(全國通用版)2019年中考數(shù)學復習 第三單元 函數(shù) 第12講 二次函數(shù)練習
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1、 第12講 二次函數(shù) 第1課時 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 重難點1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(2,1),B(0,1). (1)求該二次函數(shù)的表達式; (2)二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,-1),對稱軸為直線x=1,最小值為-1; (3)若C,D是拋物線上兩點,且點C(3,7),點D(a,7),則a的值為-1; (4)若點P(3+n2,y1),Q(4+n2,y2)在拋物線上,試判斷y1與y2的大??;(寫出判斷的理由) (5)將該函數(shù)圖象向右平移,當圖象經(jīng)過點(1,1)時,A,B兩點隨圖象移至A′,B′,求△OBB′的面積; (6)將該
2、函數(shù)圖象向上平移k(k是正整數(shù))個單位長度,使平移后的圖象與x軸無交點,求k的最小值. 【自主解答】 解:(1)二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(2,1),(0,1). ∴解得 ∴該二次函數(shù)的表達式是y=2x2-4x+1. (4)∵4+n2>3+n2>1, ∴P,Q都在對稱軸的右邊. 又∵2>0,函數(shù)的圖象開口向上,在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大, ∴y1<y2. (5)設函數(shù)圖象向右平移m(m>0)個單位長度,則平移后函數(shù)的表達式為y=2(x-1-m)2-1, ∵圖象經(jīng)過點(1,1), ∴2m2-1=1,解得m=1. ∴S△O BB′=OB·
3、BB′=×1×1=. (6)將拋物線y=2x2-4x+1的圖象向上平移k(k是正整數(shù))個單位長度后的解析式為y=2x2-4x+1+k, ∴方程2x2-4x+1+k=0無根,∴Δ<0, ∴16-8(1+k)<0.∴k>1. ∵k是正整數(shù), ∴k的最小值為2. 1.求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸、頂點坐標有兩種方法,一是利用頂點公式(-,),二是通過配方得到y(tǒng)=a(x-h(huán))2+k的形式. 2.比較拋物線上點的縱坐標大小的基本方法有以下三種: (1)利用拋物線上對稱點的縱坐標相等,把各點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè),再利用二次函數(shù)的增減性進行比較; (2)當已知拋物線的
4、解析式及相應點的橫坐標時,可先求出相應點的縱坐標,然后比較大小; (3)利用“開口向上,拋物線上的點距離對稱軸越近,點的縱坐標越小,開口向下,拋物線上的點距離對稱軸越近,點的縱坐標越大”比較大?。绫纠?4). 3.與x軸有無交點,就是將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解,若無交點,即是要求Δ<0;有一個交點,即是Δ=0;有兩個交點,即是Δ>0. 【變式訓練1】 (2018·成都)關于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說法正確的是(D) A.圖象與y軸的交點坐標為(0,1) B.圖象的對稱軸在y軸的右側(cè) C.當x<0時,y的值隨x值的增大而減小 D.y的最小值為-3 【變式訓練2】 (2
5、017·泰安)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應值如下表: x -1 0 1 3 y -3 1 3 1 下列結(jié)論: ①拋物線的開口向下; ②其圖象的對稱軸為直線x=1; ③當x<1時,函數(shù)值y隨x的增大而增大; ④方程ax2+bx+c=0有一個根大于4.其中正確的結(jié)論有(B) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 重難點2 同一坐標系中的函數(shù)圖象共存問題 (2018·德州)如圖,函數(shù)y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常數(shù),且a≠0)在同一平面直角坐標系的圖象
6、可能是(B) ,A) ,B) ,C) ,D) 同一法:一般可以先假定其中一種函數(shù)的圖象(如:一次函數(shù),反比例函數(shù)),再根據(jù)函數(shù)圖象得到該函數(shù)解析式中字母的范圍,去判斷另一個函數(shù)圖象是否正確.如:例2A選項,若一次函數(shù)圖象正確,則a<0,這與拋物線開口向上相矛盾.故A選項錯誤. 【變式訓練3】 (2018·永州)在同一平面直角坐標系中,反比例函數(shù)y=(b≠0)與二次函數(shù)y=ax2+bx(a≠0)的圖象可能是(D) ,A) ,B) ,C) ,D) 重難點3 二次函數(shù)圖象與字母系數(shù)的關系 (2018·達州)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(-1,0
