浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第五章 基本圖形(二)第28講 圖形的相似 第1課時 相似形講解篇

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1、 第28講　圖形的相似 第1課時　相似形 1．比例線段 考試內(nèi)容 考試 要求 比例 線段 定義 在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段． a 基本 性質 若＝，則ad＝bc.當b＝c時，b2＝ad，那么b是a、d的比例中項． 黃金 分割 點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC)，如果AC是線段AB和BC的比例中項，且＝＝≈0.618，那么點C叫做線段AB的黃金分割點． 2.平行線分線段成比例 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 事實 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段

2、 ． c 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例． 3.相似圖形的有關概念 考試內(nèi)容 考試 要求 相似圖形 ____________________相同的圖形稱為相似圖形． a 相似多 邊形　 兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別 ，邊 ，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形． 相似多邊形對應 的比叫做相似比． (1)相似多邊形周長的比等于相似比； (2)相似多邊形面積的比等于相似比的平方 相似三 角形　 兩個三角形的三個角分別_ ，三條邊

3、 ，則這兩個三角形相似．當相似比等于1時，這兩個三角形 ． 4.相似三角形的判定 考試內(nèi)容 考試 要求 判定1 ____________________于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似． a 判定2 三邊 的兩個三角形相似． 判定3 兩邊 且夾角 的兩個三角形相似． 判定4 兩角分別 的兩個三角形相似． 判定5 滿足斜邊和一條直角邊 的兩個直角三角形相似．

4、 拓展 直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個三角形都與原三角形相似． 5.相似三角形的性質 考試內(nèi)容 考試 要求 性質 1.相似三角形的對應角 ，對應邊 ． a 2.相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比和周長的比都等于 ． 3.相似三角形面積的比等于相似比的____________________. 三角形 的重心 三角形三條中線的交點叫做重心． 三角形的重心分每一條中線成1∶2的兩條線段． 拓展 如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是

5、斜邊AB上的高，則有下列結論． ①AC2＝AD·AB； ②BC2＝BD·AB； ③CD2＝AD·BD； ④AB·CD＝AC·BC. 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 轉化思想：證角相等，證比例線段往往轉化為證相似三角形；測量問題，往往構建相似三角形，即實際問題轉化為相似三角形問題來解決． b 1． (2017·杭州)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，則(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2．(2015·嘉興)如圖，直線l1∥l2

6、∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn).AC與DF相交于點H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，則的值為(　　) A. B．2 C. D. 3．(2015·嘉興)如圖是百度地圖的一部分(比例尺1∶4000000)．按圖可估測杭州在嘉興的南偏西____________________度方向上，杭州到嘉興的圖上距離約2cm，則杭州到嘉興的實際距離約為____________________． 【問題】如圖，點D在△ABC的邊

7、AC上． (1)要判斷△ADB與△ABC相似，添加一個條件是____________________； (2)若△ADB∽△ABC，AB＝4，AD＝2，則AC＝________； (3)通過(1)、(2)解答，你能說出相似三角形哪些知識？ 　　　　　　 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理比例、相似多邊形有關概念，相似三角形性質、判定． 類型一　比例性質、黃金分割等相關概念 　(1)(2016·山西)寬與長的比是(約0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，給我們以協(xié)調和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取A

8、D、BC的中點E、F，連結EF；以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是(　　) A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 【解后感悟】先根據(jù)正方形的性質以及勾股定理，求得DF的長，再根據(jù)DF＝GF求得CG的長，最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形． (2) 已知＝＝≠0，求的值． 【解后感悟】這類題我們一般是設輔助未知數(shù)k，即比值為k，把所有字母都用含有k的式子表示出來，從而達到計算或化簡的目的．

9、 1．在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比．已知這本書的長為20cm，則它的寬約為(　　) A．12.36cm　 B．13.6cm C．32.36cm　 D．7.64cm 2． (2015·揚州)如圖，練習本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上，若線段AB＝4cm，則線段BC＝　　　　　　　　 cm. 類型二　相似多邊形 　已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ADC

10、B相似，則AD＝(　　) A. B. C. D．2 【解后感悟】解題關鍵是根據(jù)相似多邊形的性質：對應邊的比等于相似比． 3．(2015·葫蘆島)如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，連結AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連結AC1，以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形ABnCnCn－1的面積為____________________． 類型三　相似三角形的判定與性質 　(2016·南充)已

11、知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內(nèi)一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM. (1)如圖1，若點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM＝AN； (2)①如圖2，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM＝AN是否成立？(不需說明理由) ②是否存在滿足條件的點P，使得PC＝？請說明理由． 　　 　　　　 【解后感悟】本題考查相似三角形的性質、正方形的性質、圓的有關知識，解題的關鍵是熟練應用相似三角形性質解決問題，最后一個問題利用圓的位置關系解決問題． 4． (1)如圖，在△ABC中，

