計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)博士研究生入學(xué)試題解答

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1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)博士研究生入學(xué)試題（A）解答一、簡(jiǎn)答題1 1、 指出穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健t統(tǒng)計(jì)量的適用條件。答：穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健t統(tǒng)計(jì)量的適用條件是樣本容量較大的的場(chǎng)合。在大樣本容量的情況下， 一般在橫截面數(shù)據(jù)分析中總是報(bào)告穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。在小樣本情況下，穩(wěn)健t統(tǒng)計(jì)量不那么接近t分布，從而可能導(dǎo)致推斷失誤。2 2、 若回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在q（q .1）階自相關(guān)，應(yīng)采用什么檢驗(yàn)？其檢驗(yàn)過程和檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量是什么？答：如果模型：yt t= =o匕低牡 x xX X/ /亠亠 ：ptpt ；t t 的誤差項(xiàng)滿足：；t = 42 2：；川：q；tvt，其中vt是白噪聲。原假設(shè)H。：1= 0,2= 0,，q二0

2、那么，以下兩種回答都可以。1 1 ）、. .yt對(duì)Xit, ,X2t, , ,Xpt（t=1,2,，T）做OLS回歸，求出OLS殘差名；.？對(duì)Xit,X2t，Xpt, ?，做OLS回歸，（q 1,q 2,，T）,得到R2;.計(jì)算中的？亠？/，聯(lián)合F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。若F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在q（q1、階自相關(guān)；否則，則判定判定回歸模型的隨機(jī)誤 差項(xiàng)不存在q（q 1、階自相關(guān)。2 2）、完成了 1 1、中的（1 1）、（2 2、兩步以后，運(yùn)用布勞殊一戈弗雷檢驗(yàn)（ BreschBresch GoldferyGoldfery testtest ）LM二T- qR2,由于它在原

3、假設(shè)Ho成立時(shí)漸近服從：？22分布。當(dāng)LM大于臨界值， 則判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在q（q1、階自相關(guān)；否則，判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)不存在q（q 1、階自相關(guān)。3 3、謬誤回歸的主要癥狀是什么？檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主要有哪些？在回歸中使用非平穩(wěn)的時(shí)間序列必定會(huì)產(chǎn)生偽回歸嗎？答：格蘭杰（GranGran gerger）和紐博爾德（NewboldNewbold、認(rèn)為在用時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸估計(jì)時(shí)，如果R2在數(shù)值上大于德賓一沃特森統(tǒng)計(jì)量，則我們應(yīng)當(dāng)懷疑有謬誤回歸存在。檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主要是用DFDF 和 ADFADF 檢驗(yàn)考察回歸的殘差是否服從1(0)1(0)，進(jìn)而判定變量之間的關(guān)系是否為協(xié)積的

4、，從而檢驗(yàn)出謬誤回歸的存在性?；貧w中使用非平穩(wěn)的時(shí)間序列不一定會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸，比如兩個(gè)協(xié)積的變量，雖然它們可以非 平穩(wěn)，但是不會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸。4 4、 一般的幾何滯后分布模型具有形式：yt=口+PA.送(1一人j xta+引，E(t)= 0，j=0cov(gt, J ) =，0 v九 。如何對(duì)這類模型進(jìn)行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量？od答:對(duì)一般的幾何滯后分布模型yt=口0+口1九瓦(1-九)ixt_L + ，有限的觀測(cè)不可能估計(jì)無限的i =0參數(shù)。為此，必須對(duì)模型形式進(jìn)行變換：旳注意到： 弘丄-“”內(nèi)1-咒？人亠：t，從而：i =0% -1 - 兒=0 T人；t -1 - ；ty

5、t = i xXt亠1.1 -，yt 1 _1 - ；t j由于ytJ與；2 2 相關(guān)，所以該模型不能用OLS方法進(jìn)行估計(jì)，必須采用諸如工具變量等方法進(jìn) 行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量。5 5、 假定我們要估計(jì)一元線性回歸模型：yt= 0+跟 ，Et)=0,COvWts)=2,s但是擔(dān)心Xt可能會(huì)有測(cè)量誤差，即實(shí)際得到的Xt可能是Xt” =Xt，t，、t是白噪聲。如果已經(jīng)知道存在與xt相關(guān)但與t和t不相關(guān)的工具變量zt，如何檢驗(yàn)xt是否存在測(cè)量誤差？ 答：已知存在與X；相關(guān)但與；t和、t不相關(guān)的工具變量zt，用最小二乘法估計(jì)模型xt”=a0 a1zt vt，得到殘差V?二xt” -a

