浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第35講 方程、函數(shù)思想型問題講解篇

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1、 第35講　方程、函數(shù)思想型問題 (建議該講放第16講后教學(xué)) 內(nèi)容 特性 1.在解決問題時(shí)，把某一個(gè)未知量或幾個(gè)未知量用字母來表示，根據(jù)已知的條件或有關(guān)的性質(zhì)、定理或公式，建立起未知量和已知量之間的等量關(guān)系，列出方程或方程組，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想． 2．函數(shù)思想是指用變量和函數(shù)來思考問題的一種方法，借助函數(shù)知識來探求變量之間關(guān)系的一種思維方式，以生產(chǎn)、生活和學(xué)科問題為背景，結(jié)合方程、幾何圖形等知識進(jìn)行問題解決的一種解題策略，是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型. 解題 策略 (1)解決函數(shù)綜合問題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合，在函數(shù)、方程、不等式之間靈活轉(zhuǎn)

2、化； (2)解決幾何綜合問題時(shí)，常從面積關(guān)系，勾股定理、相似性質(zhì)尋求關(guān)系列方程、函數(shù)求解； (3)解決生活中應(yīng)用問題時(shí)，從一些常見數(shù)量關(guān)系模型入手，建立方程、函數(shù)求解； (4)對于一個(gè)實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)，抓住事物在運(yùn)動過程中那些保持不變的規(guī)律和性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)基本性質(zhì)和方法，從而更快更好地解決問題. 基本 思想 利用方程思想解決問題時(shí)，經(jīng)常涉及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想；利用函數(shù)思想解決問題時(shí)，充分運(yùn)用函數(shù)數(shù)學(xué)思想分析問題，經(jīng)常涉及函數(shù)與方程、不等式，函數(shù)與圖象. 類型一　運(yùn)用方程思想求解幾何綜合性問題 　如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm

3、，AC＝30 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；同時(shí)Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為x秒． (1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC? (2)△APQ能否與△CQB相似？若能．求出AP的長；若不能．請說明理由． 【解后感悟】由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可列出分式方程，從而求解；在已知一個(gè)角對應(yīng)相等的前提下考慮兩個(gè)三角形相似時(shí)，有兩種情況，不可遺漏． 1． (2016·舟山)如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，過點(diǎn)A，C作相距為2的平行線段AE，CF，分別交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則DE的長是(　　)

4、 A. B. C．1 D. 類型二　運(yùn)用函數(shù)思想求解方程、不等式問題 　(2017·杭州)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，－2)，求函數(shù)y1的表達(dá)式； (2)若一次函數(shù)y2＝ax＋b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式； (3)已知點(diǎn)P(x0，m)和Q(1，n)在函數(shù)y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值范圍． 【解后感悟】二次函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為方程，解(1)的關(guān)鍵是利用待定

5、系數(shù)法；解(2)的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式；解(3)的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等量關(guān)系，同時(shí)要分類討論，以防遺漏． 2．(1)已知函數(shù)y＝x和y＝的圖象如圖，則不等式>x的解集為(　　) A．－2≤x<2 B．－2≤x≤2 C．x<2 D．x>2 (1)圖 (2)圖 (2)如圖，已知函數(shù)y＝－與y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，則關(guān)于x的方程ax2＋bx＋＝0的解為　　　　　

6、　　　. 類型三　運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解幾何最值問題 　(2016·黃岡模擬)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，現(xiàn)將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O，兩直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，然后將三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α(0°<α<90°)，旋轉(zhuǎn)后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H, 四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過程中三角板與△ABC的重疊部分(如圖所示)，那么，在上述旋轉(zhuǎn)過程中： (1)線段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； (2)連結(jié)HK，設(shè)BH＝x. ①當(dāng)△CKH的面積為時(shí)，求出x的

7、值； ②試問△OHK的面積是否存在最小值，若存在，求出此時(shí)x的值，若不存在，請說明理由． 　 　　　　　 【解后感悟】本題利用方程、函數(shù)思想把問題構(gòu)建為方程、函數(shù)模型，再用方程、函數(shù)知識來解決問題．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程、函數(shù)關(guān)系式． 3． (2015·德州模擬)一個(gè)包裝盒的設(shè)計(jì)方法如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形的包裝盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm.若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)

8、最大，試問x應(yīng)取的值為　　　　　　　　cm. 類型四　運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解三角形、四邊形與圓問題 　(2015·汕尾)如圖，已知直線y＝－x＋3分別與x、y軸交于點(diǎn)A和B. (1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)； (2)求原點(diǎn)O到直線l的距離； (3)若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【解后感悟】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式，借助這些知識，再利用方程、函數(shù)思想來解決問題．以此設(shè)計(jì)問題在中考中出現(xiàn)的頻率很高，是中考中比較典型的題型．

