2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第12講 反比例函數(shù)（含解析）

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1、第12講　反比例函數(shù) 反比例函數(shù)解析式的確定 (1)確定方法：待定系數(shù)法； (2)一般步驟： ①設(shè)所求的反比例函數(shù)解析式為y＝(k≠0)； ②根據(jù)已知條件，得到反比例函數(shù)圖象上一點P(a，b)； ③將點P(a，b)代入反比例函數(shù)的解析式得到關(guān)于系數(shù)k的方程； ④解方程得待定系數(shù)k的值； ⑤把k的值代入y＝即可得反比例函數(shù)解析式 考點1： 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【例題1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過點D，點P是一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點．

2、 (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)通過計算，說明一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)的圖象一定經(jīng)過點C； (3)對于一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)，當(dāng)y隨x的增大而增大時，確定點P橫坐標(biāo)的取值范圍．(不必寫出過程) 【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC＝2，BC⊥x軸． ∴AD⊥x軸． 又∵A(1，0)，∴D(1，2)． ∵D在反比例函數(shù)y＝的圖象上， ∴m＝1×2＝2.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. (2)當(dāng)x＝3時，y＝kx＋3－3k＝3， ∴一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)的圖象一定過點C.

3、(3)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則＜a＜3. 歸納：反比例函數(shù)中，y隨x的大小變化的情況，應(yīng)分x＞0與x＜0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成“k＜0時，y隨x的增大而增大”．雙曲線上的點在每個象限內(nèi)，y隨x的變化是一致的．運用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，要注意在每一個象限內(nèi)的要求． 考點2： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合 【例題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N 兩點． (1)若點M是AB邊的中點，求反比例函數(shù)y＝的解析式和點N的坐標(biāo)； (2)若AM＝2，求直線MN的解析式及△OMN的面積． 【點撥】(1)由已知可知

4、點M的坐標(biāo)，求出k的值，從而求出點N的坐標(biāo)；(2)確定點M ，點N的坐標(biāo)，三角形面積就可求出． 【解答】解：(1)∵點M是AB邊的中點，∴M(6，3)． ∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點M，∴3＝.∴k＝18. ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. 當(dāng)y＝6時，x＝3，∴N(3，6)． (2)由題意，知M(6，2)，N(2，6)． 設(shè)直線MN的解析式為y＝ax＋b，則 解得 ∴直線MN的解析式為y＝－x＋8. ∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－8＝16. 【變式】　在例2中，若△OMN的面積為10，求點M，N的坐標(biāo)． 解：∵OA＝OC＝6

5、，設(shè)M(6，y)，則N(y，6)． ∴BM＝BN＝6－y. ∵S△OMN＝10， ∴36－×6×y×2－(6－y)2＝10，即y2＝16. 又∵y>0，∴y＝4，∴M(6，4)．∴N(4，6)． 歸納：1．確定反比例函數(shù)解析式只要一個合適的條件(如圖象上一個點的坐標(biāo))即可．另外將已知點的坐標(biāo)或部分坐標(biāo)代入解析式中，從而確定字母的值是我們經(jīng)常用的方法． 2．雙曲線y＝中，根據(jù)k的幾何意義求圖形面積常用圖形有： S陰影＝|k| S陰影＝ S陰影＝|k| 3.第一象限內(nèi)的雙曲線本身是軸對稱圖形，正方形也是軸對稱圖形，所以在本題中，圖形是關(guān)于直線y＝x的軸對稱圖形，對解

6、答第(2)問提供解題思路． 考點3：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用 【例題3】　(2018·樂山)某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y(℃)與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB，BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段． 請根據(jù)圖中信息解答下列問題： (1)求這天的溫度y與時間x(0≤x≤24)的函數(shù)關(guān)系式； (2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度； (3)若大棚內(nèi)的溫度低于10 ℃時，蔬菜會受到傷害．問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？ 【點撥】　(

