（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.3 解直角三角形（試卷部分）課件.ppt

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6 3解直角三角形 中考數(shù)學(xué) 江蘇專用 考點(diǎn)1銳角三角函數(shù) A組2014 2018年江蘇中考題組 五年中考 1 2018無錫 9 3分 如圖 已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn) 正方形EFGH的頂點(diǎn)G H都在邊AD上 若AB 3 BC 4 則tan AFE的值 A 等于B 等于C 等于D 隨點(diǎn)E位置的變化而變化 答案A EH CD AEH ACD 設(shè)EH 3x AH 4x HG GF 3x 又 EF AD AFE FAG tan AFE tan FAG 故選A 思路分析根據(jù)題意推知EH CD 由該平行線的性質(zhì)推知 AEH ACD 結(jié)合該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和銳角三角函數(shù)的定義解答 解題反思考查了正方形的性質(zhì) 矩形的性質(zhì)以及解直角三角形 此題將求 AFE的正切值轉(zhuǎn)化為求 FAG的正切值來解答 體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想 2 2016無錫 3 3分 sin30 的值為 A B C D 答案Asin30 故選A 3 2017無錫 18 2分 在如圖的正方形方格紙中 每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形 A B C D都在格點(diǎn)處 AB與CD相交于O 則tan BOD的值等于 答案3 解析如圖所示 平移CD到C D 交AB于O 思路分析平移CD 使 BOD的頂點(diǎn)位于格點(diǎn)上 從而構(gòu)造直角三角形求解 解題關(guān)鍵本題考查解直角三角形 解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線 構(gòu)造直角三角形 利用勾股定理和等積法求出正切值 從而解決問題 4 2016南通 14 3分 如圖 在Rt ABC中 CD是斜邊AB上的中線 已知CD 2 AC 3 則cosA 答案 解析 CD為斜邊AB上的中線 AB 2CD 4 在Rt ABC中 cosA 考點(diǎn)2解直角三角形 1 2016蘇州 8 3分 如圖 長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角 ABD為60 為了改善樓梯的安全性能 準(zhǔn)備重新建造樓梯 使其傾斜角 ACD為45 則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為 A 2mB 2mC 2 2 mD 2 2 m 答案B因?yàn)锳D CD 所以 D 90 在Rt ABD中 AD AB sin60 4 2m 在Rt ACD中 AC 2m 故選B 2 2015蘇州 10 3分 如圖 在一筆直的海岸線l上有A B兩個(gè)觀測(cè)站 AB 2km 從A測(cè)得船C在北偏東45 的方向 從B測(cè)得船C在北偏東22 5 的方向 則船C離海岸線l的距離 即CD的長(zhǎng) 為 A 4kmB 2 kmC 2kmD 4 km 答案B如圖 在Rt ABE中 AEB 45 AB EB 2km AE 2km EBC 22 5 ECB AEB EBC 22 5 EBC ECB EB EC 2km AC AE EC 2 2 km 在Rt ADC中 CAD 45 AD DC 2 km 即點(diǎn)C到l的距離為 2 km 故選B 3 2014蘇州 9 3分 如圖 港口A在觀測(cè)站O的正東方向 OA 4km 某船從港口A出發(fā) 沿北偏東15 方向航行一段距離后到達(dá)B處 此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60 的方向 則該船航行的距離 即AB的長(zhǎng) 為 A 4kmB 2kmC 2kmD 1 km 答案C過A作OB邊的垂線AD 垂足為D 易知 BOA 30 BAD 45 在Rt OAD中 AD OAsin DOA 4sin30 2km 在Rt ABD中 AB 2km 故選C 4 2014連云港 6 3分 如圖 若 ABC和 DEF的面積分別為S1 S2 則 A S1 S2B S1 S2C S1 S2D S1 S2 答案C過點(diǎn)A作AM BC于點(diǎn)M 過點(diǎn)D作DN EF交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N S1 BC AM 8 5 sin40 S2 EF DN 5 8 sin40 所以S1 S2 故選C 5 2017蘇州 17 3分 如圖 在一筆直的沿湖道路l上有A B兩個(gè)游船碼頭 觀光島嶼C在碼頭A北偏東60 的方向 在碼頭B北偏西45 的方向 AC 4km 游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B 設(shè)開往碼頭A B的游船速度分別為v1 v2 若回到A B所用時(shí)間相等 則 結(jié)果保留根號(hào) 答案 解析過點(diǎn)C作CD AB于D 在Rt ACD中 CD AC 2km 在Rt CDB中 CB CD 2km 因?yàn)榛氐紸 B所用時(shí)間相等 所以 6 2018南通 23 8分 如圖 小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩 到達(dá)A地后 導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60 方向行駛12千米至B地 再沿北偏東45 方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C 小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向 求B C兩地的距離 結(jié)果保留根號(hào) 解析作BH AC于H 由題意得 CBH 45 BAH 60 在Rt BAH中 BH AB sin BAH 6 在Rt BCH中 CBH 45 BC 6 千米 答 B C兩地的距離為6千米 解題關(guān)鍵本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用 方向角問題 掌握銳角三角函數(shù)的定義 正確標(biāo)出方向角是解題關(guān)鍵 解題關(guān)鍵本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 坡度坡角問題 勾股定理 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 構(gòu)造直角三角形 運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵 8 2017連云港 25 10分 如圖 濕地景區(qū)岸邊有三個(gè)觀景臺(tái)A B C 已知AB 1400米 AC 1000米 B點(diǎn)位于A點(diǎn)的南偏西60 7 方向 C點(diǎn)位于A點(diǎn)的南偏東66 1 方向 1 求 ABC的面積 2 景區(qū)規(guī)劃在線段BC的中點(diǎn)D處修建一個(gè)湖心亭 并修建觀景棧道AD 試求A D間的距離 結(jié)果精確到0 1米 參考數(shù)據(jù) sin53 2 0 80 cos53 2 0 60 sin60 7 0 87 cos60 7 0 49 sin66 1 0 91 cos66 1 0 41 1 414 解析 1 作CE BA 交BA延長(zhǎng)線于E 在Rt AEC中 CAE 180 60 7 66 1 53 2 CE AC sin53 2 1000 0 8 800 米 S ABC AB CE 1400 800 560000 平方米 2 連接AD 作DF AB于F 則DF CE BD CD DF CE BF EF DF CE 400米 AE AC cos53 2 1000 0 6 600 米 BE AB AE 2000米 AF EB AE 400米 在Rt ADF中 AD 400 565 6 米 解題關(guān)鍵本題考查解直角三角形 方向角 勾股定理等知識(shí) 解題的關(guān)鍵是合理添加輔助線 構(gòu)造直角三角形解決問題 屬于?？