《計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)》教學(xué)資源計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)(二)

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1、第2章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)特征 數(shù)字計(jì)算機(jī)只能接受和處理 二進(jìn)制代碼，這些二進(jìn)制代 碼可以表示某一種物理量的大小或某個(gè)數(shù)值，稱為數(shù)字信 號(hào)。實(shí)際系統(tǒng)中的被控制量大都是一些在時(shí)間上連續(xù)的信 號(hào)，一般稱為模擬量或連續(xù)量。因此計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)也可以 稱為數(shù)字控制系統(tǒng)、離散控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)，而模擬 控制系統(tǒng)也稱為連續(xù)控制系統(tǒng)。 本章首先介紹離散時(shí)間控制系統(tǒng)中信號(hào)類型，并從頻域 角度研究離散模擬信號(hào)的特性。 2.1信息變換原理 數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖及系統(tǒng)信息 在 DDC (Direct Digital Control )系統(tǒng)中，數(shù)字計(jì)算 L k hi hi U.區(qū) L 連續(xù)模擬離散模擬

2、離散數(shù)字離散數(shù)字 離散模擬連續(xù)模擬連續(xù)模擬 -1 - 圖2.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中前后的信息轉(zhuǎn)換關(guān)系 2.1 機(jī)主要起著控制器的作用。系統(tǒng)方框圖及信號(hào)形式如圖 所示。 名詞說(shuō)明： 連續(xù)信號(hào) — 指在時(shí)間上是連續(xù)的，在幅值上也是連續(xù)的 信號(hào)，在數(shù)學(xué)上可以用連續(xù)函數(shù)表示。 離散模擬信號(hào)— 指在時(shí)間上是離散的，而在幅值上表示 連續(xù)量大小的信號(hào)。 數(shù)字信號(hào) — 在時(shí)間上是離散的， 而在幅值上也是離散 （已 經(jīng)被量化）的信號(hào)。 2.1.2 采樣過(guò)程及理想采樣信號(hào)的特征 1 、采樣過(guò)程 所謂采樣，就是一種作用或過(guò)程，取某種東西的一小部 分用于測(cè)試或分析。在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中

3、，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變 成離散信號(hào)。 采樣過(guò)程如圖 2.2 所示。 連續(xù)彳t號(hào)f⑴通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)后變成一組脈沖序列f*（t）, “*”表示 在時(shí)間上是離散的。 脈沖寬度T代表采樣一個(gè)信號(hào)所需要的時(shí)間（即采樣開(kāi)始到結(jié)束 的時(shí)間），相鄰兩次采樣之間間隔時(shí)間T稱為采樣周期，通常比脈寬。 大得多。 f（t） t 采樣開(kāi)關(guān) 圖2.2采樣過(guò)程 理想采樣過(guò)程: 有限寬度的脈沖序列可以近似看成理想脈沖序列，如圖所示。 理采樣間隔大小可以是隨機(jī)的，也可以按規(guī)定規(guī)律變化。 圖2.3理想采樣過(guò)程 如圖2.4所示。今后我們討論的采樣信號(hào)都是指均勻采 樣。若計(jì)算機(jī)

4、控制系統(tǒng)中各點(diǎn)采樣的采樣周期都相同，稱為 單速率采樣系統(tǒng)；若一個(gè)系統(tǒng)中有幾種采樣周期，則稱為多 速率采樣系統(tǒng)。 2、理想采樣信號(hào)的特性 ⑴ 理想采樣信號(hào)的時(shí)域數(shù)學(xué)描述 圖所示的理想采樣信號(hào)可以看成是連續(xù)信號(hào)f(t)調(diào)制一組 脈沖序列T(t)的幅度調(diào)制脈沖信號(hào)，如圖示。其中，T⑴為單 (a) IIIIIII 0T2T3T4T5T6T UUIIIIIIIIII 「 0T2T3T4T5T6T + 0 + T + 2T + 3T + 4T+ 5T + 6T + (C) I II I 0 圖2.4采樣形式 (a)均勻采樣；(b)非均勻采樣；(c)隨機(jī)采樣 位脈沖周期

