（河北專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 3.4 二次函數(shù)（試卷部分）課件.ppt

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3 4二次函數(shù) 中考數(shù)學(xué) 河北專用 1 2018河北 16 2分 對于題目 一段拋物線L y x x 3 c 0 x 3 與直線l y x 2有唯一公共點 若c為整數(shù) 確定所有c的值 甲的結(jié)果是c 1 乙的結(jié)果是c 3或4 則 A 甲的結(jié)果正確B 乙的結(jié)果正確C 甲 乙的結(jié)果合在一起才正確D 甲 乙的結(jié)果合在一起也不正確 A組2014 2018年河北中考題組 五年中考 答案D拋物線L y x x 3 c 0 x 3 可以看作拋物線y x x 3 0 x 3 沿y軸向上平移c個單位形成的 一段拋物線L y x x 3 c 0 x 3 與直線l y x 2有唯一公共點可以看作直線l y x 2沿y軸向下平移c個單位形成的直線y x 2 c與拋物線y x x 3 0 x 3 有唯一公共點 當(dāng)直線y x 2 c 即l2 經(jīng)過原點時 0 2 c 0 c 2 當(dāng)直線y x 2 c 即l3 經(jīng)過點A 3 0 時 3 2 c 0 c 5 根據(jù)圖象可得當(dāng)2 c 5時 直線y x 2 c與拋物線y x x 3 0 x 3 有唯一公共點 即一段拋物線L y x x 3 c 0 x 3 與直線l y x 2有唯一公共點 顯然c 3 4 5 當(dāng)直線y x 2 c為圖中l(wèi)1時 直線y x 2 c與拋物線y x x 3 0 x 3 有唯一公共點 令 x x 3 x 2 c 得x2 2x 2 c 0 4 4 2 c 0 解得c 1 因此甲 乙的結(jié)果合在一起也不正確 故選D 歸納總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系 就是把抽象的數(shù)學(xué)語言 數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形 位置關(guān)系結(jié)合起來 通過 以形助數(shù) 或 以數(shù)解形 即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合 可以使復(fù)雜問題簡單化 抽象問題具體化 從而起到優(yōu)化解題途徑的目的 2 2014河北 9 3分 某種正方形合金板材的成本y 元 與它的面積成正比 設(shè)邊長為x厘米 當(dāng)x 3時 y 18 那么當(dāng)成本為72元時 邊長為 A 6厘米B 12厘米C 24厘米D 36厘米 答案A設(shè)y kx2 k 0 當(dāng)x 3時 y 18 所以9k 18 即k 2 則y 2x2 當(dāng)y 72時 2x2 72 解得x 6 x 6舍去 故選A 3 2017河北 19 4分 對于實數(shù)p q 我們用符號min p q 表示p q兩數(shù)中較小的數(shù) 如min 1 2 1 因此 min 若min x 1 2 x2 1 則x 答案 2或 1 解析 x2 若min x 1 2 x2 1 顯然x2 1 解得x 1或x 1 舍 當(dāng)x 時 有 x 1 2 x2 若min x 1 2 x2 1 顯然 x 1 2 1 解得x 2或x 0 舍 綜上 x 2或 1 4 2018河北 26 11分 下圖是輪滑場地的截面示意圖 平臺AB距x軸 水平 18米 與y軸交于點B 與滑道y x 1 交于點A 且AB 1米 運動員 看成點 在BA方向獲得速度v米 秒后 從A處向右下飛向滑道 點M是下落路線的某位置 忽略空氣阻力 實驗表明 M A的豎直距離h 米 與飛出時間t 秒 的平方成正比 且t 1時h 5 M A的水平距離是vt米 1 求k 并用t表示h 2 設(shè)v 5 用t表示點M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y 并求y與x的關(guān)系式 不寫x的取值范圍 及y 13時運動員與正下方滑道的豎直距離 3 若運動員甲 乙同時從A處飛出 速度分別是5米 秒 v乙米 秒 當(dāng)甲距x軸1 8米 且乙位于甲右側(cè)超過4 5米的位置時 直接寫出t的值及v乙的范圍 解析 1 由題意 得點A的坐標(biāo)為 1 18 代入y 得18 k 18 設(shè)h at2 a 0 把t 1 h 5代入 得a 5 h 5t2 2 v 5 AB 1 x 5t 1 h 5t2 OB 18 y 5t2 18 由x 5t 1 得t x 1 y x 1 2 18或y x2 x 當(dāng)y 13時 13 x 1 2 18 解得x 6或 4 x 1 只取x 6 把x 6代入y 得y 3 運動員與正下方滑道的豎直距離是13 3 10 米 3 t 1 8 v乙 7 5 注 下面是 3 的一種解法 把y 1 8代入y 5t2 18 得t2 3 24 t 1 8 舍去負(fù)值 從而x 10 甲為 10 1 8 恰好落在滑道y 上 此時乙為 1 1 8v乙 1 8 由題意 得1 1 8v乙 1 5 1 8 4 5 v乙 7 5 思路分析 1 把點A的坐標(biāo)代入y 得出k值 設(shè)h at2 a 0 利用待定系數(shù)法即可求解 2 根據(jù)題意分別用t表示x y 再把t x 1 代入消去t得y與x之間的關(guān)系式 令13 x 1 2 18 解得x 6 舍去負(fù)值 進一步把x 6代入y 求出y 3 最后求得運動員與正下方滑道的豎直距離 3 求出甲距x軸1 8米時的橫坐標(biāo)及用v乙表示的乙距x軸1 8米時的橫坐標(biāo) 根據(jù)題意列出不等式求出乙位于甲右側(cè)超過4 5米的v乙的范圍 解題關(guān)鍵本題是函數(shù)的綜合題 準(zhǔn)確理解題意 梳理所涉及的變量 并熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵 方法指導(dǎo)利用二次函數(shù)解決實際問題 1 根據(jù)題目中直接給出或間接給出的變量關(guān)系得到符合題意的二次函數(shù)解析式 2 二次函數(shù)的應(yīng)用題往往最終轉(zhuǎn)化為計算函數(shù)值或自變量的值來解答 5 2017河北 26 12分 某廠按用戶的月需求量x 件 完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn) 其中x 0 每件的售價為18萬元 每件的成本y 萬元 是基礎(chǔ)價與浮動價的和 其中基礎(chǔ)價保持不變 浮動價與月需求量x 件 成反比 經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn) 月需求量x與月份n n為整數(shù) 1 n 12 符合關(guān)系式x 2n2 2kn 9 k 3 k為常數(shù) 且得到了下表中的數(shù)據(jù) 1 求y與x滿足的關(guān)系式 請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元 2 求k 并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損 3 在這一年12個月中 若第m個月和第 m 1 個月的利潤相差最大 求m 解析 1 由題意設(shè)y a 由表中數(shù)據(jù) 得解得 y 6 3分 由題意 若12 18 則 0 x 0 0 不可能 5分 2 將n 1 x 120代入x 2n2 2kn 9 k 3 得120 2 2k 9k 27 解得k 13 將n 2 