7、1)用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式；(2)觀察圖象可得；(3)代入臨界值y＝10即可． 【解答】　解：(1)設(shè)線段AB解析式為y＝k1x＋b(k≠0)， ∵線段AB過點(0，10)，(2，14)，代入，得 解得 ∴AB解析式為y＝2x＋10(0≤x＜5)． ∵B在線段AB上，當(dāng)x＝5時，y＝20. ∴B坐標(biāo)為(5，20)． ∴線段BC的解析式為y＝20(5≤x＜10)．　　設(shè)雙曲線CD的解析式為y＝(k2≠0)． ∵C(10，20)，∴k2＝200. ∴雙曲線CD解析式為y＝(10≤x≤24)． ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝ (2)由(1)可知，恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒定溫度

8、為20 ℃. (3)把y＝10代入y＝中，解得x＝20. ∴20－10＝10. 答：恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害． 歸納：反比例函數(shù)實際應(yīng)用題是近年中考常見的題型，解題時首先要仔細審讀題目(或圖象)中給予的信息，挖掘題目(或圖象)中隱含的條件，提取有用信息，綜合運用所學(xué)知識解決問題． 一、選擇題： 1. （2018?柳州）已知反比例函數(shù)的解析式為y=，則a的取值范圍是（　　） A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)≠﹣2 C．a(chǎn)≠±2 D．a(chǎn)=±2 【答案】C 解析：可得：|a|﹣2≠0， 解得：a≠±2， 故選：C． 2. (2019安徽)（4分）已知點A（1，﹣3

9、）關(guān)于x軸的對稱點A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則實數(shù)k的值為（　　） A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 【答案】A 【解答】解：點A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點A'的坐標(biāo)為（1，3）， 把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3． 故選：A． 3. （2018?德州）給出下列函數(shù)：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函數(shù)中符合條作“當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大“的是（　?。? A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 【答案】B 【解析】：①y=﹣3x+2，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項錯誤； ②y=，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變

10、量x增大而減小，故此選項錯誤； ③y=2x2，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項正確； ④y=3x，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項正確； 故選：B． 4. （2018?聊城）春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作，為此，某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進行消毒．在對某宿舍進行消毒的過程中，先經(jīng)過5min的集中藥物噴灑，再封閉宿舍10min，然后打開門窗進行通風(fēng)，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物在空氣中的持續(xù)時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系，在打開門窗通風(fēng)前分別滿足兩個一次函數(shù)，在通風(fēng)后又成反比例，如圖所示．下面四個選項中

11、錯誤的是（　?。? A．經(jīng)過5min集中噴灑藥物，室內(nèi)空氣中的含藥量最高達到10mg/m3 B．室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達到了11min C．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于5mg/m3且持續(xù)時間不低于35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒．此次消毒完全有效 D．當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于2mg/m3時，對人體才是安全的，所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達到2mg/m3開始，需經(jīng)過59min后，學(xué)生才能進入室內(nèi) 【答案】C 【解答】解：A、正確．不符合題意． B、由題意x=4時，y=8，∴室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達到了11min，正確，不符合題意； C

12、、y=5時，x=2.5或24，24﹣2.5=21.5＜35，故本選項錯誤，符合題意； D、正確．不符合題意， 故選：C． 5. （2018?遵義）如圖，直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為（　?。? A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 【答案】C 解析：點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D， ∵∠BOA=90°， ∴∠BOC+∠AOD=90°， ∵∠AOD+∠OAD=90°， ∴∠BOC=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90°， ∴△BCO∽△ODA， ∴

13、=tan30°=， ∴=， ∵×AD×DO=xy=3， ∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1， ∴S△AOD=2， ∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限， 故反比例函數(shù)解析式為：y=﹣． 故選：C． 二、填空題： 6. （2018·四川宜賓·3分）已知：點P（m，n）在直線y=﹣x+2上，也在雙曲線y=﹣上，則m2+n2的值為　6　 【答案】6 【解答】解：∵點P（m，n）在直線y=﹣x+2上， ∴n+m=2， ∵點P（m，n）在雙曲線y=﹣上， ∴mn=﹣1， ∴m2+n2=（n+m）2﹣2mn=4+2=6． 故答案為：6． 7. （2019?浙江

