（柳州專版）2020版中考數(shù)學(xué)奪分復(fù)習(xí) 第一篇 考點(diǎn)過關(guān) 第四單元 三角形 課時訓(xùn)練20 直角三角形與勾股定理試題

課時訓(xùn)練20　直角三角形與勾股定理 限時:40分鐘 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.下列說法中,正確的是 (　　) A.已知a,b,c是三角形的三邊,則a2+b2=c2 B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以BC2+AC2=AB2 D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以BC2+AC2=AB2 2.[2019·包頭]下列命題: ①若x2+kx+14是完全平方式,則k=1; ②若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三點(diǎn)在同一條直線上,則m=5; ③等腰三角形一邊上的中線所在的直線是它的對稱軸; ④一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍,則這個多邊形是六邊形. 其中真命題的個數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.[2018·黃岡]如圖K20-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,AD=2,CE=5,則CD= (　　) 圖K20-1 A.2 B.3 C.4 D.23 4.如圖K20-2,如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,那么(a+b)2的值為 (　　) 圖K20-2 A.5 B.19 C.25 D.169 5.[2017·常德]命題:“如果m是整數(shù),那么它是有理數(shù)”,則它的逆命題為　　　　　　　.  6.[2017·宿遷]如圖20-3,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn).若CD=2,則線段EF的長是　　　　.  圖20-3 7.[2019·北京]如圖K20-4所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則∠PAB+∠PBA=　　　　°(點(diǎn)A,B,P是網(wǎng)格線交點(diǎn)).  圖K20-4 8.[2017·慶陽]如圖K20-5,一張三角形紙片ABC,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.現(xiàn)將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,那么折痕長等于　　　　cm.  圖K20-5 9.[2019·巴中]如圖K20-6,等腰直角三角板如圖所示放置,直角頂點(diǎn)C在直線m上,分別過點(diǎn)A,B作AE⊥直線m于點(diǎn)E,BD⊥直線m于點(diǎn)D. (1)求證:EC=BD; (2)若設(shè)△AEC三邊分別為a,b,c,利用此圖證明勾股定理. 圖K20-6 10.[2019·呼和浩特]如圖K20-7,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. (1)若a=6,b=8,c=12,請直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系; (2)求證:△ABC的內(nèi)角和等于180°; (3)若aa-b+c=12(a+b+c)c,求證:△ABC是直角三角形. 圖K20-7 能力提升 11.[2016·哈爾濱]如圖K20-8,一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向,與燈塔P的距離為30海里的A處,輪船沿正南方向航行一段時間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處,則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為 (　　) 圖K20-8 A.60海里 B.45海里 C.203海里 D.303海里 12.[2019·寧波]勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖K20-9,以直角三角形的各邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖②的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出 (　　) 圖K20-9 A.直角三角形的面積 B.最大正方形的面積 C.較小兩個正方形重疊部分的面積 D.最大正方形與直角三角形的面積和 13.[2019·南京]無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖K20-10所示.將一根長為20 cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi),木筷露在杯子外面的部分至少有　　　　cm.  圖K20-10 14.[2018·玉林]如圖K20-11,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,則AD的取值范圍是　　　　.  圖K20-11 15.[2018·柳州]如圖K20-12,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠DCA=30°,AC=3,AD=73,則BC的長為　　　　.  圖K20-12 16.[2019·南寧]如圖K20-13,AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,則線段AB,AC,BD之間的等量關(guān)系式為　　　　.  圖K20-13 17.如圖K20-14,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn). (1)寫出點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)A,B,C的距離的關(guān)系(不要求證明); (2)如果點(diǎn)M,N分別在線段AB,AC上移動,在移動過程中保持AN=BM,請判斷△OMN的形狀,并證明你的結(jié)論. 