x 100代入x 2n2 26n 144也符合 k 13 6分 由題意 得18 6 求得x 50 50 2n2 26n 144 即n2 13n 47 0 13 2 4 1 47 0 方程無實根 不存在 9分 3 第m個月的利潤W x 18 y 18x x 12 x 50 24 m2 13m 47 第 m 1 個月的利潤W 24 m 1 2 13 m 1 47 24 m2 11m 35 若W W W W 48 6 m m取最小1 W W 240最大 若W W W W 48 m 6 m 1 12 m 11 m取最大11 W W 240最大 m 1或11 12分 6 2016河北 26 12分 如圖 拋物線L y x t x t 4 常數(shù)t 0 與x軸從左到右的交點為B A 過線段OA的中點M作MP x軸 交雙曲線y k 0 x 0 于點P 且OA MP 12 1 求k值 2 當(dāng)t 1時 求AB長 并求直線MP與L對稱軸之間的距離 3 把L在直線MP左側(cè)部分的圖象 含與直線MP的交點 記為G 用t表示圖象G最高點的坐標(biāo) 4 設(shè)L與雙曲線有個交點的橫坐標(biāo)為x0 且滿足4 x0 6 通過L位置隨t變化的過程 寫出t的取值范圍 解析 1 設(shè)點P x y 則MP y 由OA的中點為M知OA 2x 代入OA MP 12 得2x y 12 即xy 6 k xy 6 3分 2 當(dāng)t 1時 令y 0 0 x 1 x 3 x1 1 x2 3 由B在A左邊 得B 3 0 A 1 0 AB 4 5分 L的對稱軸為x 1 而M為 MP與L對稱軸之間的距離為 6分 3 A t 0 B t 4 0 L的對稱軸為x t 2 7分 又MP為x 當(dāng)t 2 即t 4時 頂點 t 2 2 就是G的最高點 當(dāng)t 4時 L與MP的交點就是G的最高點 10分 4 5 t 8 或7 t 8 12分 注 如果考生答 5 t 8 給1分 供參考 4 的簡解 對于雙曲線 當(dāng)4 x0 6時 1 y0 即L與雙曲線在C D 6 1 之間的一段有個交點 由 4 t 4 t 4 得t1 5 t2 7 由1 6 t 6 t 4 得t3 8 t4 8 隨著t的逐漸增大 L位置隨著點A t 0 向右平移 如圖所示 當(dāng)t 5時 L右側(cè)過點C 當(dāng)t 8 7時 L右側(cè)過點D 即5 t 8 當(dāng)8 t 7時 L右側(cè)離開了點D 而左側(cè)未到點C 即L與該段無交點 舍去 當(dāng)t 7時 L左側(cè)過點C 當(dāng)t 8 時 L左側(cè)過點D 即7 t 8 思路分析 1 設(shè)點P x y 只要求出xy即可求出k值 2 先求出A B坐標(biāo) 再求出對稱軸以及點M的坐標(biāo)即可求出直線MP與L的對稱軸之間的距離 3 根據(jù)對稱軸的位置即可判斷 當(dāng)對稱軸在直線MP左側(cè)時 L的頂點就是最高點 當(dāng)對稱軸在MP右側(cè)時 L與MP的交點就是最高點 4 畫出圖形求出C D兩點的縱坐標(biāo) 利用方程即可解決問題 解題關(guān)鍵解題的關(guān)鍵是理解題意 正確利用圖象解決問題 7 2015河北 25 11分 如圖 已知點O 0 0 A 5 0 B 2 1 拋物線l y x h 2 1 h為常數(shù) 與y軸的交點為C 1 l經(jīng)過點B 求它的解析式 并寫出此時l的對稱軸及頂點坐標(biāo) 2 設(shè)點C的縱坐標(biāo)為yC 求yC的最大值 此時l上有兩點 x1 y1 x2 y2 其中x1 x2 0 比較y1與y2的大小 3 當(dāng)線段OA被l只分為兩部分 且這兩部分的比是1 4時 求h的值 解析 1 把x 2 y 1代入y x h 2 1 得h 2 l的解析式為y x 2 2 1 或y x2 4x 3 2分 對稱軸為直線x 2 頂點為B 2 1 4分 2 點C的橫坐標(biāo)為0 則yC h2 1 當(dāng)h 0時 yC有最大值 為1 5分 此時 l為y x2 1 對稱軸為y軸 當(dāng)x 0時 y隨著x的增大而減小 x1 x2 0時 y1 y2 7分 3 把線段OA分成1 4兩部分的點為 1 0 或 4 0 把x 1 y 0代入y x h 2 1 得h 0或h 2 但h 2時 線段OA被分為三部分 不合題意 舍去 同樣 把x 4 y 0代入y x h 2 1 得h 5或h 3 舍去 h的值為0或 5 11分 思路分析 1 把點B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式 列出關(guān)于h的方程 可以求得h的值 利用拋物線的解析式得到該圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo) 2 把點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到y(tǒng)C h2 1 則由拋物線的性質(zhì)易得yC的最大值 并可以求得此時拋物線的解析式 根據(jù)拋物線的增減性來判斷y1與y2的大小 3 根據(jù)已知條件 O 0 0 A 5 0 線段OA被l只分為兩部分 且這兩部分的比是1 4 可以推知把線段OA分為兩部分的點的坐標(biāo)分別是 1 0 4 0 由拋物線上點的坐標(biāo)特征可以求得h的值 易錯警示解答第 3 問時 注意對h的值根據(jù)實際意義進行取舍 8 2014河北 24 11分 如圖 2 2網(wǎng)格 每個小正方形的邊長為1 中有A B C D E F G H O九個格點 拋物線l的解析式為y 1 nx2 bx c n為整數(shù) 1 n為奇數(shù) 且l經(jīng)過點H 0 1 和C 2 1 求b c的值 并直接寫出哪個格點是該拋物線的頂點 2 n為偶數(shù) 且l經(jīng)過點A 1 0 和B 2 0 通過計算說明點F 0 2 和H 0 1 是否在該拋物線上 3 若l經(jīng)過這九個格點中的三個 寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數(shù) 解析 1 當(dāng)n為奇數(shù)時 y x2 bx c 點H 0 1 和C 2 1 在該拋物線上 解得 4分 格點E是該拋物線的頂點 5分 2 當(dāng)n為偶數(shù)時 y x2 bx c 點A 1 0 和B 2 0 在該拋物線上 解得 y x2 3x 2 7分 當(dāng)x 0時 y 2 1 點F 0 2 在該拋物線上 而點H 0 1 不在該拋物線上 9分 3 所有滿足條件的拋物線共有8條 11分 注 當(dāng)n為奇數(shù)時 由 1 中的拋物線平移又得3條拋物線 如圖1 當(dāng)n為偶數(shù)時 由 2 中的拋物線平移又得3條拋物線 如圖2 共8條 B組2014 2018年全國中考題組 考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1 2018四川成都 10 3分 關(guān)于二次函數(shù)y 2x2 4x 1 下列說法正確的是 A 圖象與y軸的交點坐標(biāo)為 0 1 B 圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)C 當(dāng)x 0時 y的值隨x值的增大而減小D y的最小值為 3 答案D因為y 2x2 4x 1 2 x 1 2 3 所以 當(dāng)x 0時 y 1 選項A錯誤 該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x 1 選項B錯誤 當(dāng)x 1時 y隨x的增大而減小 選項C錯誤 當(dāng)x 1時 y取得最小值 此時y 3 選項D正確 故選D 