5、函數(shù)。 采樣開(kāi)關(guān) 圖2.5脈沖幅度調(diào)制器 T(t) T(t nT) (t 2T) (t T) (t) (t T) (t 2T)(2.1) n f(t)由t=0時(shí)刻開(kāi)始，則 _ * _ f (t) f(t) T(t) f(t) (t)f(t) (tT)f(t) (t2T) f(0) (t)f(T) (tT)f(2T) (t2T)(2.2) 式)不僅描述了采樣信號(hào)的基本特征，更重要的是給由 了被采樣的連續(xù)信號(hào)f(t)和采樣信號(hào)f*(t)在時(shí)域中的關(guān)系。由 式(2.2)不難理解，理想采樣信號(hào)f*(t)可以看作連續(xù)信號(hào)f(t) 對(duì)單位脈沖序列T⑴調(diào)制的結(jié)果，理想采

6、樣過(guò)程可以看作是 脈沖調(diào)制過(guò)程， 連續(xù)信號(hào) f(t) 為調(diào)制信號(hào)， 單位脈沖序列 T(t) 為載波信號(hào)，理想采樣開(kāi)關(guān)就是單位脈沖發(fā)生器，每隔時(shí)間 T 瞬時(shí)接通一次，就相當(dāng)于產(chǎn)生一個(gè)單位脈沖。 ⑵ 理想采樣信號(hào)的特性分析 ①采樣信號(hào)f*(t)損失了連續(xù)信號(hào)f⑴采樣時(shí)刻之間的變 化信息； ② 損失信息的多少與采樣周期 T 和連續(xù)信號(hào)f (t) 的變化 速度快慢有關(guān)。 * 采樣信號(hào) f (t) 能否完全反映連續(xù)信號(hào)f(t) 的變化規(guī) * 律，或者說(shuō)f⑴能否包含f⑴中的全部信息？ * 采樣信號(hào) f (t) 的信息損失和采樣周期 T 有何關(guān)系 ？ * 為此，下面就這兩個(gè)問(wèn)

7、題對(duì)采樣信號(hào)f (t) 在頻域中予以 定量分析。 對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行頻域分析就是研究它的頻譜特性。 由式( 2.1 )可知， T(t) 是一個(gè)周期為 T 的周期函數(shù)，所 以它可以展開(kāi)成指數(shù)型富氏( Fourier )級(jí)數(shù)，即 2.3) T (t) Cnejn st n 式中： s，為采樣角頻率（簡(jiǎn)稱采樣頻率）； T Cn 1 T（t）e jn stdt為富氏系數(shù)。 T T 2 因?yàn)樵?T2，T2時(shí)間內(nèi)，t⑴僅在t=0處值等于1 ,其余均 為零，并且ejn stt0=1所以， C1 0 ,、，1 Cn— T(t)dt—(2.4) I 0I 因而得： 1J st

8、 T(t) Te(2.5) I n 將(2.5)式代入(2.2 )式，則有 f 1 F (j ) - F(j jn s) (2.8) I n (t):“皿…(2.6) I n 對(duì)上式的f*(t)作拉氏變換，得 *.*1in t 1/――、 F (s) L [f (t)] L 1f(t)ejn st- F (s jn s)(2.7 ) 1 n1 n * 令s j代入式(2.7),便得到采樣信號(hào)f⑴的富氏變換 F (j ) A T F(j c) T" T1lF(j j c)l s s< 2 c (d) I -2 s x sc 岸0『 c s2 s (

9、sc) ( sc) 圖2.6理想采樣器輸入輸出信號(hào)頻譜|F(j )和|F*(j )| (a)連續(xù)信號(hào)頻譜 (b)、(c)滿足采樣定理的離散信號(hào)頻譜 (d)不滿足采樣定理的離散信號(hào)頻譜 上式就是采樣信號(hào)f⑴的頻率特性表達(dá)式，又稱f⑴的頻譜 函數(shù)，而頻譜函數(shù)的模F (j )稱為f*⑴的振幅頻譜，簡(jiǎn)稱為頻 *, 譜。因此，f⑴的頻譜寫(xiě)成下式 L *，.、1 F (j ) = - F(j jn s)(2.9) T n * , 它給由了采樣信號(hào)f⑴與連續(xù)信號(hào)f⑴在頻域中的相互關(guān)系, * 從而找由信號(hào)f⑴和信號(hào)f⑴之間的內(nèi)在信息關(guān)系。 式()說(shuō)明： 采樣信號(hào)f*⑴的頻譜F*(j

