【備戰(zhàn)2014】北京中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測+范例選講)綜合能力題選講第25講建構(gòu)函數(shù)

6/4 建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問題 題型預(yù)測 應(yīng)用題是高考考查的重點(diǎn)，也是考生得分的難題，近年來該類試題的特點(diǎn)日趨鮮明：1.應(yīng)用題的信息來源真實(shí)可靠；2.應(yīng)用題的個數(shù)明顯在增加；3.注重考查學(xué)生動腦、動手能力及應(yīng)用的能力（如2002年文科22題）。從高考應(yīng)用題來看，涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式等高中主要板塊的內(nèi)容，是歷年高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn). 解答函數(shù)型應(yīng)用題，一般先從建立函數(shù)的解析表達(dá)式入手，通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得解 答?因此，這類問題的難點(diǎn)一般有兩個：一是解析式的建立，二是數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用. X例選講 例1?某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該 商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計(jì)利息）. 已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價為每件40元; 該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元， 該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月13200元. （I）若當(dāng)銷售價p為52元/件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)； （H）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時每件消費(fèi)品的價格定為多少元？ 講解本題題目的篇幅較長，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要劃分段落層次，弄清每一層次獨(dú)立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面.由題目的問題找到關(guān)鍵 詞一一“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤”相關(guān). 從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題?為此，首先應(yīng)該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價p之間的關(guān)系，然后， 通過研究解析式，來對問題作出解答. 由于銷售量和各種支出均以月為單位計(jì)量，所以，先考慮月利潤. （I）設(shè)該店的月利潤為S元，有職工m名?貝U Sqp40100600m13200. 2p140,40p58 又由圖可知：q p8258p81 2p140p40100600m1320040p58 所以，S p82p40100600m1320058<p81 由已知，當(dāng)p52時，S0，即卩 2p140p40100600m132000, 解得m50?即此時該店有50名職工. (n)若該店只安排40名職工，則月利潤 2p140p401003720040p58 S p82p401003720058<p81 當(dāng)40p58時，求得p55時，S取最大值7800元. 當(dāng)58p81時，求得p61時，S取最大值6900元. 綜上，當(dāng)p55時，S有最大值7800元. 設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，有 12n78002680002000000. 解得n5. 所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時消費(fèi)品的單價定為55元. 點(diǎn)評求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)： (1)閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義. (2)建模關(guān)：即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. (3)數(shù)理關(guān)：運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型. 例2.一位救生員站在邊長為100米的正方形游泳池ABCD的A處(如圖)，發(fā)現(xiàn)C 處有一位溺水者.他跑到E處后，馬上跳水沿直線EC游到C處,已知救生員跑步的速度為米V/分，游泳的速度為V米/分. 2 試問，救生員選擇在何處入水才能最快到達(dá)C處，所用的最短時 間是多少？ 講解：理解本題并不難：應(yīng)該建立時間t(分)關(guān)于某個變量的 函數(shù)關(guān)系式，然后，通過求最值的方法來解決問題. 難點(diǎn)在于變量的選擇，當(dāng)然，我們可以選擇以AE的長度x x (米)作為變量，但此時t- V 2L1002 2 100x 求最值較為困難. 注意到：AE和EC的長度，可以方便的用角表示，不必用到根號，所以我們可以嘗試以 CEB作為變量. 設(shè)CEB，貝UAE100 lOOcot ,CE 100 sin ，所以, 100 100 50 等號當(dāng)且僅當(dāng) 此時，AE 200 vsin 100 2cos sin tan2- 2 1tan2— 2 2tan— 2 1tan2- 2.3 100 100 3tan 2 2t9n2 100 50 1 3tantan2 2 tan— 2 3tan乙，即tani ¥，即 3時成立 100心,t 3 他皿?也即, 救生員應(yīng)該在AB邊上距 t100100.3 B10^3米處入水，才能最快到達(dá)C處，所用的最短時間為 3 點(diǎn)評（1）恰當(dāng)選擇變量，有助于簡化數(shù)學(xué)過程；（2）本題中，若以AEx為自變量, 也可通過三角代換（或移項(xiàng)、平方、判別式等）來求得最值. 例3?某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品?根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系: 1 96x 1xc,xN 其中c為小于96的正常數(shù) xc,xN 注：次品率P次品數(shù)，如P0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品?其余為合格生產(chǎn)量 品. A 已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希 2 望定出合適的日產(chǎn)量. （I）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)； （n）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？ 講解： 212A ⑴當(dāng)xc時，P3，所以，每天的盈利額T3xAaxi0? 當(dāng)1xc時，P ，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有 1 96x x件，次品 96x 約有 1 96x x件?故，每天的盈利額 1 96x xA 1A x- 96x2 3x x 296x 綜上，日盈利額 T（元）與日產(chǎn)量 x（件）的函數(shù)關(guān)系為: 3x x 296x A, 0,xc （n）由（i）知，當(dāng) xc時，每天的盈利額為0. 當(dāng)1xc時，T 3x x 296x 為表達(dá)方便，令96x t，則096ct 1 144 1 144 147 97—t A 972、t —A A0 2 t 2 t 2 95?故 396t T96tA 2t （等號當(dāng)且僅當(dāng)t，即t12即x88時成立）?所以， 147 （1）當(dāng)c88時，TmaxA（等號當(dāng)且僅當(dāng)x88時成立）. 2 144 t t（12,）上單調(diào)遞增（證明過程略） T971t144A97196 2t2 144 144189c2c2“ cA A0 96c 1922c 所以，g(t)g96c?所以, c時取得） 2 144189c2c 1922c A?（等號當(dāng)且僅當(dāng) （2）當(dāng)1c88時，由1xc得1296ct95，易證函數(shù)gt 綜上，若88c96，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時，可獲得最大利潤；若1c88，則當(dāng)日產(chǎn)量為c時，可獲得最大利潤. 點(diǎn)評基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題的兩大重要手段.