浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第五章 基本圖形(二)第27講 圖形與變換 第1課時 圖形軸對稱與中心對稱講解篇

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1、 第27講　圖形與變換 第1課時　圖形軸對稱與中心對稱 1．軸對稱與軸對稱圖形 考試內容 考試 要求 軸對稱 軸對稱圖形 a 定義 把一個圖形沿某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形 ，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是 ，兩個圖形的對應點叫做對稱點． 如果一個圖形沿某條直線對折，對折的兩部分能夠完全 ，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的 ． 區(qū)別 軸對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系． 軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形． 軸對稱 的性質 1.對稱點的連

2、線被對稱軸____________________； 2．對應線段____________________； 3．對應線段或延長線段的交點在____________________上； 4．成軸對稱的兩個圖形 ． c 2.中心對稱與中心對稱圖形 考試內容 考試 要求 中心對稱 中心對稱圖形 a 定義 把一個圖形繞著一點旋轉 后，如果與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做其對稱中心，旋轉前后重合的點叫做對稱點． 把一個圖形繞著某點旋轉 后，能與其自身重合，那么這

3、個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做 ． 區(qū)別 中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關系． 中心對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形． 中心對 稱的性 質　　 1.中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過____________________，而且被對稱中心____________________； 2．成中心對稱的兩個圖形 ． c 考試內容 考試 要求 基本 思想 轉化思想：有關幾條線段之和最短的問題，都是把它們轉化到同一條直線上，然后利用“兩點之間線段最短”來解決． c 1． (2016·

4、紹興)我國傳統(tǒng)建筑中，窗框(如圖1)的圖案玲瓏剔透、千變萬化，窗框一部分如圖2，它是一個軸對稱圖形，其對稱軸有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 2．(2016·湖州)為了迎接杭州G20峰會，某校開展了設計“YJG20”圖標的活動，下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(　　) 3． (2017·衢州)如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿AC折疊，使點B落在點E處，CE交AD于點F，則DF的長等于(　　) A.

5、 B. C. D. 4．(2017·麗水)如圖，由6個小正方形組成的2×3網(wǎng)格中，任意選取5個小正方形并涂黑，則黑色部分的圖形是軸對稱圖形的概率是____________________． 【問題】給出下列圖形． (1)這些圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是________； (2)畫出平行四邊形ABCD關于DC所在直線對稱的平行四邊形A1B1C1D1； (3)通過(1)、(2)解題體驗，你想到哪些知識和方法？ 　　　 　　【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理軸對稱圖形和中心對

6、稱圖形；軸對稱和中心對稱以及畫圖． 類型一　軸對稱與軸對稱圖形、中心對稱與中心對稱圖形 　(1)(2015·無錫)下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是(　　) 　　A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．矩形 D．圓 (2)(2017·山東模擬)如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為________． 【解后感悟】(1)軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，兩邊圖形折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180

7、度后重合；(2)解答的關鍵是菱形是中心對稱圖形，并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半． 1． (1)如圖，△ABC中，AB＝AC，△ABC與△FEC關于點C成中心對稱，連結AE，BF，當∠ACB為________度時，四邊形ABFE為矩形(　　) A．90° B．30° C．60° D．45° (2) (2015·陽谷模擬)若∠AOB＝45°，P是∠AOB內一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1，P2，連結OP1，OP2，則下列結論最準確的是(　　) A．OP1⊥OP2

8、 B．OP1＝OP2 C．OP1≠OP2 D．OP1⊥OP2且OP1＝OP2 (3) (2017·溫州模擬)如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個小正方形所形成的圖案，再將方格內空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂法有　　　　　　　　種． 類型二　網(wǎng)格、平面直角坐標系中的圖形變換 　如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為(2，4)，請解答下列問題： (1)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標； (2)畫出△A1B1C1繞原點O旋轉180°后得到的△A2B2C2，

9、并寫出點A2的坐標． 【解后感悟】本題運用圖形的軸對稱變換及旋轉變換．解答此類題目的關鍵是掌握旋轉的特點，然后根據(jù)題意找到各點的對應點，然后順次連結即可． 2．(1)(2015·杭州模擬)如下圖均為2×2的正方形網(wǎng)格，每個小正形的邊長均為1，請分別在四個圖中各畫出一個與△ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角形． (2)(2017·寧波)在4×4的方格中，△ABC的三個頂點都在格點上． ①在圖1中畫出與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形(畫出一個即可)； ②將圖2中的△ABC繞著點C按順時針方向旋轉90°，畫出經旋轉后的三角形． (3)(201

10、5·南昌)如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關于某點中心對稱，已知A，D1，D三點的坐標分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)． (1)求對稱中心的坐標； (2)寫出頂點B，C，B1，C1的坐標． 　　　　　　 類型三　軸對稱變換解決折疊問題 　(1)(2016·齊齊哈爾)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點M是AD邊的中點，連結MC，將菱形ABCD翻折，使點A落在線段CM上的點E處，折痕交AB于點N，則線段EC的長為　　　　　　　　. 【解后感悟】此題運用菱形的性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，解題的關鍵是從題目中抽象出直角三角形． (2