思路分析根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) 可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成立 從而解答本題 解題關(guān)鍵解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) 會用配方法求二次函數(shù)的最值 2 2017陜西 10 3分 已知拋物線y x2 2mx 4 m 0 的頂點M關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為M 若點M 在這條拋物線上 則點M的坐標(biāo)為 A 1 5 B 3 13 C 2 8 D 4 20 答案Cy x2 2mx 4 x m 2 m2 4 則頂點M的坐標(biāo)為 m m2 4 M 的坐標(biāo)為 m m2 4 點M 在拋物線上 m2 2m2 4 m2 4 m2 4 m 0 m 2 M 2 8 故選C 思路分析先配方求出拋物線的頂點M的坐標(biāo) 根據(jù)對稱性表示出點M的對稱點M 的坐標(biāo) 由點M 在拋物線上 可將M 的坐標(biāo)代入解析式求出m的值 進而求得點M的坐標(biāo) 3 2017四川綿陽 10 3分 將二次函數(shù)y x2的圖象先向下平移1個單位 再向右平移3個單位 得到的圖象與一次函數(shù)y 2x b的圖象有公共點 則實數(shù)b的取值范圍是 A b 8B b 8C b 8D b 8 答案D由題意可得 y x2的圖象經(jīng)過兩次平移后得到y(tǒng) x 3 2 1的圖象 將 代入 得 x2 8x 8 b 0 因為拋物線與直線有公共點 所以 8 2 4 8 b 4b 32 0 所以b 8 故選D 4 2016遼寧沈陽 10 2分 在平面直角坐標(biāo)系中 二次函數(shù)y x2 2x 3的圖象如圖所示 點A x1 y1 B x2 y2 是該二次函數(shù)圖象上的兩點 其中 3 x1y2C y的最小值是 3D y的最小值是 4 答案D二次函數(shù)y x2 2x 3 x 1 2 4圖象的頂點坐標(biāo)為 1 4 令x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 則二次函數(shù)y x2 2x 3的圖象與x軸的兩個交點為 3 0 1 0 由 3 x1 x2 0及二次函數(shù)的圖象可知 y1 y2的大小關(guān)系不能確定 選項A B錯誤 ymin 4 選項C錯誤 故選D 思路分析根據(jù)拋物線解析式求得拋物線的頂點坐標(biāo) 結(jié)合函數(shù)圖象的增減性進行解答 解題關(guān)鍵解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的對稱性及頂點坐標(biāo)的確定 評析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 難度適中 5 2016天津 12 3分 已知二次函數(shù)y x h 2 1 h為常數(shù) 在自變量x的值滿足1 x 3的情況下 與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5 則h的值為 A 1或 5B 1或5C 1或 3D 1或3 答案B當(dāng)h 3時 二次函數(shù)在x 3處取最小值 此時 3 h 2 1 5 解得h1 5 h2 1 舍去 當(dāng)1 h 3時 二次函數(shù)在x h處取最小值1 不符合題意 當(dāng)h 1時 二次函數(shù)在x 1處取最小值 此時 1 h 2 1 5 解得h1 1 h2 3 舍去 h 1或5 故選B 解題關(guān)鍵本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵 評析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 分類討論思想 解一元二次方程 屬于難題 6 2016河南 13 3分 已知A 0 3 B 2 3 是拋物線y x2 bx c上兩點 該拋物線的頂點坐標(biāo)是 答案 1 4 解析把A 0 3 B 2 3 分別代入y x2 bx c中 得解得 拋物線的解析式為y x2 2x 3 y x2 2x 1 4 x 1 2 4 該拋物線的頂點坐標(biāo)為 1 4 考點二二次函數(shù)與a b c的關(guān)系 1 2018天津 12 3分 已知拋物線y ax2 bx c a b c為常數(shù) a 0 經(jīng)過點 1 0 0 3 其對稱軸在y軸右側(cè) 有下列結(jié)論 拋物線經(jīng)過點 1 0 方程ax2 bx c 2有兩個不相等的實數(shù)根 3 a b 3 其中 正確結(jié)論的個數(shù)為 A 0B 1C 2D 3 答案C 拋物線y ax2 bx c a b c為常數(shù) a 0 經(jīng)過點 1 0 其對稱軸在y軸右側(cè) 拋物線不能經(jīng)過點 1 0 錯誤 拋物線y ax2 bx c a b c為常數(shù) a 0 經(jīng)過點 1 0 0 3 其對稱軸在y軸右側(cè) 拋物線開口向下 與直線y 2有兩個交點 方程ax2 bx c 2有兩個不相等的實數(shù)根 故 正確 拋物線的對稱軸在y軸右側(cè) 0 a0 把點 1 0 0 3 分別代入y ax2 bx c得a b 3 b a 3 a b 3 3 a 0 0 b 3 3 a b 3 故 正確 故選C 思路分析拋物線經(jīng)過點 1 0 其對稱軸在y軸右側(cè) 由對稱性可以判斷 錯誤 由條件得拋物線開口向下 作直線y 2 直線與拋物線有兩個交點 可判斷 正確 根據(jù)拋物線所經(jīng)過的點及對稱軸的位置 可判斷 正確 從而得結(jié)論 解后反思本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 不等式的性質(zhì)等知識 a的符號決定拋物線的開口方向 的符號決定拋物線對稱軸的位置 c的值決定了拋物線與y軸的交點坐標(biāo) 2 2017四川成都 10 3分 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象如圖所示 下列說法正確的是 A abc0B abc 0 b2 4ac 0C abc0 b2 4ac 0 答案B因為拋物線的開口向上 所以a 0 又對稱軸在y軸右側(cè) 所以 0 所以b0 因為拋物線與x軸有兩個交點 所以b2 4ac 0 故選B 思路分析本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系 從拋物線的開口方向 對稱軸 以及與y軸的交點位置來判斷a b c的符號 由拋物線與x軸的交點個數(shù)判斷b2 4ac的符號 3 2015廣西南寧 10 3分 如圖 已知經(jīng)過原點的拋物線y ax2 bx c a 0 的對稱軸為直線x 1 下列結(jié)論中 ab 0 a b c 0 當(dāng) 2 x 0時 y 0 正確的個數(shù)是 A 0個B 1個C 2個D 3個 答案D因為對稱軸為直線x 0 所以 正確 當(dāng)x 1時 y a b c 0 所以 正確 由對稱軸可知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 2 0 0 0 所以 2 x 0時 圖象在x軸下方 即y 0 所以 正確 故選D 4 2017湖北武漢 16 3分 已知關(guān)于x的二次函數(shù)y ax2 a2 1 x a的圖象與x軸的一個交點的坐標(biāo)為 m 0 若2 m 3 則a的取值范圍是 答案 3 a 2或 a 解析把 m 0 代入y ax2 a2 1 x a得 