7、),與y軸的交點B在(0,2)與(0,3)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=2.下列結(jié)論:①abc<0;②9a+3b+c>0;③若點M(,y1),點N(,y2)是函數(shù)圖象上的兩點,則y1<y2;④-<a<- .其中正確結(jié)論有(D) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【思路點撥】 ①利用開口方向、對稱軸以及與y軸交 點縱坐標即可判斷a,b,c的正負性;②根據(jù)拋物線與x軸 交點坐標以及對稱軸,可判斷拋物線與x軸的另外一個交點為(5,0),根據(jù)圖象可知當x=3時,y>0,即可判斷9a+3b+c與0的大小關系;③根據(jù)點M、點N與對稱軸的關系即可判斷y1與y2的大小關系
8、;④根據(jù)拋物線的對稱軸x=2,以及二次函數(shù)經(jīng)過點(-1,0)可得出a,b,c之間的關系,再根據(jù)2<c<3即可判斷a的取值范圍., 解答二次函數(shù)的圖象信息問題,通常先抓住拋物線的對稱軸和頂點坐標,拋物線與兩坐標軸的交點坐標情況,再依據(jù)圖象與字母系數(shù)之間的關系求解.??嫉囊恍┦阶拥呐袛喾椒ㄈ缦拢? (1)判斷2a+b與0的關系,需比較對稱軸與1的大小;判斷2a-b與0的關系,需比較對稱軸與-1的大??; (2)判斷a+b+c與0的關系,需看x=1時的縱坐標,即比較x=1時函數(shù)值與0的大?。慌袛郺-b+c與0的關系,需看x=-1時的縱坐標,即比較x=-1時函數(shù)值與0的大??; (3)判斷4a+2b
9、+c與0的關系,需看x=2時的縱坐標,即比較x=2時函數(shù)值與0的大?。慌袛?a-2b+c與0的關系,需看x=-2時的縱坐標,即比較x=-2時函數(shù)值與0的大??; (4)判斷9a+3b+c與0的關系,需看x=3時的縱坐標,即比較x=3時函數(shù)值與0的大小;判斷9a-3b+c與0的關系,需看x=-3時的縱坐標,即比較x=-3時函數(shù)值與0的大??; (5)判斷某個字母的取值范圍,通常找出兩個等式,將所求字母用其他字母(容易得出范圍)表示,然后解不等式. 【變式訓練4】 (2018·深圳)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確是(C) A.a(chǎn)bc>0 B.2a+
10、b<0 C.3a+c<0 D.a(chǎn)x2+bx+c-3=0有兩個不相等的實數(shù)根 【變式訓練5】 (2018·荊門)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖所示,頂點坐標為(-2,-9a),下列結(jié)論:①4a+2b+c>0;②5a-b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個根x1和x2,且x1<x2,則-5<x1<x2<1;④若方程|ax2+bx+c|=1有四個根,則這四個根的和為-4.其中正確的結(jié)論有(B) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 考點1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2018·岳陽)拋物線y=3(x
11、-2)2+5的頂點坐標是(C) A.(-2,5) B.(-2,-5) C.(2,5) D.(2,-5) 2.(2018·上海)下列對二次函數(shù)y=x2-x的圖象的描述,正確的是(C) A.開口向下 B.對稱軸是y軸 C.經(jīng)過原點 D.在對稱軸右側(cè)部分是下降的 3.(2017·連云港)已知拋物線y=ax2(a>0)過A(-2,y1),B(1,y2)兩點,則下列關系式一定正確的是(C) A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y
12、1>0 4.(2018·青島)已知一次函數(shù)y=x+c的圖象如圖,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c在平面直角坐標系中的圖象可能是(A) ,A) ,B) ,C) ,D) 5.如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為B(1,-3),與x軸的一個交點A在(2,0)和(3,0)之間,下列結(jié)論中:①bc>0;②2a+b=0;③a-b+c>0;④a-c=3,正確的有(A) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 6.(2018·陜西)對于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當x=1時,y>0,則這條拋物
13、線的頂點一定在(C) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點2 二次函數(shù)圖象的平移 7.(2018·廣安)拋物線y=(x-2)2-1可以由拋物線y=x2平移而得到,下列平移正確的是(D) A.先向左平移2個單位長度,然后向上平移1個單位長度 B.先向左平移2個單位長度,然后向下平移1個單位長度 C.先向右平移2個單位長度,然后向上平移1個單位長度 D.先向右平移2個單位長度,然后向下平移1個單位長度 8.(2018·廣西)將拋物線y=x2-6x+21向左平移2個單位長度后,得到新拋物線的解