圖K20-14 【參考答案】 1.C 2.B　[解析]若x2+kx+14是完全平方式,則x2+kx+14=x±122,∴k=±1,故①為假命題; 若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三點(diǎn)在同一條直線上,即P(1,m)在直線AB:y=x+4上,∴m=1+4=5,故②為真命題; 等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸,故③為假命題; 多邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,外角和為360°,一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍,則(n-2)·180°=2×360°,解得n=6.這個多邊形是六邊形,故④為真命題. 綜上,②④為真命題.故選B. 3.C　[解析]在Rt△ABC中,因?yàn)镃E為AB邊上的中線,所以CE=12AB=AE,因?yàn)镃E=5,AD=2,所以DE=3,因?yàn)镃D為AB邊上的高,所以在Rt△CDE中,CD=CE2-DE2=4,故選C. 4.C 5.如果m是有理數(shù),那么它是整數(shù) 6.2 7.45　[解析]本題考查三角形的外角,可延長AP交正方形網(wǎng)格于點(diǎn)Q,連接BQ,如圖所示, 經(jīng)計(jì)算PQ=BQ=5,PB=10, ∴PQ2+BQ2=PB2, 即△PBQ為等腰直角三角形, ∴∠BPQ=45°, ∴∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°, 故答案為45. 8.154　[解析]如圖,在Rt△ABC中,因?yàn)锳C=8 cm,BC=6 cm,根據(jù)勾股定理,得AB=10 cm.設(shè)CE=x cm, 由折疊的性質(zhì),得BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x)cm.在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理,得BC2+CE2=BE2, 即62+x2=(8-x)2.解得x=74.∴8-x=254.DE=(254) 2-52=154. 9.證明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°, ∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°. ∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°, ∴∠BCD=∠CAE. ∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°, ∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD. (2)∵△AEC≌△CDB, ∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c, ∵S梯形AEDB=12(AE+BD)ED=12(a+b)(a+b),S梯形AEDB=12ab+12c2+12ab, ∴12(a+b)(a+b)=12ab+12c2+12ab, 整理可得a2+b2=c2,勾股定理得證. 10.解:(1)∠C>∠A+∠B. (2)證明:過點(diǎn)B作直線DE∥AC, ∴∠A=∠ABD,∠C=∠CBE. 又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°, ∴∠A+∠ABC+∠C=180°. ∴△ABC的內(nèi)角和等于180°. (3)證明:原式可變形為aa+c-b=a+b+c2c, ∴(a+c)2-b2=2ac, 即a2+2ac+c2-b2=2ac, ∴a2+c2=b2, ∴△ABC是以∠B為直角的直角三角形. 11.D 12.C　[解析]設(shè)圖中三個正方形邊長從小到大依次為:a,b,c,則S陰影=c2-a2-b2+a(a+b-c),由勾股定理可知,c2=a2+b2,∴S陰影=c2-a2-b2+S重疊=S重疊,即S陰影=S重疊,故選C. 13.5　[解析]由題意可得:杯子內(nèi)的筷子長度至多為:122+92=15, ∴露在杯子外面的筷子長度至少為:20-15=5(cm). 14.2<AD<8　[解析]如圖,延長BC交AD的延長線于E,作BF⊥AD于F. 在Rt△ABE中, ∵∠E=30°,AB=4, ∴AE=2AB=8, 在Rt△ABF中,AF=12AB=2, ∴AD的取值范圍為2<AD<8. 15.2或5　[解析]過點(diǎn)A作AE∥BC,AE與CD的延長線交于點(diǎn)E,則∠CAE=90°.∵∠ECA=30°,AC=3,∴AE=1. 設(shè)BC=a,由AE∥BC可知△BCD∽△AED,∴BCAE=BDAD,即a1=BD73,∴BD=73a. 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB2=BC2+AC2,即73a+732=a2+(3)2,解得:a=2或a=5.故BC的長為2或5. 16.AB2=AC2+BD2　[解析]過點(diǎn)A作AE∥CD,截取AE=CD,連接BE,DE,如圖所示: 則四邊形ACDE是平行四邊形, ∴DE=AC,∠ACD=∠AED. ∵∠AOC=60°,AB=CD, ∴∠EAB=60°,CD=AE=AB, ∴△ABE為等邊三角形,∴BE=AB. ∵∠ACD+∠ABD=210°, ∴∠AED+∠ABD=210°, ∴∠BDE=360°-(∠AED+∠ABD)-∠EAB=360°-210°-60°=90°, ∴BE2=DE2+BD2, ∴AB2=AC2+BD2. 故答案為:AB2=AC2+BD2. 17.解:(1)點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)A,B,C的距離的關(guān)系是OA=OB=OC. (2)△OMN的形狀是等腰直角三角形. 證明:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn),∴∠B=∠C=45°,OA=OB=OC,AO平分∠BAC,AO⊥BC. ∴∠AOB=90°,∠BAO=∠CAO=45°, ∴∠CAO=∠B. 在△BOM和△AON中,BM=AN,∠B=∠CAO,OB=OA, ∴△BOM≌△AON(SAS), ∴OM=ON,∠AON=∠BOM. ∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°, ∴∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°. ∴△OMN是等腰直角三角形.