6、0-飼召。把殘差?t作為解釋變量放入回歸方程f%Xtyt4k k/z -2 t4ytvk- 匕人 氣yx ? ut，用最小二乘法估計(jì)這個(gè)人工回歸，對(duì)顯著性假設(shè)運(yùn)用通常的Ho =0（Xt與；t之間沒有相關(guān)性）H1： 、；=0（xt與；t之間有相關(guān)性）注意，由yt=： xt,Vtut可推得yt-必=:? ut，即：；t= V ut。利用對(duì)yt=:xt” ；t所做回歸得到的殘差？替代;t，對(duì)系數(shù)作OLS估計(jì)，當(dāng)t-檢驗(yàn)顯著時(shí) 就表明Xt與；t之間有相關(guān)性，即Xt存在測(cè)量誤差。否則就沒有。6 6、考慮一個(gè)單變量平穩(wěn)過程yt =oryt1人；t（i i）這里，駕三IID（0占）以及|1。由于（1 1）式

7、模型是平穩(wěn)的，yt和人都將達(dá)到靜態(tài)平衡值，即對(duì)任何t有：/ -E yt，x：-E xt于是對(duì)（1 1）式兩邊取期望，就有y =：o：iyox：ix（ 2 2）也就是屮。屮。0+（Bo +01）* I, “*s、y =x二k1 -CC11 -CC1這里k1是y”關(guān)于X”的長期乘數(shù)，重寫（1 1）式就有：勺t I-1 yt4 -0：x1-1 yt jk。一人人二0*；t我們稱式為（1 1）式的誤差修正機(jī)制（Error-correctionError-correction MechanismMechanism ）表達(dá)式（ECMECM ）。在（4 4）式中我們可以發(fā)現(xiàn)長期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作

8、用是對(duì)稱的。假如這種正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用不是對(duì)稱的，那么模型應(yīng)該如何設(shè)計(jì)與估計(jì)？答：若對(duì)誤差修正（ECMECM ）模型，假如發(fā)現(xiàn)長期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是非對(duì)稱的話，模型可以設(shè)計(jì)如下：二yt二1一t4yt4k-人人二t-檢驗(yàn)。并且A城市全面實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，B城市部分實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，C城市沒有實(shí)施這1 yta f（人）其中；=丿為虛擬變量，表示 Y Y 偏離的方向。p y w f （Xt）當(dāng)yt正偏離時(shí)，t= 1，誤差修正項(xiàng)系數(shù)為r 亠養(yǎng)2；當(dāng)yt為負(fù)偏離時(shí)，t=0,誤差修正項(xiàng)系數(shù)為-1。參數(shù)估計(jì)的方法可用 MLEMLE，也可用 OLSOLS。7 7、檢驗(yàn)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模

9、型是否存在異方差，可以用布羅歇一帕甘檢驗(yàn)（BreuschBreusch PaganPagan ）和懷特（WhiteWhite ）檢驗(yàn)，請(qǐng)說明這二種檢驗(yàn)的差異和適用性。答：當(dāng)人們猜測(cè)異方差只取決于某些解釋變量時(shí)，布羅歇一帕甘檢驗(yàn)（BreuschBreusch PaganPagan）比較適合使用；當(dāng)人們猜測(cè)異方差不僅取決于某些解釋變量，還取決于這些自變量的平方和它們的交叉乘 積項(xiàng)時(shí)，懷特（WhiteWhite ）檢驗(yàn)比較適合使用。雖然，有時(shí)使用布羅歇一帕甘檢驗(yàn)無法檢驗(yàn)出異方 差的存在，但用懷特（ WhiteWhite ）檢驗(yàn)卻能檢測(cè)出來。不過，懷特（ WhiteWhite ）檢驗(yàn)要用掉很多自由 度

10、。8在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來的變量系數(shù)的OLSOLS 估計(jì)是無偏和一致的嗎？請(qǐng)舉簡(jiǎn)例說明。答：在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來的變量系數(shù)的OLSOLS 估計(jì)通常是有偏和不一致的。例如，假定工資模型為：wage =卩0+ feduc + P2expert P3abilj + %如果估計(jì)時(shí)遺漏了變量abili，得到如下估計(jì)模型：wag=九+ educ+ 爲(wèi)expen即使假定educ, exp er無關(guān)，我們也容易證明與2也都是有偏和不一致的，且有： eduq -educ abili二educi-educ由于、30，并且變量educ與abil正相關(guān)，因此，

11、,是正偏誤和不一致的。二、綜合題1 1、為了比較A、B和C三個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)相類似的城市由于不同程度地實(shí)施了某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后的績(jī)效差異，從這三個(gè)城市總計(jì)NA* NB* Nc個(gè)企業(yè)中按一定規(guī)則隨機(jī)抽取nA *nB *nc個(gè)樣本企業(yè)，得到這些企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率y作為被解釋變量，如果沒有其它可獲得的數(shù)據(jù)作為解釋變量，項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策。 如何建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型檢驗(yàn)A、B和C這三個(gè)城市之間由于不同程度實(shí)施某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后存在的績(jī)效差異？解：把A、B兩個(gè)城市中第i企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率y寫成如下模型:ADB：,；i N2i =12661/ ,nAnB, nAnB 1/,nAnBnc(1)(1)這里，虛擬變量DAi可表示