碱}型 9 2016鎮(zhèn)江 23 6分 公交總站 A點(diǎn) 與B C兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖所示 已知AC 6km B 30 C 15 求B站點(diǎn)離公交總站的距離即AB的長(zhǎng) 結(jié)果保留根號(hào) 解析過點(diǎn)C作CD AB 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D 2分 B 30 ACB 15 CAD 45 3分 在Rt ACD中 ADC 90 CAD 45 AC 6 CD AD 3 4分 在Rt BCD中 CDB 90 B 30 CD 3 BD 3 AB BD AD 3 3 AB的長(zhǎng)為 3 3 km 6分 10 2015鎮(zhèn)江 24 6分 某海域有A B兩個(gè)港口 B港口在A港口北偏西30 的方向上 距A港口60海里 有一艘船從A港口出發(fā) 沿東北方向行駛一段距離后 到達(dá)位于B港口南偏東75 方向的C處 求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng) 結(jié)果保留根號(hào) 11 2014鎮(zhèn)江 24 6分 如圖 小明從點(diǎn)A處出發(fā) 沿著坡角為 的斜坡向上走了0 65千米到達(dá)點(diǎn)B sin 然后又沿著坡度為i 1 4的斜坡向上走了1千米到達(dá)點(diǎn)C 問小明從A點(diǎn)到C點(diǎn)上升的高度CD是多少千米 結(jié)果保留根號(hào) 解析作BE AD于E BF CD于F 則sin BE AB 0 65 2分 i 3分 設(shè)CF x 則BF 4x BC x 1 CF x 5分 BE AD BF CD CD AD 四邊形BEDF是矩形 BE DF CD CF DF CF BE 答 小明從A點(diǎn)到C點(diǎn)上升的高度CD是千米 6分 B組2014 2018年全國(guó)中考題組 考點(diǎn)1銳角三角函數(shù) 1 2018云南 12 4分 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 則 A的正切值為 A 3B C D 答案A AC 1 BC 3 C 90 tanA 3 2 2017甘肅蘭州 3 4分 如圖 一個(gè)斜坡長(zhǎng)130m 坡頂離水平地面的距離為50m 那么這個(gè)斜坡與水平地面夾角的正切值等于 A B C D 答案C在直角三角形中 根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長(zhǎng)為120m 故這個(gè)斜坡與水平地面夾角的正切值等于 故選C 思路分析先利用勾股定理求得第三邊的長(zhǎng) 再利用正切的定義求正切值 3 2016天津 2 3分 sin60 的值等于 A B C D 答案Csin60 故選C 4 2015天津 2 3分 cos45 的值等于 A B C D 答案Bcos45 5 2015內(nèi)蒙古包頭 4 3分 在Rt ABC中 C 90 若斜邊AB是直角邊BC的3倍 則tanB的值是 A B 3C D 2 答案D在Rt ABC中 設(shè)BC x x 0 則AB 3x AC 2x 則tanB 2 故選D 6 2015內(nèi)蒙古包頭 11 3分 已知下列命題 在Rt ABC中 C 90 若 A B 則sinA sinB 四條線段a b c d中 若 則ad bc 若a b 則a m2 1 b m2 1 若 x x 則x 0 其中原命題與逆命題均為真命題的是 A B C D 答案A由 x x 可知 x 0 所以x 0 所以命題 錯(cuò)誤 命題 及其逆命題均正確 故選A 7 2015黑龍江哈爾濱 6 3分 如圖 某飛機(jī)在空中A處探測(cè)到它的正下方地平面上目標(biāo)C 此時(shí)飛行高度AC 1200m 從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角 30 則飛機(jī)所在A處與指揮臺(tái)B的距離為 A 1200mB 1200mC 1200mD 2400m 答案D由 B 30 sinB 得AB 1200 2 2400 所以飛機(jī)所在A處與指揮臺(tái)B的距離為2400m 故選D 8 2017四川綿陽(yáng) 18 3分 如圖 過銳角 ABC的頂點(diǎn)A作DE BC AB恰好平分 DAC AF平分 EAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 在AF上取點(diǎn)M 使得AM AF 連接CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)H 若AC 2 AMH的面積是 則的值是 答案8 解析過H作HG AC于點(diǎn)G 如圖 AF平分 EAC EAF CAF DE BF EAF AFC CAF AFC CF CA 2 AM AF AM MF 1 2 DE BF AH 1 S AHC 3S AHM 2GH GH 在Rt AHG中 AG GC AC AG 2 8 解題思路過H作HG AC于點(diǎn)G 構(gòu)造直角三角形 再分別求出相應(yīng)的邊即可 考點(diǎn)2解直角三角形 1 2016重慶 11 4分 某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng) 如圖 在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36 然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處 然后再沿水平方向行走6米至大樹底端D處 斜面AB的坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大樹CD的高度約為 參考數(shù)據(jù) sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1米B 17 2米C 19 7米D 25 5米 2 2014廣西南寧 11 3分 如圖 在 ABCD中 點(diǎn)E是AD的中點(diǎn) 延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F 使CF BC 1 2 連接DF EC 若AB 5 AD 8 sinB 則DF的長(zhǎng)等于 A B C D 2 答案C CF BC 1 2 AD BC 8 BF 8 4 12 過D作DG BF 交BF于點(diǎn)G AB CD B DCF sinB sin DCF 在Rt DCG中 CD 5 DG 4 CG 3 FG BF BG 12 8 3 1 DF 評(píng)析本題主要考查了平行四邊形 勾股定理 銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用 3 2016寧夏 14 3分 如圖 Rt AOB中 AOB 90 OA在x軸上 OB在y軸上 點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別為 0 0 1 把Rt AOB沿著AB對(duì)折得到 AO B 則點(diǎn)O 的坐標(biāo)為 答案 解析如圖 作O C OA 垂足為C 在Rt AOB中 OA OB 1 AOB 90 tan BAO BAO 30 由題意可得AO AO O AB OAB 30 O AO 60 在Rt O AC中 AC AO cos60 O C AO sin60 OC AO AC O 4 2015遼寧沈陽(yáng) 16 4分 如圖 