14、紹興?5分）如圖，矩形ABCD的頂點A，C都在曲線y＝（常數(shù)是＞0，x＞0）上，若頂點D的坐標(biāo)為（5，3），則直線BD的函數(shù)表達式是　y＝x　． 【答案】y＝x． 【解答】解：∵D（5，3）， ∴A（，3），C（5，）， ∴B（，）， 設(shè)直線BD的解析式為y＝mx+n， 把D（5，3），B（，）代入得，解得， ∴直線BD的解析式為y＝x． 故答案為y＝x． 8. （2018?安順）如圖，已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點，與y=的圖象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）兩點，連接OA、OB，給出下列結(jié)論：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ

15、；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正確的結(jié)論的序號是 【答案】②③④． 【解答】解：由圖象知，k1＜0，k2＜0， ∴k1k2＞0，故①錯誤； 把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n， ∴m+n=0，故②正確； 把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得， ∴， ∵﹣2m=n， ∴y=﹣mx﹣m， ∵已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點， ∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m）， ∴OP=1，OQ=m， ∴S△AOP=m，S△BOQ=m， ∴S△AOP=S△BOQ；故③正確； 由圖象知不等式k1x+b的

16、解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正確； 故答案為：②③④． 9. （2019?貴州畢節(jié)?5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A.B兩點．正方形ABCD的頂點C.D在第一象限，頂點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上．若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是　?。? 【答案】3 【解答】解：過點D作DE⊥x軸，過點C作CF⊥y軸， ∵AB⊥AD， ∴∠BAO＝∠DAE， ∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA， ∴△ABO≌△DAE（AAS）， ∴AE＝BO，DE＝OA， 易求A（1，0），B（0，

17、4）， ∴D（5，1）， ∵頂點D在反比例函數(shù)y＝上， ∴k＝5， ∴y＝， 易證△CBF≌△BAO（AAS）， ∴CF＝4，BF＝1， ∴C（4，5）， ∵C向左移動n個單位后為（4﹣n，5）， ∴5（4﹣n）＝5， ∴n＝3， 故答案為3； 三、解答題： 10. 甲、乙兩家商場進行促銷活動，甲商場采用“滿200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元……乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷． (1)若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應(yīng)付多少錢？ (2)若顧客在甲商場購買

18、商品的總金額為x(400≤x＜600)元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p(p＝)，寫出p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明p隨x的變化情況； (3)品牌、質(zhì)量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲、乙兩商場的標(biāo)價都是x(200≤x＜400)元，你認為選擇哪家商場購買商品花錢較少？請說明理由． 【解析】：(1)510－200＝310(元) 　(2)p＝(400≤x＜600)；p隨x的增大而減小　 (3)購x元(200≤x＜400)在甲商場的優(yōu)惠額是100元，乙商場的優(yōu)惠額是x－0.6x＝0.4x.當(dāng)0.4x＜100，即200≤x＜250時，選甲商場優(yōu)惠； 當(dāng)0.4x＝100，即x＝250時，選甲、乙商場

19、一樣優(yōu)惠； 當(dāng)0.4x＞100，即250＜x＜400時，選乙商場優(yōu)惠 11. （2018?菏澤）如圖，已知點D在反比例函數(shù)y=的圖象上，過點D作DB⊥y軸，垂足為B（0，3），直線y=kx+b經(jīng)過點A（5，0），與y軸交于點C，且BD=OC，OC：OA=2：5． （1）求反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b的表達式； （2）直接寫出關(guān)于x的不等式＞kx+b的解集． 【分析】（1）由OC、OA、BD之間的關(guān)系結(jié)合點A、B的坐標(biāo)可得出點C、D的坐標(biāo)，由點D的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出a值，進而可得出反比例函數(shù)的表達式，再由點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)

20、的表達式； （2）將一次函數(shù)表達式代入反比例函數(shù)表達式中，利用根的判別式△＜0可得出兩函數(shù)圖象無交點，再觀察圖形，利用兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出不等式＞kx+b的解集． 解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，點A（5，0），點B（0，3）， ∴OA=5，OC=BD=2，OB=3， 又∵點C在y軸負半軸，點D在第二象限， ∴點C的坐標(biāo)為（0，﹣2），點D的坐標(biāo)為（﹣2，3）． ∵點D（﹣2，3）在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴a=﹣2×3=﹣6， ∴反比例函數(shù)的表達式為y=﹣． 將A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b， ，解得：， ∴一次函數(shù)的表達式為y=