9、 4． 如圖，已知拋物線y＝x2＋bx與直線y＝2x交于點(diǎn)O(0，0)，A(a，12)．點(diǎn)B是拋物線上O，A之間的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C，E. (1)求拋物線的函數(shù)解析式； (2)若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，求BC的長； (3)以BC，BE為邊構(gòu)造矩形BCDE，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，n)，求出m，n之間的關(guān)系式． 　　 　　　　　　 類型五　運(yùn)用方程、函數(shù)思想求解實(shí)際問題 　某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(萬件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y＝－2x＋100.(利潤

10、＝售價(jià)－制造成本) (1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？ (3)根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？ 【解后感悟】本題是通過方程、函數(shù)思想解決實(shí)際問題，一是通過方程思想列函數(shù)解析式，二是通過函數(shù)思想解決變量間關(guān)系． 5．(2015·濟(jì)寧)小明到服裝店參加社會實(shí)踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：

11、 服裝店準(zhǔn)備購進(jìn)甲乙兩種服裝，甲種每件進(jìn)價(jià)80元，售價(jià)120元；乙種每件進(jìn)價(jià)60元，售價(jià)90元．計(jì)劃購進(jìn)兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件． (1)若購進(jìn)這100件服裝的費(fèi)用不得超過7500元，則甲種服裝最多購進(jìn)多少件？ (2)在(1)的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a(0＜a＜20)元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價(jià)格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤？ 【開放探究題】 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)與時(shí)間x (時(shí))的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y＝－200x2

12、＋400x刻畫；1.5時(shí)后(包括1.5時(shí))y與x可近似地用反比例函數(shù)y＝(k＞0)刻畫(如圖所示)． (1)根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算： ①喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值為多少？ ②當(dāng)x＝5時(shí)，y＝45.求k的值； (2)按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由． 　　　　　　　　 【方法與對策】本題實(shí)質(zhì)是通過方程、函數(shù)思想解決反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用問題，根據(jù)圖象得

13、出正確信息是解題關(guān)鍵， 這是中考中的新題型． 【忽視變量范圍而出錯】 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一點(diǎn)(P與B、C不重合)，過點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E. (1)連結(jié)AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長； (2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？ (3)若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長． 參考答案 第35講　方程、函數(shù)思想型問題 【例題精析】 例1　(1)根據(jù)題意AP＝4xcm，AQ＝AC－

14、QC＝(30－3x)cm，若PQ∥BC，則＝.則＝，解得x＝.所以當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為s時(shí)，PQ∥BC. (2)因?yàn)椤螦＝∠C，所以當(dāng)＝或＝時(shí)，△APQ能與△CQB相似．①當(dāng)＝時(shí)，＝，解得x＝，所以AP＝4x＝cm.②當(dāng)＝時(shí)，＝，解得x1＝5，x2＝－10(舍去)．所以AP＝4x＝20cm.所以當(dāng)AP＝cm或20cm時(shí)，△APQ與△CQB相似．　 例2　(1)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1，函數(shù)y1的表達(dá)式為y＝(x－2)(x＋2－1)，化簡，得y＝x2－x－2；或函數(shù)y1的表達(dá)式為y＝(x＋1)(x－2)化簡，得y＝x2－x－2，綜上所述：

15、函數(shù)y1的表達(dá)式為y＝x2－x－2； (2)當(dāng)y＝0時(shí)，(x＋a)(x－a－1)＝0，解得x1＝－a，x2＝a＋1，y1的圖象與x軸的交點(diǎn)是(－a，0)，(a＋1，0)，當(dāng)y2＝ax＋b經(jīng)過(－a，0)時(shí)，－a2＋b＝0，即b＝a2；當(dāng)y2＝ax＋b經(jīng)過(a＋1，0)時(shí)，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a； (3)當(dāng)P在對稱軸的左側(cè)(含頂點(diǎn))時(shí)，y隨x的增大而減小，(1，n)與(0，n)關(guān)于對稱軸對稱，由m＜n，得0＜x0≤；當(dāng)P在對稱軸的右側(cè)時(shí)，y隨x的增大而增大，由m＜n，得＜x0＜1，綜上所述：x0的取值范圍為0＜x0＜1.　 例3　(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，BH＝CK，四邊形CHOK的

16、面積始終保持不變，其值為△ABC面積的一半．理由如下：連結(jié)OC.∵△ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點(diǎn)，CO⊥AB，∴∠OCK＝∠B＝45°，CO＝OB.又∵∠COK與∠BOH均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠COK＝∠BOH＝α，在△COK和△BOH中，∴△COK≌△BOH，∴BH＝CK，S四邊形CHOK＝S△COK＋S△COH＝S△BOH＋S△COH＝S△COB＝S△ABC＝9. (2)①由(1)知CK＝BH＝x，∵BC＝6，∴CH＝6－x，根據(jù)題意，得CH·CK＝，即(6－x)x＝5，解這個(gè)方程得x1＝1，x2＝5，此兩根滿足條件：0