10、)是以采樣頻率s為周期的頻 率 的周期函數(shù)；F (j )在頻率軸上是以采樣頻率 s為間隔 的，與連續(xù)信號(hào)頻譜F(j ) (圖2.6(a)所示)形狀相似的無(wú) i -F(j jn s) 窮個(gè)分頻譜T, n=0, ±1, ±2,…之和組成的，如圖 2.6 中(b) , (c) , (d)所示。 1 L , .、 - F ( j ) 式0中，n 0的項(xiàng)T正比于連續(xù)信號(hào)f⑴的頻譜 1 F(j )稱為主頻譜，T為比例因子，也稱為采樣增益，其余 n 1 7F(j jn s)F/j) N0的各項(xiàng)T稱為旁頻譜，它們的形狀均與F(j )相 1 似，僅相差一個(gè)比例因子 T,在頻率軸上同

11、 1 1F(j ) 相隔n so 由圖2.6可以看生，如果連續(xù)信號(hào)f⑴的頻譜是有限帶 寬的，即存在上限頻率c,當(dāng)n c時(shí)，F(xiàn)(j ) ° (a)所示; *, 采樣頻率s 2 c (或7 / c),那么相應(yīng)的采樣信號(hào)f⑴的頻 譜F(j )如圖2.6 (b)、(c)所示，相鄰分頻譜互不重疊， 采樣信號(hào)的頻譜在cc頻段內(nèi)就包含了連續(xù)信號(hào)f⑴頻 譜F(j )的全部頻率成分。 可以設(shè)想，如果用一個(gè)理想低通濾波器(其頻率特性 H(j )為門(mén)形，在s/2s/2頻段內(nèi)，其幅值為常數(shù)1,如 圖2.6 (b)、(c)所示)濾掉頻段cc以外的所有的旁 頻譜的頻率成分，那么，就可以得到連續(xù)信

12、號(hào)f(t)的完整頻 譜，如圖2.6 (b)、(c)中矩形方框所示。這就意味著，在 上述條件下，采樣信號(hào)f*(t)通過(guò)理想低通濾波器H(j)就能夠 完全精確地恢復(fù)原有連續(xù)信號(hào)。由此可以判斷，當(dāng)上述條件 滿足時(shí)，采樣信號(hào)f*(t)就包含了連續(xù)信號(hào)f(t)的全部信息，或 者說(shuō)信號(hào)f*(t)能夠反映信號(hào)f⑴的全部變化規(guī)律。 由圖2.6可以看由，如果上述條件不滿足，即采樣頻率 s<2 c (或t> / c),那么相應(yīng)的采樣信號(hào)頻譜F*(j )如圖 2.6(d)所示，相鄰分頻譜之間就由現(xiàn)部分重疊(稱為“混疊” 現(xiàn)象)，在這種情況下，采樣信號(hào)頻譜|F*(j )中就不會(huì)包含連 續(xù)信號(hào)f(t)頻譜|F(

13、j )的全部頻率成分，而僅包含 |F(j )在 (s c)( s c)頻段內(nèi)的頻譜成分。而在(s c)c和 c ( s c)頻段內(nèi)，由于主頻譜和旁頻譜重疊，使得 F*(j )在這兩個(gè)頻段內(nèi)的頻率成分畸變。因而在此情況下, 無(wú)論如何都無(wú)法從|F*(j )中獲得連續(xù)信號(hào)f⑴的完整頻譜 F(j )。這就意味著無(wú)法由信號(hào)f*(t)精確恢復(fù)原有連續(xù)信號(hào) f(t)o所以在這種情況下，采樣信號(hào)f*⑴就不會(huì)包含連續(xù)信號(hào) * , f(t)變化的全部信息，f⑴只能近似地大體上反映f⑴的變化 .. _ * . . . . . 狀況。由f⑴經(jīng)過(guò)低通濾波所恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)的波形與原有 連續(xù)信號(hào)f⑴相比將