正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30 后得到正方形BEFG EF與AD相交于點(diǎn)H 延長(zhǎng)DA交GF于點(diǎn)K 若正方形ABCD邊長(zhǎng)為 則AK 答案2 3 解析如圖 延長(zhǎng)BA交GF于點(diǎn)N 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 GBN EBC 30 GB AB 在Rt GBN中 GB GBN 30 BN 2 AN BN AB 2 NAK G 90 KNA NKA 90 KNA GBN 90 NKA GBN 30 同角的余角相等 在Rt KAN中 AN 2 NKA 30 AK 2 3 評(píng)析本題考查正方形的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí) 綜合性較強(qiáng) 5 2014浙江寧波 17 4分 為解決停車難的問題 在如圖一段長(zhǎng)56米的路段開辟停車位 每個(gè)車位是長(zhǎng)5米寬2 2米的矩形 矩形的邊與路的邊緣成45 角 那么這個(gè)路段最多可以劃出個(gè)這樣的停車位 1 4 答案17 解析如圖 BC 2 2 cos45 2 2 1 54米 CE 5 sin45 5 3 5米 BE BC CE 5 04米 EF 2 2 sin45 2 2 3 14米 56 5 04 3 14 1 50 96 3 14 1 16 1 17 個(gè) 故這個(gè)路段最多可以劃出17個(gè)這樣的停車位 評(píng)析本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 主要是三角函數(shù)及其運(yùn)算 關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算 6 2018天津 22 10分 如圖 甲 乙兩座建筑物的水平距離BC為78m 從甲的頂部A處測(cè)得乙的頂部D處的俯角為48 測(cè)得底部C處的俯角為58 求甲 乙建筑物的高度AB和DC 結(jié)果取整數(shù) 參考數(shù)據(jù) tan48 1 11 tan58 1 60 解析如圖 過點(diǎn)D作DE AB 垂足為E 則 AED BED 90 由題意可知 BC 78 ADE 48 ACB 58 ABC 90 DCB 90 可得四邊形BCDE為矩形 ED BC 78 DC EB 在Rt ABC中 tan ACB AB BC tan58 78 1 60 125 在Rt AED中 tan ADE AE ED tan48 DC EB AB AE BC tan58 ED tan48 78 1 60 78 1 11 38 答 甲建筑物的高度AB約為125m 乙建筑物的高度DC約為38m 思路分析過點(diǎn)D作DE AB 構(gòu)造直角 ADE和矩形BCDE 通過解直角 ABC和直角 ADE可求出答案 方法總結(jié)解直角三角形的應(yīng)用 一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形 結(jié)合所給的線段或角 借助角 邊關(guān)系 三角函數(shù)的定義解題 若幾何圖形中無直角三角形 則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形 再解直角三角形 求出實(shí)際問題的答案 7 2017河南 19 9分 如圖所示 我國(guó)兩艘海監(jiān)船A B在南海海域巡航 某一時(shí)刻 兩船同時(shí)收到指令 立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C 此時(shí) B船在A船的正南方向5海里處 A船測(cè)得漁船C在其南偏東45 方向 B船測(cè)得漁船C在其南偏東53 方向 已知A船的航速為30海里 小時(shí) B船的航速為25海里 小時(shí) 問C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到救援 參考數(shù)據(jù) sin53 cos53 tan53 1 41 解析過點(diǎn)C作CD AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D 則 CDA 90 1分 已知 CAD 45 設(shè)CD x海里 則AD CD x海里 BD AD AB x 5 海里 3分 在Rt BDC中 CD BD tan53 即x x 5 tan53 x 20 6分 BC 20 25海里 B船到達(dá)C船處約需時(shí)間 25 25 1 小時(shí) 7分 在Rt ADC中 AC x 1 41 20 28 2海里 A船到達(dá)C船處約需時(shí)間 28 2 30 0 94 小時(shí) 8分 而0 94 1 所以C船至少要等待0 94小時(shí)才能得到救援 9分 解題技巧本題是解三角形兩種典型問題中的一種 以下介紹兩種典型問題 1 如圖 當(dāng)BC a時(shí) 設(shè)AD x 則CD BD CD BD a a x 2 如圖 當(dāng)BC a時(shí) 設(shè)AD x 則BD CD CD BD a a x 8 2016寧夏 21 6分 在等邊 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊BC AC上 若CD 2 過點(diǎn)D作DE AB 過點(diǎn)E作EF DE 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 求EF的長(zhǎng) 解析 ABC為等邊三角形 A B ACB 60 DE AB EDF B 60 DEC A 60 CDE為等邊三角形 DE CD 2 4分 EF DE DEF 90 在Rt DEF中 EF DE tan60 2 6分 9 2014河南 19 9分 在中俄 海上聯(lián)合 2014 反潛演習(xí)中 我軍艦A測(cè)得潛艇C的俯角為30 位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測(cè)得潛艇C的俯角為68 試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度 結(jié)果保留整數(shù) 參考數(shù)據(jù) sin68 0 9 cos68 0 4 tan68 2 5 1 7 解析過點(diǎn)C作CD AB 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D 則AD即為潛艇C的下潛深度 根據(jù)題意得 ACD 30 BCD 68 設(shè)AD x米 則BD BA AD 1000 x 米 在Rt ACD中 CD x米 4分 在Rt BCD中 BD CD tan68 x tan68 米 1000 x x tan68 7分 x 308 潛艇C離開海平面的下潛深度約為308米 9分 10 2014黑龍江哈爾濱 24 6分 如圖 AB CD為兩個(gè)建筑物 建筑物AB的高度為60米 從建筑物AB的頂部A點(diǎn)測(cè)得建筑物CD的頂部C點(diǎn)的俯角 EAC為30 測(cè)得建筑物CD的底部D點(diǎn)的俯角 EAD為45 1 求兩建筑物底部之間水平距離BD的長(zhǎng)度 2 求建筑物CD的高度 結(jié)果保留根號(hào) C組教師專用題組 考點(diǎn)1銳角三角形 1 2018貴州貴陽(yáng) 7 3分 如圖 A B C是小正方形的頂點(diǎn) 且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1 則tan BAC的值為 A B 1C D 答案B如圖 連接BC 在 ABD和 BCE中 ABD BCE SAS AB BC ABD BCE BCE CBE 90 ABD CBE 90 即 ABC 90 tan BAC 1 故選B 2 2014貴州貴陽(yáng) 6 3分 在Rt ABC中 C 90 AC 12 BC 5 則sinA的值為 A B C D 答案D在Rt ABC中 C 90 AC 12 