人教版九年級上冊數(shù)學(xué) 21.1一元二次方程 教案

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1、第21.1講---一元二次方程 初中數(shù)學(xué) 年級 九年級 重難點 1、一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念． 2、一元二次方程根的概念； 【知識儲備】 知識點一：（一）問題（1）古算趣題：“執(zhí)竿進屋” 笨人執(zhí)竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。 有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。 借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。 如果假設(shè)門竹竿的長為x尺，那么，這個門的寬為(x-4)尺，長為(x-2)尺， 根據(jù)題意，得； 整理得； 化簡，得． 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知

2、數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 比較一元二次方程和一元一次方程的相同點和不同點 一元一次方程 一元二次方程 相同點 一元、整式方程 一元、整式方程 不同點 未知數(shù)的最高次數(shù)是一次 未知數(shù)的最高次數(shù)是二次 一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式． 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項． 例1、將

3、方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等． 注意:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符號. 例2、（學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)；一次項、一次項系數(shù)；常數(shù)項． 分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x

4、-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 例3、求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可． 證明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 知識點二：問題1．前面有關(guān)“執(zhí)竿進屋”的問題中,我們列得方程x2-12x+20=0 列表： x 1 2 3 4 5 6 7

5、8 9 10 11 … x2-12x+20 9 0 -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 … 問題2．前面有關(guān)長方形的面積的問題中,我們列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44 x 1 2 3 4 5 6 … x2+7x … 列表： 使一元二次方程 左右兩邊相等 的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 求方程的解的過程，叫做解方程. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 回過頭來看：x2-12x+20=0有兩個根

6、，一個是2，另一個是10，都滿足題意；但是，問題2中的x=-11的根不滿足題意．因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解． 例1．下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要判定一個數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可． 解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根． 例2.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一個根,求代

7、數(shù)式2007(a+b+c)的值 練習(xí):關(guān)于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一個根為0,則求a的值 點撥:如果一個數(shù)是方程的根,那么把該數(shù)代入方程,一定能使左右兩邊相等,這種解決問題的思維方法經(jīng)常用到,同學(xué)們要深刻理解. 例3．你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀察結(jié)合平方根的意義． 例4：如下圖，有一塊矩形鐵皮．長100 cm．寬50 cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分

8、折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 設(shè)切去的正方形的邊長為x cm，則盒底的長為(100―2x) cm，寬為(50―2x) cm．根據(jù)方盒的底面積為3 600 cm2，得 (100―2x)(50―2x)＝3 600． 整理，得 4x2―300x＋1 400＝0. 化簡，得 x2―75x＋350＝0． 【當(dāng)堂小測】 1、 下列方程是一元二次方程嗎？ ①x2+5x-7 ②5x2 +5x=5 x2+8 ③ a x2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)a≠0) ④(x+ 2

9、)(x- 5 )=7 ⑤px 2+qx+m=0 ⑥x2 +5x +7=0 ⑦x2 +1/x=3 　 ⑧3x2 +4xy-5=0 ⑨ x2-3/4x-1/2=0 ⑩3 x2+5x=7 2、 填空題 ①(m-1)x2 -x=1是一元二次方程,則m的取值范圍為＿＿ ②若關(guān)于x的方程（k-2） -3kx+6k-5=0是一元二次方程,則k＿＿＿它的二次項系數(shù)為＿＿＿一次項系數(shù)為＿＿ 常數(shù)項為＿＿（注意：一元二次方程中隱含了二次項系數(shù)不為０的條件） 【課后作業(yè)】 1．下列方程是一元一次方程的是(　　)

10、 2、下列方程是否一元二次方程 3、將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù)： 1. 3x (x - 1) = 5 (x + 2) 2. x2 + 5 = x (2x - 5) 3. -3x (x - 6) = -5 - 18x 4、要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參加比賽? 5、某市為了增強學(xué)生體質(zhì)，開展了乒乓球比賽活動．部分同學(xué)進入了半決賽，賽制為單循環(huán)形式(即每兩個選手之間都賽一場)，半決賽共進行了6場．假設(shè)共有 x人進入半決賽，則可得關(guān)于x的方程______________ 6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值。 8 / 8