am2 a2 1 m a 0 解得m m1 m2 a 2 m 3 2 3或2 a 3 解得 a 或 3 a 2 思路分析把交點坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式 可得到關(guān)于m的一元二次方程 利用公式法將m用含a的式子表示出來 再根據(jù)2 m 3 解不等式即可 5 2016寧夏 10 3分 若二次函數(shù)y x2 2x m的圖象與x軸有兩個交點 則m的取值范圍是 答案m 1 解析當(dāng)二次函數(shù)y x2 2x m的圖象與x軸有兩個交點時 方程x2 2x m 0有兩個不相等的實數(shù)根 所以 4 4m 0 解得m 1 所以m的取值范圍是m 1 6 2015天津 25 10分 已知二次函數(shù)y x2 bx c b c為常數(shù) 1 當(dāng)b 2 c 3時 求二次函數(shù)的最小值 2 當(dāng)c 5時 若在函數(shù)值y 1的情況下 只有一個自變量x的值與其對應(yīng) 求此時二次函數(shù)的解析式 3 當(dāng)c b2時 若在自變量x的值滿足b x b 3的情況下 與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21 求此時二次函數(shù)的解析式 解析 1 當(dāng)b 2 c 3時 二次函數(shù)的解析式為y x2 2x 3 即y x 1 2 4 當(dāng)x 1時 二次函數(shù)取得最小值 4 2 當(dāng)c 5時 二次函數(shù)的解析式為y x2 bx 5 由題意 得方程x2 bx 5 1 即x2 bx 4 0有兩個相等的實數(shù)根 有 b2 16 0 解得b1 4 b2 4 此時二次函數(shù)的解析式為y x2 4x 5或y x2 4x 5 3 當(dāng)c b2時 二次函數(shù)的解析式為y x2 bx b2 它的圖象是開口向上 對稱軸為x 的拋物線 若 0 則在自變量x的值滿足b x b 3的情況下 與其對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大 故當(dāng)x b時 y b2 b b b2 3b2為最小值 3b2 21 解得b1 舍 b2 若b b 3 即 2 b 0 則當(dāng)x 時 y b b2 b2為最小值 b2 21 解得b1 2 舍 b2 2 舍 若 b 3 即b 2 則在自變量x的值滿足b x b 3的情況下 與其對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小 故當(dāng)x b 3時 y b 3 2 b b 3 b2 3b2 9b 9為最小值 3b2 9b 9 21 即b2 3b 4 0 解得b1 1 舍 b2 4 綜上所述 b 或b 4 此時二次函數(shù)的解析式為y x2 x 7或y x2 4x 16 思路分析 1 把b 2 c 3代入函數(shù)解析式 配方求得二次函數(shù)的最小值 2 根據(jù)當(dāng)c 5時 根據(jù)在函數(shù)值y 1的情況下 只有一個自變量x的值與其對應(yīng) 得到x2 bx 5 1有兩個相等的實數(shù)根 求得b 4 3 當(dāng)c b2時 寫出解析式y(tǒng) x2 bx b2 分三種情況討論得出b值 評析本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識 第 1 問考查最值問題 將第 2 問轉(zhuǎn)化為方程有兩個相等的實數(shù)根問題即可解決 第 3 問考查分類討論的思想方法 屬中等難度題 答案24 解析y 60t t2 t 20 2 600 即t 20時 y取得最大值 即滑行距離達到最大 此時滑行距離是600m 當(dāng)t 16時 y 60 16 162 576 所以最后4s滑行的距離為600 576 24m 2 2017遼寧沈陽 15 3分 某商場購進一批單價為20元的日用商品 如果以單價30元銷售 那么半月內(nèi)可銷售出400件 根據(jù)銷售經(jīng)驗 提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少 且銷售單價每提高1元 銷售量相應(yīng)減少20件 當(dāng)銷售單價是元時 才能在半月內(nèi)獲得最大利潤 答案35 解析設(shè)銷售單價為x元 半月內(nèi)的利潤為y元 由題意知y x 20 400 20 x 30 x 20 1000 20 x 20 x2 1400 x 20000 20 x 35 2 4500 20 0 拋物線開口向下 當(dāng)x 35時 y取得最大值 即銷售單價是35元時 才能在半月內(nèi)獲得最大利潤 3 2014浙江紹興 13 5分 如圖是一座拱橋 當(dāng)水面寬AB為12m時 橋洞頂部離水面4m 已知橋洞的拱形是拋物線 以水平方向為x軸 建立平面直角坐標(biāo)系 若選取點A為坐標(biāo)原點時的拋物線解析式是y x 6 2 4 則選取點B為坐標(biāo)原點時的拋物線解析式是 答案y x 6 2 4 解析若選B點為坐標(biāo)原點 則頂點坐標(biāo)是 6 4 a 不變 則所求拋物線解析式為y x 6 2 4 4 2018安徽 22 12分 小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) 第一期培植盆景與花卉各50盆 售后統(tǒng)計 盆景的平均每盆利潤是160元 花卉的平均每盆利潤是19元 調(diào)研發(fā)現(xiàn) 盆景每增加1盆 盆景的平均每盆利潤減少2元 每減少1盆 盆景的平均每盆利潤增加2元 花卉的平均每盆利潤始終不變 小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆 設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆 第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1 W2 單位 元 1 用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1 W2 2 當(dāng)x取何值時 第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大 最大總利潤是多少 解析 1 W1 50 x 160 2x 2x2 60 x 8000 W2 100 50 x 19 50 x 19 19x 950 6分 2 W W1 W2 2x2 41x 8950 2 x取整數(shù) 當(dāng)x 10時 總利潤W最大 最大總利潤是9160元 12分 思路分析 1 根據(jù)題意分別列出W1 W2關(guān)于x的函數(shù)表達式 2 將二次函數(shù)的解析式配方 根據(jù)x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值 5 2016山東青島 20 8分 如圖 需在一面墻上繪制幾個相同的拋物線型圖案 按照圖中的直角坐標(biāo)系 最左邊的拋物線可以用y ax2 bx a 0 表示 已知拋物線上B C兩點到地面的距離均為m 到墻邊OA的距離分別為m m 1 求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式 并求圖案最高點到地面的距離 2 若該墻的長度為10m 則最多可以連續(xù)繪制幾個這樣的拋物線型圖案 解析 1 由題意可知 B C 代入y ax2 bx得 解得 y x2 2x x 1 2 1 答 該拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y x2 