高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn)：53 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析

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1、 橢圓及其性質(zhì) 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．(2019·北京高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則(　　) A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b B　[由題意，＝，得＝，則＝， ∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b2.故選B.] 2．已知方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A． B．(1，＋∞) C．(1,2) D． C　[由題意得 解得1＜k＜2.故選C.] 3．橢圓C的一個焦點為F1(0,1)，并且經(jīng)過點P，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1

2、D．＋＝1 D　[由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，且另一個焦點為F2(0，－1)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4. 所以a＝2，又c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3. 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.故選D.] 4．以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點，順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率為(　　) A．－ B．－1 C． D． B　[設(shè)橢圓的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，圓與橢圓交于A，B，C，D四個不同的點，設(shè)＝2c，則＝c，＝c.由橢圓定義，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝c＋c，所以e＝＝＝－1，故選B.

3、] 5．已知△ABC的頂點B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 C　[由橢圓的方程得a＝.設(shè)橢圓的另一個焦點為F，則由橢圓的定義得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周長為|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.] 二、填空題 6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為________．

4、 (－5,0)　[∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝1，∴圓心坐標(biāo)為(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵橢圓的焦點在x軸上，∴橢圓的左頂點為(－5,0)．] 7．(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為____________． (3，)　[不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據(jù)題意可知c＝＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)，則得又因為點M在第一象限，所以M的坐標(biāo)為(3，)．] 8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的

5、兩個焦點，滿足1·2＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________． 　[滿足1·2＝0的點M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，若其總在橢圓內(nèi)部，則有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2， 即2c2＜a2，所以e2＜，又因為0＜e＜1， 所以0＜e＜.] 三、解答題 9．已知點P是圓F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一點(F1是圓心)，點F2與點F1關(guān)于原點對稱．線段PF2的垂直平分線m分別與PF1，PF2交于M，N兩點．求點M的軌跡C的方程． [解]　由題意得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，圓F1的半徑為4， 且|MF2|＝|MP|，

6、從而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|， 所以點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓， 其中長軸長為4，焦距為2，則短半軸長為， 所以點M的軌跡方程為＋＝1. 10．(2019·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標(biāo)原點． (1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率； (2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍． [解]　(1)連接PF1(圖略)，由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝

7、c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率為e＝＝－1. (2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng) |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16， ① x2＋y2＝c2， ② ＋＝1. ③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4.當(dāng)b＝4，a≥4時，存在滿足條件的點P. 所以b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞)． 1．已知橢圓C：＋＝1，M，N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點，且M與C的焦點不重

8、合．若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 B　[設(shè)MN的中點為D，橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，如圖， 連接DF1，DF2，因為F1是MA的中點，D是MN的中點，所以F1D是△MAN的中位線，則|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因為D在橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.] 2.2016年1月14日，國防科工局宣布，“嫦娥四號”任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導(dǎo)小組審議通

9、過，正式開始實施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ D　[觀察圖形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；由a1－c

10、1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，從而c1a2>a1c2，>，即④式正確，③式不正確．故選D.] 3．(2019·三明模擬)已知△ABC的頂點A(－3,0)和頂點B(3,0)，頂點C在橢圓＋＝1上，則＝________. 3　[由橢圓方程＋＝1，得長軸長2a＝10，短軸長2b＝8，焦距2c＝6，則頂點A，B為橢圓的兩個焦點． 在△ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10， 由正弦正理可得，＝＝＝3.] 4．(2109·山西太原一模)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，A，B分別是其左、右頂點，點P是橢圓C上任一點，且△PF1F2的周長為

11、6，若△PF1F2面積的最大值為. (1)求橢圓C的方程； (2)若過點F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M，N兩個不同的點，證明：直線AM與BN的交點在一條定直線上． [解]　(1)由題意得 ∴∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)直線MN的方程為x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴my1y2＝(y1＋y2)， ∵直線AM的方程為y＝(x＋2)，直線BN的方程為y＝(x－2)， ∴(x＋2)＝(x－2)，∴＝＝＝3， ∴x＝4，

12、∴直線AM與BN的交點在直線x＝4上． 1．(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 B　[設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．由橢圓的定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a. ∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|， ∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|， ∴|AF1|＋3|AF2|＝4a. 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a， ∴|AF1|＝|AF2|＝a， ∴點

13、A是橢圓的短軸端點，如圖． 不妨設(shè)A(0，－b)， 由F2(1,0)，＝2， 得B. 由點B在橢圓上， 得＋＝1， 得a2＝3，b2＝a2－c2＝2. ∴橢圓C的方程為＋＝1.故選B.] 2．如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型(稱為“Dandelin雙球”)；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球O1，球O2的半徑分別為3和1，球心距離＝8，截面分別與球O1，球O2切于點E，F(xiàn)，(E，F(xiàn)是截口橢圓的焦點)，則此橢圓的離心率等于________． 　[如圖，圓錐面與其內(nèi)切球O1，O2分別相切與B，A，連接O1B，O2A則O1B⊥AB，O2A⊥AB.過O1作O1D⊥O2A垂直于D，連接O1F，O2E，EF交O1O2于點C.設(shè)圓錐母線與軸的夾角為α，截面與軸的夾角為β.則在Rt△O1O2D中，DO2＝3－1＝2，O1D＝＝2 ∴cos α＝＝＝. ∵O1O2＝8，∴CO2＝8－O1C. ∵△EO2C～△FO1C，∴＝， 解得O1C＝2. ∴CF＝＝＝， 即cos β＝＝.則橢圓的離心率e＝＝＝.]