BC 5 所以AB 13 所以sinA 故選D 3 2014廣東廣州 3 3分 如圖 在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 則tanA A B C D 答案D AB 3 BC 4 ABC 90 tanA 故選D 4 2014天津 2 3分 cos60 的值等于 A B C D 答案A本題考查特殊角的三角函數(shù)值 60 角的余弦值是 故選A 考點(diǎn)2解直角三角形 1 2015連云港 16 3分 如圖 在 ABC中 BAC 60 ABC 90 直線l1 l2 l3 l1與l2之間距離是1 l2與l3之間距離是2 且l1 l2 l3分別經(jīng)過點(diǎn)A B C 則邊AC的長(zhǎng)為 答案 解析過B作l1的垂線與l1和l3分別相交于D E兩點(diǎn) 得到Rt ABD與Rt BCE BD 1 BE 2 DE 3 易求得 ABD BCE ADB BEC 90 ABD BCE 在Rt ABC中 BAC 60 tan60 AD 在Rt ABD中 由勾股定理得AB AC 評(píng)析本題需要構(gòu)造直角三角形 綜合考查了學(xué)生對(duì)平行線的性質(zhì) 平行線間的距離 勾股定理的應(yīng)用的掌握程度 難度高 計(jì)算量大 邏輯思維要求高 屬于較難題 2 2015江西南昌 12 3分 圖1是小志同學(xué)書桌上的一個(gè)電子相框 將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形 已知AB AC 15cm BAC 40 則點(diǎn)A到BC的距離為cm 參考數(shù)據(jù) sin20 0 342 cos20 0 940 sin40 0 643 cos40 0 766 結(jié)果精確到0 1cm 可用科學(xué)計(jì)算器 答案14 1 解析過點(diǎn)A作AD BC于點(diǎn)D 因?yàn)锳B AC BAC 40 所以 DAC BAC 20 在Rt ADC中 AD AC cos20 15 0 940 14 1cm 3 2018湖北黃岡 21 7分 如圖 在大樓AB正前方有一斜坡CD 坡角 DCE 30 樓高AB 60米 在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60 在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45 其中點(diǎn)A C E在同一直線上 1 求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值 2 求斜坡CD的長(zhǎng)度 解析 1 在Rt ABC中 AB 60米 ACB 60 AC 20米 2 過點(diǎn)D作DF AB于點(diǎn)F 則四邊形AEDF為矩形 AF DE DF AE 設(shè)CD x米 在Rt CDE中 DE x米 CE x米 在Rt BDF中 BDF 45 BF DF AB AF 米 DF AE AC CE 20 x 60 x 解得x 80 120 即CD 80 120 米 4 2016連云港 25 10分 如圖 在 ABC中 C 150 AC 4 tanB 1 求BC的長(zhǎng) 2 利用此圖形求tan15 的值 精確到0 1 參考數(shù)據(jù) 1 4 1 7 2 2 5 2016安徽 19 10分 如圖 河的兩岸l1與l2相互平行 A B是l1上的兩點(diǎn) C D是l2上的兩點(diǎn) 某人在點(diǎn)A處測(cè)得 CAB 90 DAB 30 再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E 點(diǎn)E在線段AB上 測(cè)得 DEB 60 求C D兩點(diǎn)間的距離 解析如圖 過D作l1的垂線 垂足為F DEB 60 DAB 30 ADE DEB DAB 30 ADE為等腰三角形 DE AE 20 米 3分 在Rt DEF中 EF DE cos60 20 10 米 6分 DF AF DFB 90 AC DF 已知l1 l2 CD AF 四邊形ACDF為矩形 CD AF AE EF 30 米 答 C D兩點(diǎn)間的距離為30米 10分 6 2016陜西 20 7分 某市為了打造森林城市 樹立城市新地標(biāo) 實(shí)現(xiàn)綠色 共享發(fā)展理念 在城南建起了 望月閣 及環(huán)閣公園 小亮 小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量 望月閣 的高度 來檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力 他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn) 觀測(cè)點(diǎn)與 望月閣 底部間的距離不易測(cè)得 因此經(jīng)過研究需要兩次測(cè)量 于是他們首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量 方法如下 如圖 小芳在小亮和 望月閣 之間的直線BM上平放一平面鏡 在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記 這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn)C 鏡子不動(dòng) 小亮看著鏡面上的標(biāo)記 他來回走動(dòng) 走到點(diǎn)D時(shí) 看到 望月閣 頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合 這時(shí) 測(cè)得小亮眼睛與地面的距離ED 1 5米 CD 2米 然后 在陽(yáng)光下 他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)行了第二次測(cè)量 方法如下 如圖 小亮從D點(diǎn)沿DM方向走了16米 到達(dá) 望月閣 影子的末端F點(diǎn)處 此時(shí) 測(cè)得小亮的影長(zhǎng)FH 2 5米 身高FG 1 65米 如圖 已知 AB BM ED BM GF BM 其中 測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì) 請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息 求出 望月閣 的高AB的長(zhǎng)度 解析由題意得 ABC EDC GFH 90 ACB ECD AFB GHF ABC EDC ABF GFH 3分 即 5分 解得AB 99 所以 望月閣 的高度為99米 7分 7 2016天津 22 10分 小明上學(xué)途中要經(jīng)過A B兩地 由于A B兩地之間有一片草坪 所以需要走路線AC CB 如圖 在 ABC中 AB 63m A 45 B 37 求AC CB的長(zhǎng) 結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位 參考數(shù)據(jù) sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 取1 414 解析如圖 過點(diǎn)C作CD AB 垂足為D 在Rt ACD中 tanA sinA A 45 AD CD AC CD 在Rt BCD中 tanB sinB B 37 BD CB AD BD AB AB 63 CD 63 解得CD 27 00 AC 1 414 27 00 38 178 38 2 CB 45 0 答 AC的長(zhǎng)約等于38 2m CB的長(zhǎng)約等于45 0m 8 2015南京 23 8分 如圖 輪船甲位于碼頭O的正西方向A處 輪船乙位于碼頭O的正北方向C處 測(cè)得 CAO 45 輪船甲自西向東勻速行駛 同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛 它們的速度分別為45km h和36km h 經(jīng)過0 1h 輪船甲行駛至B處 輪船乙行駛至D處 測(cè)得 