2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（三）

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1、2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（三） 　　數(shù)學(xué)家看問(wèn)題，總想找規(guī)律.我們學(xué)數(shù)學(xué)，也要向他們學(xué)習(xí)。找規(guī)律，要從簡(jiǎn)單的情況著手，仔細(xì)觀察，得到啟示，大膽猜想，找出一般規(guī)律，還要進(jìn)行驗(yàn)證，最后還需要證明（在小學(xué)階段不要求同學(xué)們進(jìn)行證明）。 　　例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個(gè)點(diǎn)連起來(lái)，這個(gè)圖形就叫做線段。這兩個(gè)點(diǎn)就叫線段的端點(diǎn)，如圖8—1—1所示。不難看出，線段也可以看成是直線上兩點(diǎn)間的部分。如果一條直線上標(biāo)出11個(gè)點(diǎn)，如圖8—1—2所示，任何兩點(diǎn)間的部分都是一條線段，問(wèn)共有多少條線段。 　　解：先從簡(jiǎn)單的情況著手。 　　（1）畫(huà)一畫(huà)，數(shù)一數(shù)：（見(jiàn)圖8—1—3） 　?。?/p>

2、2）試著分析： 　　2個(gè)點(diǎn)，線段條數(shù)：1=1 　　3個(gè)點(diǎn)，線段條數(shù)：3=2+1 　　4個(gè)點(diǎn)，線段條數(shù)：6=3+2+1 　　5個(gè)點(diǎn)，線段條數(shù)：10=4+3+2+1 　?。?）大膽猜想：一條直線上有若干點(diǎn)時(shí)線段的條數(shù)總是從1開(kāi)始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比點(diǎn)數(shù)小1。 　?。?）進(jìn)行驗(yàn)證：對(duì)于更多點(diǎn)的情況，對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，看猜想是否正確，如果正確，就增加了對(duì)猜想的信心。如： 　　6個(gè)點(diǎn)時(shí)：對(duì)不對(duì)？ 　　——對(duì)。見(jiàn)圖 8—1—4。 　　線段條數(shù)：5+4+3+2+1=15（條）。 　?。?）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問(wèn)題。 　　當(dāng)直線上有11個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段

3、的條數(shù)應(yīng)是： 　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（條）。 　　例2 如圖8—2中（1）～（5）所示兩條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，……那么，11條直線相交最多有多少交點(diǎn)？ 　　解：從簡(jiǎn)單情況著手研究： 　　（1）畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù) 　　 　 　 　　圖8-2 　?。?）試著分析： 　　直線條數(shù) 最多交點(diǎn)數(shù) 　　1 0 　　2 1=1 　　3 3=2+1 　　4 6=3+2+1 　　5 10=4+3+2+1 　?。?）大膽猜想：若干條直線相交時(shí)，最多的交點(diǎn)數(shù)是從1開(kāi)始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的

4、自然數(shù)比直線條數(shù)小1。 　?。?）進(jìn)行驗(yàn)證：見(jiàn)圖8—3。取6條直線相交，畫(huà)一畫(huà)，數(shù)一數(shù)，看一看最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)與猜想的是否一致，若相符，則更增強(qiáng)了對(duì)猜想的信心。 　　用猜想的算法進(jìn)行計(jì)算：最多交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是 　　5+4+3+2+1=15（個(gè)）。 　?。?）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問(wèn)題。當(dāng)有11條直線相交時(shí)，最多的交點(diǎn)數(shù)應(yīng)是： 　　10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個(gè)）。 　　例3 如圖8—4所示，一張大餅，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，……問(wèn)切10刀最多切成多少塊？ 　　解：從最簡(jiǎn)單情況著手研究。 　　（1）畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù)

5、 　?。?）試著分析： 　　所切刀數(shù) 切出的塊數(shù) 　　0 1 　　1 2=1+1 　　2 4=1+1+2 　　3 7=1+1+2+3 　　4 11=1+1+2+3+4 　　（3）大膽猜想：把一張大餅切若干刀時(shí)，切成的最多塊數(shù)等于從1開(kāi)始的一串自然數(shù)相加之和加1。其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù)。 　　（4）進(jìn)行驗(yàn)證：見(jiàn)圖8—5對(duì)大餅切5刀的情況用兩種方法求解，看結(jié)果是否一致，若一致則更增強(qiáng)了對(duì)猜想的信心。 　?、贁?shù)一數(shù)：16塊。 　?、谒阋凰悖?+1+2+3+4+5=16（塊）。 　　（5）應(yīng)用規(guī)律：把大餅切10刀時(shí)，最多切成的塊數(shù)是： 　　1+1+2+3+4+5+6+

