考點32 相似三角形的性質與判定

第31課時 相似三角形的性質與判定 1 (2021年?南寧)如圖，，，是線段的中點， 且，，，那么 ． A B C D E 【解析】根據(jù)平角定義及直角三角形兩銳角互余可知∠ACB=∠CED,由△ACB∽△CED列比例求出AB的長。 【標準解答】4 2(2021年?武漢)如圖，點D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC。 求證：△ABC∽△FDE． F E D C B A 【解析】根據(jù)兩直線平行同位角相等證得兩三角形相似。 【標準解答】∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC。∴∠ABC=∠FDE,∠ACB=∠FED，∴△ABC∽△FDE。 3〔2021年?慶陽〕圖〔1〕是夾文件用的鐵〔塑料〕夾子在常態(tài)下的側面示意圖． 表示鐵夾的兩個面，點是軸，于．，，． 文件夾是軸對稱圖形，試利用圖〔2〕，求圖〔1〕中兩點的距離〔〕 (2) O (1) 【解析】由于文件夾是軸對稱圖形，對稱軸是CE，A、B為一組對稱點，連結CO并延長交AB于點E，那么CE⊥AB，AE=EB，利用∽，列出比例求出AE的長。 【標準解答】解：如圖，連結AB與CO延長線交于E， ∵ 夾子是軸對稱圖形，對稱軸是CE，A、B為一組對稱點， ∴ CE⊥AB，AE=EB． 在、中， ∵ ∠ACE=∠OCD，∠OCD公用, ∴ ∽． ∴ ． 又 OC==26, ∴ AE== ∴ AB=2AE=30〔mm〕． 4〔2021年?山東臨沂) 如圖，□ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，。 ⑴求證：△ABF∽△CEB; ⑵假設△DEF的面積為2，求□ABCD的面積。 【解析】〔1〕由平行四邊形ABCD的對角相等對邊平行，證得△ABF∽△CEB；〔2〕由 △DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，相似三角形的面積的比等于相似比的平方可以求出△ABF和△BCE的面積，從而□ABCD的面積可求。 【標準解答】解：⑴證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. ⑵∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，ABCD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵, ∴,, ∵, ∴,, ∴, ∴. 5〔2021年?安徽〕如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點為的中點，分別交于點． 〔1〕請寫出圖中各對相似三角形〔相似比為1除外〕； 〔2〕求． A B C D E P O R 【解析】〔1〕要善于從復雜的圖形中分別出由平行線構成的相似的根本圖形；〔2〕由于四邊形和四邊形都是平行四邊形，所以BC=AD=CE，PB=PR , ,由點是中點，由得QR=2PQ , BP=3PQ. 因此 ， 【標準解答】解：〔1〕，， ，． 〔2〕四邊形和四邊形都是平行四邊形， ，，，． 又，． 點是中點，． ．．分 又， ． 6〔2021年?泰安〕在等邊中，點為上一點，連結，直線與分別相交于點，且． A B C F D P 圖3 A B C D P 圖2 E l l E F A B C D P 圖１ l E F 〔1〕如圖1，寫出圖中所有與相似的三角形，并選擇其中一對給予證明； 〔2〕假設直線向右平移到圖2、圖3的位置時〔其它條件不變〕，〔1〕中的結論是否仍然成立？假設成立，請寫出來〔不證明〕，假設不成立，請說明理由； 〔3〕探究：如圖1，當滿足什么條件時〔其它條件不變〕，？請寫出探究結果，并說明理由． 〔說明：結論中不得含有未標識的字母〕 【解析】(1)以的等角和公共角為條件可以得出，易證；〔2〕由于角度的不變，結論均成立；〔3〕當BD平分∠ABC時，結合得出∠PFB= , 根據(jù)直角三角形中的角所對的邊是斜邊的一半，還需推出PB=PE , 即得到。 【標準解答】〔1〕與 以為例，證明如下： 分 〔2〕均成立，均為， 〔3〕平分時，． 證明：平分 又 7〔2021年?揚州〕如圖，在△ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連接BC、DE相交于點F，BC與AD相交于點G． 〔1〕試判斷線段BC、DE的數(shù)量關系，并說明理由； 〔2〕如果∠ABC=∠CBD，那么線段FD是線段FG 和 FB的比例中項嗎？為什么？ B D C A G E F 【解析】〔1〕關鍵是找出∠BAC=∠DAE，證得△ABC≌△ADE 得出BC=DE；〔2〕如果∠ABC=∠CBD ，再結合〔1〕中的全等三角形的對應角相等得出△BFD∽△DFG，寫出比例式即得。 【標準解答】解：〔1〕的數(shù)量關系是． 理由如下：． 又， 〔SAS〕． ． 〔2〕線段是線段和的比例中項． 理由如下：，． ． 又， ． ． 即線段是線段和的比例中項． 說明：假設第〔1〕、〔2〕題中結論已證出，但在證明前未作判斷的不扣分． 8 (2021年?嘉興市)小麗參加數(shù)學興趣小組活動，提供了下面3個有聯(lián)系的問題，請你幫助解決： 〔1〕如圖1，正方形中，作交于，交于，求證：； 〔2〕如圖2，正方形中，點分別在上，點分別在上，且，求的值； 〔3〕如圖3，矩形中，，，點分別在上，且，求的值． 〔圖1〕 〔圖2〕 〔圖3〕 【解析】〔1〕證； 〔2〕作交于， 作交于，構造三角形，利用〔1〕中的 結論可求得；〔3〕作作交于， 作交于，轉化后，利用相似三角形對應邊 成比例可求得。 【標準解答】〔圖1〕 〔1〕， ， 又，， ， ． 〔2〕作交于， 作交于， 那么，． 由〔1〕知，， 〔圖2〕 ，即． 〔3〕作交于， 作交于， 那么，． ，， ， 〔圖3〕 又， ， ． ．