12、為:與城市 C C 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的差異，即:表示城市 A A 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率；參數(shù)表示城市 B B 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市C C 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的差異，即:+ +表示 B B 城市企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，即：-,DAi-1,DBi=0E(yJ 八，DAi=0, DBi=1（4 4）1匕DAi=0,DB：=0要檢驗(yàn)城市 A A 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市 B B 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的有無顯著差異，改 寫模型為：yi八 ddDA其中，6 6 = = B B ？；氣N（0b）；此時(shí)，有：a + Y +dJDAi= 1,DBi=0E(yi)a + YJDA=0, D

13、Bi=1（5）aLJDAi=0, DBi=0運(yùn)用t檢驗(yàn)看參數(shù)是否顯著地不為 0 0，否則就認(rèn)為城市 A A 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B B 企業(yè)的期Ai1,0,第 i 個(gè)企業(yè)來自于城市 A其它(2)(2)1,1,第 i i 個(gè)企業(yè)來自于城市B BD DB B 0,0,其它(3)(3)于是，參數(shù)二表示城市C C 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率,而參數(shù)-表示城市 A A 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率2望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間無顯著差異2 2、用觀測(cè)值$20和x,Xi, Xo估計(jì)模型% 一-0人Xt-et得到的OLS估計(jì)值為出=5.0(2.23)氏=0.8(2.21)瞬=0.31.86)2 2R =0.86和：:？=25括

14、號(hào)內(nèi)為 t t 統(tǒng)計(jì)量。由于弭的 t t 值較小，去掉滯后回歸自變量Xt重新估計(jì)模型，這時(shí)，F(xiàn) Ft為多少? 解：去掉滯后回歸自變量xt二后所估計(jì)的模型可以看作是無約束模型：yt。治必-et在約束條件：R-0之下所得到的估計(jì)。這里，REQ0,1,X=N01。設(shè)無約束模型的OLS殘差向量為e，帶約束模型的OLS殘差向量為eR，則有:212；?2e e = 25，從而可得到：e e = 20? = 2 25二500 20注意到帶約束模型的OLS殘差平方和與無約束模型的殘差平方和存在如下關(guān)系：eReR二ee R? R XX R卩R?二ee ?12 1= 5003.47 = 503.47C22.2SS

15、Eee5丄口e e由R2-11，可推得：SST2SST SST1 - R2同理，由RR=1-魚魚 可推得：RR=1-蟲空=1魚空1 - R2SSTSST ee所以，RR =1 -1 - R2匸1 -503.470.24 = 0.86ee5003 3、對(duì)線性回歸模型：令c = lx X 3 3，則有t?1? -0，從而可得到:C22(i =1,2, ,n)-( 1 1)2滿足EXi和=0。假定z可以作為Xi合適的工具變量，且Var（；|Z）=；丁I，請(qǐng)導(dǎo)出工具變量估計(jì)量，并給出它的極限分布。變量，對(duì)模型進(jìn)行變換: . 1Tplim(二區(qū)zXi)plim(乙色)=皿弐0 = 0 T i-1_1ZX

16、iJ 討由（4 4）和中心極限定理，可得：斤夠IV -P）的極限分布為正態(tài)N（0,b2MZZ分布，其中:解：由于EXjd0，所以參數(shù)向量-的OLS估計(jì)將是不一致的。假定Zi可以作為Xi合適的工具從而有:T7 Ziyii 1T八ZiXi亠二i 4TZi；ii 1(3)(3)根據(jù):Z弋=牛ZiZ；. Ti 4Ti 4(4(4)并且所以運(yùn)用OLS估計(jì)方法，可得:?v二(5(5)注意到:1T”Mzz二P limziziTi二也就是，:?VN.二2MzzT4 4、考慮如下受限因變量問題:1 1）、二元離散選擇模型中的LogitLogit 模型，在給定Xi，i =1,2/ , N條件之下yi二1的條件概率

17、為:Pi二Pry在重復(fù)觀測(cè)不其中,x：=(1,Xi1,X2,ill,Xp),exp x ?1 exp片？2 2）、為什么利用觀測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)yi來估計(jì) TobitTobit 模型是不合理的?3 3）、對(duì) TobitTobit 模型：i=1,2,，n以及gi服從正態(tài)N（0,u2）分布,y二yi,若 y 0 ；yi=0,若 y乞 0 ；求：（1 1 ）、Eg y0；（2 2）、對(duì)重復(fù)觀測(cè)不可得的情況詳細(xì)說明HeckmanHeckman 提出的模型估計(jì)方法。答案：1 1）、證明：對(duì) LogitLogit 模型，其似然函數(shù)可寫成如下形式：NL（0）=n P（yi=1Xi卩P（yi=0Xi尸 - （

