（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 空間與圖形 5.3 解直角三角形（試卷部分）課件.ppt

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5 3解直角三角形 中考數(shù)學(xué) 北京專用 2014 2018年北京中考題組 五年中考 1 2012北京 19 5分 如圖 在四邊形ABCD中 對角線AC BD交于點(diǎn)E BAC 90 CED 45 DCE 30 DE BE 2 求CD的長和四邊形ABCD的面積 解析過點(diǎn)D作DF AC于點(diǎn)F 在Rt DEF中 DFE 90 DEF 45 DE DF EF 1 在Rt CFD中 CFD 90 DCF 30 CD 2DF 2 FC 在Rt ABE中 BAE 90 AEB CED 45 BE 2 AB AE 2 AC AE EF FC 3 S四邊形ABCD S ACD S ABC AC DF AC AB 3 1 3 2 四邊形ABCD的面積是 2 2011北京 20 5分 如圖 在 ABC中 AB AC 以AB為直徑的 O分別交AC BC于點(diǎn)D E 點(diǎn)F在AC的延長線上 且 CBF CAB 1 求證 直線BF是 O的切線 2 若AB 5 sin CBF 求BC和BF的長 解析 1 證明 連接AE AB是 O的直徑 AEB 90 1 2 90 AB AC 1 CAB CBF CAB 1 CBF CBF 2 90 即 ABF 90 AB是 O的直徑 直線BF是 O的切線 2 過點(diǎn)C作CG AB于點(diǎn)G sin CBF 1 CBF sin 1 AEB 90 AB 5 BE AB sin 1 AB AC AEB 90 BC 2BE 2 在Rt ABE中 由勾股定理得AE 2 sin 2 cos 2 在Rt CBG中 可求得GC 4 GB 2 AG 3 GC BF AGC ABF BF 評析將解直角三角形與圓 相似等知識結(jié)合在一起考查是北京市中考命題常采用的形式 教師專用題組 考點(diǎn)一銳角三角函數(shù) 1 2018云南 12 4分 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 則 A的正切值為 A 3B C D 答案A AC 1 BC 3 C 90 tanA 3 2 2018貴州貴陽 7 3分 如圖 A B C是小正方形的頂點(diǎn) 且每個小正方形的邊長都為1 則tan BAC的值為 A B 1C D 答案B如圖 連接BC 在 ABD和 BCE中 ABD BCE SAS AB BC ABD BCE BCE CBE 90 ABD CBE 90 即 ABC 90 tan BAC 1 故選B 3 2017黑龍江哈爾濱 8 3分 在Rt ABC中 C 90 AB 4 AC 1 則cosB的值為 A B C D 答案A由勾股定理可得BC 所以cosB 故選A 4 2017甘肅蘭州 3 4分 如圖 一個斜坡長130m 坡頂離水平地面的距離為50m 那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于 A B C D 答案C在直角三角形中 根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為120m 故這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于 故選C 思路分析先利用勾股定理求得第三邊的長 再利用正切的定義求正切值 5 2016福建福州 9 3分 如圖 以O(shè)為圓心 1為半徑的弧交坐標(biāo)軸于A B兩點(diǎn) P是上一點(diǎn) 不與A B重合 連接OP 設(shè) POB 則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 A sin sin B cos cos C cos sin D sin cos 答案C過P作PQ OB 交OB于點(diǎn)Q 在Rt OPQ中 OP 1 POQ sin cos 即PQ sin OQ cos 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 cos sin 故選C 6 2016廣東 8 3分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 4 3 那么cos 的值是 A B C D 答案D過點(diǎn)A作AB垂直x軸于B 則AB 3 OB 4 由勾股定理得OA 5 cos 故選D 7 2015甘肅蘭州 4 4分 如圖 ABC中 B 90 BC 2AB 則cosA A B C D 答案D設(shè)AB k k 0 則BC 2k B 90 AC k cosA 故選D 8 2015河北 9 3分 已知 島P位于島Q的正西方 由島P Q分別測得船R位于南偏東30 和南偏西45 方向上 符合條件的示意圖是 答案D本題考查方向角的簡單識別 選D 9 2014浙江杭州 3 3分 在直角三角形ABC中 已知 C 90 A 40 BC 3 則AC A 3sin40 B 3sin50 C 3tan40 D 3tan50 答案D C 90 A 40 B 50 又tanB AC BCtanB 3tan50 故選D 10 2017山西 15 3分 一副三角板按如圖方式擺放 得到 ABD和 BCD 其中 ADB BCD 90 A 60 CBD 45 E為AB的中點(diǎn) 過點(diǎn)E作EF CD于點(diǎn)F 若AD 4cm 則EF的長為cm 答案 解析如圖 連接DE 過點(diǎn)E作EM BD于點(diǎn)M 設(shè)EF交BD于點(diǎn)N AD 4cm A 60 AB 8cm DB 4cm 點(diǎn)E為AB的中點(diǎn) EM BD DE AB 4cm EM AD 2cm 由等腰直角三角形的性質(zhì)可知 ENM FND 45 在Rt ENM中 EN EM 2cm MN EM 2cm DN DM MN DB MN 2 2 cm 在Rt DFN中 FN DN cm EF EN FN 2 cm 一題多解過點(diǎn)A作AG CD的延長線于點(diǎn)G CDB CBD 45 ADB 90 ADG 45 AG 2cm ABD 30 BD AD 4cm CBD 45 BC 2cm AG CG EF CG CB CG AG EF BC E是AB的中點(diǎn) 點(diǎn)F為CG的中點(diǎn) EF AG BC 2 2 cm 11 2017四川綿陽 18 3分 如圖 過銳角 ABC的頂點(diǎn)A作DE BC AB恰好平分 DAC AF平分 EAC交BC的延長線于點(diǎn)F 在AF上取點(diǎn)M 使得AM AF 連接CM并延長交直線DE于點(diǎn)H 若AC 2 AMH的面積是 則的值是 答案8 解析過H作HG AC于點(diǎn)G 如圖 AF平分 EAC EAF CAF DE BF EAF AFC CAF AFC CF CA 2 AM AF AM MF 1 2 DE BF AH 1 S AHC 3S AHM 2GH GH 在Rt AHG中 AG GC AC AG 2 8 解題思路過H作HG