11、)如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE＝BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在點B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點G，連結DG，B′G. 求證：①∠1＝∠2； ②DG＝B′G. 【解后感悟】本題運用軸對稱的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的證明等知識，首先折疊問題是一種常見題型，折疊前后的兩個圖形對應邊、對應角相等，也就是說折疊變換就是全等變換．另外本題考查了一種常見的解題思路，證明兩條線段相等或兩個角相等，可以證明它們所在的兩個三角形全等． 3. (1)(2015·莆田)數(shù)學興趣小組開展以下折紙活動： ①對折矩形A

12、BCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把紙片展平； ②再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN. 觀察，探究可以得到∠ABM的度數(shù)是(　　　　　　　　) A．25° B．30° C．36° D．45° (2) (2016·河南)如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3.點E為射線BC上一個動點，連結AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于點M，N.當點B′為線段MN的三等分點時，BE的長為　　　　　　　　. 類型四　軸

13、對稱變換解決最小值問題 　(2015·內江)如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE最小，則這個最小值為(　　) A. B．2 C．2 D. 【解后感悟】此題主要運用了軸對稱求最短路線以及正方形、等邊三角形的性質，把線段PD與PE長度之和轉化為兩點之間線段最短是解題關鍵． 4．(2016·百色)如圖，正△ABC的邊長為2，過點B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱，D為線段BC′上一動點，則AD＋C

14、D的最小值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．2＋ 【探索研究題】 (2017·臺州)如圖，矩形EFGH四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，BE＝BF，將△AEH，△CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的時，則為(　　) A. B．2 C. D．4 【方法與對策】利用菱形的翻折變換(折疊問題)為背景給出問題的信息，借助基本圖形，即陰影部分是菱形，揭示數(shù)

15、量關系，設AB＝4y，BE＝x，從而得出陰影部分邊長為4y－2x，再由重疊部分面積是菱形ABCD面積的，可得陰影部分邊長為＝y(tǒng)，根據(jù)4y－2x＝y(tǒng)，求出x，從而得出答案． 【對稱圖形的概念理解不透】 以下圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(　　) A．等邊三角形　 B．矩形 C．等腰梯形　 D．平行四邊形 參考答案 第27講　圖形與變換 第1課時　圖形軸對稱與中心對稱 【考點概要】 1．重合　對稱軸　重合　對稱軸　垂直平分　相等　對稱軸　全等　2.180°　180°　對稱中心　對稱中心 平分　全等 【考

16、題體驗】 1．B　2.D　3.B　4. 【知識引擎】 【解析】(1)①　(2) (3)軸對稱和軸對稱圖形、中心對稱和中心對稱圖形以及對稱變換畫圖． 【例題精析】 例1　(1)A　(2)12　 例2　(1)如圖所示：點A1的坐標(2，－4)； (2)如圖所示，點A2的坐標(－2，4)． 例3　 (1)如圖，過點M作MF⊥DC于點F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝MD＝，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，∴EC＝MC－ME＝－1.故答案為：－1.　(2)證明：①由

17、折疊知，∠1＝∠CEF，又由平行四邊形的性質知，CD∥AB，∴∠2＝∠CEF，∴∠1＝∠2. ②由折疊知，BF＝B′F，又∵DE＝BF，∴DE＝B′F，由①知∠1＝∠2，∴GE＝GF，又由平行四邊形的性質知，CD∥AB，∴∠DEF＝∠EFB，由折疊知，∠EFB＝∠EFB′，∴∠DEF＝∠EFB′，即∠DEG＋∠1＝∠GFB′＋∠2，∴∠DEG＝∠GFB′，∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝B′G. 　例4　由題意，可得BE與AC交于點P.∵點B與D關于AC對稱，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面積為12，∴AB＝2.又∵△ABE是等邊三角形，∴B

18、E＝AB＝2.故所求最小值為2.故選B. 【變式拓展】 1．(1)C　(2)D　(3)3 2．(1) (2)①畫出下列其中一個即可． ② (3) ①根據(jù)對稱中心的性質，可得對稱中心的坐標是D1D的中點，∵D1，D的坐標分別是(0，3)，(0，2)，∴對稱中心的坐標是(0，2.5)．?、凇逜，D的坐標分別是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的邊長都是：4－2＝2，∴B，C的坐標分別是(－2，4)，(－2，2)，∵A1D1＝2，D1的坐標是(0，3)，A1的坐標是(0，1)，∴B1，C1的坐標分別是(2，1)，(2，3)，綜上，可得頂點B，C，B1，C1的坐標分別是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．　 3. (1)B　(2)或　 4.A 【熱點題型】 【分析與解】依題可得陰影部分是菱形．∴設BE＝x，AB＝4y.∴陰影部分邊長為4y－2x.又∵重疊部分面積是菱形ABCD面積的，∴陰影部分邊長為＝y(tǒng).∴4y－2x＝y(tǒng).∴x＝y(tǒng)，∴AE＝(4－)y＝y(tǒng)，∴＝＝.故答案為A. 【錯誤警示】B　等邊三角形只是軸對稱圖形，等腰梯形也只是軸對稱圖形，平行四邊形只是中心對稱圖形，故選B. 11