18、1 1）y y（1 1 ）式的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：N,I Ip p為.yilog F x汴幽1 1 - -yilog 1 - F卜- （2 2）i z!（2 2）式關(guān)于參數(shù)1的一階導(dǎo)數(shù)為:于是，一階條件為:NNyiXi八?iXii Ai A由于X：=（1,Xi1,X2,ill,Xp）中第一分量為常數(shù) 1 1，所以根據(jù)（4 4）式可得到:I：cPN=11i生df（x：B ）xjyXex px 乍）1 exp0 ）= x：P +“（燈/Q）不 /f Q . xXj爭(zhēng)NN、Pi “yii =1i d，n以及；i服從正態(tài)xir-Xj：/、二-x/ -若 yG0。Xix: G XiJ /二i第二步，我們?cè)讷@

19、得了?之后，考慮下述模型:也就是僅僅考慮利用觀測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)y來估計(jì) TobitTobit 模型，所獲得的參數(shù)-的估計(jì)是型的不合理性。3 3）、我們知道，對(duì)于 TobitTobit 模型有這樣的結(jié)論:JamesJames HeckmanHeckman 設(shè)計(jì)出了一種相對(duì)比較簡(jiǎn)單的兩步估計(jì)法，但這個(gè)估計(jì)法能夠得到 計(jì)。（1 1）在重復(fù)觀測(cè)不可得的條件下，具體的估計(jì)步驟如下:第一步，我們通過 ProbitProbit 模型來區(qū)分“yi0”的觀測(cè)和“y：0”的觀測(cè),卩乙=1 Xj = py；AOXj = PGj a XiB x =(x ),運(yùn)用極大似然估計(jì)方法有:z =0 XjI I( ( P P

20、)=送 LziLzi 2 2( ( * *3)+(3)+( 1 1 Z Z 血-叭 巒(3 3)Z Z _ _f fx x 爭(zhēng)1妝，利用數(shù)值運(yùn)算方法可以求得%，這有偏的，并且其數(shù)值大于，并且依賴于,這就是僅僅運(yùn)用正觀測(cè)值子樣本來估計(jì)TobitTobit 模Eb I yi 0 4/XiP(1)(1)如果有關(guān)于i的估計(jì)，就可得到一：的一致估計(jì)。可以得到:V Xi 1川xZ(2)(2)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:第二步，我們?cè)讷@得了?之后，考慮下述模型:Xi?pb樣就很容易獲得 ?c 。（Xib）y=1一2人是一個(gè)平穩(wěn)的I 0過程。這一情形我們稱yt和焉是協(xié)積的。協(xié)積意味著yt和治擁有相似的隨機(jī)趨勢(shì)，于是它們的

21、差et就是平穩(wěn)的，它們相互之間絕不會(huì)偏離太遠(yuǎn)。協(xié)積變量yt和xt之間表現(xiàn)出一種定義為yt2為的長期均衡關(guān)系，而et是均衡誤差，表示對(duì)長期均衡關(guān)系的一種短期偏離。通過檢驗(yàn)誤差et-2為是否平穩(wěn)，我們判斷yt和Xt之間是否協(xié)積。因?yàn)槲覀儾荒苡^察 q q，所以就使用迪基一富勒（DFDF）檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)最小二乘估計(jì)的殘差？ = = y yt一 ：？：？ 一 ：?2?2 人的平穩(wěn)性來替代。3、在二元離散選擇的模型中解釋變量XX變化作用的符號(hào)與其系數(shù)1k的符號(hào)有什么關(guān)系？為什么？至少寫出二點(diǎn)關(guān)于Tobit模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別？答：在 ProbitProbit 模型、LogitLogit 模型中的

22、參數(shù)是無法直接解釋的。我們可以通過如下微分來考察這些模型：丄二1exp -1Q2一Xik（ 1 1）如2二2.:GeXM1 eXi：-ex匸eXi：eXi:-o22 k（2）：X Xik1 eXi-1 eXi-這里， x/：表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。這些微分度量了Xik變化的邊際作用。Xik變化的邊際作用都依賴于Xik的數(shù)值。在（1 1 ）和（2 2）兩種情況下，Xik變化作用的符號(hào)與其系數(shù) r 的符號(hào)是相一 致的。Tobit模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別：（1 1）概率單位模型和 TobitTobit 模型的區(qū)別是前者因變量使用的是啞變量，后者因變量使用的是刪尾的連續(xù)變量；（2 2）TobitT

