成積的乘方的形式,再利用平方差公式知識求解.
【例1】計算(1+)2 012(1-)2 013.
【標準解答】原式=
(1+)2 012(1-)2 012(1-)
=(1-)
=(-1)2 012(1-)=1-.
(2)分類討論思想
9、 有的數學問題可能有幾種情況,在未具體指明哪種情況時,需要對各種情況進行討論,確?！安恢夭宦?
【例2】已知|a|=2,=4,且ab<0,則a+b的值為 .?
【標準解答】|a|=2,則a=±2, =4,
則|b|=4,b=±4.
又ab<0,則當a=2時,b=-4.
當a=-2時,b=4.于是a+b=-2或2.
(3)整體思想
整體思想就是化零為整,化分散為集中的一種思想方法.有的題目直接代入計算比較繁瑣,且比較容易出錯.仔細觀察所求的代數式發(fā)現可以變形,整體代入計算可起到化繁為簡的目的.
【例3】當x=-,y=+時,求x2+xy+y2的值.
【
10、標準解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy,
又x+y=2,xy=-1.
于是x2+xy+y2=(2)2-(-1)=9.
(4)數形結合思想
我國著名數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形少數時難入微;數形結合百般好,隔離分家萬事休.” 本例利用數形結合思想,通過觀察和分析可從數軸上獲取一些信息,然后結合二次根式的性質解決問題.
【例4】實數a,b在數軸上的位置如圖所示,
化簡 --.
【標準解答】通過觀察數軸可以看到a<0,b>0.
于是a-b<0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.
1.實數a在數軸上的位置
11、如圖所示,則+ 化簡后為 ( )
A.7 B.-7
C.2a-15 D.無法確定
2.已知x=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x+2y的值.
答案解析：
1.二次根式的相關概念
【跟蹤訓練】
1.【解析】選A.由二次根式有意義的條件得2-3x≥0,∴x≤,故選A.
2.【解析】選A.因為B.,被開方數中含有分母,C.==,D.=3.
2.非負數性質的應用
【跟蹤訓練】
1.【解析】選A.∵+|y+3|=0,
∴x-1=0,y+3=0;∴x=1,y=-3,
∴原式=1+(-3)=-2.
2.【解析】選B.∵+(y+2)2=0,
12、
∴解得
∴(x+y)2 014=(1-2)2 014=1.
3.化簡二次根式的技巧
【跟蹤訓練】
1.【解析】選B.=2.
2.【解析】==2.
答案:2
3.【解析】∵≥0,
∴3-x≥0,即x≤3.
答案:x≤3
4.二次根式的有關運算
【跟蹤訓練】
1.【解析】原式=3-2×=3-=2.
答案:2
2.【解析】原式=×=5.
答案:5
3.【解析】(+)2-=5+2-2=5.
答案:5
5.數學思想在解答二次根式題目中的應用
【跟蹤訓練】
1.【解析】選A.由數軸可知5
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