考點(diǎn)32 相似三角形的性質(zhì)與判定

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1、第31課時(shí) 相似三角形的性質(zhì)與判定 1 (2021年?南寧)如圖，，，是線段的中點(diǎn)， 且，，，那么 ． A B C D E 【解析】根據(jù)平角定義及直角三角形兩銳角互余可知∠ACB=∠CED,由△ACB∽△CED列比例求出AB的長(zhǎng)。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】4 2(2021年?武漢)如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC。 求證：△ABC∽△FDE． F E D C B A 【解析】根據(jù)兩直線平行同位角相等證得兩三角形相似。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC?！唷螦BC=∠F

2、DE,∠ACB=∠FED，∴△ABC∽△FDE。 3〔2021年?慶陽(yáng)〕圖〔1〕是夾文件用的鐵〔塑料〕夾子在常態(tài)下的側(cè)面示意圖． 表示鐵夾的兩個(gè)面，點(diǎn)是軸，于．，，． 文件夾是軸對(duì)稱(chēng)圖形，試?yán)脠D〔2〕，求圖〔1〕中兩點(diǎn)的距離〔〕 (2) O (1) 【解析】由于文件夾是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是CE，A、B為一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，那么CE⊥AB，AE=EB，利用∽，列出比例求出AE的長(zhǎng)。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】解：如圖，連結(jié)AB與CO延長(zhǎng)線交于E， ∵ 夾子是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是CE，A、B為一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， ∴ CE

3、⊥AB，AE=EB． 在、中， ∵ ∠ACE=∠OCD，∠OCD公用, ∴ ∽． ∴ ． 又 OC==26, ∴ AE== ∴ AB=2AE=30〔mm〕． 4〔2021年?山東臨沂) 如圖，□ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，。 ⑴求證：△ABF∽△CEB; ⑵假設(shè)△DEF的面積為2，求□ABCD的面積。 【解析】〔1〕由平行四邊形ABCD的對(duì)角相等對(duì)邊平行，證得△ABF∽△CEB；〔2〕由 △DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，相似三角形的面積的比等于相似比的平方可以求出△ABF和△BC

4、E的面積，從而□ABCD的面積可求。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】解：⑴證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. ⑵∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，ABCD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵, ∴,, ∵, ∴,, ∴, ∴. 5〔2021年?安徽〕如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)． 〔1〕請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形〔相似比為1除外〕； 〔2〕求． A B C D E P O R 【解析】〔

5、1〕要善于從復(fù)雜的圖形中分別出由平行線構(gòu)成的相似的根本圖形；〔2〕由于四邊形和四邊形都是平行四邊形，所以BC=AD=CE，PB=PR , ,由點(diǎn)是中點(diǎn)，由得QR=2PQ , BP=3PQ. 因此 ， 【標(biāo)準(zhǔn)解答】解：〔1〕，， ，． 〔2〕四邊形和四邊形都是平行四邊形， ，，，． 又，． 點(diǎn)是中點(diǎn)，． ．．分 又， ． 6〔2021年?泰安〕在等邊中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連結(jié)，直線與分別相交于點(diǎn)，且． A B C F D P 圖3 A B C D P 圖2 E l l E F A B C D P 圖１ l E F

6、 〔1〕如圖1，寫(xiě)出圖中所有與相似的三角形，并選擇其中一對(duì)給予證明； 〔2〕假設(shè)直線向右平移到圖2、圖3的位置時(shí)〔其它條件不變〕，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)〔不證明〕，假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； 〔3〕探究：如圖1，當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)〔其它條件不變〕，？請(qǐng)寫(xiě)出探究結(jié)果，并說(shuō)明理由． 〔說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母〕 【解析】(1)以的等角和公共角為條件可以得出，易證；〔2〕由于角度的不變，結(jié)論均成立；〔3〕當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，結(jié)合得出∠PFB= , 根據(jù)直角三角形中的角所對(duì)的邊是斜邊的一半，還需推出PB=PE , 即得到。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】〔1〕與 以為例，證明

7、如下： 分 〔2〕均成立，均為， 〔3〕平分時(shí)，． 證明：平分 又 7〔2021年?揚(yáng)州〕如圖，在△ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，連接BC、DE相交于點(diǎn)F，BC與AD相交于點(diǎn)G． 〔1〕試判斷線段BC、DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； 〔2〕如果∠ABC=∠CBD，那么線段FD是線段FG 和 FB的比例中項(xiàng)嗎？為什么？ B D C A G E F 【解析】〔1〕關(guān)鍵是找出∠BAC=∠DAE，證得△ABC≌△ADE 得出BC=DE；〔2〕如果∠A

8、BC=∠CBD ，再結(jié)合〔1〕中的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出△BFD∽△DFG，寫(xiě)出比例式即得。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】解：〔1〕的數(shù)量關(guān)系是． 理由如下：． 又， 〔SAS〕． ． 〔2〕線段是線段和的比例中項(xiàng)． 理由如下：，． ． 又， ． ． 即線段是線段和的比例中項(xiàng)． 說(shuō)明：假設(shè)第〔1〕、〔2〕題中結(jié)論已證出，但在證明前未作判斷的不扣分． 8 (2021年?嘉興市)小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供了下面3個(gè)有聯(lián)系的問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決： 〔1〕如圖1，正方形中，作交于，交于，求證：； 〔2〕如圖2，正方形中，點(diǎn)分別在上，點(diǎn)分別在上，且，求的值； 〔3〕如圖3，矩形中，，，點(diǎn)分別在上，且，求的值． 〔圖1〕 〔圖2〕 〔圖3〕 【解析】〔1〕證； 〔2〕作交于， 作交于，構(gòu)造三角形，利用〔1〕中的 結(jié)論可求得；〔3〕作作交于， 作交于，轉(zhuǎn)化后，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊 成比例可求得。 【標(biāo)準(zhǔn)解答】〔圖1〕 〔1〕， ， 又，， ， ． 〔2〕作交于， 作交于， 那么，． 由〔1〕知，， 〔圖2〕 ，即． 〔3〕作交于， 作交于， 那么，． ，， ， 〔圖3〕 又， ， ． ．