2x 圖案最高點到地面的距離是1m 5分 2 當(dāng)y 0時 x2 2x 0 x1 0 x2 2 10 2 5 個 答 最多可以連續(xù)繪制5個拋物線型圖案 8分 思路分析 1 根據(jù)題意求得B C 用待定系數(shù)法求得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y x2 2x 根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)公式得到結(jié)果 2 令y 0 即 x2 2x 0 解方程得到x1 0 x2 2 即可得到結(jié)論 解題關(guān)鍵本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用 正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵 6 2016湖北武漢 22 10分 某公司計劃從甲 乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售 每年產(chǎn)銷x件 已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表 其中a為常數(shù) 且3 a 5 1 若產(chǎn)銷甲 乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元 y2萬元 直接寫出y1 y2與x的函數(shù)關(guān)系式 2 分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤 3 為獲得最大年利潤 該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品 請說明理由 解析 1 y1 6 a x 20 y2 0 05x2 10 x 40 2分 2 3 a 5 6 a 0 y1隨x的增大而增大 x 200 當(dāng)x 200時 y1取得最大值1180 200a 4分 y2 0 05x2 10 x 40 0 05 x 100 2 460 5分 而 0 05 0 當(dāng)x 100時 y2隨x的增大而增大 x 80 當(dāng)x 80時 y2取得最大值440 綜上 若產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品 最大年利潤為 1180 200a 萬元 若產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品 最大年利潤為440萬元 7分 3 解法一 設(shè)w 1180 200a 440 200a 740 200 0 w隨a的增大而減小 由 200a 740 0 解得a 3 7 9分 3 a 5 當(dāng)3 a3 7 9分 3 a 5 當(dāng)3 a 3 7時 選擇產(chǎn)銷甲種產(chǎn)品 當(dāng)a 3 7時 生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品的利潤相同 當(dāng)3 7 a 5時 選擇產(chǎn)銷乙種產(chǎn)品 10分 評析函數(shù)的應(yīng)用題大多數(shù)以生活情境為背景命題 解答此類問題 應(yīng)在弄懂題意的前提下 建立函數(shù)模型 然后結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及方程 組 不等式的知識解答 考點四二次函數(shù)與幾何知識相結(jié)合的綜合應(yīng)用 1 2016陜西 10 3分 已知拋物線y x2 2x 3與x軸交于A B兩點 將這條拋物線的頂點記為C 連接AC BC 則tan CAB的值為 A B C D 2 答案D不妨設(shè)點A在點B左側(cè) 如圖 作CD AB交AB于點D 當(dāng)y 0時 x2 2x 3 0 解得x1 3 x2 1 所以A 3 0 B 1 0 所以AB 4 因為y x2 2x 3 x 1 2 4 所以頂點C 1 4 所以AD 2 CD 4 所以tan CAB 2 故選D 評析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 求某個角的三角函數(shù)值 屬于容易題 2 2018河南 23 11分 如圖 拋物線y ax2 6x c交x軸于A B兩點 交y軸于點C 直線y x 5經(jīng)過點B C 1 求拋物線的解析式 2 過點A的直線交直線BC于點M 當(dāng)AM BC時 過拋物線上一動點P 不與點B C重合 作直線AM的平行線交直線BC于點Q 若以點A M P Q為頂點的四邊形是平行四邊形 求點P的橫坐標(biāo) 連接AC 當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于 ACB的2倍時 請直接寫出點M的坐標(biāo) 解析 1 直線y x 5交x軸于點B 交y軸于點C B 5 0 C 0 5 拋物線y ax2 6x c過點B C 拋物線的解析式為y x2 6x 5 3分 2 OB OC 5 BOC 90 ABC 45 拋物線y x2 6x 5交x軸于A B兩點 A 1 0 AB 4 AM BC AM 2 PQ AM PQ BC 若以點A M P Q為頂點的四邊形是平行四邊形 則PQ AM 2 過點P作PD x軸交直線BC于點D 則 PDQ 45 PD PQ 4 5分 設(shè)P m m2 6m 5 則D m m 5 分兩種情況討論如下 i 當(dāng)點P在直線BC上方時 PD m2 6m 5 m 5 m2 5m 4 m1 1 舍去 m2 4 7分 ii 當(dāng)點P在直線BC下方時 PD m 5 m2 6m 5 m2 5m 4 m3 m4 綜上 點P的橫坐標(biāo)為4或或 9分 M或 11分 提示 作AC的垂直平分線 交BC于點M1 連接AM1 過點A作AN BC于點N 將 ANM1沿AN翻折 得到 ANM2 點M1 M2的坐標(biāo)即為所求 思路分析 1 求出直線y x 5與坐標(biāo)軸的兩個交點B C的坐標(biāo) 用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式 2 因為 BOC是等腰直角三角形 得 ABC 45 求得AM 2 因為以點A M P Q為頂點的四邊形是平行四邊形 得PQ AM 2 過點P作PD x軸交BC于D 易得PD 4 設(shè)出點P的坐標(biāo) 則 yP yD 4 分類討論 解方程求出點P的坐標(biāo) 3 作線段AC的垂直平分線 交BC于點M1 易得 AM1B 2 ACB 作AN BC于點N 作點M1關(guān)于直線AN的對稱點M2 則 AM2C 2 ACB 分別計算求出兩個點M的坐標(biāo) 疑難突破本題為二次函數(shù)的綜合題 考查知識點較多 難度大 第 1 問是常見的用待定系數(shù)法求拋物線的解析式 第 2 問要用 鉛垂法 由PQ的長得出PD的長 設(shè)出點P的坐標(biāo) 根據(jù)PD 4 分類討論列出方程 解方程求出點P的坐標(biāo) 第 3 問找使直線AM與BC夾角為2 ACB的交點M 依據(jù)是 等腰三角形頂角的外角等于2倍的底角 作AC的垂直平分線確定點M1 得 AM1B 2 ACB 由等腰三角形兩底角 AM2C AM1B 用對稱性確定點M2 分別計算可以求出兩個點M的坐標(biāo) 3 2017陜西 24 10分 在同一直角坐標(biāo)系中 拋物線C1 y ax2 2x 3與拋物線C2 y x2 mx n關(guān)于y軸對稱 C2與x軸交于A B兩點 其中點A在點B的左側(cè) 1 求拋物線C1 C2的函數(shù)表達式 2 求A B兩點的坐標(biāo) 3 