授之以漁： 卡爾曼濾波器

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1、. . 一片綠油油的草地上有一條曲折的小徑，通向一棵大樹。一個(gè)要求被提出：從起點(diǎn)沿著小徑走到樹下?！昂芎唵?。〞A說，于是他絲毫不差地沿著小徑走到了樹下?，F(xiàn)在，難度被增加了：蒙上眼?！耙膊浑y，我當(dāng)過特種兵。〞B說，于是他歪歪扭扭地走到了樹……….旁?！鞍Γ镁貌痪?，生疏了。〞“看我的，我有DIY的

2、GPS！〞 C說，于是他像個(gè)醉漢似地走到了樹……….旁。“唉，這個(gè)GPS軟件沒做好，漂移太大。〞“我來試試。〞旁邊一人拿過GPS,蒙上眼，居然沿著小徑走到了樹下?！斑@么厲害！你是什么人"〞“卡爾曼 ! 〞“卡爾曼？！你是卡爾曼？〞眾人大吃一驚?！拔沂钦f這個(gè)GPS卡而慢。〞 這段時(shí)間研究了一下卡爾曼濾波器，有一些心得，寫出來與大家分享?？柭鼮V波器與我以前講過的FIR, IIR濾波器完全不一樣，與其說屬于濾波器，不如說是屬于最優(yōu)控制的范疇。下面的內(nèi)容涉及相當(dāng)多的控制理論知識，對于在這方面缺乏的同學(xué)可能有些吃力。不過不要緊，大家關(guān)注結(jié)果，會應(yīng)用就夠了,那些晦澀的理論和推導(dǎo)可以忽略。我也會用圖片讓

3、大家更直觀的理解卡爾曼濾波器 首先回憶一下傳統(tǒng)數(shù)字濾波器。對于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，施加一個(gè)輸入u(t)，我們可以得到一個(gè)輸出y(t) .如果輸入是一個(gè)沖擊，那么輸出y(t)被稱作沖擊響應(yīng)，用h(t)來表示，是系統(tǒng)的內(nèi)核。對于任意u(t),輸出y(t)可以通過u(t)與沖擊響應(yīng)h(t)的卷積得到，這是FIR濾波器的根本原理。我們還可以通過系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)換為差分方程，或是通過laplace傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換到差分方程，最后得到一個(gè)遞推公式，這種形式的濾波器就是IIR濾波器。以前講過，一個(gè)系統(tǒng)可以用時(shí)域的微分方程來建立，然后可以用laplace的傳遞函數(shù)來處理，把解微分方程變?yōu)槎囗?xiàng)式乘法，可以簡單的求解

4、。還有另外一種處理形式就是狀態(tài)空間，以矩陣形式來處理微分方程或微分方程組，利用矩陣變換求解，類同齊次方程組的矩陣形式。例如微分方程:y’’ +3y’ + 2y = u讓X1 = y, X2 = y’ = X1’,那么上式變?yōu)椋?X2’ = -3 X2??– 2 X1- u X1’ =X2矩陣形式為：通用形式為：X’ = A*X + B*uY = C*X.可以看到，可以很輕易的微分方程或微分方程組轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間形式，而狀態(tài)空間與laplace傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，事實(shí)上矩陣A的特征值就是s傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)〔陣〕可以通過矩陣變換得到：Y(s) = C * (s * I - A)-

5、1* B同理，連續(xù)域的微分方程對應(yīng)了離散域的差分方程，s對應(yīng)了z,離散域狀態(tài)空間相應(yīng)的變?yōu)椋篨(k) = A*X(k-1) + B(u-1)Y(k) = C*X(k) 我們現(xiàn)在來看看蒙眼走小徑的走法問題。假設(shè)A走過的路徑是真真正的路徑，為Za; B是用自己的大腦作為預(yù)測估計(jì)器，走出了一個(gè)預(yù)測路徑，為Zb; C用測量器，走出了一條測量路徑，為Zc。用圖片來說明：“系統(tǒng)真實(shí)輸出〞是A走過的路徑：Za = C * X；“測量輸出〞是Zb.Zb = Za + V，這里V是噪聲，即GPS的漂移；“預(yù)測估計(jì)輸出〞是Zc = C * X^,X^是預(yù)測的狀態(tài)。T是采樣延時(shí)?，F(xiàn)在，蒙上眼的情況下有兩種選擇，G

