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1、大題加練(二)
姓名：________ 班級：________ 用時：______分鐘
1．(2018·無棣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA＝4，OC＝3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交AC于點D，動點P在拋物線對稱軸上，動點Q在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)PO＋PC的值最小時，求點P的坐標(biāo)；
(3)是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．(2018·濱州模擬)如圖，在△A
2、BC中，tan∠ABC＝，∠ACB＝45°，AD＝8，AD是邊BC上的高，垂足為D，BE＝4，點M從點B出發(fā)沿BC方向以每秒3個單位的速度運動，點N從點E出發(fā)，與點M同時同方向以每秒1個單位的速度運動，以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH，點M到達點C時停止運動，點N也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t(秒)(t>0)．
(1)當(dāng)t為多少秒時，點H剛好落在線段AB上；
(2)當(dāng)t為多少秒時，點H剛好落在線段AC上；
(3)設(shè)正方形MNGH與△ABC重疊部分的圖形的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍．
3.(2018·陽信模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax
3、2＋bx＋2的圖象與x軸交于A(－3，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式；
(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
(3)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E，是否存在點Q，使以點B，Q，E為頂點的三角形與△AOC相似．若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
4．(2018·濱州二模)如圖，已知拋物線y＝－x2＋x與直線y＝kx在第一象限交于點A(，1)，與x軸交于O點和B點．
4、
(1)求k的值及∠AOB的度數(shù)；
(2)現(xiàn)有一個半徑為2的動圓，其圓心P在拋物線上運動，當(dāng)⊙P恰好與y軸相切時，求P點坐標(biāo)；
(3)在拋物線上是否存在一點M，使得以M為圓心的⊙M恰好與y軸和上述直線y＝kx都相切？若存在，求點M的坐標(biāo)及⊙M的半徑；若不存在，請說明理由．
參考答案
1．解：(1)在矩形OABC中，∵OA＝4，OC＝3，
∴A(4，0)，C(0，3)．
∵拋物線經(jīng)過O，A兩點，且頂點在BC邊上，
∴拋物線頂點的坐標(biāo)為(2，3)．
設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)2＋3，
把A點坐標(biāo)代入可得0＝a(4－2)2＋3，解得a＝－，
∴拋
5、物線的解析式為y＝－(x－2)2＋3，
即y＝－x2＋3x.
(2)如圖，連接PA.
∵點P在拋物線對稱軸上，
∴PA＝PO，∴PO＋PC＝PA＋PC.
根據(jù)“兩點之間線段最短”可知當(dāng)點P與點D重合時，PO＋PC的值最?。?
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，
根據(jù)題意得解得
∴直線AC的解析式為y＝－x＋3.
當(dāng)x＝2時，y＝－×2＋3＝，
∴當(dāng)PO＋PC的值最小時，點P的坐標(biāo)為(2，)．
(3)存在．
P(2，0)，Q(2，3)或P(2，－6)，Q(6，－9)或P(2，－12)，
Q(－2，－9)．
2．解：(1)如圖，當(dāng)點H在AB上時，
在Rt△ABD
6、中，∵tan∠B＝＝，AD＝8，
∴BD＝6.
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴AD＝CD＝8.
由題意得BM＝3t，HM＝4t，
∴MN＝ME＋EN＝4－3t＋t＝4－2t.
∵四邊形MNGH是正方形，
∴MN＝HM，即4t＝4－2t，解得t＝，
∴當(dāng)t為秒時，點H剛好落在線段AB上．
(2)如圖．點H在AC上時，
由題意得BM＝3t，EN＝t，則CM＝HM＝6＋8－3t＝14－3t，MN＝BM－BE－EN＝3t－4－t＝2t－4.
∵HM＝CM＝MN，∴14－3t＝2t－4，
解得t＝，∴當(dāng)t為秒時，點H剛好落在線段AC上．
(3)分四種情況：
①如圖
7、，當(dāng)0
8、，設(shè)GH與AC交于點K，重疊部分為五邊形GNMPK.
∵∠C＝∠MPC＝∠KPH＝45°，
∴PH＝KH＝MH－PM.
∵PM＝MC＝14－3t，
∴S＝NM2－KH·PH
＝(3t－4－t)2－[(3t－4－t)－(14－3t)]2
＝－t2＋74t－146.
綜上所述，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為
S＝
3．解：(1)由拋物線y＝ax2＋bx＋2過點A(－3，0)，B(1，0)得
解得
∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝－x2－x＋2.
(2)存在．如圖，連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N.
設(shè)點P坐標(biāo)為(m，－m2－m＋2)，
則PM＝－m2－m＋2，PN
9、＝－m，AO＝3.
當(dāng)x＝0時，y＝2，
∴OC＝2，
∴S△ACP＝S△PAO＋S△PCO－S△ACO
＝AO·PM＋CO·PN－AO·CO
＝×3×(－m2－m＋2)＋×2×(－m)－×3×2
＝－m2－3m＝－(m＋)2＋.
∵a＝－1＜0，
∴當(dāng)m＝－時，函數(shù)S△ACP有最大值，
此時－m2－m＋2＝－×(－)2－×(－)＋2＝，
∴存在點P(－，)使△ACP的面積最大．
(3)存在．點Q的坐標(biāo)為(－2，2)或(－，)．
4．解：(1)將點A(，1)代入直線y＝kx中得k＝1，
解得k＝.
由A(，1)得tan∠AOB＝，則∠AOB＝30°.
(2)∵⊙P恰好與y軸相切，
∴P點到y(tǒng)軸的距離等于⊙P的半徑，即P點的橫坐標(biāo)為2或－2.
當(dāng)x＝2時，y＝－22＋×2＝－4＋，
當(dāng)x＝－2時，y＝－(－2)2＋×(－2)＝－4－，
∴P(2，－4＋)或(－2，－4－)．
(3)存在．如圖，
∵由(1)知∠AOB＝30°，則∠1＝60°，
∴∠1的角平分線的解析式為y＝x.
聯(lián)立拋物線的解析式得
解得(舍去)
∴點M的坐標(biāo)(，1)，⊙M的半徑為.
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（山東濱州專用）2019中考數(shù)學(xué) 大題加練(二)