在拋物線C1上是否存在一點P 在拋物線C2上是否存在一點Q 使得以AB為邊 且以A B P Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形 若存在 求出P Q兩點的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 解析 1 C1與C2關(guān)于y軸對稱 C1與C2的交點一定在y軸上 且C1與C2的形狀 大小均相同 a 1 n 3 2分 C1的對稱軸為直線x 1 C2的對稱軸為直線x 1 m 2 3分 C1 y x2 2x 3 C2 y x2 2x 3 4分 2 令C2中y 0 則x2 2x 3 0 解之 得x1 3 x2 1 A 3 0 B 1 0 6分 3 存在 設(shè)P a b 則Q a 4 b 或 a 4 b 7分 當(dāng)Q a 4 b 時 得 a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解之 得a 2 b a2 2a 3 4 4 3 5 P1 2 5 Q1 2 5 9分 當(dāng)Q a 4 b 時 得 a2 2a 3 a 4 2 2 a 4 3 解之 得a 2 b 4 4 3 3 P2 2 3 Q2 2 3 綜上所述 所求點的坐標(biāo)為P1 2 5 Q1 2 5 P2 2 3 Q2 2 3 10分 思路分析 1 由于拋物線C1 C2關(guān)于y軸對稱 因此兩條拋物線的交點在y軸上 且C1 C2的形狀 大小均相同 可得a n的值 由C1 C2的對稱軸關(guān)于y軸對稱可得m的值 2 求拋物線與x軸的交點坐標(biāo) 令函數(shù)值y等于0 得到關(guān)于x的一元二次方程 求解即可 3 以AB為邊 且以A B P Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形 則AB與PQ平行且相等 所以P Q兩點的縱坐標(biāo)相等 PQ AB 4 由于點P與點Q的位置不確定 因此要分類討論 解后反思 1 以形定數(shù) 拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)是對應(yīng)的一元二次方程的兩實數(shù)根 以數(shù)定形 求出方程ax2 bx c 0 a 0 的兩實數(shù)根 便得到拋物線y ax2 bx c與x軸交點的橫坐標(biāo) 特別地 一元二次方程ax2 bx c m的解即為二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)y m時的點的橫坐標(biāo) 2 對于存在性問題的探究 一般是假設(shè)存在 按照存在的條件 結(jié)合題中的條件 得出結(jié)論 若得到的結(jié)論與題中的條件矛盾 則假設(shè)不成立 存在性問題一般要分情況討論 C組教師專用題組 考點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1 2018山西 9 3分 用配方法將二次函數(shù)y x2 8x 9化為y a x h 2 k的形式為 A y x 4 2 7B y x 4 2 25C y x 4 2 7D y x 4 2 25 答案By x2 8x 9 x2 8x 16 16 9 x 4 2 25 故選B 2 2017天津 12 3分 已知拋物線y x2 4x 3與x軸相交于點A B 點A在點B左側(cè) 頂點為M 平移該拋物線 使點M平移后的對應(yīng)點M 落在x軸上 點B平移后的對應(yīng)點B 落在y軸上 則平移后的拋物線解析式為 A y x2 2x 1B y x2 2x 1C y x2 2x 1D y x2 2x 1 答案A令y 0 則x2 4x 3 0 解得x1 1 x2 3 A 1 0 B 3 0 y x2 4x 3 x 2 2 1 點M的坐標(biāo)為 2 1 平移該拋物線 使點M平移后的對應(yīng)點M 落在x軸上 點B平移后的對應(yīng)點B 落在y軸上 拋物線向上平移了1個單位長度 向左平移了3個單位長度 平移后的拋物線解析式為y x 1 2 x2 2x 1 故選A 解題關(guān)鍵正確得出平移的方向和距離是解題的關(guān)鍵 3 2017江蘇蘇州 8 3分 若二次函數(shù)y ax2 1的圖象經(jīng)過點 2 0 則關(guān)于x的方程a x 2 2 1 0的實數(shù)根為 A x1 0 x2 4B x1 2 x2 6C x1 x2 D x1 4 x2 0 答案A把 2 0 代入二次函數(shù)解析式y(tǒng) ax2 1中 解得a 把a 代入a x 2 2 1 0 解得x1 0 x2 4 思路分析根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式求出二次項系數(shù) 然后解方程即可 一題多解本題還可以利用二次函數(shù)圖象的對稱性來解決 因為二次函數(shù)y ax2 1的圖象關(guān)于y軸對稱 且過點 2 0 所以過點 2 0 因為y a x 2 2 1的圖象是由二次函數(shù)y ax2 1的圖象向右平移兩個單位得到的 故函數(shù)y a x 2 2 1的圖象過點 0 0 4 0 所以方程a x 2 2 1 0的解是x1 0 x2 4 4 2016山東臨沂 13 3分 二次函數(shù)y ax2 bx c 自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表 下列說法正確的是 A 拋物線的開口向下B 當(dāng)x 3時 y隨x的增大而增大C 二次函數(shù)的最小值是 2D 拋物線的對稱軸是直線x 答案D由題表中數(shù)據(jù)可求得二次函數(shù)的解析式為y x2 5x 4 即y 故拋物線的開口向上 對稱軸是直線x 二次函數(shù)的最小值是 當(dāng)x 時 y隨x的增大而增大 當(dāng)x 時 y隨x的增大而減小 故選D 思路分析選出三點的坐標(biāo) 利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式 再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項分析四個選項即可得出結(jié)論 解題關(guān)鍵本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) 解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式 5 2015遼寧沈陽 8 3分 在平面直角坐標(biāo)系中 二次函數(shù)y a x h 2 a 0 的圖象可能是 答案D二次函數(shù)y a x h 2 a 0 的圖象的頂點坐標(biāo)為 h 0 由于該點的縱坐標(biāo)為0 所以該點在x軸上 符合這一條件的圖象只有D 故選D 6 2016黑龍江哈爾濱 16 3分 二次函數(shù)y 2 x 3 2 4的最小值為 答案 4 解析二次函數(shù)y 2 x 3 2 4的最小值為 4 7 2017江西 22 9分 已知拋物線C1 y ax2 4ax 5 a 0 1 當(dāng)a 1時 求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)及對稱軸 2 試說明無論a為何值 拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點 并求出這兩個定點的坐標(biāo) 將拋物線C1沿這兩個定點所在直線翻折 得到拋物線C2 直接寫出C2的表達式 3 若 2 中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2 求a的值 備用圖 8 2014山東泰安 