14、析式為(D) A.y=(x-8)2+5 B.y=(x-4)2+5 C.y=(x-8)2+3 D.y=(x-4)2+3 考點3 二次函數(shù)與方程、不等式 9.(2018·襄陽)已知二次函數(shù)y=x2-x+m-1的圖象與x軸有交點,則m的取值范圍是(A) A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2 10.(2017·蘇州)若二次函數(shù)y=ax2+1的圖象經(jīng)過點(-2,0),則關于x的方程a(x-2)2+1=0的實數(shù)根為(A) A.x1=0
15、,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=,x2= D.x1=-4,x2=0 11.(2017·咸寧)如圖,直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)兩點,則關于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是x<-1或x>4. 考點4 確定二次函數(shù)的解析式 12.已知:二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(3,5),且拋物線經(jīng)過點A(1,3). (1)求此拋物線的解析式; (2)如果點A關于該拋物線對稱軸的對稱點是B點,且拋物線與y軸的交點是C點,求△ABC的面積. 解:(1)設
16、拋物線的解析式為y=a(x-3)2+5, 將A(1,3)代入上式得3=a(1-3)2+5,解得a=-. ∴拋物線的解析式為y=-(x-3)2+5. (2)∵A(1,3),拋物線對稱軸為直線x=3, ∴B(5,3). 令x=0,y=-(0-3)2+5=,則C(0,). ∴△ABC的面積=×(5-1)×(3-)=5. 13.(2018·瀘州)已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3 (其中x是自變量),當x≥2時,y隨x的增大而增大,且-2≤x≤1時,y的最大值為9,則a的值為(D) A.1或-2 B.- 或 C.
17、 D.1 14.(2018·湖州)在平面直角坐標系xOy中,已知點M,N的坐標分別為(-1,2),(2,1),若拋物線y=ax2-x+2(a≠0)與線段MN有兩個不同的交點,則a的取值范圍是(A) A.a(chǎn)≤-1或≤a< B.≤a< C.a(chǎn)≤或a> D.a(chǎn)≤-1或a≥ 15.(2018·淄博)已知拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),將這條拋物線向右平移m(m>0)個單位長度,平移后的拋物線與x軸交于C,D兩點(點C在點D的左側(cè)).若B,C是線段AD的三等分點,則m的值為2或8. 16.(2017·濟寧)已知函數(shù)y=
18、mx2-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點. (1)求m的取值范圍,寫出當m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式; (2)題(1)中求得的函數(shù)記為C1. ①當n≤x≤-1時,y的取值范圍是1≤y≤-3n,則n的值為-2; ②函數(shù)C2:y=2(x-h(huán))2+k的圖象由函數(shù)C1的圖象平移得到,其頂點P落在以原點為圓心,半徑為的圓內(nèi)或圓上.設函數(shù)C1的圖象頂點為M,求點P與點M距離最大時函數(shù)C2的解析式. 解:(1)由題意,得 解得m<,且m≠0. 當m=2時,函數(shù)解析式為y=2x2+x. (2)②∵y=2x2+x=2(x+)2-, ∴圖象頂點M的坐標為(-,-),由圖形可
19、知當P為射線MO與圓在第一象限的交點時,距離最大. ∵點P在直線OM上,由O(0,0),M(-,-)可求得直線解析式為y=x, 設P(a,b),則有a=2b, 根據(jù)勾股定理可得PO2=(2b)2+b2, 解得a=2,b=1. ∴PM最大時函數(shù)C2的解析式為y=2(x-2)2+1. 第2課時 二次函數(shù)的綜合應用 重難點1 二次函數(shù)的實際應用 (2018·黃岡)我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧”活動中銷售一農(nóng)產(chǎn)品,經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬件)與月份x(月)的關系為:y=每件產(chǎn)品的利潤z(元)與月份x(月)的關系如下表: x
20、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)請你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤z(元)與月份x(月)的關系式; (2)若月利潤w(萬元)=當月銷售量y(萬件)×當月每件產(chǎn)品的利潤z(元),求月利潤w(萬元)與月份x(月)的關系式; (3)當x為何值時,月利潤w有最大值,最大值為多少? 【自主解答】 解:(1)當1≤x≤9時,設每件產(chǎn)品利潤z(元)與月份x(月)的關系式為z=kx+b, 得 即當1≤x≤9