AC于點(diǎn)G 構(gòu)造直角三角形 再分別求出相應(yīng)的邊即可 12 2018四川成都 18 8分 由我國完全自主設(shè)計 自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù) 如圖 航母由西向東航行 到達(dá)A處時 測得小島C位于它的北偏東70 方向 且與航母相距80海里 再航行一段時間后到達(dá)B處 測得小島C位于它的北偏東37 方向 如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處 求還需航行的距離BD的長 參考數(shù)據(jù) sin70 0 94 cos70 0 34 tan70 2 75 sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 解析由題可知 ACD 70 BCD 37 AC 80 在Rt ACD中 cos ACD 0 34 CD 27 2 在Rt BCD中 tan BCD 0 75 BD 20 4 答 還需要航行的距離BD的長為20 4海里 13 2018吉林 21 7分 數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量旗桿高度 制定了如下測量方案 使用的工具是測角儀和皮尺 請幫助組長林平完成方案內(nèi)容 用含a b 的代數(shù)式表示旗桿AB的高度 數(shù)學(xué)活動方案活動時間 2018年4月2日活動地點(diǎn) 學(xué)校操場填表人 林平 解析測量步驟 1 測角儀 1分 2 皮尺 2分 計算過程 由題意可知 ADE DE BC a BE CD b 在Rt ADE中 AED 90 tan ADE AE DE tan ADE 4分 AE atan AB AE BE b atan 米 7分 評分說明 計算結(jié)果沒寫單位或不加括號不扣分 14 2017黑龍江哈爾濱 22 7分 如圖 方格紙中每個小正方形的邊長均為1 線段AB的兩個端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上 1 在圖中畫出以AB為底 面積為12的等腰 ABC 且點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上 2 在圖中畫出平行四邊形ABDE 且點(diǎn)D和點(diǎn)E均在小正方形的頂點(diǎn)上 tan EAB 連接CD 請直接寫出線段CD的長 解析 1 正確畫圖 2 正確畫圖 CD 15 2017福建 22 10分 小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果 sin27 sin283 0 122 0 992 0 9945 sin222 sin268 0 372 0 932 1 0018 sin229 sin261 0 482 0 872 0 9873 sin237 sin253 0 602 0 802 1 0000 sin245 sin245 1 據(jù)此 小明猜想 對于任意銳角 均有sin2 sin2 90 1 1 當(dāng) 30 時 驗(yàn)證sin2 sin2 90 1是否成立 2 小明的猜想是否成立 若成立 請給予證明 若不成立 請舉出一個反例 解析 1 當(dāng) 30 時 sin2 sin2 90 sin230 sin260 1 所以 當(dāng) 30 時 sin2 sin2 90 1成立 2 小明的猜想成立 證明如下 如圖 ABC中 C 90 設(shè) A 則 B 90 sin2 sin2 90 1 16 2014重慶 20 7分 如圖 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 解析 AD BC tan BAD 1分 tan BAD AD 12 2分 BD 9 3分 CD BC BD 14 9 5 4分 在Rt ADC中 AC 13 6分 sinC 7分 考點(diǎn)二解直角三角形 1 2016重慶 11 4分 某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動 如圖 在點(diǎn)A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36 然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處 然后再沿水平方向行走6米至大樹底端D處 斜面AB的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大樹CD的高度約為 參考數(shù)據(jù) sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1米B 17 2米C 19 7米D 25 5米 答案A作BF AE于F 如圖所示 易知四邊形BDEF為矩形 則FE BD 6米 DE BF 斜面AB的坡度i 1 2 4 AF 2 4BF 設(shè)BF x米 則AF 2 4x米 在Rt ABF中 x2 2 4x 2 132 解得x 5 DE BF 5米 AF 12米 AE AF FE 18米 在Rt ACE中 CE AE tan36 18 0 73 13 14米 CD CE DE 13 14 5 8 1米 故選A 2 2015江蘇蘇州 10 3分 如圖 在一筆直的海岸線l上有A B兩個觀測站 AB 2km 從A測得船C在北偏東45 的方向 從B測得船C在北偏東22 5 的方向 則船C離海岸線l的距離 即CD的長 為 A 4kmB 2 kmC 2kmD 4 km 答案B如圖 在Rt ABE中 AEB 45 AB EB 2km AE 2km EBC 22 5 ECB AEB EBC 22 5 EBC ECB EB EC 2km AC AE EC 2 2 km 在Rt ADC中 CAD 45 AD DC 2 km 即點(diǎn)C到l的距離為 2 km 故選B 3 2015四川綿陽 10 3分 如圖 要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈 路燈的燈臂CD長2米 且與燈柱BC成120 角 路燈采用圓錐形燈罩 燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直 當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳 此時 路燈的燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計為 A 11 2 米B 11 2 米C 11 2 米D 11 4 米 答案D延長BC OD交于點(diǎn)E CD OD DCB 120 E 30 B 90 OB 22 11米 EB 11米 在Rt DCE中 CE 2DC 4米 BC EB CE 11 4 米 故選D 4 2015江西南昌 12 3分 圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框 將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形 已知AB