29 12分 二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象經(jīng)過點 1 4 且與直線y x 1相交于A B兩點 如圖 A點在y軸上 過點B作BC x軸 垂足為點C 3 0 1 求二次函數(shù)的表達式 2 點N是二次函數(shù)圖象上一點 點N在AB上方 過N作NP x軸 垂足為點P 交AB于點M 求MN的最大值 3 在 2 的條件下 點N在何位置時 BM與NC相互垂直平分 并求出所有滿足條件的N點的坐標(biāo) 解析 1 由題設(shè)可知A 0 1 B 根據(jù)題意得解得則二次函數(shù)的表達式是y x2 x 1 2 設(shè)N 則M P點的坐標(biāo)分別是 x 0 MN PN PM x2 x 1 x2 x 則當(dāng)x 時 MN取得最大值 3 連接CM BN BM與NC互相垂直平分 四邊形BCMN是菱形 BC MN MN BC 且BC MC 即 x2 x 且 解得x 1 故當(dāng)N 1 4 時 BM和NC互相垂直平分 考點二二次函數(shù)與a b c的關(guān)系 1 2018湖北黃岡 6 3分 當(dāng)a x a 1時 函數(shù)y x2 2x 1的最小值為1 則a的值為 A 1B 2C 0或2D 1或2 答案Dy x2 2x 1 x 1 2 當(dāng)a 1時 函數(shù)y x2 2x 1在a x a 1內(nèi) y隨x的增大而增大 其最小值為a2 2a 1 則a2 2a 1 1 解得a 2或a 0 舍去 當(dāng)a 1 1 即a 0時 函數(shù)y x2 2x 1在a x a 1內(nèi) y隨x的增大而減小 其最小值為 a 1 2 2 a 1 1 a2 則a2 1 解得a 1或a 1 舍去 當(dāng)0 a 1時 函數(shù)y x2 2x 1在x 1處取得最小值 最小值為0 不合題意 綜上 a的值為 1或2 故選D 2 2017甘肅蘭州 5 4分 下表是一組二次函數(shù)y x2 3x 5的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值 那么方程x2 3x 5 0的一個近似根是 A 1B 1 1C 1 2D 1 3 答案C由表格中的數(shù)據(jù)可以看出最接近于0的數(shù)是0 04 它對應(yīng)的x的值是1 2 故方程x2 3x 5 0的一個近似根是1 2 故選C 答案A 二次函數(shù)y a x 4 2 4 a 0 的圖象在2 x 3這一段位于x軸的下方 在6 x 7這一段位于x軸的上方 當(dāng)x 時 二次函數(shù)y a x 4 2 4 a 0 的圖象位于x軸的下方 當(dāng)x 時 二次函數(shù)y a x 4 2 4 a 0 的圖象位于x軸的上方 a 結(jié)合各選項知a的值為1 故選A 3 2015浙江寧波 11 4分 二次函數(shù)y a x 4 2 4 a 0 的圖象在2 x 3這一段位于x軸的下方 在6 x 7這一段位于x軸的上方 則a的值為 A 1B 1C 2D 2 4 2015內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 已知二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與x軸交于點A 1 0 對稱軸為直線x 1 與y軸的交點B在 0 2 和 0 3 之間 包括這兩點 下列結(jié)論 當(dāng)x 3時 y8a 其中正確的結(jié)論是 A B C D 答案B由已知條件可知a3時 y2 4ac b2 8a 故 錯 正確 故選B 5 2016山東青島 12 3分 已知二次函數(shù)y 3x2 c與正比例函數(shù)y 4x的圖象只有一個交點 則c的值為 答案 解析 二次函數(shù)y 3x2 c與正比例函數(shù)y 4x的圖象只有一個交點 一元二次方程3x2 c 4x 即3x2 4x c 0有兩個相等的實數(shù)根 則有 4 2 4 3c 0 解得c 6 2014湖南株洲 16 3分 如果函數(shù)y a 1 x2 3x 的圖象經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的四個象限 那么a的取值范圍是 答案a 5 解析函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限 需滿足3個條件 1 函數(shù)是二次函數(shù) 因此a 1 0 即a 1 2 二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點 因此 9 4 a 1 4a 11 0 解得a0 解得a 1或a 5 綜上可知 a 5 7 2018云南 20 8分 已知二次函數(shù)y x2 bx c的圖象經(jīng)過A 0 3 B兩點 1 求b c的值 2 二次函數(shù)y x2 bx c的圖象與x軸是否有公共點 若有 求公共點的坐標(biāo) 若沒有 請說明理由 解析 1 二次函數(shù)y x2 bx c的圖象經(jīng)過A 0 3 B兩點 解得 b c 3 4分 2 y x2 bx c x2 x 3 由 x2 x 3 0得x2 6x 16 0 解得x 2或x 8 6分 二次函數(shù)y x2 bx c的圖象與x軸有兩個公共點 公共點的坐標(biāo)為 2 0 8 0 8分 思路分析 1 將A B的坐標(biāo)分別代入解析式 列方程組求得b c 2 由 1 得二次函數(shù)解析式 令y 0 解方程即可 考查內(nèi)容本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其與一元二次方程的關(guān)系 熟練地解方程 組 是解決本題的關(guān)鍵 8 2018北京 26 6分 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 直線y 4x 4與x軸 y軸分別交于點A B 拋物線y ax2 bx 3a經(jīng)過點A 將點B向右平移5個單位長度 得到點C 1 求點C的坐標(biāo) 2 求拋物線的對稱軸 3 若拋物線與線段BC恰有一個公共點 結(jié)合函數(shù)圖象 求a的取值范圍 解析 1 將x 0代入y 4x 4得y 4 B 0 4 點B向右平移5個單位長度得到點C C 5 4 2 將y 0代入y 4x 4得x 1 A 1 0 將點A 1 0 代入拋物線解析式y(tǒng) ax2 bx 3a得0 a b 3a 即b 2a 拋物線的對稱軸為直線x 1 3 拋物線始終過點A 1 0 且對稱軸為直線x 1 由拋物線的對稱性可知拋物線也過點A關(guān)于直線x 1的對稱點 3 0 a 0時 如圖1 圖1將x 5代入拋物線的解析式得y 12a 12a 4 a a 0 且拋物線頂點不在線段BC上時 如圖2 圖2將x 0代入拋物線得y 3a 拋物線與線段BC恰有一個公共點 3a 4 a 若拋物線的頂點在線段BC上 則頂點為 1 4 如圖3 圖3將點 1 4 代入拋物線的解析式得4 a 2a 3a a 1 綜上所述 a 或a 或a 1 思路分析 1 先求B點坐標(biāo) 由B點向右平移5個單位長度確定C點坐標(biāo) 2 確定A點坐標(biāo) 代入拋物線的解析式 利用公式確定對稱軸 3 結(jié)合圖象和拋物線的對稱性解答 解題關(guān)鍵解決本題第 3 問的關(guān)鍵是要先確定題目中拋物線所過的定點 進而通過臨界點求出a的取值范圍 同時不要忽略拋物線頂點是公共點的情況 9 2017江蘇南京 26 8分 已知函數(shù)y x2 m 1 x m m為常數(shù) 1 該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是 A 0B 