12、點D，E分別在邊AB，AC上，且＝＝，則S△ADE∶S四邊形BCED的值為(　　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 (2) (2016·河北)如圖，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(　　) 5．(1)(2015·自貢)將一副三角板按圖疊放，則△AOB與△DOC的面積之比等于　　　　　　　　. (2)(2015·無錫市南長區(qū)模擬)如圖，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D為AB的中點，過

13、點D的直線與BC所在直線交于點E，若直線DE截△ABC所得的三角形與△ABC相似，則DE＝　　　　　　　　. 類型四　與相似三角形相關的問題 　如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE＝4，CD＝6，則AE的長為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解后感悟】本題運用圓周角定理、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是得出∠CAD＝∠CDB，證明△ACD∽△DCE. 6． (1)已知：在△ABC中，BC＝10，BC邊上的高h＝5，點

14、E在邊AB上，過點E作EF∥BC，交AC邊于點F.點D為BC上一點，連結DE、DF.設點E到BC的距離為x，則△DEF的面積S關于x的函數(shù)圖象大致為(　　) (2)(2015·杭州模擬)在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下： 甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖①的方式向外擴張，得到新的三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似． 乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖②的方式向外擴張，得到新矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似． 對于兩人的觀點，下列說法正確的是(　) A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不

15、對 D．甲不對，乙對 (3) (2015·濱州)如圖，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉，若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)y＝－、y＝的圖象交于B、A兩點，則∠OAB的大小的變化趨勢為(　) A．逐漸變小 B．逐漸變大 C．時大時小 D．保持不變 7．(2016·龍東)已知，在平行四邊形ABCD中，點E在直線AD上，AE＝AD，連結CE交BD于點F，則EF∶FC的值是　　　　　　　　. 【課本改變題】教材母題－－浙教版教材九上第149頁第5題 課本中有一道作業(yè)題： 有一塊三角形余料ABC，它的邊B

16、C＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm? 小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題． (1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算． (2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長． 　　　　　　　　 【方法與對策】本題是課本改變題，試題設

17、置上主要是三角形和矩形的組合，通過基本圖形是相似三角形，揭示對應邊成比例的關系式來解決問題，再深入探究，規(guī)律性較強，這種題型是中考常用的命題方式． 【找不準相似三角形中的對應邊】 如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，則下列結論一定正確的是(　　) A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD 參考答案 第28講　圖形的相似 第1課時　相似形 【考點概要】 2．成比例　3.形狀　相等　成比例　邊　相等　成比

18、例　全等　4.平行　成比例　成比例　相等　相等　成比例　5.相等　成比例　相似比　平方 【考題體驗】 1．B　2.D　3.45　80km 【知識引擎】 【解析】(1)添加條件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC或者＝； (2)由△ADB∽△ABC，得＝，得AC＝8； (3)相似三角形知識：性質、判定等． 【例題精析】 例1　(1)設正方形的邊長為2，則CD＝2，CF＝1.在直角三角形DCF中，DF＝＝，∴FG＝，∴CG＝－1，∴＝，∴矩形DCGH為黃金矩形．故選D.　(2)設＝＝＝k(k≠0)，根據(jù)題意，得x＝3k，y＝4k，z＝6k，所以＝＝＝.　 例2　B　 例3

19、 (1)如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM＝∠PBC，＝＝，∵∠PBC＋∠PBA＝90°，∴∠PAM＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，∴△BAP∽△BNA，∴＝，∴＝，∵AB＝BC，∴AN＝AM.　(2)①仍然成立，AP⊥BN和AM＝AN.理由如圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM＝∠PBC，＝＝，∵∠PBC＋∠PBA＝90

20、°，∴∠PAM＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP＝∠ABN，∠APB＝∠BAN＝90°，∴△BAP∽△BNA，∴＝，∴＝，∵AB＝BC，∴AN＝AM.　 ②這樣的點P不存在．理由：假設PC＝，如圖3中，以點C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，CO＝＝＞＋，∴兩個圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，∴假設不可能成立，∴滿足PC＝的點P不存在． 例4　設AE＝x，則AC＝x＋4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠CDB＝∠BAC(圓周角定理)，∴∠CAD＝∠CDB，∵∠ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝，即＝，解得：x＝5.故選B

21、. 【變式拓展】 1．A　2.12　3.　4.(1)C　(2)C　5.(1)1∶3　(2)2或　6.(1)D　(2)A　(3)D　7.或 【熱點題型】 【分析與解】(1)設矩形的邊長PN＝2ymm，則PQ＝y(tǒng)mm，由條件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得y＝，∴PN＝×2＝(mm)，答：這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；　(2)設PN＝xmm，由條件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.∴S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2400，∴S的最大值為2400mm2，此時PN＝60mm，PQ＝80－×60＝40(mm)． 【錯誤警示】A．∵△ABC∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BD·BC. 12