21、時,z=-x+20, 當10≤x≤12時,z=10, 由上可得,z= (2)當1≤x≤8時,w=(x+4)(-x+20)=-x2+16x+80. 當x=9時,w=(-9+20)×(-9+20)=121. 當10≤x≤12時,w=(-x+20)×10=-10x+200. 由上可得,w= (3)當1≤x≤8時,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144, ∴當x=8時,w取得最大值,此時w=144. 當x=9時,w=121. 當10≤x≤12時,w=-10x+200, 則當x=10時,w取得最大值,此時w=100, 由上可得,當x為8時,月利潤w有最大值,最大值144
22、萬元. 【變式訓練1】 (2017·濰坊)工人師傅用一塊長為10 dm,寬為6 dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器,需要將四角各裁掉一個正方形.(厚度不計) (1)在圖中畫出裁剪示意圖,用實線表示裁剪線,虛線表示折痕;并求長方體底面面積為12 dm2時,裁掉的正方形邊長多大? (2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍,并將容器進行防銹處理,側(cè)面每平方分米的費用為0.5元,底面每平方分米的費用為2元,裁掉的正方形邊長多大時,總費用最低,最低為多少? 解:(1)裁剪示意圖如圖: 設裁掉的正方形邊長為x dm,由題意,得 (10-2x)(6-2x)=12,即x2-
23、8x+12=0. 解得x1=2,x2=6(舍去). 答:裁掉的正方形的邊長為2 dm. (2)∵長不大于底面寬的五倍, ∴10-2x≤5(6-2x).∴0<x≤2.5. 設總費用為y,由題意,得 y=0.5×2[(10-2x)x+(6-2x)x]+2(10-2x)(6-2x) =4x2-48x+120 =4(x-6)2-24. ∵對稱軸為直線x=6,開口向上, ∴當0<x≤2.5時,y隨x的增大而減小. ∴當x=2.5時,y最小=4×(2.5-6)2-24=25. 答:當裁掉邊長為2.5 dm的正方形時,總費用最低為25元. 【變式訓練2】 (2018·濱州)如圖,一
24、小球沿與地面成一定角度的方向飛出,小球的飛行路線是一條拋物線,如果不考慮空氣阻力,小球的飛行高度y(單位:m)與飛行時間x(單位:s)之間具有函數(shù)關系y=-5x2+20x,請根據(jù)要求解答下列問題: (1)在飛行過程中,當小球的飛行高度為15 m時,飛行時間是多少? (2)在飛行過程中,小球從飛出到落地所用時間是多少? (3)在飛行過程中,小球飛行高度何時最大?最大高度是多少? 解:(1)當y=15時,15=-5x2+20x. 解得x1=1,x2=3. 答:在飛行過程中,當小球的飛行高度為15 m時,飛行時間是1 s或3 s. (2)當y=0時,0=-5x2+20x. 解得
25、x3=0,x4=4. ∵4-0=4, ∴在飛行過程中,小球從飛出到落地所用時間是4 s. (3)y=-5x2+20x=-5(x-2)2+20, ∴當x=2時,y取得最大值,此時,y=20. 答:在飛行過程中,小球飛行高度第2 s時最大,最大高度是20 m. 重難點2 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合 (2018·泰安T24,11分)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點A(-4,0),B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE. (1)求二次函數(shù)的解析式; (2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點,求△ADE面積的最
26、大值;,運用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題的最大值和最小值的一般方法是:(1)列出二次函數(shù)的解析式,并根據(jù)自變量的實際意義,確定取值范圍;(2)配方法利用公式求頂點;(3)檢查頂點是否在自變量的取值范圍內(nèi)或檢查所求最值是不是符合要求(例如拋物線開口向上求最小值,開口向下求最大值).若在,則函數(shù)在頂點處取得最大值或最小值;若不在,則在自變量的取值范圍內(nèi),根據(jù)增減性確定.K 1.利用二次函數(shù)解決實際問題,第一步是建立二次函數(shù)模型,一般都是根據(jù)兩個變量之間的等量關系建立.K 2.利用二次函數(shù)探究實際生活中的最值問題,需先建立二次函數(shù)模型,
27、列出二次函數(shù)關系式,整理成頂點式,函數(shù)最值應結(jié)合自變量取值范圍求解,最值不一定是頂點的縱坐標,畫出函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的圖象,圖象上的最高點的縱坐標是函數(shù)的最大值,圖象上的最低點的縱坐標是函數(shù)的最小值. 利用二次函數(shù)解決拋物線型問題的基本思路是將實際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題中的條件,本例中就是將飛行高度轉(zhuǎn)化為縱坐標,然后列出一元二次方程求解;飛機飛出與落地時y值均為0,令縱坐標為0,就可以得到問題的答案;小球飛行的最大高度即是求拋物線所對應的二次函數(shù)的最大值.K (3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使△AEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有P點的坐標,若不