23、obit 模型中 =0=0 要比y.0 0 時(shí)yi= y有更重的權(quán)數(shù)，因?yàn)橛蠵r）二0| x = Pry二0 |X.這是其它離散選擇模型所不具備的。4 4、海德拉斯（HildrethHildreth ）和盧（LuLu）（19601960）檢查分析了 3030 個(gè)月度的時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)（從 19511951 年 3 3 月到19531953 年 7 7 月），定義了如下變量：conscons = =每人冰激凌的消費(fèi)量（按品脫計(jì)）inin comecome = =每周平均的家庭收入（按美元計(jì)）priceprice = = 每品脫冰激凌的價(jià)格（按美元計(jì)）temptemp = =平均氣溫（ F F）1

24、 1） 、用 conscons 對(duì) inin comecome， priceprice ，temtem 和常數(shù)作線性回歸模型，得到DWDW 統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值為 1.02121.0212，請(qǐng)說明模型存在什么病態(tài)？答：說明模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在序列相關(guān)，因此，用conscons 對(duì) inin comecome， priceprice ， temtem 和常數(shù)作線性回歸模型所得到的參數(shù)估計(jì)可信度低。擁有相似的隨機(jī)趨勢(shì)，于是它們的差et就是平穩(wěn)的，它們相互之間絕不會(huì)偏離太遠(yuǎn)。協(xié)積變量yt和2 2） 、上述模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)temtem（-1-1），得到DW =1.5822，并且該項(xiàng)的系數(shù)估計(jì)

25、為1-14 4、說明R2和調(diào)整的R2之間的差異,為什么在多變量線性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用R2，答:而不是一般的決定系數(shù)R2呢?N由于R2=12e SSE/N-(p+1)N 1，1J - 2SST/ N -1y yN瓦ei2R2=11,-2SSTyi yi 2SSE因此，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時(shí)，無論這個(gè)變量是否合理,2 2R值永遠(yuǎn)不會(huì)減小。R是用于修正自由度的擬合優(yōu)度度量,NZ ei22“ N -(p 1) iR十 1J_ 2即:十 SS 曰 N-p1十NSST/(N 1 )Np 1 -R2負(fù)，請(qǐng)說明加入該項(xiàng)的作用以及系數(shù)為負(fù)的經(jīng)濟(jì)含義。答：模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)tem(-

26、1)tem(-1)后，有助于改善隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)所帶來的干擾和影響；該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)說明，如果上月的平均氣溫很高，當(dāng)月趨于正常的話，當(dāng)月每人冰 激凌的消費(fèi)量不會(huì)保持上個(gè)月的高水平，只會(huì)有所下降，并與當(dāng)月的平均氣溫呈正向因果關(guān)系;反之也一樣。3 3)、請(qǐng)寫出 2 2)中模型的另一種表達(dá)式，說明該表達(dá)式中變量系數(shù)的符號(hào)，解釋符號(hào)的經(jīng)濟(jì)意義。答：若conq= ：X：” pricet二2income：s3temp Var女 不成立。8 8、為了研究美國住房需求情況，我們利用對(duì)312312 0 0 個(gè)家庭調(diào)查的截面資料資料，對(duì)以下回歸模型：log Q -：2log P：3log Y；其中 Q=3120

27、Q=3120 個(gè)家庭中的任何一個(gè)家庭每年所需要的住房面積平方英尺數(shù)；P=P=家庭所在地住房的價(jià)格；丫=家庭收入。假設(shè)我們認(rèn)為住房需求由兩個(gè)方程組成，一個(gè)描述黑人的住房需求，另一個(gè)描述白人的住房需求，這個(gè)模型可以寫成：logQ -,2logP3logY；;白人家庭logQ二,2log P3logY；;黑人家庭我們希望對(duì)黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。這個(gè)假設(shè)是聯(lián)合假設(shè)：十1十2 -3為了對(duì)上述假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們首先對(duì)上述模型進(jìn)行估計(jì)，并將每個(gè)方程的誤差平方和相加，得到ESSUR=13640?，F(xiàn)在，假設(shè)原假設(shè)為真，則模型簡(jiǎn)化為logQ -j2log P3logY；所有家庭

28、對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行估計(jì)，得到它的誤差平方和ESSR=13838。我們能否認(rèn)為系數(shù)全相等是正確的？答：對(duì)于黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們采用鄒檢驗(yàn)(ChowChowtesttest )。在原假設(shè)成立時(shí)，F(xiàn) = ESSESSJR3 F3,3114，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ESSJR.3114（ESQ ESSUR丫3198 3FR UR15.1，遠(yuǎn)大于 5%5%顯著性水平時(shí)F 3,3114的臨界值，所ESSJR/311413640 3114/以拒絕黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)，它們之間存在顯著差異。二、綜合題1 1、假定模型的矩陣形式y(tǒng) = X.，其中E；= 0