6、PS或大腦預(yù)測估計(jì)器。如果GPS很準(zhǔn)而預(yù)測不準(zhǔn)，那么可以選擇GPS；如果預(yù)測準(zhǔn)確而GPS不準(zhǔn)，那么選擇預(yù)測估計(jì)器，等等，沒有反響的預(yù)測估計(jì)器會因?yàn)槔鄯e誤差而導(dǎo)致越來越不準(zhǔn)。如果兩個(gè)都不準(zhǔn)，該如何取舍？如何把兩者結(jié)合在一起呢？我們可以設(shè)置一個(gè)信心指數(shù)K，K在0與1之間，來說明對測量值還是預(yù)測值的信任程度：Z = K * Zb + (1 – K) * Zc= Zc + K*(Zb – Zc)(1)可以看出，當(dāng)K = 1和0時(shí)，分別選擇了GPS或預(yù)測估計(jì)器.現(xiàn)在，可以把誤差Zb -Zc作為反響誤差，來修正預(yù)測估計(jì)器的結(jié)果。新的系統(tǒng)構(gòu)造圖如下：這個(gè)框圖，就是卡爾曼濾波器的根本構(gòu)造。學(xué)過現(xiàn)代控制理論的同

7、學(xué)都這個(gè)圖應(yīng)該很熟悉，與狀態(tài)變量估計(jì)控制的圖形差不多，只是其中的K = 1而且沒有噪聲項(xiàng)和系統(tǒng)反響而已。而我們下面的任務(wù)，就是如何確定這個(gè)K值。......以下略去三百字的方差，與協(xié)方差的介紹.自己看吧：zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE........以下略去五百字的kalman Filter Gain K的推導(dǎo)。自己看吧：zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2關(guān)于卡爾曼濾波器的推導(dǎo)過程，枯燥晦澀，我就略過，直接關(guān)注結(jié)果。 計(jì)算過程

8、：卡爾曼濾波是一種遞歸的估計(jì)，即只要獲知上一時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)值以及當(dāng)前狀態(tài)的觀測值就可以計(jì)算出當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)值，因此不需要記錄觀測或者估計(jì)的歷史信息。卡爾曼濾波器的遞歸過程：1)估計(jì)時(shí)刻k的狀態(tài)：X(k) = A*X(k-1) + B*u(k)這里,u(k)是系統(tǒng)輸入2)計(jì)算誤差相關(guān)矩陣P, 度量估計(jì)值的準(zhǔn)確程度：P(k) = A*P(k-1)*A’+ Q這里,Q = E{ Wj^2 }是系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差陣，即系統(tǒng)框圖中的Wj的協(xié)方差陣, Q應(yīng)該是不斷變化的，為了簡化，當(dāng)作一個(gè)常數(shù)矩陣。 3)計(jì)算卡爾曼增益,以下略去(k),即P = P(k), X = X(k)：K = P *C’ * (C

9、* P * C’ + R)-1這里R = E{ Vj^2 },是測量噪聲的協(xié)方差(陣),即系統(tǒng)框圖中的Vj的協(xié)方差,為了簡化，也當(dāng)作一個(gè)常數(shù)矩陣。由于我們的系統(tǒng)一般是單輸入單輸出，所以R是一個(gè)1x1的矩陣，即一個(gè)常數(shù)，上面的公式可以簡化為:K = P *C’ / (C * P * C’ + R)4)狀態(tài)變量反響的誤差量：e = Z(k) – C*X(k)這里的Z(k)是帶噪聲的測量量5)更新誤差相關(guān)矩陣PP = P – K * C * P6)更新狀態(tài)變量：X =X + K*e = X + K* (Z(k) – C*X(k))7)最后的輸出：Y = C*X 現(xiàn)在的問題就是如何實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波，