AC 15cm BAC 40 則點(diǎn)A到BC的距離為cm 參考數(shù)據(jù) sin20 0 342 cos20 0 940 sin40 0 643 cos40 0 766 結(jié)果精確到0 1cm 可用科學(xué)計算器 答案14 1 解析過點(diǎn)A作AD BC于點(diǎn)D 因?yàn)锳B AC BAC 40 所以 DAC BAC 20 在Rt ADC中 AD AC cos20 15 0 940 14 1cm 5 2014浙江寧波 17 4分 為解決停車難的問題 在如圖一段長56米的路段開辟停車位 每個車位是長5米 寬2 2米的矩形 矩形的邊與路的邊緣成45 角 那么這個路段最多可以劃出個這樣的停車位 1 4 解析如圖 易知BC 2 2 cos45 2 2 1 54米 CE 5sin45 5 3 5米 則BE BC CE 5 04米 EF 2 2 sin45 2 2 3 14米 56 5 04 3 14 1 50 96 3 14 1 16 1 17 個 故這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位 答案17 6 2018天津 22 10分 如圖 甲 乙兩座建筑物的水平距離BC為78m 從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48 測得底部C處的俯角為58 求甲 乙建筑物的高度AB和DC 結(jié)果取整數(shù) 參考數(shù)據(jù) tan48 1 11 tan58 1 60 解析如圖 過點(diǎn)D作DE AB 垂足為E 則 AED BED 90 由題意可知 BC 78 ADE 48 ACB 58 ABC 90 DCB 90 可得四邊形BCDE為矩形 ED BC 78 DC EB 在Rt ABC中 tan ACB AB BC tan58 78 1 60 125 在Rt AED中 tan ADE AE ED tan48 DC EB AB AE BC tan58 ED tan48 78 1 60 78 1 11 38 答 甲建筑物的高度AB約為125m 乙建筑物的高度DC約為38m 思路分析過點(diǎn)D作DE AB 構(gòu)造直角 ADE和矩形BCDE 通過解直角 ABC和直角 ADE可求出答案 7 2018貴州貴陽 20 10分 如圖 在平行四邊形ABCD中 AE是BC邊上的高 點(diǎn)F是DE的中點(diǎn) AB與AG關(guān)于AE對稱 AE與AF關(guān)于AG對稱 1 求證 AEF是等邊三角形 2 若AB 2 求 AFD的面積 解析 1 證明 AE是BC邊上的高 AEB 90 四邊形ABCD是平行四邊形 AD BC EAD AEB 90 AED是直角三角形 F是ED的中點(diǎn) AF EF FD AE與AF關(guān)于AG對稱 AE AF AE AF EF AEF是等邊三角形 2 由 1 知 AEF是等邊三角形 EFA EAF AEF 60 又 AB與AG關(guān)于AE對稱 AE與AF關(guān)于AG對稱 BAE GAE GAF 30 AG EF 設(shè)垂足為點(diǎn)N B 90 BAE 60 在Rt ABE中 AE ABsinB FD AE 在Rt AEN中 AN AEsin AEN S AFD FD AN 8 2018貴州貴陽 18 8分 如圖 在Rt ABC中 以下是小亮探索與之間關(guān)系的方法 sinA sinB c c 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 在圖 的銳角 ABC中 探索 之間的關(guān)系 并寫出探索過程 解析如圖1 過點(diǎn)A作BC邊上的高AD 圖1 在Rt ABD中 sinB 在Rt ACD中 sinC AD csinB AD bsinC csinB bsinC 同理 如圖2 過點(diǎn)B作AC邊上的高BE 圖2 在Rt ABE中 sinA 在Rt BCE中 sinC BE csinA BE asinC csinA asinC 綜上 9 2018安徽 19 10分 為了測量豎直旗桿AB的高度 某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD 并在地面上水平放置一個平面鏡E 使得B E D在同一水平線上 如圖所示 該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A 此時 AEB FED 在F處測得旗桿頂A的仰角為39 3 平面鏡E的俯角為45 FD 1 8米 問旗桿AB的高度約為多少米 結(jié)果保留整數(shù) 參考數(shù)據(jù) tan39 3 0 82 tan84 3 10 02 解析解法一 由題意知 AEB FED 45 AEF 90 在Rt AEF中 tan AFE tan84 3 在 ABE和 FDE中 ABE FDE 90 AEB FED ABE FDE tan84 3 AB FDtan84 3 1 8 10 02 18 036 18 米 答 旗桿AB的高度約為18米 10分 解法二 作FG AB于點(diǎn)G 由題意知 ABE和 FDE均為等腰直角三角形 AB BE DE FD 1 8 FG DB DE BE AB 1 8 AG AB GB AB FD AB 1 8 在Rt AFG中 tan AFG tan39 3 即 tan39 3 解得AB 18 2 18 米 答 旗桿AB的高度約為18米 10分 思路分析思路一 由題意可確定 AEF 90 從而可推出 ABE FDE 最后由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解 思路二 作FG AB于點(diǎn)G 由題意可推出 ABE和 FDE均為等腰直角三角形 在直角三角形AFG中由銳角三角函數(shù)求出AB 10 2018湖北武漢 23 10分 在 ABC中 ABC 90 1 如圖1 分別過A C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線 垂足分別為M N 求證 ABM BCN 2 如圖2 P是邊BC上一點(diǎn) BAP C tan PAC 求tanC的值 3 如圖3 D是邊CA延長線上一點(diǎn) AE AB DEB 90 sin BAC 直接寫出tan CEB的值 解析 1 證明 M N ABC 90 MAB MBA NBC MBA 90 MAB NBC ABM BCN 2 過點(diǎn)P作PM AP交AC于點(diǎn)M 過點(diǎn)M作MN PC交BC于點(diǎn)N 則 PMN APB tan PAC 設(shè)PN 2t 則AB t BAP APB MPC APB 90 BAP C MPC C CN PN 2t 易得 ABP CBA AB2 BP BC t 2 BP BP 4t BP t BC 5t tanC 3 在Rt ABC中 sin BAC tan BAC 過點(diǎn)A作AG BE于點(diǎn)G 過點(diǎn)C作CH BE交EB的延長線于點(diǎn)H DEB 90 CH AG DE 同 1 的方法得 ABG BCH 設(shè)BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n