2020年中考數學考點一遍過 考點24 解直角三角形（含解析）

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1、考點24 解直角三角形 一、銳角三角函數的定義 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形. 二、特殊角的三角函數值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．

2、2．解直角三角形的常用關系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，則： （1）三邊關系：a2+b2=c2； （2）兩銳角關系：∠A+∠B=90°； （3）邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科學選擇解直角三角形的方法口訣： 已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便； 已知直邊求直邊，理所當然用正切； 已知兩邊求一邊，勾股定理最方便； 已知兩邊求一角，函數關系要記牢； 已知銳角求銳角，互余關系不能少； 已知直邊求斜邊，用除還需正余弦. 四、解直角三角形的應用 1．仰角和俯角 仰角：在視線與水平線所成的角中

3、，視線在水平線上方的角叫做仰角． 俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角． 2．坡度和坡角 坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=． 坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα． 坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3．方向角（或方位角） 指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角． 4．解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型： 解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解. 5．解直角三

4、角形實際應用的一般步驟 （1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型； （2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題； （3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確； （4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解． 考向一 求三角函數的值 （1）分清直角三角形中的斜邊與直角邊. （2）正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k（有時也可設為1），在求三角函數值的過程中約去k． （3）正確應用勾股定理求第三邊長． （4）應用銳角三角函數定義，求出三角函數值． 典例1 的值為 A

5、． B． C． D．1 【答案】C 【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=．故選C． 1．如圖，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，則sinA的值為 A． B． C． D． 考向二 利用特殊角的三角函數值求值 銳角三角函數值與三角形三邊的長短無關，只與銳角的大小有關. 典例2 已知∠A為銳角，且sinA=，那么∠A等于 A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【解析】∵sinA=，∴∠A=60°．故選D． 2．已知α是銳角，sinα=cos60°，則α等于 A．30° B．45°

6、 C．60° D．不能確定 考向三 解直角三角形的應用 解此類題的一般方法：（1）構造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關系；（3）利用特殊角的三角函數值解答問題. 典例3 某山的山頂B處有一個觀光塔，已知該山的山坡面與水平面的夾角∠BDC為30°，山高BC為100米，點E距山腳D處150米，在點E處測得觀光塔頂端A的仰角為60°，則觀光塔AB的高度是 A．50米 B．100米 C．125米 D．150米 【答案】A 【解析】如圖，作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，在Rt△DEG中，EG=DE=75， ∴BF=BC-CF=BC-CE=100-75=25，EF

7、==25， ∵∠AEF=60°， ∴∠A=30°， ∴AF==75， ∴AB=AF-BF=50（米），故觀光塔AB的高度為50米， 故選A． 3．如圖，某湖心島上有一亭子，在亭子的正東方向上的湖邊有一棵樹，在這個湖心島的湖邊處測得亭子在北偏西方向上，測得樹在北偏東方向上，又測得、之間的距離等于米，求、之間的距離（結果精確到米）． （參考數據：，，，，） 1．如圖，在△ABC中，若∠C=90°，則 A．sinA= B．sinA= C．cosA= D．cosA= 2．計算的值為 A． B． C． D． 3．在中，，，若

8、，則的長為 A． B． C． D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，，則cosA等于 A． B． C． D． 5．菱形ABCD的對角線AC=10cm，BD=6cm，那么tan為 A． B． C． D． 6．如圖是邊長為1的小正方形組成的網格圖，其中點A，B，C均為格點，則sin∠BAC為 A． B． C． D． 7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，sinA=，則斜邊上的高等于 A．5 B．4.8 C．4.6 D．4 8．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tan∠ABC的值為 A．

9、B． C． D．1 9．如圖，某水庫堤壩橫截面迎水坡的坡度是，堤壩高為，則迎水坡面的是 A． 10．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔為2海里的點A處．如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置B處，海輪航行的距離AB長是 A．2海里 B．海里 C．海里 D．海里 11．釣魚是一項特別鍛煉心性的運動，如圖，小南在江邊垂釣，河堤AB的坡度為1∶2.4，AB長為3.9米，釣竿AC與水平線的夾角是60°，其長為4.5米，若釣竿AC與釣魚線CD的夾角也是60°，則浮漂D與河堤下端B之間的距離約為（參考數據：≈1.732） A．1.732米 B．1.7