10、A, B, C, Q, R 這些矩陣或量如何確定？ 仿真實(shí)例下面用仿真實(shí)例來觀察卡爾曼濾波器的效果。假設(shè)我們的系統(tǒng)是一個(gè)加熱系統(tǒng)，熱時(shí)間常數(shù)為60秒，100度時(shí)到達(dá)熱平衡。忽略系統(tǒng)的延遲，那么當(dāng)系統(tǒng)加電后，溫度由0開場上升。這個(gè)上升過程大家應(yīng)該很熟悉，這是一個(gè)指數(shù)函數(shù)：y(t) = 100 * (1 – e-t/60)其 laplace 傳遞函數(shù)為:y(s) = 100 / (60 * s - 1)我們?nèi)藶榈膮⒓恿穗S機(jī)噪聲來模擬測量噪聲我們假定并不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，現(xiàn)在只是簡單的,隨便地構(gòu)造了一個(gè)預(yù)測系統(tǒng)。A = [1, 0; 0, 1]B = [1; 0]C = [1, 0]這是一個(gè)二階

11、系統(tǒng)，其輸出是一條直線，與實(shí)際的系統(tǒng)相去甚遠(yuǎn)：測量噪聲的協(xié)方差R = 40，此為猜測值;系統(tǒng)噪聲Q = 2，也是猜測值，預(yù)測模型越不準(zhǔn)，Q值應(yīng)越大?？柭鼮V波器的結(jié)果，紅色為濾波器輸出：可以看到，盡管我們使用了一個(gè)粗劣的預(yù)測估計(jì)器，Kalman濾波器還是相當(dāng)?shù)钠?shí)，根本上消除了噪聲.如果我們有一個(gè)相當(dāng)準(zhǔn)確的模型，結(jié)果會怎么樣呢？準(zhǔn)確模型的建立要建立一個(gè)準(zhǔn)確的預(yù)測估計(jì)模型，我們還是要利用方差。如果一個(gè)估計(jì)的曲線與實(shí)際曲線完全重合時(shí)，他們的方差為 0. 方差越小，擬合度越高，最小二乘法的原理便是如此。具體推導(dǎo)過程還是省略，直接給出matlab的擬合程序，這是一個(gè)非常非常有用的程序。如果數(shù)學(xué)模型很準(zhǔn)

12、確，能不能直接數(shù)學(xué)模型的輸出作為濾波器的結(jié)果呢？不能，因?yàn)闆]有反響，數(shù)學(xué)模型的輸出會因?yàn)闆]有反響的校正造成誤差不斷累積，失之毫厘，謬之千里。下面是用最小二乘法獲得系統(tǒng)的模型并做為預(yù)測估計(jì)器，設(shè)定為 3 階系統(tǒng)，得出的數(shù)學(xué)模型相當(dāng)準(zhǔn)確，所以Q值可以取一個(gè)小值，這里Q= 0.02,現(xiàn)在看看卡爾曼濾波器的結(jié)果：效果非常好，卡爾曼濾波器的輸出與實(shí)際系統(tǒng)的輸出 (即無噪聲的系統(tǒng)輸出) 幾乎重合，這是準(zhǔn)確的預(yù)測估計(jì)模型帶來的好處?，F(xiàn)在比較兩個(gè)例子中卡爾曼增益的不同最小二乘法獲得系統(tǒng)的模型中的增益迅速地由大變小，最后小于不準(zhǔn)確模型。K 值較小，意味著誤差反響量較小，使得預(yù)測輸出更偏重信任預(yù)測模型的結(jié)果，通過

13、上圖可以看到 kalman 算法的自適應(yīng)性。至于誤差相關(guān)陣 P 的值，同樣，最小二乘法獲得系統(tǒng)的模型中的 C*P*C' 的值較小，這里就不給出圖形了。結(jié)論：從上面的例子可以看出，卡爾曼濾波器對于預(yù)測系統(tǒng)的要求并不高，所以，那個(gè)〞卡爾曼〞可以蒙上眼，拿著一個(gè)劣質(zhì)的GPS可以走到樹下。假設(shè)系統(tǒng)的預(yù)測模型很準(zhǔn)確，卡爾曼濾波器會有一個(gè)相當(dāng)良好的效果。 matlab 的驗(yàn)證程序z在 62， 63樓，所有程序均為原創(chuàng)。 最小二乘法獲取系統(tǒng)傳遞函數(shù)： 1. function [numd, dend] = LeastSquare(x, y, N) 2. count = length(y); 3. M