GH BG BH 4m 3n AB AE AG BE EG BG 4m n 2m EH EG GH 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在Rt CEH中 tan CEB 思路分析 1 利用同角的余角相等判斷出 MAB NBC 即可得出結(jié)論 2 作PM AP MN PC 先判斷出 PMN APB 得出 設(shè)PN 2t 則AB t 再判斷出 ABP CBA 設(shè)PN 2t 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得BP t 則BC 5t 即可得出結(jié)論 3 作AG BE CH BE 先判斷出 同 1 的方法得 ABG BCH 所以 設(shè)BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n 進(jìn)一步得出關(guān)于m n的等式 解得n 2m 最后得出結(jié)論 方法指導(dǎo)幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法 本題涉及的相似三角形 要尋找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征 根據(jù)特征尋方法 11 2018重慶 10 4分 如圖 旗桿及升旗臺的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上 旗桿與地面垂直 在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角 AED 58 升旗臺底部到教學(xué)樓底部的距離DE 7米 升旗臺坡面CD的坡度i 1 0 75 坡長CD 2米 若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC 1米 則旗桿AB的高度約為 參考數(shù)據(jù) sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 6 A 12 6米B 13 1米C 14 7米D 16 3米 答案B如圖 延長AB交ED的延長線于M 作CJ DM于J 則四邊形BMJC是矩形 在Rt CJD中 設(shè)CJ 4k DJ 3k k 0 已知CD 2 則有9k2 16k2 4 解得k BM CJ DJ 又 BC MJ 1 EM MJ DJ DE 在Rt AEM中 tan AEM tan58 1 6 解得AB 13 1 米 故選B 思路分析延長AB交ED的延長線于M 作CJ DM于J 則四邊形BMJC是矩形 在Rt CJD中求出CJ DJ的長 再根據(jù)tan AEM 即可解決問題 方法總結(jié)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 正確畫出圖形 找到直角三角形 根據(jù)題目中的已知條件 將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題 畫出平面幾何圖形 弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 若圖中有直角三角形 根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計算即可 若圖中沒有直角三角形 可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決 12 2018河南 20 9分 高低杠 是女子體操特有的一個競技項目 其比賽器材由高 低兩根平行杠及若干支架組成 運(yùn)動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高 低兩杠間的距離 某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題 請你解答 如圖所示 底座上A B兩點(diǎn)間的距離為90cm 低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長為155cm 高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長為234cm 已知低杠的支架AC與直線AB的夾角 CAE為82 4 高杠的支架BD與直線AB的夾角 DBF為80 3 求高 低杠間的水平距離CH的長 結(jié)果精確到1cm 參考數(shù)據(jù) sin82 4 0 991 cos82 4 0 132 tan82 4 7 500 sin80 3 0 983 cos80 3 0 168 tan80 3 5 850 解析在Rt CAE中 AE 20 7 3分 在Rt DBF中 BF 40 6分 EF AE AB BF 20 7 90 40 150 7 151 四邊形CEFH為矩形 CH EF 151 即高 低杠間的水平距離CH的長約是151cm 9分 思路分析根據(jù)Rt CAE和Rt DBF中的邊和角的數(shù)值 用正切函數(shù)分別求得AE BF的長度 得EF AE AB BF 由矩形的性質(zhì)可知CH EF 可以求出問題的答案 方法總結(jié)解直角三角形的應(yīng)用問題 一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 結(jié)合所給的線段或角 借助邊角關(guān)系 三角函數(shù)的定義解題 若幾何圖形中無直角三角形 則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形 再解直角三角形 求出實(shí)際問題的答案 13 2018湖北黃岡 21 7分 如圖 在大樓AB正前方有一斜坡CD 坡角 DCE 30 樓高AB 60米 在斜坡下的點(diǎn)C處測得樓頂B的仰角為60 在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45 其中點(diǎn)A C E在同一直線上 1 求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值 2 求斜坡CD的長度 解析 1 在Rt ABC中 AB 60米 ACB 60 AC 20米 2 過點(diǎn)D作DF AB于點(diǎn)F 則四邊形AEDF為矩形 AF DE DF AE 設(shè)CD x米 在Rt CDE中 DE x米 CE x米 在Rt BDF中 BDF 45 BF DF AB AF 米 DF AE AC CE 20 x 60 x 解得x 80 120 即CD 80 120 米 14 2018山西 19 8分 祥云橋位于省城太原南部 該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成 全橋共設(shè)13對直線型斜拉索 造型新穎 是 三晉大地 的一種象征 某數(shù)學(xué) 綜合與實(shí)踐 小組的同學(xué)把 測量斜拉索頂端到橋面的距離 作為一項課題活動 他們制訂了測量方案 并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實(shí)地測量 