10、54米 C．1.766米 D．1.823米 12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，則sinB=___________． 13．在△ABC中，AB=2，AC=，tan∠B=，則BC的長度為__________． 14．已知相鄰的兩根電線桿與高度相同，且相距．小王為測量電線桿的高度，在兩根電線桿之間某一處架起測角儀，如圖所示，分別測得兩根電線桿頂端的仰角為、，已知測角儀高，則電線桿的高度約為________．（精確到，參考數據：，，） 15．已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，對角線BD=8，tan∠CBD=． （1）求邊AB

11、的長； （2）求cos∠BAE的值． 16．如圖是小強洗漱時的側面示意圖，洗漱臺(矩形ABCD)靠墻擺放，高AD=80cm，寬AB=48cm，小強的身高為166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱時下半身與地面成80°角(∠FGK=80°)，身體前傾成125°角(∠EFG=125°)，腳與洗漱臺的距離GC=15cm(點D，C，G，K在同一直線上)． （1）此時小強的頭部點E與地面DK的距離是多少？ （2）小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點O的正上方，他應向前或后退多少？ (sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，結果精確到0.1cm

12、) 1．（2019?天津）的值等于 A．1 B． C． D．2 2．（2019?懷化）已知∠α為銳角，且sinα=，則∠α= A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2019·宜昌）如圖，在5×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為 A． B． C． D． 4．（2019?廣州）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30 m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若 tan∠BAC=，則此斜坡的水平距離AC為 A．75 m B．50 m C．30

13、 m D．12 m 5．（2019?蘇州）如圖，小亮為了測量校園里教學樓的高度，將測角儀豎直放置在與教學樓水平距離為的地面上，若測角儀的高度為，測得教學樓的頂部處的仰角為，則教學樓的高度是 A． B． C． D． 6．（2019?廣西）小菁同學在數學實踐活動課中測量路燈的高度．如圖，已知她的目高AB為1.5米，她先站在A處看路燈頂端O的仰角為35°，再往前走3米站在C處，看路燈頂端O的仰角為65°，則路燈頂端O到地面的距離約為（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1） A．3.2

14、米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米 7．（2019·杭州）如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，則點A到OC的距離等于 A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 8．（2019?甘肅）在△ABC中，∠C=90°，tanA=，則cosB=__________． 9．（2019?杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，則cosC=__________． 10．（2019?天津）如圖，海面上一艘船由西向

15、東航行，在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點C的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達B處，測得該燈塔的最高點C的仰角為45°，根據測得的數據，計算這座燈塔的高度CD（結果取整數）．參考數據：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60． 11．（2019?深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工隊站在點D處看向B，測得仰角為45°，再由D走到E處測量，DE∥AC，ED=500米，測得仰角為53°，求隧道BC長．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

16、 12．（2019?河南）數學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度． （精確到1m．參考數據：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73） 13．（2019?甘肅）為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制．中小學樓梯寬度的范圍是260mm～300mm含（300mm），高度的范圍是120mm～150mm（含150m

17、m）．如圖是某中學的樓梯扶手的截面示意圖，測量結果如下：AB，CD分別垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，試問該中學樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定．（結果精確到1mm，參考數據：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423） 14．（2019?江西）圖1是一臺實物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于點O，點B為旋轉點，BC可轉動，當BC繞點B順時針旋轉時，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE，經測量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（結果精確到

18、0.1）． （1）如圖2，∠ABC=70°，BC∥OE． ①填空：∠BAO=__________． ②求投影探頭的端點D到桌面OE的距離． （2）如圖3，將（1）中的BC向下旋轉，當投影探頭的端點D到桌面OE的距離為6cm時，求∠ABC的大?。? （參考數據：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60） 15．（2019?安徽）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．如圖1，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓

19、心的圓．已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長為6米，∠OAB=41.3°，若點C為運行軌道的最高點（C，O的連線垂直于AB），求點C到弦AB所在直線的距離． （參考數據：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 16．（2019?貴陽）如圖所示是我國古代城市用以滯洪或分洪系統的局部截面原理圖，圖中OP為下水管道口直徑，OB為可繞轉軸O自由轉動的閥門．平時閥門被管道中排出的水沖開，可排出城市污水；當河水上漲時，閥門會因河水壓迫而關閉，以防河水倒灌入城中．若閥門的直徑OB=OP=100cm，OA為檢修時閥門開啟的位置，且O