DBO 58 此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn) 參考數(shù)據(jù) sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 60 解析設(shè)B處距離碼頭Oxkm 在Rt CAO中 CAO 45 tan CAO CO AO tan CAO 45 0 1 x tan45 4 5 x 2分 在Rt DBO中 DBO 58 tan DBO DO BO tan DBO x tan58 4分 DC DO CO 36 0 1 x tan58 4 5 x x 13 5 因此 B處距離碼頭O大約13 5km 8分 9 2015內(nèi)蒙古呼和浩特 19 6分 如圖 熱氣球的探測(cè)器顯示 從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30 看這棟高樓底部C的俯角為65 熱氣球與高樓的水平距離AD為120m 求這棟高樓的高度 結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可 解析在Rt ABD中 tan30 BD AD tan30 120 40 2分 在Rt ACD中 tan65 CD 120 tan65 4分 BC BD CD 40 120 tan65 m 答 這棟高樓的高度為 40 120 tan65 m 6分 10 2015貴州遵義 21 8分 如圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖 已知BC 4米 AB 6米 中間平臺(tái)寬度DE 1米 EN DM CB為三根垂直于AB的支柱 垂足分別為N M B EAB 31 DF BC于F CDF 45 求DM和BC的水平距離BM 結(jié)果精確到0 1米 參考數(shù)據(jù) sin31 0 52 cos31 0 86 tan31 0 60 解析設(shè)DF x米 在Rt DFC中 CDF 45 CF tan45 DF x米 2分 又 CB 4米 BF 4 x 米 3分 AB 6米 DE 1米 BM DF x米 AN 5 x 米 EN DM BF 4 x 米 4分 在Rt ANE中 EAN 31 EN 4 x 米 AN 5 x 米 tan31 0 60 6分 解得x 2 5 7分 答 DM和BC的水平距離BM為2 5米 8分 11 2015重慶 24 10分 某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD 其中AB CD 大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC PC正前方有兩艘漁船M N 觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角 為31 漁船N的俯角 為45 已知MN所在直線與PC所在直線垂直 垂足為E 且PE長(zhǎng)為30米 1 求兩漁船M N之間的距離 結(jié)果精確到1米 2 已知壩高24米 壩長(zhǎng)100米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 為提高大壩防洪能力 請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固 壩底BA加寬后變?yōu)锽H 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 施工隊(duì)施工10天后 為盡快完成加固任務(wù) 施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備 工作效率提高到原來的2倍 結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù) 施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米 參考數(shù)據(jù) tan31 0 60 sin31 0 52 解析 1 由題意得 E 90 PME 31 PNE 45 PE 30米 在Rt PEN中 PE NE 30 米 2分 在Rt PEM中 tan31 ME 50 米 4分 MN ME NE 50 30 20 米 答 兩漁船M N之間的距離約為20米 5分 2 過點(diǎn)D作DG AB于G 壩高DG 24米 背水坡AD的坡度i 1 0 25 DG AG 1 0 25 AG 6 米 加固后背水坡DH的坡度i 1 1 75 DG GH 1 1 75 GH 42 米 AH GH GA 42 6 36 米 6分 S ADH AH DG 36 24 432 平方米 需要填筑土石方432 100 43200 立方米 7分 設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方x立方米 根據(jù)題意 得10 20 9分 解方程 得x 864 經(jīng)檢驗(yàn) x 864是原方程的根且符合題意 答 施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方864立方米 10分 12 2015寧夏 26 10分 如圖是一副學(xué)生用的三角板 在 ABC中 ACB 90 A 60 B 30 在 A1B1C1中 C1 90 C1A1B1 45 B1 45 且A1B1 CB 若將邊A1C1與邊CA重合 其中點(diǎn)A1與點(diǎn)C重合 將三角板A1B1C1繞點(diǎn)C A1 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)過的角度為 旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點(diǎn)為M 設(shè)AC a 1 計(jì)算A1C1的長(zhǎng) 2 當(dāng) 30 時(shí) 證明B1C1 AB 3 若a 當(dāng) 45 時(shí) 計(jì)算兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積 4 當(dāng) 60 時(shí) 用含a的代數(shù)式表示兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積 參考數(shù)據(jù) sin15 cos15 tan15 2 sin75 cos75 tan75 2 解析 1 在Rt ABC中 AC a A 60 BC AC tan60 a A1B1 BC a 在Rt A1B1C1中 B1 45 A1C1 A1B1 sin45 a 2分 2 證明 當(dāng) 30 即 ACC1 30 時(shí) A 60 AMC 90 即CC1 AB CC1 B1C1 B1C1 AB 4分 3 當(dāng) 45 時(shí) B1A1恰好與BC重合 過點(diǎn)C作CH AB于H CH ACsin60 a CM 2 6分 S CMB CM B1C1 2 a 3 1 7分 4 當(dāng) 60 時(shí) A1M AC a 設(shè)B1C1分別與AB BC交于點(diǎn)N Q 13 2015浙江紹興 20 8分 如圖 從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ 測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45 向前走6m到達(dá)B點(diǎn) 測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60 和30 1 求 BPQ的度數(shù) 2 求該電線桿PQ的高度 結(jié)果精確到1m 備用數(shù)據(jù) 1 7 1 4 14 2015天津 22 10分 如圖 某建筑物BC頂部有一旗桿AB 且點(diǎn)A B C在同一條直線上 小紅在D處觀測(cè)旗桿頂部A的仰角為47 觀測(cè)旗桿底部B的仰角為42 已知點(diǎn)D到地面的距離DE為1 56m EC 21m 求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度 