測量結(jié)果如下表 1 請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù) 求斜拉索端點(diǎn)C到AB的距離 參考數(shù)據(jù) sin38 0 6 cos38 0 8 tan38 0 8 sin28 0 5 cos28 0 9 tan28 0 5 2 該小組要寫出一份完整的課題活動報告 除上表的項目外 你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項目 寫出一個即可 解析 1 如圖 過點(diǎn)C作CD AB于點(diǎn)D 1分 設(shè)CD x米 在Rt ADC中 ADC 90 A 38 tan38 AD x 2分 在Rt BDC中 BDC 90 B 28 tan28 BD 2x 3分 AD BD AB 234 x 2x 234 5分 解得x 72 6分 答 斜拉索端點(diǎn)C到AB的距離為72米 7分 2 答案不唯一 還需要補(bǔ)充的項目可為測量工具 計算過程 人員分工 指導(dǎo)教師 活動感受等 8分 15 2018江西 19 8分 圖1是一種折疊門 由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成 整個活頁門的右軸固定在門框上 通過推動左側(cè)活頁門開關(guān) 圖2是其俯視簡化示意圖 已知軌道AB 120cm 兩扇活頁門的寬OC OB 60cm 點(diǎn)B固定 當(dāng)點(diǎn)C在AB上左右運(yùn)動時 OC與OB的長度不變 所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位 1 若 OBC 50 求AC的長 2 當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60cm時 求O在此過程中運(yùn)動的路徑長 參考數(shù)據(jù) sin50 0 77 cos50 0 64 tan50 1 19 取3 14 解析 1 如圖 過點(diǎn)O作OD AB于點(diǎn)D 在Rt OBD中 BD OB cos OBD 60 cos50 60 0 64 38 4 cm OC OB BC 2BD AC AB BC 120 2 38 4 43 2 cm 2 如圖 AB 120cm AC 60cm BC AB AC 60cm OC OB 60cm BC OC OB OBC為等邊三角形 OBC 60 點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為 點(diǎn)O運(yùn)動的路徑長為 20 62 8 cm 思路分析 1 過點(diǎn)O作OD AB于點(diǎn)D 先根據(jù) OBC的余弦求出BD 然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得BC 進(jìn)而求得AC的長 2 點(diǎn)O運(yùn)動路徑是以點(diǎn)B為圓心 OB長為半徑的圓弧 先確定當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60cm后 OBC的大小 進(jìn)而利用弧長公式求出結(jié)果 解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 正確理解點(diǎn)O的運(yùn)動路徑 16 2018云南昆明 19 7分 小婷在放學(xué)路上 看到隧道上方有一塊宣傳 中國 南亞博覽會 的豎直標(biāo)語牌CD 她在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42 測得隧道底端B處的俯角為30 B C D在同一條直線上 AB 10m 隧道高6 5m 即BC 6 5m 求標(biāo)語牌CD的長 結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位 參考數(shù)據(jù) sin42 0 67 cos42 0 74 tan42 0 90 1 73 解析如圖 過點(diǎn)A作AE BD于點(diǎn)E 1分 由題意得 DAE 42 EAB 30 在Rt ABE中 AEB 90 AB 10 EAB 30 BE AB 10 5 2分 cos EAB AE AB cos30 10 5 4分 在Rt DEA中 DEA 90 DAE 42 tan DAE DE AE tan42 5 0 90 5分 CD BE ED BC 5 6 5 6 3 m 6分 答 標(biāo)語牌CD的長約為6 3m 7分 思路分析作AE BD于點(diǎn)E 構(gòu)造直角 DEA和直角 ABE 解直角 DEA和直角 ABE 求得BE DE的長 進(jìn)而可求出CD的長度 方法總結(jié)解直角三角形的應(yīng)用問題時 一般根據(jù)題意抽象地畫出幾何圖形 結(jié)合所給的線段或角 借助邊角關(guān)系 銳角三角函數(shù)的定義解題 若幾何圖形中無直角三角形 則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形 再解直角三角形 求出實(shí)際問題的答案 17 2017天津 22 10分 本小題10分 如圖 一艘海輪位于燈塔P的北偏東64 方向 距離燈塔120海里的A處 它沿正南方向航行一段時間后 到達(dá)位于燈塔P的南偏東45 方向上的B處 求BP和BA的長 結(jié)果取整數(shù) 參考數(shù)據(jù) sin64 0 90 cos64 0 44 tan64 2 05 取1 414 解析如圖 過點(diǎn)P作PC AB 垂足為C 由題意可知 A 64 B 45 PA 120 在Rt APC中 sinA cosA PC PA sinA 120 sin64 AC PA cosA 120 cos64 在Rt BPC中 sinB tanB BP 153 海里 BC PC 120 sin64 BA BC AC 120 sin64 120 cos64 120 0 90 120 0 44 161 海里 答 BP的長約為153海里 BA的長約為161海里 思路分析在Rt APC中 利用 A的三角函數(shù)求出PC和AC 在Rt PCB中利用 B的三角函數(shù)求出BC和PB即可解決問題 解題關(guān)鍵解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 正確畫出圖形 找準(zhǔn)三角形 18 2017貴州貴陽 20 8分 貴陽市某消防支隊在一幢居民樓前進(jìn)行消防演習(xí) 如圖所示 消防官兵利用云梯成功救出在C處的求救者后 發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者 消防官兵立刻升高云梯將其救出 已知點(diǎn)A與居民樓的水平距離是15米 且在A點(diǎn)測得第一次施救時云梯與水平線的夾角 CAD 60 求第二次施救時云梯與水平線的夾角 BAD的度數(shù) 結(jié)果精確到1 解析如圖 延長AD 交BC所在的直線于點(diǎn)E 由題意 得BC 