6、7+8+9+10 　　=1+55 　　=56（塊）。 附送： 2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)與形相映 　　形和數(shù)的密切關(guān)系，在古代就被人們注意到了。古希臘人發(fā)現(xiàn)的形數(shù)就是非常有趣的例子。 　　例1 最初的數(shù)和最簡(jiǎn)的圖相對(duì)應(yīng)。 　　 　　這是古希臘人的觀點(diǎn)，他們說(shuō)一切幾何圖形都是由數(shù)產(chǎn)生的。 　　例2 我國(guó)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代就有了“洛圖”（見(jiàn)下圖）。圖中也是用“圓點(diǎn)”表示數(shù)，而且還區(qū)分了偶數(shù)和奇數(shù)，偶數(shù)用實(shí)心點(diǎn)表示，奇數(shù)用空心點(diǎn)表示。你能把這張圖用自然數(shù)寫(xiě)出來(lái)嗎？見(jiàn)下圖所示，這個(gè)圖又叫九宮圖。 　　例3 古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“形數(shù)”的奧秘。比如他

7、把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù)。因?yàn)橛脠A點(diǎn)按這些數(shù)可以堆壘成三角形，見(jiàn)下圖。 　　畢達(dá)哥拉斯還從圓點(diǎn)的堆壘規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)三角形數(shù)，都可以寫(xiě)成從1開(kāi)始的n個(gè)自然數(shù)之和，最大的自然數(shù)就是三角形底邊圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 　　第一個(gè)數(shù)：1=1 　　第二個(gè)數(shù)：3=1+2 　　第三個(gè)數(shù)：6=1+2+3 　　第四個(gè)數(shù)：10=1+2+3+4 　　第五個(gè)數(shù)：15=1+2+3+4+5 　　… 　　第n個(gè)數(shù)：1+2+3+4+5+…+n 指定的三角形數(shù)。比如第100個(gè)三角形數(shù)是： 　　例4 畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)了四角形數(shù)，見(jiàn)下圖。因?yàn)橛脠A點(diǎn)按四角形數(shù)可以堆壘成正方形，因此它們最受 畢

8、達(dá)哥拉斯及其弟子推崇。 　　第一個(gè)數(shù)：1=12=1 　　第二個(gè)數(shù)：4=22=1+3 　　第三個(gè)數(shù)：9=32=1+3+5 　　第四個(gè)數(shù)：16=42=1+3+5+7 　　第五個(gè)數(shù)：25=52=1+3+5+7+9 　　… 　　第n個(gè)數(shù)：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）。 　　四角形數(shù)（又叫正方形數(shù)）可以表示成自然數(shù)的平方，也可以表示成從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和。奇數(shù)的個(gè)數(shù)就等于正方形的一條邊上的點(diǎn)數(shù)。 　　例5 類(lèi)似地，還有四面體數(shù)見(jiàn)下圖。 　　仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，四面體的每一層的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)都是三角形數(shù)。因此四面體數(shù)可由幾個(gè)三角形數(shù)相加得到： 　　第一個(gè)數(shù)：1 　　第

9、二個(gè)數(shù)：4=1+3 　　第三個(gè)數(shù)：10=1+3+6 　　第四個(gè)數(shù)：20=1+3+6+10 　　第五個(gè)數(shù)：35=1+3+6+10+15。 　　例6 五面體數(shù)，見(jiàn)下圖。 　　仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，五面體的每一層的圓點(diǎn)個(gè)數(shù)都是四角形數(shù)，因此五面體數(shù)可由幾個(gè)四角形數(shù)相加得到： 　　第一個(gè)數(shù)：1=1 　　第二個(gè)數(shù)：5=1+4 　　第三個(gè)數(shù)：14=1+4+9 　　第四個(gè)數(shù)：30=1+4+9+16 　　第五個(gè)數(shù)：55=1+4+9+16+25。 　　例7 按不同的方法對(duì)圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，可以得出一系列等式，進(jìn)而可猜想到一個(gè)重要的公式。 由此可以使人體會(huì)到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙

10、關(guān)系。 　　方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)： 　　22+2×2+1。 　　方法2：把點(diǎn)圖看作一個(gè)整體來(lái)算32。 　　因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出： 　　22+2×2+1=32。 　　方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)： 　　32+2×3+1。 　　方法2：把點(diǎn)圖看成一個(gè)整體來(lái)算：42。 　　因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出： 　　32+2×3+1=42。 　　方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)： 　　42+2×4+1。 　　方法2：把點(diǎn)圖看成一個(gè)整體來(lái)算52。 　　因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出： 　　42+2×4+1=52。 　　把上面的幾個(gè)等式連起來(lái)看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可以猜到一個(gè)一般的公式： 　　22+2×2+1=32 　　32+2×3+1=42 　　42+2×4+1=52 　　… 　　n2+2×n+1=（n+1）2。 　　利用這個(gè)公式，也可用于速算與巧算。 　　如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100 　　992+2×99+1=（99+1）2 　　=1002=10000。