28、存,在請說明理由. 【思路點撥】 (1)把已知點坐標代入函數(shù)解析式,得出方程組求解即可;(2)根據(jù)函數(shù)解析式設出點D坐標,過點D作DG⊥x軸,交AE于點F,表示△ADE的面積,運用二次函數(shù)分析最值即可;(3)設出點P坐標,分PA=PE,PA=AE,PE=AE三種情況討論分析即可. 解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-4,0),B(2,0),C(0,6), ∴解得1分 ∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2-x+6.3分 (2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直線解析式為y=-x-2.4分 過點D作DH⊥x軸,交AE于點F,交x軸于點G,
29、過點E作EH⊥DF,垂足為H. 設D(m,-m2-m+6),則點F(m,-m-2). ∴DF=-m2-m+6-(-m-2)=-m2-m+8.5分 ∴S△ADE=S△ADF+S△EDF =×DF·AG+DF·EH =×DF·AG+×DF·EH =×4·DF =2×(-m2-m+8) =-(m+)2+.7分 ∴當m=-時,△ADE的面積取得最大值為.8分 (3)y=-x2-x+6的對稱軸為直線x=-1, 設P(-1,n),又E(0,-2),A(-4,0). 可求PA=,PE=,AE==2. 當PA=PE時,=,解得n=1,此時P(-1,1); 當PA=AE時,=2 ,
30、解得n=±,此時點P坐標為(-1,±); 當PE=AE時,=2,解得n=-2±,此時點P坐標為(-1,-2±). 綜上所述,P點的坐標為(-1,1),(-1,±),(-1,-2±).11分 ,本例為二次函數(shù)的綜合應用,涉及待定系數(shù)法、割補法求三角形面積、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中注意待定系數(shù)法的應用,在(2)中表示出△ADE的面積是解題的關鍵,在(3)中表示出三邊的長度是解題的關鍵,難點在于需分三種情況討論.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度較大. 鏈接專題復習(七)邊欄解題方法. K 1.(2018·連
31、云港)已知學校航模組設計制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時間t(s)滿足函數(shù)表達式h=-t2+24t+1.則下列說法中正確的是(D) A.點火后9 s和點火后13 s的升空高度相同 B.點火后24 s火箭落于地面 C.點火后10 s的升空高度為139 m D.火箭升空的最大高度為145 m 2.(2018·北京)跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一,運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運動員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運動員
32、起跳后飛行到最高點時,水平距離為(B) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 第2題圖 第3題圖 3.(2018·沈陽)如圖,一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著,并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開.已知籬笆的總長為900 m(籬笆的厚度忽略不計),當AB=150m時,矩形土地ABCD的面積最大. 4.便民商店經(jīng)營一種商品,在銷售過程中,發(fā)現(xiàn)一周利潤y(元)與每件銷售價x(元)之間的關系滿足y=-2x2+80x+750,由于某種原因,售價只能滿足15≤x≤22,那么一周可獲得的最大利潤是1__550元. 5.(2018·武漢
33、)飛機著陸后滑行的距離y(單位:m)關于滑行時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是y=60t-t2.在飛機著陸滑行中,最后4 s滑行的距離是24m. 6.(2017·義烏)某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長),已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50 m.設飼養(yǎng)室長為x(m),占地面積為y(m2). (1)如圖1,問飼養(yǎng)室長x為多少時,占地面積y最大? (2)如圖2,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2 m寬的門,且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大.小敏說:“只要飼養(yǎng)室長比(1)中的長多2 m就行了.” 請你通過計算,判斷小敏的說法是否正確. 解:(1)∵y=x·=-(x