14、會(huì)有明顯失真。當(dāng)采樣頻率s取得越小 于2 c, f*(t)的頻譜F*(j )中的主頻譜與旁頻譜之間的重疊范 . . . * . . . . . . . . . . .. 圍就越寬，相應(yīng)采樣信號(hào)f⑴的信息就越多，由f⑴恢復(fù)的 連續(xù)信號(hào)的失真就越嚴(yán)重。通常稱這種現(xiàn)象為“混疊效應(yīng)”。 工程上為了避免由現(xiàn)“混疊效應(yīng)”，通常取采樣頻率s遠(yuǎn) 大于2 c,使得f*(t)的頻譜中的主頻譜，F(xiàn)(j )與旁頻譜 lF(j jn s)在頻率軸上拉開(kāi)較大的距離，如圖 2.6 (b) 所示，拉開(kāi)的距離越大，產(chǎn)生“混疊效應(yīng)”的可能性就越小。 如果被采樣的連續(xù)信號(hào)f(t)中含有高頻干擾信號(hào)，為了防止 “混疊效

15、應(yīng)”由現(xiàn)，造成有用的低頻信號(hào)失真，工程上常采 用前置高頻濾波器先對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行濾波，濾除或衰減f (t) 中的高頻干擾成分，然后進(jìn)行采樣。 2.1.3采樣定理 1、香農(nóng)（Shannon ）采樣定理 如果對(duì)一個(gè)具有有限頻譜的連續(xù)信號(hào)f （t）進(jìn)行連續(xù)采樣, 當(dāng)采樣頻率滿足下式關(guān)系，即 2 s 2 max（） * , 則采樣信號(hào)f⑴能無(wú)失真地復(fù)現(xiàn)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)f（t）o 上式中，max —連續(xù)信號(hào)f⑴的最高頻率； 2 s一 ■-、 T 一米樣頻率。 2、采樣周期T的選擇 采樣周期T的大小對(duì)系統(tǒng)的影響。 結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行折中選取采樣周期 To常用方法有如 下幾種：

16、 ⑴直接按照工程經(jīng)驗(yàn)選取 監(jiān)控物理量 采樣周期（sec） 備注 1?5 優(yōu)先選用2s 壓力 1?10 優(yōu)先選用6s 液向 5?10 溫度 10 ?20 成分 10 ?30 ⑵按照開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性截止頻率c選取 對(duì)于電機(jī)控制系統(tǒng)，尤其是快速隨動(dòng)系統(tǒng)，采樣周期 T 的選取較為嚴(yán)格，應(yīng)該認(rèn)真仔細(xì)考慮，常根據(jù)控制系統(tǒng)的動(dòng) 態(tài)品質(zhì)指標(biāo)來(lái)選取。假如控制系統(tǒng)預(yù)期開(kāi)環(huán)頻率特性如圖 2.7 (a)所示，則閉環(huán)系統(tǒng)預(yù)期頻率特性如圖 2.7 (b)所示。 (b) 圖2.7控制系統(tǒng)的頻率特性 (a)預(yù)期開(kāi)環(huán)頻率特性；(b)預(yù)期閉環(huán)頻率特 在

17、一般情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的線性連續(xù)部分的頻率特性都 具有低頻濾波器的性質(zhì)。當(dāng)控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)頻率高于諧 振頻率0時(shí)，將會(huì)很快地衰減。反饋理論指由，0很接近它 的開(kāi)環(huán)頻率特性的截止頻率 c,超過(guò)c的分量都被系統(tǒng)連續(xù) 部分的低通濾波特性大大地衰減掉了。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，模擬校正 環(huán)節(jié)的功能用數(shù)字計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)，選擇的采樣頻率為 s 10 c sc 按上式可以得由系統(tǒng)的采樣周期 ⑶按開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)選取 G(s) N(s) n1n21 sm(Tis 1)[(s —)2j2] i 1j 1j 其對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)中的基本分量為, (i 1,2, ,a) (j 1,2, n),其中Ti