17米 AE 15米 CAE 60 AEB 90 在Rt ACE中 tan CAE CE AEtan60 15 米 在Rt ABE中 tan BAE BAE 71 答 第二次施救時云梯與水平線的夾角 BAD的度數(shù)約為71 19 2017安徽 17 8分 如圖 游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā) 沿A B D的路線可至山頂D處 假設(shè)AB和BD都是直線段 且AB BD 600m 75 45 求DE的長 參考數(shù)據(jù) sin75 0 97 cos75 0 26 1 41 解析在Rt BDF中 由sin 可得 DF BD sin 600 sin45 600 300 423 m 3分 在Rt ABC中 由cos 可得 BC AB cos 600 cos75 600 0 26 156 m 6分 所以DE DF EF DF BC 423 156 579 m 8分 20 2017河南 19 9分 如圖所示 我國兩艘海監(jiān)船A B在南海海域巡航 某一時刻 兩船同時收到指令 立即前往救援遇險拋錨的漁船C 此時 B船在A船的正南方向5海里處 A船測得漁船C在其南偏東45 方向 B船測得漁船C在其南偏東53 方向 已知A船的航速為30海里 小時 B船的航速為25海里 小時 問C船至少要等待多長時間才能得到救援 參考數(shù)據(jù) sin53 cos53 tan53 1 41 解析過點(diǎn)C作CD AB交AB延長線于點(diǎn)D 則 CDA 90 1分 已知 CAD 45 設(shè)CD x海里 則AD CD x海里 BD AD AB x 5 海里 3分 在Rt BDC中 CD BD tan53 即x x 5 tan53 x 20 6分 BC 20 25海里 B船到達(dá)C船處約需時間 25 25 1 小時 7分 在Rt ADC中 AC x 1 41 20 28 2海里 A船到達(dá)C船處約需時間 28 2 30 0 94 小時 8分 而0 94 1 所以C船至少要等待0 94小時才能得到救援 9分 解題技巧本題是解三角形兩種典型問題中的一種 以下介紹兩種典型問題 1 如圖 當(dāng)BC a時 設(shè)AD x 則CD BD CD BD a a x 2 如圖 當(dāng)BC a時 設(shè)AD x 則BD CD CD BD a a x 21 2015江蘇南京 23 8分 如圖 輪船甲位于碼頭O的正西方向A處 輪船乙位于碼頭O的正北方向C處 測得 CAO 45 輪船甲自西向東勻速行駛 同時輪船乙沿正北方向勻速行駛 它們的速度分別為45km h和36km h 經(jīng)過0 1h 輪船甲行駛至B處 輪船乙行駛至D處 測得 DBO 58 此時B處距離碼頭O有多遠(yuǎn) 參考數(shù)據(jù) sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 60 解析設(shè)B處距離碼頭Oxkm 在Rt CAO中 CAO 45 tan CAO CO AO tan CAO 45 0 1 x tan45 4 5 x 2分 在Rt DBO中 DBO 58 tan DBO DO BO tan DBO x tan58 4分 DC DO CO 36 0 1 x tan58 4 5 x x 13 5 因此 B處距離碼頭O大約13 5km 8分 22 2015重慶 24 10分 某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD 其中AB CD 大壩頂上有一錡望臺PC PC正前方有兩艘漁船M N 觀察員在錡望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角 為31 漁船N的俯角 為45 已知MN所在直線與PC所在直線垂直 垂足為E 且PE長為30米 1 求兩漁船M N之間的距離 結(jié)果精確到1米 2 已知壩高24米 壩長100米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 為提高大壩防洪能力 請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固 壩底BA加寬后變?yōu)锽H 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 施工隊施工10天后 為盡快完成加固任務(wù) 施工隊增加了機(jī)械設(shè)備 工作效率提高到原來的2倍 結(jié)果比原計劃提前20天完成加固任務(wù) 施工隊原計劃平均每天填筑土石方多少立方米 參考數(shù)據(jù) tan31 0 60 sin31 0 52 解析 1 由題意得 E 90 PME 31 PNE 45 PE 30米 在Rt PEN中 PE NE 30 米 2分 在Rt PEM中 tan31 ME 50 米 4分 MN ME NE 50 30 20 米 答 兩漁船M N之間的距離約為20米 5分 2 過點(diǎn)D作DG AB于G 壩高DG 24米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 DG AG 1 0 25 AG 6 米 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 DG GH 1 1 75 GH 42 米 AH GH GA 42 6 36 米 6分 S ADH AH DG 36 24 432 平方米 需要填筑土石方432 100 43200 立方米 7分 設(shè)施工隊原計劃平均每天填筑土石方x立方米 根據(jù)題意 得10 20 9分 解方程 得x 864 經(jīng)檢驗(yàn) x 864是原方程的根且符合題意 答 施工隊原計劃平均每天填筑土石方864立方米 10分 23 2014浙江寧波 21 8分 如圖 從A地到B地的公路需經(jīng)過C地 圖中AC 10千米 CAB 25 CBA 37 因城市規(guī)劃的需要 將在A B兩地之間修建一條筆直的公路 1 求改直后的公路AB的長 2 問公路改直后比原來縮短了多少千米 sin25 0 42 cos25 0 91 sin37 0 60 tan37 0 75 解析 1 作CH AB于點(diǎn)H 在Rt ACH中 1分 CH AC sin CAB AC sin25 10 0 42 4 2 千米 2分 AH AC cos CAB AC cos25 10 0 91 9 1 千米 3分 在Rt BCH中 BH CH tan37 4 2 0 75 5 6 千米 4分 AB AH BH 9 1 5 6 14 7 千米 5分 2 在Rt BCH中 BC CH sin37 4 2 0 60 7 0 千米 6分 AC BC AB 10 7 14 7 2 3 千米 答 改直后比原來縮短了2 3千米 8分 24 2014安徽 18 8分 如圖 在同一平面內(nèi) 兩條平行高速公路l1和l2間有一條 Z 型道路連通 其中AB段與高速公路l1成30 角 長為20km BC段與AB CD段都垂直 長為10km CD段長為30km 求兩高速公路間的距離 結(jié)果保留根號 解析如圖 過點(diǎn)A作AB的垂線交DC的延長線于點(diǎn)E 過點(diǎn)E作l1的垂線與l1 