結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位 參考數(shù)據(jù) tan47 1 07 tan42 0 90 評(píng)析本題考查解直角三角形 屬容易題 15 2015湖南郴州 22 8分 如圖 要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離 在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30 方向上 在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45 方向上 又測(cè)得BC 150m 求A點(diǎn)到河岸BC的距離 結(jié)果保留整數(shù) 參考數(shù)據(jù) 1 41 1 73 16 2015安徽 18 8分 如圖 平臺(tái)AB高為12米 在B處測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45 底部點(diǎn)C的俯角為30 求樓房CD的高度 1 7 解析作BE CD于點(diǎn)E 則CE AB 12 在Rt BCE中 BE 12 3分 在Rt BDE中 DE BE tan DBE 12 tan45 12 6分 CD CE DE 12 12 32 4 樓房CD的高度約為32 4米 8分 17 2015天津 24 10分 將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A 0 點(diǎn)B 0 1 點(diǎn)O 0 0 過邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M 點(diǎn)M不與點(diǎn)O A重合 作MN AB于點(diǎn)N 沿著MN折疊該紙片 得頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A 設(shè)OM m 折疊后的 A MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S 1 如圖 當(dāng)點(diǎn)A 與頂點(diǎn)B重合時(shí) 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 2 如圖 當(dāng)點(diǎn)A 落在第二象限時(shí) A M與OB相交于點(diǎn)C 試用含m的式子表示S 3 當(dāng)S 時(shí) 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 直接寫出結(jié)果即可 解析 1 在Rt ABO中 點(diǎn)A 0 點(diǎn)B 0 1 點(diǎn)O 0 0 OA OB 1 由OM m 得AM OA OM m 根據(jù)題意 由折疊可知 BMN AMN 有BM AM m 在Rt MOB中 由勾股定理得 BM2 OB2 OM2 得 m 2 1 m2 解得m 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 2 在Rt ABO中 tan OAB OAB 30 由MN AB 得 MNA 90 在Rt AMN中 得MN AM sin OAB m AN AM cos OAB m S AMN MN AN m 2 由折疊可知 A MN AMN 有 A OAB 30 A MO A OAB 60 在Rt COM中 CO OM tan A MO m S COM OM CO m2 又S ABO OA OB 于是 S S ABO S AMN S COM m 2 m2 即S m2 m 3 評(píng)析本題考查圖形的折疊與解直角三角形 有一定難度 18 2014江西 21 8分 圖1中的中國(guó)結(jié)掛件是由四個(gè)相同的菱形在頂點(diǎn)處依次串接而成 每相鄰兩個(gè)菱形均成30 的夾角 示意圖如圖2所示 在圖2中 每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為10cm 銳角為60 1 連接CD EB 猜想它們的位置關(guān)系并加以證明 2 求A B兩點(diǎn)之間的距離 結(jié)果取整數(shù) 可以使用計(jì)算器 參考數(shù)據(jù) 1 41 1 73 2 45 同理 EDB EBD 45 又由 1 知 CDE 90 CDA CDE EDB 180 即點(diǎn)A D B在同一直線上 4分 連接GH交AC于點(diǎn)M 由菱形的性質(zhì)可知 CMH 90 CM AC 在Rt CMH中 CM CH cos 1 10 cos30 5 CD AC 2CM 10 6分 在Rt ACD中 AD 10 7分 同理 BD 10 AB AD DB 20 20 2 45 49 答 A B兩點(diǎn)之間的距離約為49cm 8分 解法二 連接CD DE AB 延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 19 2014廣東 20 7分 如圖 某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量一棵樹CD的高度 他們先在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為30 然后沿AD方向前行10m 到達(dá)B點(diǎn) 在B處測(cè)得樹頂C的仰角為60 A B D三點(diǎn)在同一直線上 請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹CD的高度 結(jié)果精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) 1 414 1 732 解析 CAB 30 CBD 60 ACB 60 30 30 CAB ACB BC AB 10 3分 在Rt CBD中 sin60 CD BC sin60 10 5 8 7 m 答 這棵樹高約8 7m 7分 20 2014浙江紹興 21 10分 九 1 班同學(xué)在上學(xué)期的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中 對(duì)學(xué)校旁邊的山坡護(hù)墻和旗桿進(jìn)行了測(cè)量 1 如圖1 第一小組用一根木條CD斜靠在護(hù)墻上 使得DB與CB的長(zhǎng)度相等 如果測(cè)量得到 CDB 38 求護(hù)墻與地面的傾斜角 的度數(shù) 2 如圖2 第二小組用皮尺量得EF為16米 E為護(hù)墻上的端點(diǎn) EF的中點(diǎn)離地面FB的高度為1 9米 請(qǐng)你求出E點(diǎn)離地面FB的高度 3 如圖3 第三小組利用第一 二小組的結(jié)果 來測(cè)量護(hù)墻上旗桿的高度 在點(diǎn)P測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45 向前走4米到達(dá)Q點(diǎn) 測(cè)得A的仰角為60 求旗桿AE的高度 精確到0 1米 備用數(shù)據(jù) tan60 1 732 tan30 0 577 1 732 1 414 21 2014山東青島 20 8分 如圖 小明想測(cè)山高和索道的長(zhǎng)度 他在B處仰望山頂A 測(cè)得仰角 B 31 再往山的方向 水平方向 前進(jìn)80m至索道口C處 沿索道方向仰望山頂 測(cè)得仰角 ACE 39 1 求這座山的高度 小明的身高忽略不計(jì) 2 求索道AC的長(zhǎng) 結(jié)果精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) tan31 sin31 tan39 sin39 解析 1 過點(diǎn)A作AD BE于D 設(shè)山AD的高度為xm 在Rt ABD中 ADB 90 tan31 BD xm 在Rt ACD中 ADC 90 tan39 CD xm BC BD CD x x 80 解這個(gè)方程 得x 180 即山的高度為180m 6分 