18、, j為時(shí)間常數(shù)，j為阻 尼振蕩角頻率，tj 2 / j為阻尼振蕩周期。由此可以近似了 解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程中信號(hào)的最快變化速度或最高的頻率分量, 因而可以作為采樣周期選取的依據(jù)。采樣周期的最大值為 1 Tmax 2 [T1 ,T2 , ,t1 , t2 ] min 般選取采樣周期為 Tmax 4"工， ，tl，t2 ] min ⑷按照開(kāi)環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升時(shí)間tr選取 圖2.8系統(tǒng)典型階躍響應(yīng) (a)過(guò)阻尼系統(tǒng)；(b)欠阻尼系統(tǒng) 兩種典型情況：(a)為過(guò)阻尼系統(tǒng)；(b)為欠阻尼系統(tǒng)。 對(duì)于過(guò)阻尼系統(tǒng)，tr取單位階躍響應(yīng)到達(dá)其穩(wěn)態(tài)值y的

19、63.2 %勺時(shí)間(相當(dāng)于一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù))，如圖2.8 (a) 所示。對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，tr取單位階躍響應(yīng)第一次到達(dá)其穩(wěn) 態(tài)值y的時(shí)間，如圖2.8 (b)所示。我們知道，階躍響應(yīng)的 初始階段反映了響應(yīng)中的高頻分量，所以按照tr選取采樣周 期T,就相當(dāng)于按照響應(yīng)中的高頻分量的周期選取T, 一般 數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制系統(tǒng)的信息處理裝置，將信息處理 的結(jié)果輸出一般有兩種方式，一種是直接數(shù)字輸出，就是直 接以數(shù)字形式輸由。另一種情況是需要把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模 擬信號(hào)輸由。 保持器的作用表現(xiàn)在兩方面: 一是由于采樣信號(hào)僅在采樣開(kāi)關(guān)閉合時(shí)刻有輸由，而在其 余時(shí)刻輸由為零，所以，在兩次采樣開(kāi)關(guān)閉合的中

20、間時(shí)刻, 存在一個(gè)采樣信號(hào)如何進(jìn)行保持的問(wèn)題，從數(shù)學(xué)上來(lái)講，就 是解決兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的插值問(wèn)題; 二是保持器還要完成一部分濾波器的作用。 理想濾波器 如圖所示，理想低通濾波器的頻率特性滿足以下方程: 1 , H(j ) 0 , |H(j )| 1 ss 圖2.9理想濾波器的幅頻特性 滿足式()關(guān)系的理想特性濾波器，在物理上無(wú)法實(shí)現(xiàn)。 因此，必須找由在特性上與理想濾波器相近的實(shí)際濾波 器，保持器就是這樣一類實(shí)際濾波器。 從保持器的特性來(lái)看， 它是一種在時(shí)域內(nèi)的外推裝置，具有常值、線性、二次函數(shù) (拋物線)型外推規(guī)律的保持器。能夠物理實(shí)現(xiàn)的保持器都 必須按現(xiàn)在時(shí)刻或過(guò)去時(shí)刻的

21、采樣值實(shí)行外推，而不能按將 來(lái)采樣值來(lái)進(jìn)行外推。 例如，在相鄰兩個(gè)采樣時(shí)刻kT和(k 1)T之間的信號(hào)f(t), 必須用“融在* 1)T以前的kT , (k 1)T , (k 2)T ,…等采樣時(shí)刻 的數(shù)值來(lái)估計(jì)。數(shù)學(xué)上兩點(diǎn)之間的函數(shù)可以用下述幕級(jí)數(shù)展 開(kāi)式表示： .' _ j .. f (kT) 一/、 fk(t) f(kT) f (kT)(t kT) -J2!-2(t kT)(2.17) 式中fk(t)f(t) k- t (k 1)T() f (kT) df(t) dt t kT f (kT) d2f(t) dt2 t kT 式()、式()的計(jì)算可