29、，E X；=0；1）、假定E（E）=T2IT，求在RP =r條件下，參數(shù) 3 3 的最小二乘估計(jì)量。2 2）、假定E“j/lT且；是正態(tài)向量N0,；2IT，構(gòu)造檢驗(yàn)原假設(shè)H0：Rl=r:q=ra nk（R）的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并說明該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從F F 分布。3 3）、如何判斷參數(shù)線性約束條件是否成立，請(qǐng)做說明。R2ko4 4）、證明：對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F2，請(qǐng)說明原假設(shè)是什么？其中，R2（1R2）（T k-1）是模型 y=xy=x : :在無約束條件下作OLS估計(jì)所得到的擬合優(yōu)度。解：1 1）、要求在 約束條件 RBRB =r=r 下，參數(shù)向量 P P 的最小二乘估計(jì) 量，目 標(biāo)是求向量函

30、數(shù)7Y-X：y - X 2 R - r達(dá)到最小時(shí)的參數(shù)向量 對(duì)上述函數(shù)求導(dǎo)可得：?R。= -2X y-X 2=-2Xy 2 XX?R2R 0=閉R=(xx)xy - (xx FR7?=鳧LS- (xx FR?因?yàn)?，R?R= r = R?OLS- R XX R ?所以，？二R XX R FR?OLS-？R= R XXR尸R?OLS即？R= ?OLS- XX R R XX R尸R?OLS- r2 2 ）、根據(jù)上式中帶約束參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)公式，我們有：?R= ?OLs- XXJR R XX R尸R?OLS- r(1 1)(2 2)(3 3)r(4 4)(5 5)(6)(6)從而，可以得到帶約束

31、參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差公式：eR=OLS-X XXRXX -R- R?OLS-reRe =仏仏 -R?OLS- r R XX RFRXX吹論-eoLsX XXR R XXR卩R?LS- rR?OLS- r R XX 8 iR XX XX XX 8 R XX RR?LS- r整理以后可得到：eReR-eoLseoLs二R?OLS-r R XX R卩R?OLS- r_ _ 0 0（7 7）也就是說，帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和相對(duì)于無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和會(huì)變大，即：eReR_ eUOLSeUOLS（8）要檢驗(yàn)原假設(shè)H0：R-r是否成立，需要構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

32、根據(jù)（8 8）式中所體現(xiàn)的性質(zhì)，我們構(gòu)造F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F二eReR-eoLsQOLSq，這里q二rank（R）。eUOLS QjOLS：N - （ P+1）1（9 9）當(dāng)原假設(shè)H0：R =r成立并且誤差向量；不僅滿足高斯一馬爾柯夫條件，還滿足正態(tài)分布時(shí)，可以得到：F二eReRq服從自由度為q,N - p-1 的 FeUOLS QoLSN- （ P *1）分布，即F q, N - p - 1。3 3）、對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平G,若F- P-1）時(shí)，說明帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和eReR與無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和CUOLSQOLS之間差異顯著，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約

33、束條件R二r不成立，也就是說在原始模型中并不存在參數(shù)之間的這種約束關(guān)系。因此，我們拒絕原假設(shè)H0。若F蘭RPSN- p-1）時(shí)，說明帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和eReR與無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和QJOLSeUoLS之間在統(tǒng)計(jì)上沒有什么差異，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件R二r是合理的，也就是說在原始模型的參數(shù)之間確實(shí)存在著這種關(guān)系。因此，我們接受原假設(shè)H。 。24 4）、注意到無參數(shù)向量約束條件時(shí)模型的擬合優(yōu)度（或稱決定系數(shù)）件時(shí)模型的擬合優(yōu)度（或稱決定系數(shù)）RR分別為：從而有：SSE= (1 -戌SST，SSRRSST可以推得：SSER SSEU =eReR

34、eUoLseoLs=(戌RRSSt這樣，殘差形式的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F _eRe - euoLseuOLSJOLSQjOLS /【N - （p+1）又可以寫成擬合優(yōu)度形式的F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F_RR-1 - RjN - p 1 1因此，當(dāng)對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F -r，則原假設(shè)指的是所有解釋變量的系（1Ru）（T p1）=-2= p=0。也就是當(dāng)H0成立時(shí)，有RR= 0。這時(shí)，對(duì)模型顯著2 2、對(duì)線性回歸模型：y y = = x x - - ；，其中隨機(jī)誤差向量；滿足高斯- -馬爾可夫條件。1 1）、定義最小二乘估計(jì)量b. .2 2）、如果x的第一列每個(gè)元素都是 1,1,證明最小二乘殘差和為零，即