1C 2D 1或2 2 求證 無論m為何值 該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y x 1 2的圖象上 3 當(dāng) 2 m 3時 求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標(biāo)的取值范圍 解析 1 D 2分 m 1 2 4m m 1 2 0 該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是1或2 2 證明 y x2 m 1 x m 所以該函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為 把x 代入y x 1 2 得y 因此 無論m為何值 該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y x 1 2的圖象上 5分 3 由 2 知 該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標(biāo)為 設(shè)z 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 當(dāng)m 1時 z有最小值0 當(dāng)m 1時 z隨m的增大而增大 又當(dāng)m 2時 z 當(dāng)m 3時 z 4 因此 當(dāng) 2 m 3時 該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標(biāo)的取值范圍是 0 4 8分 思路分析 1 根據(jù)根的判別式 b2 4ac 判斷函數(shù)圖象與x軸公共點的個數(shù) 2 先求頂點坐標(biāo) 將該點橫坐標(biāo)代入y x 1 2得到縱坐標(biāo) 從而得到結(jié)論 3 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進行分類討論 進而求出縱坐標(biāo)的取值范圍 解后反思這是一道二次函數(shù)的綜合題 主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 點是否在二次函數(shù)圖象上等知識點 屬于難題 10 2016北京 27 7分 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 拋物線y mx2 2mx m 1 m 0 與x軸的交點為A B 1 求拋物線的頂點坐標(biāo) 2 橫 縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點 當(dāng)m 1時 求線段AB上整點的個數(shù) 若拋物線在點A B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi) 包括邊界 恰有6個整點 結(jié)合函數(shù)的圖象 求m的取值范圍 解析 1 y mx2 2mx m 1 m x 1 2 1 拋物線的頂點坐標(biāo)為 1 1 2 當(dāng)m 1時 拋物線的表達式為y x2 2x 令y 0 解得x1 0 x2 2 線段AB上整點的個數(shù)為3 當(dāng)拋物線經(jīng)過點 1 0 時 m 當(dāng)拋物線經(jīng)過點 2 0 時 m 結(jié)合函數(shù)的圖象可知 m的取值范圍為 m 11 2016陜西 24 10分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 點O為坐標(biāo)原點 拋物線y ax2 bx 5經(jīng)過點M 1 3 和N 3 5 1 試判斷該拋物線與x軸交點的情況 2 平移這條拋物線 使平移后的拋物線經(jīng)過點A 2 0 且與y軸交于點B 同時滿足以A O B為頂點的三角形是等腰直角三角形 請你寫出平移過程 并說明理由 解析 1 由題意 得解之 得 拋物線的表達式為y x2 3x 5 2分 3 2 4 1 5 9 20 11 0 拋物線與x軸無交點 3分 2 AOB是等腰直角三角形 A 2 0 點B在y軸上 點B的坐標(biāo)為 0 2 或 0 2 5分 設(shè)平移后的拋物線的表達式為y x2 mx n 當(dāng)拋物線過點A 2 0 B1 0 2 時 解之 得 平移后的拋物線為y x2 3x 2 7分 該拋物線頂點坐標(biāo)為 而原拋物線頂點坐標(biāo)為 將原拋物線先向左平移3個單位 再向下平移3個單位即可獲得符合條件的拋物線 8分 當(dāng)拋物線過點A 2 0 B2 0 2 時 解之 得 平移后的拋物線為y x2 x 2 9分 該拋物線頂點坐標(biāo)為 而原拋物線頂點坐標(biāo)為 將原拋物線先向左平移2個單位 再向下平移5個單位即可獲得符合條件的拋物線 10分 思路分析 1 把M N兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a b的值 再根據(jù)一元二次方程根的判別式 可判斷拋物線與x軸的交點情況 2 利用A點坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點的坐標(biāo) 設(shè)出平移后的拋物線的解析式 把A B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式 比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程 評析本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 圖象的平移 屬于中等難度題 考點三二次函數(shù)的實際應(yīng)用 1 2018北京 7 2分 跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一 運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分 運動員起跳后的豎直高度y 單位 m 與水平距離x 單位 m 近似滿足函數(shù)關(guān)系y ax2 bx c a 0 下圖記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù) 根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù) 可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時 水平距離為 A 10mB 15mC 20mD 22 5m 答案B由題圖中給出的點可知 拋物線的最高點的橫坐標(biāo)在0到20之間 若最高點的橫坐標(biāo)為10 由對稱性可知 0 54 0 關(guān)于對稱軸的對稱點為 20 54 0 而54 0 57 9 所以最高點的橫坐標(biāo)大于10 故選B 2 2015浙江金華 8 3分 圖2是圖1中拱形大橋的示意圖 橋拱與橋面的交點為O B 以點O為原點 水平直線OB為x軸 建立平面直角坐標(biāo)系 橋拱可以近似看成拋物線y x 80 2 16 橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面 有AC x軸 若OA 10米 則橋面離水面的高度AC為 A 16米B 米C 16米D 米 答案B把x 10代入y x 80 2 16得 y 故選B 3 2018遼寧沈陽 15 3分 如圖 一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著 并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開 已知籬笆的總長為90