22、用f(kT), f[(k 1)T],,來(lái)估計(jì) 階導(dǎo)數(shù)的一種簡(jiǎn)單估計(jì)式為 , f(kT) f[(k 1)T] f (kl )t _ ? _ ? _ ?? f (kT) f (kT) f [(k 1)T] T f(kT) 2f[(k 1)T] f[(k 2)T] T2 如此等等 從這些導(dǎo)數(shù)近似表達(dá)式中可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)階次越高，所需的 延遲脈沖的數(shù)目越多。延遲數(shù)目越多，估計(jì)精度就越高，但 時(shí)間延遲對(duì)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性有嚴(yán)重影響。為此，目前常利 用()式的第一項(xiàng)來(lái)重構(gòu)信號(hào)，由于它是多項(xiàng)式中零階項(xiàng)， 所以通常稱為零階外推插值。 又因?yàn)樵趨^(qū)間kT t (k 1)T內(nèi)保 持不變，故又稱為零階保

23、持器(Zero Order Holder )，常用 ZOH來(lái)表示。若利用()式前兩項(xiàng)來(lái)估計(jì)f(t),這種裝置通常 稱為一階外推插值(或一階保持)，它在數(shù)字仿真時(shí)常會(huì)用 到。 2.2.2零階保持器 零階保持器時(shí)域方程為 fk(t)f(kT) kT t (k 1)T() 由上式可以看由，零階保持器是按常數(shù)外推的，而且只 依賴現(xiàn)時(shí)刻kT的序列值f(kT)外推，當(dāng)下一時(shí)刻(k 1)T到來(lái)時(shí), 就換成下一時(shí)刻的序列值f[(k 1)口繼續(xù)外推。離散信號(hào)序列 的每個(gè)值f(kT), k=0,1,2,…，經(jīng)零階保持器外推后都將持續(xù)保 圖2.11零階保持器的輸入輸出信號(hào) 持一個(gè)采樣周期T

24、o對(duì)應(yīng)的零階保持器輸生是一個(gè)方波，其 幅值等于對(duì)應(yīng)的序列值f(kT),寬度為一個(gè)采樣周期To離散 信號(hào)通過(guò)零階保持器外推后就恢復(fù)成階梯形連續(xù)信號(hào)fh(t), 如圖2.11所示。 保持器的另一個(gè)作用就是有一定的濾波作用?，F(xiàn)在來(lái)研 究零階保持器的頻率特性，評(píng)價(jià)它的濾波特性。首先求生 零階保持器的傳遞函數(shù)，若零階保持器的輸入為單位脈沖函 數(shù)(t),其輸由必在一個(gè)采樣周期 T內(nèi)保持為常數(shù)1的方波 信號(hào)，其脈沖過(guò)渡函數(shù)ghKt)示。 gho(t) 1(t) 1(t T)(4) 式中i(t)為單位階躍函數(shù)。對(duì)式()求拉普拉斯氏變換，即 Ts 而⑸ L 5。-)]1-^-() s

25、 其頻率特性為 1 e j T 丁 sin( T/" t/2(、 Gho(j )-j— TTT2-e() 因?yàn)門(mén) 2 / s,所以()式又可改寫(xiě)為 2 sin(/ s)o j ( / s)八 Gh0(j )e() s / s 對(duì)應(yīng)的幅頻特性為 Gho(j ) T sin( T/2) T/2 零階保持器的幅頻和相頻特性曲線如圖2.13所示。 圖2.13零階保持器頻率特性曲線 (a)幅頻特性 (b)相頻特性 圖2.13(a)為幅頻特性，可以看由，在頻率等于采樣頻 率整數(shù)倍處, Gh0(j時(shí)等于零，隨著頻率的增大幅值減小。在 s/2