35、e= 。3 3）、令=（2）RK1 K2,b = （Db）,和X=（X1,X2）,推導(dǎo)D和 的表達(dá)式。4 4）、如果E； =；2門 與單位矩陣不成比例，試推出b和？（GLSGLS）方差形式。RjRj 和參數(shù)向量帶約束條SSEURR=1SSERSSTTR2p數(shù)都為零，即H。:性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量FRU /P1-RjT-p-1 解：1 1 ）、按照最小二乘的思想，我們定義該模型最小二乘估計(jì)量b hXX Xy注意，這時(shí)我們認(rèn)為XX是可逆的矩陣。2)、令X=(i, XJ,其中，i=：,則根據(jù)殘差向量的矩陣形式e二y -Xb = A -X XX X ly，可以得到：Xe=O,于是可推得：x e =e =乞e

36、i=(,即有：送q = 0能丿X；e；1丿i3)3) 、令M1= L XXX)%】，M2=鳥-X2(X；X2f X；根據(jù)y = X1*22； - (i i)由(1 1、式左乘Mi，可得：Miy =MiXi iM1X2：2Mi； - (2 2)注意到：MiXi=0=0，可得：b2二X2M1X2JX2M1y -(3 3)1同理：M2X2=0，可得：b =X1M2X1X1M2y -(4 4)4)4) 、如果E盟=r=r2 20 0 與單位矩陣不成比例，則根據(jù)：Var b二VarXX，XyL XX XVar y X XX可得：Varb=二2XX XX XX 由于E； = ；2門 為對(duì)稱正定矩陣，所以存

37、在非奇異矩陣P，滿足PiP = I，也就是:1- PJP4。根據(jù)這一性質(zhì)，我們對(duì)模型進(jìn)行變換：Py=PX：，P P；,顯然，Var P；二P；“- ；21。因此，對(duì)變換了的模型運(yùn)用最 小二乘估計(jì)，得到：?GLS=IXPPX，XPPyX4X從而，Va？GLSLXXXX= ；：2XX。3 3、假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資之間存在著恒定的差別，為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女2性職員受教育的回報(bào)是否相同以及方便起見，在模型中只包含受教育水平和性別二個(gè)定性的解 釋變量。試設(shè)計(jì)模型既能體現(xiàn)存在恒定的工資差別，又能反映存在受教育回報(bào)上的差別，并對(duì) 模型參數(shù)的估計(jì)及其所蘊(yùn)涵的意義進(jìn)行討論。解：假設(shè)年輕男性

38、職員與年輕女性職員的工資（wagewage）之間存在著恒定的差別，同時(shí)為方便起見，在模型中只包含受教育水平（eduedu）和性別（femalefemale）二個(gè)定性的解釋變量。為進(jìn)行模型分析,我們把定性的解釋變量轉(zhuǎn)換為可進(jìn)行定量分析的虛擬變量，即:0,第 i 個(gè)被觀測(cè)者沒有受過初等教育第 i 個(gè)被觀測(cè)者受過初等教 育第 i 個(gè)被觀測(cè)者受過中等教 育第 i 個(gè)被觀測(cè)者受過高等教 育由于本問題涉及的解釋變量多于1 1 個(gè)虛擬變量，因此，當(dāng)被解釋變量取為log wage時(shí)，這些虛擬的解釋變量系數(shù)就具有一種百分比的解釋。為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報(bào)是否相同，考慮到加入解釋變量交互項(xiàng)能

39、夠產(chǎn)生不同的斜率這一作用，我們?cè)O(shè)計(jì)如下模型：log(wage =(% +% female)+仙 + 丫1female pdu+街 - (1 1)在（1 1 ）式中代入female= =0 0，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，年輕男性職員這一組的截距為： o，而受過初等 教育的斜率為。1。對(duì)于年輕女性職員這一組，代入female =1；于是其截距為J + J，而 受過初等教育的斜率為 ：1。因此，0度量了年輕男性職員與年輕女性職員在截距上的差異，1度量了年輕男性職員與年輕女性職員在受過初等教育回報(bào)上的差異。要估計(jì)模型（1 1），我們可以把它改寫成：log（wage）=。0+ 了0female SedUi+ 篤fema

40、leedu+哲 - （2 2）對(duì)模型（2 2）中我們可以用OLS方法估計(jì)出參數(shù)：o,。1,1。 對(duì)于0,1的取值可以分成如下四種情況：（1 1）0:0，1:0；（ 2 2）0“，10；（ 3 3）00，1：0；（4 4）00，10。其中，情形（1）00，10表明，年輕女性職員組各種受教育水平的人的工資都比年輕男性職員來得低， 并且其工資差距隨著教育水平的提高而擴(kuò)大；情形（2 2）0：0，10female=0,第 i 個(gè)被觀測(cè)者是年輕女性 職員否則edui23,表明，年輕女性職員組的截距小于年輕男性職員組，但年輕女性職員組的斜率卻大于年輕男性職員組，這意味著年輕女性職員在受教育水平低的時(shí)候，其工