l2分別交于點(diǎn)H F 則HF l2 由題意知AB BC BC CD 又AE AB 四邊形ABCE為矩形 AE BC AB EC 2分 DE DC CE DC AB 50 又AB與l1成30 角 EDF 30 EAH 60 在Rt DEF中 EF DE sin30 50 25 5分 在Rt AEH中 EH AE sin60 10 5 所以HF EF HE 25 5 答 兩高速公路間的距離為 25 5 km 8分 考點(diǎn)一銳角三角函數(shù) 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 1 2018北京燕山一模 6 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD是AB邊上的中線 AC 8 BC 6 則 ACD的正切值是 A B C D 答案D ACB 90 CD是AB邊上的中線 AD CD ACD A tan ACD tan A 2 2017北京西城一模 7 如圖 小明在地面上放了一個平面鏡 選擇合適的位置 剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部 此時小明與平面鏡的水平距離為2m 旗桿底部與平面鏡的水平距離為16m 若小明的眼睛與地面的距離為1 5m 則旗桿的高度為 單位 m A B 9C 12D 答案C如圖 由題意得 DE 12m 故選C 思路分析通過讀題 首先要標(biāo)清邊角條件 并借助解直角三角形的相關(guān)知識來解題 解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要明確平面鏡的性質(zhì) 從而得到反射角等于入射角 進(jìn)而才能借助解直角三角形或相似的相關(guān)知識來解決 3 2016北京延慶一模 6 如圖 在4 4的正方形網(wǎng)格中 tan 的值等于 A 2B C D 答案A如圖 設(shè)每個小正方形邊長為1 則AB 2 CB 1 tan 2 故選A 考點(diǎn)二解直角三角形 1 2018北京海淀二模 6 我國古代有一種通過測量日影長度來確定時間的儀器 稱為圭表 下圖是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表 其中 立柱AC的高為a 已知 冬至?xí)r北京的正午日光入射角 ABC約為26 5 則立柱根部與圭表的冬至線的距離 即BC的長 約為 A asin26 5 B C acos26 5 D 答案B tan ABC BC 故選B 2 2017北京平谷一模 6 某商場一樓與二樓之間的手扶電梯如圖所示 其中AB CD分別表示一樓 二樓地面的水平線 ABC 150 BC的長是8m 則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是 A 4mB 8mC mD 4m 答案D ABC 150 CBE 30 h BC 8 4m 故選D 3 2016北京懷柔二模 8 如圖 在地面上的點(diǎn)A處測得樹頂B的仰角為 AC 7米 則樹高BC為 A 7sin 米B 7cos 米C 7tan 米D 7 米 答案C tan BC tan AC 7tan 米 故選C 4 2018北京平谷二模 14 如圖 一名滑雪運(yùn)動員沿著傾斜角為34 的斜坡從A滑行至B 已知AB 500米 則這名滑雪運(yùn)動員的高度下降了約米 參考數(shù)據(jù) sin34 0 56 cos34 0 83 tan34 0 67 答案280 解析AC AB sin34 500 0 56 280米 5 2017北京豐臺二模 13 某中學(xué)初三年級的學(xué)生開展測量物體高度的實(shí)踐活動 他們要測量一幢建筑物AB的高度 如圖 他們先在點(diǎn)C處測得建筑物AB的頂點(diǎn)A的仰角為30 然后向建筑物AB前進(jìn)10m到達(dá)點(diǎn)D處 又測得點(diǎn)A的仰角為60 那么建筑物AB的高度是m 答案5 解析 ABC 90 DAB 30 CAB 60 CAD 30 AD CD 10m AB AD sin60 10 5m 6 2017北京豐臺一模 23 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 DE AC于點(diǎn)E 且AE CE DE 5 EB 12 1 求AD的長 2 若 CAB 30 求四邊形ABCD的周長 解析 1 ABC 90 AE CE EB 12 EB AE CE 12 DE AC DE 5 在Rt ADE中 由勾股定理得AD 13 2 在Rt ABC中 CAB 30 AC AE CE 24 BC 12 AB AC cos30 12 DE AC AE CE AD DC 13 四邊形ABCD的周長為AB BC CD AD 38 12 7 2016北京延慶一模 24 如圖 甲船在港口P的南偏西60 方向 距港口86海里的A處 沿AP方向以每小時15海里的速度勻速駛向港口P 乙船從港口P出發(fā) 沿南偏東45 方向勻速駛離港口P 現(xiàn)兩船同時出發(fā) 2小時后乙船在甲船的正東方向 求乙船的航行速度 結(jié)果精確到個位 參考數(shù)據(jù) 1 414 1 732 2 236 解析依題意 設(shè)乙船的航行速度為每小時x海里 2小時后甲船在點(diǎn)B處 乙船在點(diǎn)C處 則PC 2x 過P作PD BC于D BP 86 2 15 56 在Rt PDB中 PDB 90 BPD 60 PD PB cos60 28 在Rt PDC中 PDC 90 DPC 45 PD PC cos45 2x x x 28 即x 14 20 答 乙船的航行速度為每小時20海里 一 選擇題 每小題3分 共6分 B組2016 2018年模擬 提升題組 時間 35分鐘分值 40分 1 2017北京海淀二模 10 利用量角器可以制作 銳角正弦值速查卡 制作方法如下 如圖 設(shè)OA 1 以O(shè)為圓心 分別以0 05 0 1 0 15 0 2 0 9 0 95為半徑作半圓 再以O(shè)A為直徑作 M 利用 銳角正弦值速查卡 可以讀出相應(yīng)銳角正弦的近似值 例如 sin60 0 87 sin45 0 71 下列角度中正弦值最接近0 94的是 答案A通過量角器可以發(fā)現(xiàn) 圓和度數(shù)的交點(diǎn)的半圓半徑即相應(yīng)銳角的正弦值的近似值 所以正弦值最接近0 94的是70 故選A A 70 B 50 C 40 D 30 2 2016北京西城一模 9 某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動 采用直升機(jī)航拍技術(shù)拍攝活動盛況 如圖 通過直升機(jī)的鏡頭C觀測水平雪道一端A處的俯角為30 另一端B處的俯角為45 若直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為300米 點(diǎn)A D B在同一直線上 則雪道AB的長度為 A 300米B 150米C 900米D 300 300 米 答案D由題意可知 A 30 B 45 AD 300 tanA 300米 DB CD 300米 AB 300 300 米 故選D 二 