14、 = count - 1; 4. ai = zeros(N*2, M); 5. for i=1:N 6. ai(i, i:M) = x(1:(count-i)); 7. ai(i+N, i:M) = -y(1:(count-i)); 8. end 9. bi = y(2:(count)); 10. xd = (inv(ai*ai')*ai*bi)'; 11. numd = [0 xd(1:N)]; 12. dend = [1 xd(N+1: N+N)]; 復(fù)制代碼 輸入?yún)?shù)： x---系統(tǒng)輸入陣列y---系統(tǒng)輸出陣列 N---系統(tǒng)傳遞函數(shù)的階數(shù)函數(shù)輸出：系統(tǒng) Z

15、傳遞函數(shù)分子與分母的系數(shù)，即： h(z) = numd(z) / dend(z)這個(gè)函數(shù)實(shí)在是居家旅行 ..., 啊，是建模仿真必備良器 Ts = 1; 采樣時(shí)間 s = tf('s'); sysc = 100/(60*s +1); 真實(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) sysd = c2d(sysc, Ts); t = 0:TsTs*300); u = ones(1, length(t)); 系統(tǒng)輸入 ys = lsim(sysd, u, t, 0); 系統(tǒng)輸出 ys = ys + 10*rand(size(ys)); 測量量 =

16、系統(tǒng)輸出 + 噪聲 A = [1, 0; 0, 1]; B = [1; 0]; C = [1, 0]; N = length(A); 系統(tǒng)維數(shù) Len = length(u); yout = zeros(Len, 1); 濾波器輸出 Xh = zeros(N, 1); 狀態(tài)變量 P = eye(N); Q = 2 * eye(N); 系統(tǒng)噪聲 R = 50; 測量噪聲 for i = 1 : Len Xh = A*Xh + B*u(i); P

17、= A*P*A' + Q; K = P*C'* inv(C*P*C' + R); Xh = Xh + K*(ys(i) - C*Xh); P = P - K*C*P; yout(i) = C*Xh; end Ts = 1; 采樣時(shí)間 s = tf('s'); sysc = 100/(60*s +1); 真實(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) sysd = c2d(sysc, Ts); t = 0:Ts:(Ts*300); u = ones(1, length(t)); 系統(tǒng)輸入 ys = lsim(sy

18、sd, u, t, 0); 系統(tǒng)輸出 ys = ys + 10*rand(size(ys)); 測量量 = 系統(tǒng)輸出 + 噪聲 A = [1, 0; 0, 1]; B = [1; 0]; C = [1, 0]; N = length(A); 系統(tǒng)維數(shù) Len = length(u); yout = zeros(Len, 1); 濾波器輸出 Xh = zeros(N, 1); 狀態(tài)變量 P = eye(N); Q = 2 * eye(N); 系統(tǒng)噪聲 R = 50;

19、 測量噪聲 for i = 1 : Len Xh = A*Xh + B*u(i); P = A*P*A' + Q; K = P*C'* inv(C*P*C' + R); Xh = Xh + K*(ys(i) - C*Xh); P = P - K*C*P; yout(i) = C*Xh; end plot(t, ys, t, yout); Ts = 1; 采樣時(shí)間 s = tf('s'); sysc = 100/(60*s +1); 真實(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) sysd = c2d(sysc,

20、 Ts); t = 0:Ts:(Ts*300); u = ones(1, length(t)); 系統(tǒng)輸入 ys = lsim(sysd, u, t, 0); 系統(tǒng)輸出 ys = ys + 10*rand(size(ys)); 測量量 = 系統(tǒng)輸出 + 噪聲 [numd, dend] = LeastSquare(u, ys, 3); 最小二乘法獲取預(yù)測系統(tǒng)模型 [A, B, C, D] = tf2ss(numd, dend); 變換到狀態(tài)空間形式 Len = length(u); N = length(A); 系統(tǒng)維數(shù) yout = zer

21、os(Len, 1); 濾波器輸出 Xh = zeros(N, 1); 狀態(tài)變量 P = eye(N); Q = 0.02 * eye(N); 系統(tǒng)噪聲 R = 50; 測量噪聲 for i = 1 : Len Xh = A*Xh + B*u(i); P = A*P*A' + Q; K = P*C'* inv(C*P*C' + R); Xh = Xh + K*(ys(i) - C*Xh); P = P - K*C*P; yout(i) = C*Xh; end plot(t, ys, t, yout); - 優(yōu)選