41、資比年輕男性職員來得低，但隨著年輕女性職員受教育水平的提高，其工資水平會(huì)接近和超過年輕男性職員。情形（3 3）與情形（4 4）的解釋相類似，這里略去。4 4、投資學(xué)說中的資本存量調(diào)整原理認(rèn)為人們根據(jù)最近的市場(chǎng)需求情況預(yù)期當(dāng)前的需求量丫，然后根據(jù)生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系確定最合適的資本存量為：K二vY，從而得到必要的凈投資量。1 1）、為什么這種投資計(jì)劃當(dāng)期內(nèi)不一定能實(shí)現(xiàn)？2 2） 、說明為什么實(shí)際凈投資量Nlt=n（l6Kt4）=nv（Y丫二）？并說明由于丫不可觀測(cè)，可以用什么來替代。3 3） 、運(yùn)用投資學(xué)說中的資本存量調(diào)整原理說明如下例子的建模思想，并診斷被估模型中可能存在什么病態(tài)?！盜Sc+Ac+D、

42、1It= 5.359 +0.4688 E GNPt丄I0.1859 E K +0.2574 Ec l4丿I4tv丿Iq丿t_i_（18.318.3）（-13.3-13.3）（4.14.1）R2=0.996廠-267.2 DW =1.157其中：It= =第t期的投資；GNPt= =第t期的國內(nèi)生產(chǎn)總值;Sc= =企業(yè)內(nèi)部?jī)?chǔ)蓄；Ac= =由于價(jià)格變動(dòng)引起的企業(yè)庫存的增減;D= =企業(yè)的設(shè)備折舊額。解：1 1 ）、這種計(jì)劃投資總量當(dāng)期內(nèi)不一定能實(shí)現(xiàn)，主要原因投資計(jì)劃有可能受到下列因素的影響： 第一，設(shè)備和人員是否合理利用；第二，資金籌集是否及時(shí)到位；第三，資本品的供應(yīng)是否存在 延遲；第四，各種可能

43、的財(cái)務(wù)與經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)是否存在。因此，當(dāng)期內(nèi)只能實(shí)現(xiàn)計(jì)劃投資總量的一部 分。2 2）、假定這一部分的比例為n，則實(shí)際的凈投資量為：Nit 2= （It -K2）= （Kt -KtJ= Yt-仏 -（1）從而，實(shí)際的投資量It= 、丫-Kt4-（2 2）Kt= =第t期的資本存量;，K；和I；分別為計(jì)劃產(chǎn)出（1 1 ），（2 2）兩式所表達(dá)的投資函數(shù)稱為資本存量調(diào)整原理。這里,量，計(jì)劃資本存量和計(jì)劃投資量；與自有資金，利率等因素有關(guān)，：為設(shè)備折舊率，為資本與產(chǎn)出比。由于丫為計(jì)劃產(chǎn)出總量，它不可能被觀察， 但它的制定依據(jù)卻是歷史上產(chǎn)出的規(guī)律和變化。Q0所以，我們用過去產(chǎn)出量的線性預(yù)測(cè)aiYt_l來替代丫

44、”。這樣，我們就有:i衛(wèi)cOIt=v送aiY_i_ （口 0Kt- （3 3）i zg當(dāng)然，實(shí)際當(dāng)中我們會(huì)用有限的過去產(chǎn)出量最合理的線性預(yù)測(cè)3 3）、該例子的建模思想依據(jù)的就是2 2）中的模型（3 3）。其中Y；用動(dòng)態(tài)有限的過去產(chǎn)出量的合理線3性預(yù)測(cè)GNR丄替代；為避免資本存量數(shù)值的波動(dòng)對(duì)模型估計(jì)帶來的不利影響，我們用資本存4 y1 &量的動(dòng)態(tài)滑動(dòng)平均心丄來替代Kj；由于Sc= =企業(yè)內(nèi)部?jī)?chǔ)蓄，Ac= =由于價(jià)格變動(dòng)引起的企業(yè)4 y1十A十D庫存的增減，D=企業(yè)的設(shè)備折舊額，所以瓦c就反映了企業(yè)內(nèi)部資金的充沛程id,q丿t_L度。當(dāng)瓦cf比較大，相應(yīng)的投資量就較大，Viqg1 zq +A+ Dx當(dāng)送c比較小，相應(yīng)的投資量就較小。Iq丿丄注意到，被估模型的DW =1.157，相對(duì)較小，我們判斷可能存在隨機(jī)誤差序列之間序列相關(guān)的干擾，可以進(jìn)行修正。q、aiYt_l來來替代丫。