填空題 每小題3分 共9分 3 2018北京石景山一模 15 在距辦公樓20m的點(diǎn)B處 用高為0 8m的測角儀測得辦公樓頂點(diǎn)C的仰角為63 則辦公樓CD的高約為m 精確到0 1m sin63 0 89 cos63 0 45 tan63 1 96 答案40 0 解析過點(diǎn)A作AE BD交CD于E tan CAE 1 96 CE 39 2米 CD CE DE 39 2 0 8 40 0米 4 2018北京朝陽二模 11 2017年5月5日我國自主研發(fā)的大型飛機(jī)C919成功首飛 下圖是一種機(jī)翼的示意圖 用含有m n的式子表示AB的長 答案m n n 解析過點(diǎn)C作CE垂直BA 交BA的延長線于點(diǎn)E 則四邊形CFBE為長方形 且長方形的長為m n 寬為n ACE 45 CEA為等腰直角三角形 EA CE n AB的長為m n n 5 2018北京豐臺二模 15 如圖 一輛小汽車與墻平行停放 汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0 8米 小汽車車門的寬AO為1 2米 當(dāng)車門打開的角度 AOB為40 時 車門是否會碰到墻 填 是 或 否 請簡述你的理由 參考數(shù)據(jù) sin40 0 64 cos40 0 77 tan40 0 84 答案否 求出點(diǎn)A到直線OB的距離 通過計算可得 此距離小于0 8 所以車門不會碰到墻 解析過點(diǎn)A作AC OB AC AO sin40 1 2 0 64 0 768 0 8 所以車門不會碰到墻 三 解答題 共25分 6 2018北京朝陽一模 21 如圖 在 ABC中 D是AB邊上任意一點(diǎn) E是BC邊的中點(diǎn) 過點(diǎn)C作AB的平行線 交DE的延長線于點(diǎn)F 連接BF CD 1 求證 四邊形CDBF是平行四邊形 2 若 FDB 30 ABC 45 BC 4 求DF的長 解析 1 證明 CF AB ECF EBD E是BC的中點(diǎn) CE BE CEF BED CEF BED CF BD 四邊形CDBF是平行四邊形 2 如圖 作EM DB于點(diǎn)M 四邊形CDBF是平行四邊形 BC 4 BE BC 2 DF 2DE 在Rt EMB中 EM BE sin ABC 2 在Rt EMD中 DE 2EM 4 DF 8 7 2017北京懷柔二模 21 已知 如圖 在四邊形ABCD中 AB BD AD BC ADB 45 C 60 AB 求四邊形ABCD的周長 解析 AB BD ABD 90 在Rt ABD中 ABD 90 ADB 45 AB DAB 45 DAB ADB AB BD 由勾股定理得AD 2 AD BC ADB DBC 45 過點(diǎn)D作DE BC 交BC于點(diǎn)E DEB DEC 90 在Rt DEB中 DEB 90 DBC 45 BDE 45 sin DBC DBC BDE DE BE DE 在Rt DEC中 DEC 90 C 60 sinC tanC CD 2 CE 1 BC BE CE 1 四邊形ABCD的周長 AB BC CD AD 1 2 2 3 3 8 2017北京門頭溝一模 26 在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐課上 老師出示了這樣一道題 如圖1 在銳角三角形ABC中 A B C所對的邊分別是a b c 請用a c B表示b2 經(jīng)過同學(xué)們的思考 甲同學(xué)說 要將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決 并且不能破壞 B 因此可以經(jīng)過點(diǎn)A 作AD BC于點(diǎn)D 如圖2 大家認(rèn)同 乙同學(xué)說 要想得到b2 要在Rt ABD或Rt ACD中解決 丙同學(xué)說 那就要先求出AD BD 用含c B的三角函數(shù)表示 丁同學(xué)順著他們的思路 求出b2 AD2 DC2 提示 同角的正弦與余弦的平方和為1 請利用丁同學(xué)的結(jié)論解決如下問題 如圖3 在四邊形ABCD中 B D 90 BAD 60 AB 4 AD 5 求AC的長 補(bǔ)全圖形 直接寫出結(jié)果即可 圖3 解析AD c sinB BD c cosB b2 a2 c2 2ac cosB 補(bǔ)全圖形如圖 結(jié)果 AC 2 9 2017北京門頭溝一模 28 已知 ABC AB AC BAC 在BA的延長線上任取一點(diǎn)D 過點(diǎn)D作BC的平行線交CA的延長線于點(diǎn)E 1 當(dāng) BAC 60 時 如圖1 依題意補(bǔ)全圖形 直接寫出EC BC ED的數(shù)量關(guān)系 2 當(dāng) BAC 90 時 如圖2 判斷EC BC ED之間的數(shù)量關(guān)系 并加以證明 3 當(dāng) BAC 時 0 180 請寫出EC BC ED之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題思路 解析 1 補(bǔ)全圖形如圖 數(shù)量關(guān)系 EC BC ED 2 數(shù)量關(guān)系 BC ED EC 過D作DF AC交BC的延長線于F點(diǎn) DF AC ED BC 四邊形EDFC為平行四邊形 ED CF EC DF AB AC ABC ACB ED BC DEC ECB EDB DBC CED BDE AE AD EC BD BD DF DF AC BDF BAC 90 BDF為等腰直角三角形 在Rt BDF中 BF2 BD2 DF2 BC ED 2 2EC2 BC ED EC 3 數(shù)量關(guān)系 BC ED 2EC sin 由 2 可知四邊形EDFC為平行四邊形 BDF為等腰三角形 過D點(diǎn)作DN BC于N點(diǎn) 可得BN BF BDN 在Rt BDN中 sin BDN sin 可得BC ED 2EC sin 10 2016北京東城二模 26 閱讀下列材料 在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后 老師提出一個這樣的問題 如圖1 在Rt ABC中 ACB 90 AB 1 A 求sin2 用含sin cos 的式子表示 聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的 如圖2 取AB的中點(diǎn)O 連接OC 過點(diǎn)C作CD AB于點(diǎn)D 則 COB 2 然后利用銳角三角函數(shù)在Rt ABC中表示出AC BC 在Rt ACD中表示出CD 則可以求出sin2 2sin cos 閱讀以上內(nèi)容 回答下列問題 在Rt ABC中 C 90 AB 1 1 如圖3 若BC 則sin sin2 圖3 2 請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路 求出tan2 的表達(dá)式 用含sin cos 的式子表示 解析 1 sin sin2 2 AC cos BC sin CD sin cos DCB A 在Rt BCD中 BD sin2 OD sin2 tan2