17、KH的面積為S，由(1)知四邊形CHOK的面積為9，∴S△OKH＝S四邊形CHOK－S△CKH＝9－x(6－x)＝(x2－6x)＋9＝(x－3)2＋，∵>0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)S△OKH有最小值，∵x＝3滿足條件0

18、l的距離為.　(3)過M作MD⊥AB交AB于點(diǎn)D，當(dāng)圓M在直線l下方與直線相切時(shí)，MD＝2，在△BOA和△BDM中，∵∠OBA＝∠DBM，∠BOA＝∠BDM，∴△BOA∽△BDM，∴＝，∴BM＝＝，∴OM＝OB－BM＝，當(dāng)⊙M在直線l上方與直線相切時(shí)，同理可得OM＝OB＋BM＝，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(0，)或M(0，)． 　例5　(1)∵z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1800，∴z與x之間的函數(shù)解析式為z＝－2x2＋136x－1800.　(2)由z＝350，得350＝－2x2＋136x－1800，解這個(gè)方程得x1＝25，x2＝43.∴銷售單價(jià)定為25

19、元或43元時(shí)，廠商每月能獲得350萬元的利潤．∵z＝－2x2＋136x－1800＝－2(x－34)2＋512，∴當(dāng)銷售單價(jià)為34元時(shí)，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元．　 (3)結(jié)合(2)及函數(shù)z＝－2x2＋136x－1800的圖象(如圖所示)可知，當(dāng)25≤x≤43時(shí)，z≥350.又由限價(jià)32元，得25≤x≤32.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y＝－2x＋100中y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝32時(shí)，每月制造成本最低．最低成本是18×(－2×32＋100)＝648(萬元)．∴所求每月最低制造成本為648萬元． 【變式拓展】 1． D　2.(1)A　(2)x＝－3　3.15　 4. (

20、1)∵點(diǎn)A(a，12)在直線y＝2x上，∴12＝2a，解得：a＝6，又∵點(diǎn)A是拋物線y＝x2＋bx上的一點(diǎn)，將點(diǎn)A(6，12)代入y＝x2＋bx，可得b＝－1，∴拋物線解析式為y＝x2－x.　 (2)∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，6)，把y＝6代入y＝x2－x，解得：x1＝1＋，x2＝1－(舍去)，故BC＝1＋－3＝－2. (3)∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，n)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n，n)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，2m)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n，2m)，把點(diǎn)B(n，2m)代入y＝x2－x，可得m＝n2－n，∴m、n之間的關(guān)系式為m＝n2－n.　 5.(1)設(shè)購進(jìn)甲種服裝x件，由題意可知：80x＋60

21、(100－x)≤7500，解得：x≤75.答：甲種服裝最多購進(jìn)75件． (2)設(shè)總利潤為W元，因?yàn)榧追N服裝不少于65件，所以65≤x≤75.W＝(40－a)x＋30(100－x)＝(10－a)x＋3000.方案1：當(dāng)0＜a＜10時(shí)，10－a＞0，W隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝75時(shí)，W有最大值，則購進(jìn)甲種服裝75件，乙種服裝25件；方案2：當(dāng)a＝10時(shí)，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進(jìn)貨都可以；方案3：當(dāng)10＜a＜20時(shí)，10－a＜0，W隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝65時(shí)，W有最大值，則購進(jìn)甲種服裝65件，乙種服裝35件． 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)①當(dāng)x＝－＝1時(shí)，y＝200，

22、∴喝酒后1時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值，最大值為200毫克/百毫升．?、凇弋?dāng)x＝5時(shí)，y＝45，且(5，45)在反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上，∴把(5，45)代入y＝得45＝，解得k＝225.　 (2)把y＝20代入反比例函數(shù)y＝得x＝11.25.∴喝完酒經(jīng)過11.25時(shí)為早上7：15.∴第二天早上7：15以后才可以駕駛，7：00時(shí)不能駕車去上班． 【錯誤警示】(1)由△APE≌△ADE可得AP＝AD＝3，在Rt△ABP中，運(yùn)用勾股定理即可求得BP的長．∵△APE≌△ADE，∴AP＝AD＝3.在Rt△ABP中，AB＝2，∴BP＝＝＝.　 (2)由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式．化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)x＝時(shí)，y的值最大，最大值是.∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE.∴＝，即＝，∴y＝－x2＋x，∵y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，∴當(dāng)x＝時(shí)，y的值最大，最大值是. (3)由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式求得BP的長．設(shè)BP＝x，由(2)得CE＝y(tǒng)＝－x2＋x，∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.∴＝，即＝，化簡得3x2－13x＋12＝0，解得x1＝或x2＝3(不合題意，舍去)，∴當(dāng)BP＝時(shí)，PE∥BD. 12