26、 等于3 s/2, 5 s/2,…，由現(xiàn)不希望有的峰值。在 處，幅頻特性最陡峭，Gh0(j⑴的幅值等于T,基本上表現(xiàn)為 一階低頻濾波器特性。當(dāng)然，零階保持器的幅頻特性不是常 數(shù)，因此，系統(tǒng)中引入零階保持器，必然會(huì)引起系統(tǒng)的頻譜 失真。 零階保持器相頻特性如下: Gh0(j ) T/2 . T T sin—— 2 2 Tsin( T/2) T/2 .T j sin e 2 其中，ejT/2 T . T 一, sin —— 2 2 1800 或 1800 。 由式()可以看由，零階保持器的相頻特性 Gho(j )由兩 當(dāng)頻率由 部分組成，

27、(T/2)和 sin( T/2)1800 或 1800。 0― s, s -2 s, 2 s -3 s,…變化時(shí)，幅頻特性中sin( T /2) 的值正、負(fù)交替變化，則相頻特性有180的突變，相頻特 性曲線如圖2.13(b)所示。因此，零階保持器的相頻特性在 2k /T,k 1,2,3, 處不連續(xù)。 零階保持器的特性如下： ①零階保持器確有低通濾波特性。在s /2的低頻段范 圍與理想低通濾波器特性相近， 在s / 2的高頻段，雖然呈 現(xiàn)較大衰減特性，但與理想低通濾波特性差別很大，顯然不 能完全濾除f *(t)中s /2全部高頻分量。 ②由式()可以看由，零階保持器的相頻特性存

28、在較大 的負(fù)相移，負(fù)相移與采樣頻率s成反比(與采樣周期 T成正 比)，最大可達(dá)180 o因此在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中引入零階保 持器將使整個(gè)控制系統(tǒng)增加負(fù)相移，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性下 降，所以進(jìn)行系統(tǒng)分析、設(shè)計(jì)時(shí)，必須予以考慮。在條件許 可下，適當(dāng)提高采樣頻率s可以減小零階保持器產(chǎn)生的負(fù)相 移。 2.2.3 一階保持器 一階保持器的外推公式由()式的前兩項(xiàng)組成，即 _ _ _ ' fk(t) f(kT) f (kT)(t kT)() 式中 fk(kT) f (t)kT t (k 1)T f (kT) f(kT) f[(k 1)T] T 一階保持器是基于現(xiàn)時(shí)刻kT和前一時(shí)刻(k

29、1)T的兩個(gè)序 列值，按照線性函數(shù)外推的。外推的線性函數(shù)斜率(即隨時(shí) 間變化速度)等于前一時(shí)刻(k 1)T到現(xiàn)在時(shí)刻kT之間的序列 值平均變化速度即[f(kT) f(kT T)]/T。對(duì)于離散信號(hào)依次由現(xiàn) 的序列值，一階保持器輸生的連續(xù)信號(hào)fh1 (t)都是從現(xiàn)時(shí)刻由 現(xiàn)的序列值由發(fā)，并按照前一時(shí)刻到現(xiàn)時(shí)刻之間的序列值平 均變化速度，隨著時(shí)間線性變化，直到下一時(shí)刻來(lái)到時(shí)，再 改從下一時(shí)刻由現(xiàn)的序列值由發(fā)，并按照現(xiàn)在時(shí)刻到下一時(shí) 刻之間的序列值平均變化速度，隨時(shí)間線性變化，如此不斷 外推下去。這樣，離散信號(hào) f*(t)通過(guò)一階保持器外推后恢復(fù) 成鋸齒狀分段連續(xù)信號(hào) 儲(chǔ)⑴，如圖2.14

30、所示。 圖2.14 一階保持器輸入輸出信號(hào) 由圖2.14可以看由，一階保持器輸生的外推部分與兩 個(gè)采樣值有關(guān)，其中一個(gè)是現(xiàn)在時(shí)刻的采樣值f(kT),另一個(gè) 是前一時(shí)刻的采樣值f[(k 1)T] o如果在外推規(guī)律中考慮更高 階的差分，就勢(shì)必牽連前面多個(gè)采樣周期的采樣值，所以， 差分的階數(shù)越高，涉及的采樣值就越多，因而高階保持器能 在經(jīng)過(guò)多個(gè)采樣周期之后更逼真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)，但反應(yīng) 慢，相位滯后嚴(yán)重，這對(duì)信號(hào)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常不利的， 故在閉環(huán)離散控制系統(tǒng)中一般不采用高階保持器。 現(xiàn)在我們來(lái)分析一階保持器的頻率特性，首先求一階保 持器的傳遞函數(shù)。參看圖2.15(a),設(shè)一階保持

