2018-2019學年九年級數(shù)學下冊 第27章 圓 27.3 圓中的計算問題 27.3.2 圓錐及其側(cè)面積同步練習 （新版）華東師大版

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1、 27.3　圓中的計算問題 第2課時　圓錐及其側(cè)面積 知|識|目|標 1．經(jīng)歷閱讀、動手實踐和思考，理解圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，并知道圓錐母線、底面周長與扇形半徑、弧長的關系． 2．通過閱讀、思考、歸納等過程，能熟練進行圓錐的半徑、高、母線等相關計算． 3．通過例題學習、變式和總結，能夠正確地計算圓錐的側(cè)面積和全面積． 目標一　理解圓錐的相關概念 例1 教材補充例題將一個圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開鋪平，思考圓錐中的各元素與它的側(cè)面展開圖中的各元素之間的關系．圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖27－3－4，設圓錐的母線長為a，底面半徑為r，那么這個扇形的半徑為______

2、__，扇形的弧長為________，因此， 圓錐的側(cè)面積為________，圓錐的全面積為____________． 圖27－3－4 目標二　掌握圓錐中半徑、高、母線等有關計算 例2 教材例2針對訓練 (1)如圖27－3－5，圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為90°的扇形，則該圓錐的底面周長為(　　) 圖27－3－5 A.π B.π C. D. (2)用圓心角為120°，半徑為6 cm的扇形紙片無重疊地卷成一個圓錐形紙帽(如圖27－3－6所示)，則這個紙帽的高是(　　) 圖27－3－6

3、 A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．4 cm (3)若一個圓錐的底面半徑為6 cm，其側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的母線長為(　　) A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm 【歸納總結】圓錐及其側(cè)面展開圖之間轉(zhuǎn)換的“兩個對應”： (1)圓錐的母線與展開后扇形的半徑對應； (2)展開后扇形的弧長與圓錐底面的周長對應． 根據(jù)這兩個

4、對應關系列方程求解是解決這兩者轉(zhuǎn)換問題的主要方法． 目標三　會計算圓錐的側(cè)面積和全面積 例3 教材補充例題 (1)如圖27－3－7，圓錐的底面半徑r為 6 cm，高h為 8 cm，則圓錐的側(cè)面積為(　　) 圖27－3－7 A. 30π cm2　　 B．48π cm2 C．60π cm2　　 D．80π cm2 (2)若圓錐底面的直徑為6 cm，高為4 cm，則它的全面積為__________．(結果保留π) 【歸納總結】求圓錐側(cè)面積的“三個公式”： (1)已知圓錐的側(cè)面展開扇形的圓心

5、角n°和母線長r，一般用S側(cè)＝. (2)已知圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長l和母線長r，一般用S側(cè)＝lr. (3)已知圓錐的底面半徑r和母線長l，一般用S側(cè)＝πrl. 例4 教材補充例題 如圖27－3－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm，求以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積． 圖27－3－8 【歸納總結】計算圓錐全面積的“四個關鍵點”： (1)分析清楚幾何體表面的構成． (2)弄清圓錐與其側(cè)面展開圖——扇形各元素之間的對應關系． (3)圓錐的母線l，底面半徑r和圓錐的高h之間的關系為l2＝r2＋

6、h2. (4)圓錐的全面積等于其側(cè)面積與底面積的和. 知識點一　圓錐的相關概念 (1)圓錐的母線：我們把圓錐底面________任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線，如圖27－3－9中的a. 圖27－3－9 (2)圓錐的高：連結頂點與底面________的線段叫做圓錐的高，如圖27－3－9中的h. [點撥] (1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；(2)扇形的半徑是圓錐的母線；(3)扇形的弧長是圓錐的底面周長． 知識點二　圓錐的側(cè)面積和全面積 (1)圓錐的側(cè)面展開圖如圖27－3－10. 沿著圓錐的母線，把一個圓錐的側(cè)面展開，得到一個________，這個扇形的弧長等于圓錐

7、________的周長，而扇形的半徑等于圓錐母線的長． (2)圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長，半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與底面積的和． 圖27－3－10 計算公式：S側(cè)＝a·2πr＝πra(其中r為圓錐底面的半徑，a為圓錐的母線長)． 圓錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積， 計算公式：S全＝S側(cè)＋S底＝πra＋πr2＝πr(a＋r)(其中r為圓錐底面的半徑，a為圓錐的母線長)． 已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°的扇形，底面積為15 cm2，求圓錐的側(cè)面積S. 解：設圓錐底面的半徑為r cm，則πr2＝15， ∴r2＝. ∵圓錐

8、的側(cè)面展開圖是圓心角為180°的扇形， ∴S＝＝π×＝7.5(cm2)． 上述解答過程正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答過程． 教師詳解詳析 【目標突破】 例1　[答案] a　2πr　πra　πra＋πr2 例2　[解析] (1)B　根據(jù)題意可知：扇形的弧長為＝，∴圓錐的底面周長是. (2)C　設圓錐形紙帽的底面半徑為r cm，則2πr＝，解得r＝2.設圓錐形紙帽的高為h cm，由h2＋r2＝62，得h2＋22＝62，解得h＝4 . (3)B　設圓錐的母線長為l cm，則πl(wèi)＝2π×6，解得l＝12. 例3　[答案] (1)C　(2)24π cm2 [解析] (1)∵r＝

9、6 cm，h＝8 cm， ∴l(xiāng)＝＝＝10(cm)， ∴圓錐的側(cè)面積為πrl＝π×6×10＝60π(cm2)． 故選C. (2)如圖，AO＝4 cm，BC＝6 cm，∴BO＝3 cm.在Rt△AOB中，AB＝＝5 cm，運用圓錐的全面積公式得S全＝π×5×3＋π×32＝24π(cm2)． 例4　[解析] 以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是由公共底面的兩個圓錐所組成的幾何體，因此求全面積就是求圓錐的側(cè)面積之和． 解： 如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D. ∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，AB＝13 cm，BC＝5 cm， ∴由勾股定理得AC＝12 cm

10、， ∴CD＝＝＝(cm)， ∴以D為圓心，以CD長為半徑的圓的周長為2π×＝(cm)， ∴S全＝××5＋××12＝(cm2)． 即以AB所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積為 cm2. 備選目標　圓錐中的最短路徑問題 例　如圖①，圓錐的底面半徑為1，母線長為6，一只螞蟻要從底面圓周上一點B出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一圈再回到點B，它爬行的最短路程是多少？ 解：如圖②，設圓錐的側(cè)面展開圖為扇形ABB′，∠BAB′＝n°，連結BB′，BB′即為螞蟻爬行的最短路線． ∵圓錐底面半徑為1, ∴l(xiāng)＝2π. 又∵l＝， ∴2π＝，解得n＝60， ∴△ABB′是等邊三角形， ∴BB′＝AB＝6. 即螞蟻爬行的最短路程為6. 【總結反思】 [小結] 知識點一　(1)圓周上　(2)圓心 知識點二　(1)扇形　底面 [反思] 不正確． 正解：設圓錐底面的半徑為r cm，扇形的半徑為R cm，則πr2＝15， ∴r＝. ∵圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°的扇形， ∴2πr＝πR， ∴R＝2r＝2， ∴S＝πrR＝π××2＝30(cm2)． 6