34、-25)2+, ∴當x=25時,占地面積y最大, 即當飼養(yǎng)室長為25 m時,占地面積最大. (2)∵y=x·=-(x-26)2+338, ∴當x=26時,占地面積y最大, 即當飼養(yǎng)室長為26 m時,占地面積最大. ∵26-25=1≠2, ∴小敏的說法不正確. 7.(2017·德州)隨著新農(nóng)村的建設和舊城的改造,我們的家園越來越美麗,小明家附近廣場中央新修了一個圓形噴水池,在水池中心豎直安裝了一根高2 m的噴水管,它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1 m處達到最高,水柱落地處離池中心3 m. (1)請你建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担⑶蟪鏊鶔佄锞€的函數(shù)解析式; (2)求出水
35、柱的最大高度是多少? 解:(1)如圖,以水管與地面交點為原點,原點與水柱落地點所在直線為x軸,水管所在直線為y軸,建立平面直角坐標系. 由題意可設拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x-1)2+h(0≤x≤3). 拋物線過點(0,2)和(3,0),代入拋物線解析式,可得 解得 所以拋物線解析式為y=-(x-1)2+(0≤x≤3). 化為一般式為y=-x2+x+2(0≤x≤3). (2)由(1)中拋物線解析式y(tǒng)=-(x-1)2+(0≤x≤3)知, 當x=1時,y=. 所以拋物線水柱的最大高度為 m. 8.(2018·江西)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)實施產(chǎn)業(yè)扶貧,幫助貧困戶承包了荒山種植某品種蜜柚
36、,到了收獲季節(jié),已知該蜜柚的成本價為8元/千克,投入市場銷售時,調(diào)查市場行情,發(fā)現(xiàn)該蜜柚銷售不會虧本,且每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)之間的函數(shù)關系如圖所示. (1)求y與x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍; (2)當該品種的蜜柚定價為多少時,每天銷售獲得的利潤最大?最大利潤是多少? (3)某農(nóng)戶今年共采摘蜜柚4 800千克,該品種蜜柚的保質(zhì)期為40天,根據(jù)(2)中獲得最大利潤的方式進行銷售,能否銷售完這批蜜柚?請說明理由. 解:(1)設y與x的函數(shù)關系式為y=kx+b, 將(10,200),(15,150)代入,得 解得 ∴y與x的函數(shù)關系式為y=-10x
37、+300(8≤x≤30). (2)設每天銷售獲得的利潤為w, 則w=(x-8)y =(x-8)(-10x+300) =-10(x-19)2+1 210. ∵8≤x≤30, ∴當x=19時,w取得最大值,最大值為1 210. (3)由(2)知,當獲得最大利潤時,定價為19元/千克, 則每天的銷售量為y=-10×19+300=110(千克), ∵保質(zhì)期為40天, ∴總銷售量為40×110=4 400. 又∵4 400<4 800, ∴不能銷售完這批蜜柚. 9.(2018·濟寧)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)
38、. (1)求該拋物線的解析式; (2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M,求切點M的坐標; (3)若點Q在x軸上,點P在拋物線上,是否存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入拋物線解析式,得 解得 則該拋物線解析式為y=x2-2x-3. (2)過點A作AM⊥BC于點M,過點M作MH⊥x軸于點H. ∴∠BOC=∠AMB=∠AHM=90°. 易證△BOC∽△BMA∽△MHA. ∴=,=,=. ∵A(3,0),B(-1,0),C(0,-3), ∴B
39、C==,OC=3,AB=4,OA=3. ∴AM=,AH=,MN=,OH=. ∴M(-,-). (3)存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形. 分三種情況考慮: 設Q(x,0),P(m,m2-2m-3), 當四邊形BCQP為平行四邊形時,由B(-1,0),C(0,-3),根據(jù)平移規(guī)律,得-1+x=0+m,0+0=-3+m2-2m-3,解得m=1±,x=2±. 當m=1+時,m2-2m-3=8+2-2-2-3=3,即P(1+,3); 當m=1-時,m2-2m-3=8-2-2+2-3=3,即P(1-,3); 當四邊形BCPQ為平行四邊形時,由B(-1,0),C(0,-3). 根據(jù)平移規(guī)律,得-1+m=0+x,0+m2-2m-3=-3+0,解得m=0或2. 當m=0時,P(0,-3)(舍);當m=2時,P(2,-3). 當四邊形BQCP為平行四邊形時,由B(-1,0),C(0,-3),根據(jù)平移規(guī)律,得-1+0=x+m,0+(-3)=0+m2-2m-3,解得m=0或2. 當m=0時,P(0,-3)(舍);當m=2時,P(2,-3). 綜上,存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形,P的坐標為(1+,3)或(1-,3)或(2,-3). 14
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