20、A=OB． （1）直接寫出閥門被下水道的水沖開與被河水關閉過程中∠POB的取值范圍； （2）為了觀測水位，當下水道的水沖開閥門到達OB位置時，在點A處測得俯角∠CAB=67.5°，若此時點B恰好與下水道的水平面齊平，求此時下水道內水的深度．（結果保留小數點后一位） （=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41） 變式拓展 1．【答案】A 【解析】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=3，BC=2，∴sinA==，故選A． 2

21、．【答案】A 【解析】∵sinα=cos60°=，∴α=30°．故選A． 3．【解析】如圖，過點作，垂足為點， 由題意，得，，， 在Rt△中，，∴， ∵，∴， 又，∴ ∵，∴， 在Rt△中，， ∵，∴，∴， 又，∴，∴（米）． 答：、之間的距離為米． 考點沖關 1．【答案】A 【解析】A、sinA=，此選項正確； B、sinA=，此選項錯誤； C、cosA=，此選項錯誤； D、cosA=，此選項錯誤； 故選A． 2．【答案】D 【解析】原式==1–=，故選D． 3．【答案】A 【解析】如圖， ∵cos53°=， ∴AB=， 故選A．

22、 4．【答案】B 【解析】如圖所示： ∵，∴cosA=．故選B． 5．【答案】A 【解析】如圖，由題意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm， 則tan=tan∠OBA.故選A. 6．【答案】D 【解析】如圖所示：連接BD，交AC于點E， 由正方形的性質可得：BD⊥AC，故BD=，AB=， 則sin∠BAC=．故選D． 7．【答案】B 【解析】如圖所示，CD⊥AB，CD即為斜邊上的高， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=， ∴sinA==，即BC=6， 根據勾股定理得：AC==8， ∵S△ABC=AC?BC=C

23、D?AB， ∴CD==4．8， 故選B． 8．【答案】B 【解析】∠ABC所在的直角三角形的對邊是3，鄰邊是4， 所以，tan∠ABC=． 故選B． 9．【答案】A 【解析】∵堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，∴， ∵BC=40m，∴AC=40m，∴AB==80m，故選A． 10．【答案】C 【解析】記燈塔P的正北方向為射線PC的方向. 根據題意可知∠APC=55°，PC∥AB，AP=2海里. ∵PC∥AB，∠APC=55°，∴∠PAB=55°. ∵在Rt△ABP中，AP=2海里，∠PAB=55°， ∴AB=AP·cos∠PAB=2cos55°（海里）. 故

24、選C. 11．【答案】C 【解析】如圖，延長CA交DB延長線與點E，過點A作AF⊥BE于點F， 則∠CED=60°， ∵AB的坡比為1∶2.4， ∴，則設AF=5x，BF=12x， ∵AB=3.9米， ∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92=25x2+144x2． 解得x=． ∴AF=5x=，BF=12x=， ∴EF=， ∵∠C=∠CED=60°， ∴△CDE是等邊三角形， ∵AC=4.5米， ∴DE=CE=AC+AE=4.5+（米）， 則BD=DE﹣EF﹣BF=4.5+﹣≈1.766（米）， 答：浮漂D與河堤下端B之間的距離為1.766米． 故選C．

25、 12．【答案】 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，得，即， ∴AC=5．由勾股定理，得AB=．所以sinB=，故答案為：． 13．【答案】5 【解析】如圖，過點A作AD⊥BC交于D． ∵， 設AD=x，則BD=2x， ∵AB=2， ∴在△ABD中，由勾股定理得（2）2=x2+（2x）2， 解得，x1=2，x2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD=4， 同理，在△ACD中，由勾股定理得，， ∴BC=DC+BD=4+1=5， 故答案為：5． 14．【答案】 【解析】過點F作AB、CD的垂線，垂足為點G、H，如圖所示： 設AG=x

26、 m，則有DH=x m， ∵，∴tan23°=，解得x≈15.0， ∴AB=x+1.5=16.5．電線桿的高度約為16.5 m．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）連接AC，AC與BD相交于點O， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD=4， ∵Rt△BOC中，tan∠CBD==，∴OC=2， ∴AB=BC===2； （2）∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD=BC·AE=BD·AC， ∵AC=2OC=4，∴2AE=×8×4，∴AE=， ∴BE===， ∴cos∠ABE===． 16．【解析】（1）如圖，過點F作FN⊥DK于N，過點E作EM⊥FN于M． ∵