2 在Rt ACD中 ADC 90 sin39 AC 282 9 m 答 索道AC的長(zhǎng)約為282 9m 8分 評(píng)析本題是解直角三角形的典型題目 由一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形 并利用三角函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算 關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決 22 2014內(nèi)蒙古呼和浩特 18 6分 如圖 一艘海輪位于燈塔P的北偏東65 方向 距離燈塔80海里的A處 它沿正南方向航行一段時(shí)間后 到達(dá)位于燈塔P的南偏東45 方向上的B處 這時(shí) 海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn) 結(jié)果用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可 解析過點(diǎn)P作PD AB于D 1分 由題意知 DPB PBD 45 在Rt PBD中 sinB sin45 PB PD 2分 點(diǎn)A在P的北偏東65 方向上 APD 25 在Rt PAD中 cos APD cos25 PD PAcos25 80cos25 5分 PB 80cos25 海里 6分 解題關(guān)鍵作垂線構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵 23 2014甘肅蘭州 24 8分 如圖 在電線桿上的C處引拉線CE CF固定電線桿 拉線CE和地面成60 角 在離電線桿6米處安置測(cè)角儀AB 在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為30 已知測(cè)角儀AB的高為1 5米 求拉線CE的長(zhǎng) 結(jié)果保留根號(hào) 評(píng)析本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形 并結(jié)合圖形利用特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形 屬中等難度題 24 2014山西 21 7分 如圖 點(diǎn)A B C表示某旅游景區(qū)三個(gè)纜車站的位置 線段AB BC表示連接纜車站的鋼纜 已知A B C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi) 它們的海拔高度AA BB CC 分別為110米 310米 710米 鋼纜AB的坡度i1 1 2 鋼纜BC的坡度i2 1 1 景區(qū)因改造纜車線路 需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜 那么鋼纜AC的長(zhǎng)度是多少米 注 坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比 25 2014鹽城 23 10分 鹽城電視塔是我市標(biāo)志性建筑之一 如圖 在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中 老師要求測(cè)電視塔的高度AB 小明在D處用高1 5m的測(cè)角儀CD 測(cè)得電視塔頂端A的仰角為30 然后向電視塔前進(jìn)224m到達(dá)E處 又測(cè)得電視塔頂端A的仰角為60 求電視塔的高度AB 取1 73 結(jié)果精確到0 1m 解析 ACF 30 AFG 60 CAF AFG ACF 30 CAF ACF CF AF CF DE 224 AF 224 在Rt AGF中 sin AFG AG AF sin60 224 112 AB AG GB AG CD 112 1 5 195 3m 答 電視塔的高度AB為195 3m 26 2014南京 23 8分 如圖 梯子斜靠在與地面垂直 垂足為O 的墻上 當(dāng)梯子位于AB位置時(shí) 它與地面所成的角 ABO 60 當(dāng)梯子底端向右滑動(dòng)1m 即BD 1m 到達(dá)CD位置時(shí) 它與地面所成的角 CDO 51 18 求梯子的長(zhǎng) 參考數(shù)據(jù) sin51 18 0 780 cos51 18 0 625 tan51 18 1 248 解析設(shè)梯子的長(zhǎng)為xm 在Rt ABO中 cos ABO OB AB cos ABO x cos60 x 在Rt CDO中 cos CDO OD CD cos CDO x cos51 18 0 625x BD OD OB 0 625x x 1 解得x 8 答 梯子的長(zhǎng)約為8m 27 2014泰州 22 10分 圖 分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖 已知踏板CD長(zhǎng)為1 6m CD與地面DE的夾角 CDE為12 支架AC長(zhǎng)為0 8m ACD為80 求跑步機(jī)手柄的一端A的高度h 精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) sin12 cos78 0 21 sin68 cos22 0 93 tan68 2 48 解析過C點(diǎn)作FG AB交AB于F 交DE于G CD與地面DE的夾角 CDE為12 ACD為80 ACF 90 12 80 22 CAF 68 在Rt ACF中 CF AC sin CAF 0 8 0 93 0 744m 在Rt CDG中 CG CD sin CDE 1 6 0 21 0 336m FG FC CG 1 08m 1 1m 答 跑步機(jī)手柄的一端A的高度h約為1 1m 28 2014重慶 20 7分 如圖 ABC中 AD BC 垂足是D 若BC 14 AD 12 tan BAD 求sinC的值 解析 AD BC tan BAD 1分 tan BAD AD 12 2分 BD 9 3分 CD BC BD 14 9 5 4分 在Rt ADC中 AC 13 6分 sinC 7分 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 三年模擬 考點(diǎn)1銳角三角函數(shù) 1 2016南京一模 5 在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中 BAC如圖所示放置 則cos BAC等于 A 3B C D 答案D如圖 在Rt DAE中 AE 1 DE 3 則AD cos BAC 故選D 2 2018無錫宜興一模 18 在如圖所示的正方形方格紙中 每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形 A B C D都在格點(diǎn)處 AB與CD相交于O 則tan BOD的值為 答案3 解析解法一 平移CD到C D 交AB于O 如圖所示 則 BO D BOD tan BOD tan BO D 設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a 則O B a O D 2a BD 3a 作BE O D 于點(diǎn)E 則BE O E tan BO E 3 tan BOD 3 故答案為3 解法二 如圖 連接AM NL 在 CAH中 AC AH 則AM CH 同理 在 MNH中 NM NH 則NL MH 思路分析根據(jù)平移的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理 通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想可以求得tan BOD的值 本題得以解決 解題關(guān)鍵本題考查解直角三角形 解答本題的關(guān)鍵是明確題意 作出合適的輔助線 利用勾股定理和等積法解答 考點(diǎn)2解直角三角形 1 2018鹽城一模 14 如圖所示 某攔水大壩的橫斷面為梯形ABCD AE DF為梯形的高 其中迎水坡AB的坡角 45 坡長(zhǎng)AB 10米 背水坡CD的坡度i 1 