21、x﹣2． （2）將y=x﹣2代入y=﹣，整理得： x2﹣2x+6=0， ∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0， ∴一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象無交點． 觀察圖形，可知：當(dāng)x＜0時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方， ∴不等式＞kx+b的解集為x＜0． 12. ．(2018·泰安)如圖，矩形ABCD的兩邊AD，AB的長分別為3，8，E是DC的中點，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點E，與AB交于點F. (1)若點B坐標(biāo)為(－6，0)，求m的值及圖象經(jīng)過A，E兩點的一次函數(shù)的解析式； (2)若AF－AE＝2，求反比例函數(shù)的解析式． 【解析】：(1)點B坐標(biāo)為(－6，0)，AD＝3，

22、AB＝8，E為CD的中點， ∴點A(－6，8)，E(－3，4)． ∵函數(shù)圖象經(jīng)過點E， ∴m＝－3×4＝－12. 設(shè)AE的解析式為y＝kx＋b，將點A，E坐標(biāo)代入，得 解得 ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－x. (2)AD＝3，DE＝4， ∴AE＝＝5. ∵AF－AE＝2，∴AF＝7，BF＝1. 設(shè)點E坐標(biāo)為(a，4)，則點F坐標(biāo)為(a－3，1)， ∵E，F(xiàn)兩點在函數(shù)y＝圖象上， ∴4a＝a－3，解得a＝－1. ∴E(－1，4)． ∴m＝－1×4＝－4. ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－. 13. （2018·山東青島·8分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個點A（﹣4，﹣3）

23、，B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0． （1）當(dāng)y1﹣y2=4時，求m的值； （2）如圖，過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線相交于點D，點P在x軸上，若三角形PBD的面積是8，請寫出點P坐標(biāo)（不需要寫解答過程）． 【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（﹣4，﹣3），利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為y=，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出y1==，y2==，然后根據(jù)y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值； （2）設(shè)BD與x軸交于點E．根據(jù)三角形PBD的面積是8列出方程??PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，0），點P在x軸上，即可求出

24、點P的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=， ∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（﹣4，﹣3）， ∴k=﹣4×（﹣3）=12， ∴反比例函數(shù)的解析式為y=， ∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B（2m，y1），C（6m，y2）， ∴y1==，y2== ， ∵y1﹣y2=4， ∴﹣=4， ∴m=1； （2）設(shè)BD與x軸交于點E． ∵點B（2m，），C（6m，），過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線相交于點D， ∴D（2m，），BD=﹣=． ∵三角形PBD的面積是8， ∴BD?PE=8， ∴??PE=8， ∴PE=4m， ∵E（2m，0），點P在x軸上， ∴點

25、P坐標(biāo)為（﹣2m，0）或（6m，0）． 14.( 2018·保定二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象經(jīng)過AO的中點C，且與AB相交于點D，OB＝4，AD＝3. (1)求反比例函數(shù)y＝的解析式； (2)求cos∠OAB的值； (3)求經(jīng)過C，D兩點的一次函數(shù)解析式． 【解析】：(1)設(shè)點D的坐標(biāo)為(4，m)(m＞0)，則點A的坐標(biāo)為(4，3＋m)． ∵點C為線段AO的中點， ∴點C的坐標(biāo)為(2，)． ∵點C，D均在反比例函數(shù)y＝的圖象上， ∴解得 ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. (2)∵m＝1，∴點A的坐標(biāo)為(4，4)， ∴OB＝4，AB＝4. ∴Rt△AOB是等腰直角三角形． ∴cos∠OAB＝cos45°＝. (3)∵m＝1， ∴點C的坐標(biāo)為(2，2)，點D的坐標(biāo)為(4，1)． 設(shè)經(jīng)過點C，D的一次函數(shù)的解析式為y＝ax＋b，則有 解得 ∴經(jīng)過C，D兩點的一次函數(shù)解析式為y＝－x＋3. 16