31、器的輸入為單 (t) gh1⑴ ——A —階保持器 (a (a) 位脈沖函數(shù)(t),即 1k 0 _ * f (t)(t) 0k 0 則 f (0) 1, f( 2T) f( T) 0, f (T) f (2T)0 由式()可知在0 t T間隔內(nèi)，一階保持器的外推公式為 -25 - fo(t)f(0)9嚴(yán)() 因?yàn)閒(0) 1,f( T) 0,因此單位脈沖響應(yīng)為 ghi(t) f0(t)1 :() 在T t 2T間隔內(nèi)，f(0) 1,f(T) 0, 一階保持器的外推公式為 fi(t) f(T)”"(t T)() 在此間隔的脈沖響應(yīng)為 ghi(

32、t) fi(t) 1 TT(2.34) 因?yàn)閒(2T), f(3T),都等于零，所以其它間隔內(nèi)的響應(yīng)為零。參 看圖(b)。 圖2.15(b)中的實(shí)線表示由一階保持器的脈沖響應(yīng)函數(shù) gh1(t)。單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh1(t)可以分解為圖2.15(c)所示的 函數(shù)g1(t), g2(t)與g3(t)之和，即 gh1 (t)g1(t)g2(t) g3(t)() 1 g1 (t)1(t) Tt ,() 1(t)為單位階躍函數(shù)。 g2(t)2g1(t T)() g3(t) gi(t 2T) 上面三式的拉普拉斯氏變換分別為 d(s) L [gi(t)] 1 _1_ s

33、Ts2 G2(s) L [g2(t)]= 2 L [gi(t T)] 21 s Ts e G3(s) L [g3(t)]=L [gi(t 2T)] 1 Ts2 e 2Ts 由此可得，一階保持器的傳遞函數(shù)為 J(s) Gi(s) Gz(s) G3(s) 1 Ts2 1 Ts2 Ts e 1 Ts2 2Ts e 1 Ts2 (1 e Ts)2 1 Ts 1 Ts 2 e s (2.39) 一階保持器的頻率特性為 Gh1(j )1 2 .T si

34、n — T .. 1 T2 2 2-e j T arctg( T) 2 因?yàn)閟 2r所以 2 j 2 一 arctg 2 一 Ghi(j ) T,1 2 $ sin( / s)s s e / s 其幅頻特性為 Ghi(j ) 「1 2 sin( / s) 相頻特性為 h1(j ) arctg 2 一階保持器的幅頻和相頻特性曲線如圖。 由圖表明: ①一階保持器同樣具有低通濾波特性。對(duì)于 s/2低 頻分量不僅沒(méi)有衰減，反而有所增強(qiáng); 而對(duì) /2高頻分 量有較大衰減，但衰減量均比零階保持器的衰減量小 所以

35、 一階保持器恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)中含有較強(qiáng)的高頻率分量; ②一階保持器相頻特性只在 s/2很低頻率范圍內(nèi), 相移小于零階保持器產(chǎn)生的相移，而對(duì)于 s/2高頻分量, 其相移比零階保持器產(chǎn)生的相移都大。 Ghi(j ) 圖2.16 一階保持器的頻率特性 0和 因此 與零階保持器相比，一階保持器的頻率特性在 s段內(nèi)有峰值，高頻分量較零階保持器更容易通過(guò)， 輸由紋波較大。另外在較高的頻率部分相位滯后較嚴(yán)重，這 對(duì)反饋系統(tǒng)是不利的，因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的高頻特性通常影 響著系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于以上原因加之一階保持器結(jié)構(gòu)復(fù) 雜，所以雖然一階保持器對(duì)輸入信號(hào)有較好的復(fù)現(xiàn)能力，但 實(shí)際上較少采用。