27、EF+FG=166，FG=100，∴EF=66， ∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98， ∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°–125°–10°=45°， ∴FM=66cos45°=≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5， ∴此時小強頭部E點與地面DK相距約為144.5 cm． （2）如圖，過點E作EP⊥AB于點P，延長OB交MN于H． ∵AB=48，O為AB中點， ∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53， ∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15， ∴OH=24+15+17=56，OP=OH–PH=5

28、6–46.53=9.47≈9.5， ∴他應向前9.5cm． 直通中考 1．【答案】B 【解析】銳角三角函數計算，=2×=，故選A． 2．【答案】A 【解析】∵∠α為銳角，且sinα=，∴∠α=30°．故選A． 3．【答案】D 【解析】如圖，過C作CD⊥AB于D，則∠ADC=90°，∴AC===5． ∴sin∠BAC==．故選D． 4．【答案】A 【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=，BC=30m，∴tan∠BAC=＝＝，解得AC=75， 故選A． 5．【答案】C 【解析】過作交于，，在中，， ，，故選C． 6．【答案】C 【解析】如圖，過點

29、O作OE⊥AC于點E，延長BD交OE于點F， 設DF=x， ∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BF=3+x， ∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5， ∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7，故選C． 7．【答案】D 【解析】如圖，過點A作AE⊥OC于點E，作AF⊥OB于點F，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a?cosx+b?sinx， 故選D．

30、 8．【答案】 【解析】∵tanA=，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=． 故答案為：． 9．【答案】或 【解析】若∠B=90°，設AB=x，則AC=2x，所以BC==x，所以cosC=； 若∠A=90°，設AB=x，則AC=2x，所以BC=， 所以cosC=； 綜上所述，cosC的值為或． 故答案為：或． 10．【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD=， 則AD=≈CD， 在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD， ∵AD=AB+BD，∴CD=CD+30，解得CD=45， 答：這座燈塔的高度CD約為45 m． 11

31、．【解析】如圖，在Rt△ABD中，AB=AD=600，作EM⊥AC于M， 則AM=DE=500，∴BM=100， 在Rt△CEM中，tan53°===，∴CM=800， ∴BC=CM–BM=800–100=700（米）． 答：隧道BC長為700米． 12．【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m， ∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m）， ∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m）， 在Rt△BCD中，tan60°==， ∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m）， ∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）. 答：炎帝

32、塑像DE的高度約為51m． 13．【解析】如圖，連接BD，作DM⊥AB于點M， ∵AB=CD，AB，CD分別垂直平分踏步EF，GH， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴四邊形ABDC是平行四邊形， ∴∠C=∠ABD，AC=BD， ∵∠C=65°，AC=900， ∴∠ABD=65°，BD=900， ∴BM=BD?cos65°=900×0.423≈381，DM=BD?sin65°=900×0.906≈815， ∵381÷3=127，120＜127＜150， ∴該中學樓梯踏步的高度符合規(guī)定， ∵815÷3≈272，260＜272＜300， ∴該中學樓梯踏步的寬度符合規(guī)定，

33、由上可得，該中學樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定． 14．【解析】（1）①過點A作AG∥BC，如圖1，則∠BAG=∠ABC=70°， ∵BC∥OE，∴AG∥OE， ∴∠GAO=∠AOE=90°， ∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案為：160； ②過點A作AF⊥BC于點F，如圖2， 則AF=AB?sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm）， ∴投影探頭的端點D到桌面OE的距離為： AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）； （2）過點DH⊥OE于點H，過點B作BM⊥CD，與DC延長線相交于點M， 過A作AF⊥BM于點F，如圖3， 則∠

34、MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm， ∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm）， ∴sin∠MBC===0.6， ∴∠MBC=36.8°， ∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°． 15．【解析】如圖，連接CO并延長，與AB交于點D， ∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=3（米）， 在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°， ∴cos41.3°=，即OA===4（米）， tan41.3°=，即OD=AD?tan41.3°=3×0.88=2.64（米）， 則CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）． 16．【解析】（1）閥門被下水道的水沖開與被河水關閉過程中∠POB的取值范圍為：90°≤∠POB≤0°； （2）如圖，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°， ∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°， ∵OB=100，∴OE=OB=50， ∴PE=OP–OE=100–50≈29.5cm， 答：此時下水道內水的深度約為29.5cm．