則背水坡的坡長(zhǎng)CD為米 答案20 解析 迎水坡AB的坡角 45 坡長(zhǎng)AB 10米 AE 10 sin45 10 米 DF 10米 背水坡CD的坡度i 1 tanC C 30 則DC 2DF 20 米 解題關(guān)鍵此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用 坡度問題 解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比 2 2017無錫江陰一模 18 如圖 矩形OABC的邊OA OC分別在x軸 y軸上 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 7 3 點(diǎn)E在邊AB上 且AE 1 已知點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn) 連接EP 過點(diǎn)O作直線EP的垂線段 垂足為H 在點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O的過程中 點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 答案 解析如圖 連接OE 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí) S OPE 7 在Rt OEA中 OE 5 PE S OPE PE OH OH OH 5 在Rt OEH中 sin OEH OEH 45 取OE的中點(diǎn)M 連HM 則HM OE 易證當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí) 點(diǎn)H在以M為圓心 HM為半徑的圓上 此時(shí)H運(yùn)動(dòng)到O 圓心角為 2 OEH 90 點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是 3 2018徐州一模 26 如圖 在電線桿CD上的C處引拉線CE CF固定電線桿 拉線CE和地面所成的角 CED 60 在離電線桿6m的B處安置高為1 5m的測(cè)角儀AB 在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為30 求拉線CE的長(zhǎng) 結(jié)果保留根號(hào) 解析如圖 過點(diǎn)A作AH CD 垂足為H 由題意可知四邊形ABDH為矩形 CAH 30 AB DH 1 5 BD AH 6 在Rt ACH中 tan CAH CH AH tan CAH CH AH tan CAH 6tan30 6 2 米 DH 1 5 CD 2 1 5 在Rt CDE中 CED 60 sin CED CE 4 答 拉線CE的長(zhǎng)約為 4 米 4 2018淮安一模 23 如圖 甲 乙兩漁船同時(shí)從港口O出發(fā)外出捕魚 乙沿南偏東30 方向以每小時(shí)15海里的速度航行 甲沿南偏西75 方向以每小時(shí)15海里的速度航行 當(dāng)航行1小時(shí)后 甲在A處發(fā)現(xiàn)自己的漁具掉在乙船上 于是迅速改變航向和速度 仍以勻速沿南偏東60 方向追趕乙船 正好在B處追上 甲船追趕乙船的速度為多少海里 小時(shí) 解析如圖 過O作OC AB于C 則 OAC 90 75 90 60 45 可知AO 15 海里 OC AC 15 15 海里 又 B 60 30 30 OCB 90 BC 15 海里 OB 15 2 30 海里 乙船從O點(diǎn)到B點(diǎn)所需時(shí)間為2小時(shí) 甲船追趕乙船速度為 15 15 海里 小時(shí) 數(shù)學(xué)思想本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 方向角問題 結(jié)合航行中的實(shí)際問題 將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想 5 2016南通啟東二模 如圖 已知 MON 25 矩形ABCD的邊BC在OM上 AC ON 當(dāng)AC 5時(shí) 求AD的長(zhǎng) 參考數(shù)據(jù) sin25 0 42 cos25 0 91 tan25 0 47 結(jié)果精確到0 1 解析延長(zhǎng)AC交ON于點(diǎn)E AC ON OEC 90 在Rt OEC中 MON 25 OCE 65 ACB OCE 65 四邊形ABCD是矩形 ABC 90 AD BC CAB 25 在Rt ABC中 BC AC sin25 5 0 42 2 1 AD BC 2 1 B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 30分鐘分值 40分 一 選擇題 共3分 1 2018南通如皋 10 將一副三角板如圖擺放在一起 組成四邊形ABCD 連接AC 則tan ACD的值為 A 2B 2 C 1 D 2 解題關(guān)鍵本題考查了勾股定理 解直角三角形的應(yīng)用 解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形 并求出有關(guān)線段的長(zhǎng) 二 解答題 共37分 2 2018淮安洪澤一模 23 如圖 某單位在其辦公樓迎街的墻面上垂掛一宣傳條幅AE 小明同學(xué)站在C處測(cè)得條幅頂端A的仰角為45 測(cè)得條幅底端E的仰角為30 已知小明同學(xué)距離該單位辦公樓的水平距離BC 30米 求宣傳條幅AE的長(zhǎng) 結(jié)果保留根號(hào) 解析如圖 過D點(diǎn)作DF AB于F點(diǎn) 則BC DF 30 在Rt DEF中 EDF 30 DF 30 EF 10 在Rt ADF中 ADF 45 DF 30 AF 30 AE AF EF 30 10 答 宣傳條幅AE的長(zhǎng)為 30 10 米 解題關(guān)鍵此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用 正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵 3 2017蘇州高新一模 22 如圖 點(diǎn)B在線段AF上 分別以AB BF為邊在線段AF的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BFGE 連接CF和DE CF交EG于點(diǎn)H 1 若E是BC的中點(diǎn) 求證 DE CF 2 若 CDE 30 求的值 解析 1 證明 E是BC的中點(diǎn) BE CE 又BE BF BF CE 在 BCF和 CDE中 BCF CDE SAS DE CF 2 設(shè)CE x CDE 30 tan CDE CD x BC CD BE BC CE x x BF BE tan BCF BC GF BCF GFH tan GFH tan BCF 4 2016南京浦口二模 如圖 有兩棵大樹AB CD 它們根部的距離AC 4米 小強(qiáng)沿正對(duì)著兩棵大樹的方向前進(jìn) 如果小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為1 6米 小強(qiáng)在P處時(shí)測(cè)得B的仰角為20 3 當(dāng)小強(qiáng)前進(jìn)5m到達(dá)Q處時(shí) 視線恰好經(jīng)過兩棵大樹的頂端B和D 此時(shí)仰角為36 42 1 求大樹AB的高度 2 求大樹CD的高度 參考數(shù)據(jù) sin20 3 0 35 cos20 3 0 94 tan20 3 0 37 sin36 42 0 59 cos36 42 0 80 tan36 42 0 74 解析 1 設(shè)FG x米 在Rt BEG中 BG EG tan BEG 在Rt BFG中 BG FG tan BFG x 5 0 37 0 74x 解得x 5 FG 5米 BG FG tan BFG 5 0 74 3 7米 AB AG BG 1 6 3 7 5 3米 答 大樹AB的高度約為5 3米 2 在Rt DFH中 DH FH tan DFH 5 4