2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識整合 蘇教版必修.doc
【金版學(xué)案】2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列章末知識整合 蘇教版必修5
題型1 求數(shù)列的通項公式
一、觀察法
寫出下列數(shù)列的一個通項公式:
(1)1,-7,13,-19,25,…
(2)2,,,,,…
(3),,,,2,…
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…
分析:觀察數(shù)列中的每一項與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系,以及所給數(shù)列與一些特殊數(shù)列之間的關(guān)系.
解析:(1)原數(shù)列的各項可看成數(shù)列{an}:1,-1,1,-1,…與數(shù)列{bn}:1,7,13,19,25,…對應(yīng)項相乘的結(jié)果.
又an=(-1)n+1,bn=1+6(n-1)=6n-5.
故原數(shù)列的一個通項公式為cn=(-1)n+1(6n-5).
(2)原數(shù)列可改寫成
1+,2+,3+,4+,….
故其通項公式為an=n+.
(3)這個分?jǐn)?shù)數(shù)列中分子、分母的規(guī)律都不明顯,不妨把分子變成4,然后看分母,從而有,,,,…,
分母正好構(gòu)成等差數(shù)列,從而原數(shù)列的通項公式為
an=.
(4)注意到此數(shù)列的特點:奇數(shù)項與項數(shù)相等,偶數(shù)項比項數(shù)大1,故它可改寫成
1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,…
所以原數(shù)列的通項公式為an=n++.
?歸納拓展
(1)觀察是歸納的前提,合理的轉(zhuǎn)換是完成歸納的關(guān)鍵.
(2)由數(shù)列的前n項歸納出的通項公式不一定唯一.如數(shù)列5,0,-5,0,5,…的通項公式可為5cos(n∈N*),也可為an=5sin(n∈N*).
(3)已知數(shù)列的前n項,寫出數(shù)列的通項公式時,要熟記一些特殊數(shù)列.如{(-1)n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},等,觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關(guān)系,從而寫出數(shù)列的通項公式.
?變式遷移
1.寫出下列數(shù)列的一個通項公式.
(1)1,-,,-,…;
(2),,2,2,…;
(3)1,3,6,10,15,…;
(4)1,-4,7,-10,13,….
解析:(1)an=(-1)n+1.
(2)原數(shù)列可寫成,,,,…,易得an=.
(3)∵3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3+4+5,…,∴an=1+2+3+…+n=.
(4)∵1,4,7,10,13,…組成1為首項,3為公差的等差數(shù)列,易得an=(-1)n+1(3n-2).
二、利用an=求an
設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項的和,且Sn=(an-1)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.
分析:由Sn與an的關(guān)系消去Sn(或an),轉(zhuǎn)化為an(或Sn)的遞推關(guān)系求解.
解析:∵Sn=(an-1),
∴當(dāng)n=1時,S1=a1=(a1-1),解得a1=3.
當(dāng)n≥2時,
an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),
得=3,
∴當(dāng)n≥2時,數(shù)列{an}是以3為公比的等比數(shù)列,且首項a2=3a1=9.
∴n≥2時,an=93n-2=3n.顯然n=1時也成立.
故數(shù)列的通項公式為an=3n(n∈N*).
?歸納拓展
已知數(shù)列的前n項和公式,求數(shù)列的通項公式,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2).這里常常因為忽略了n≥2的條件而出錯,即由an=Sn-Sn-1求得an時的n是從2開始的自然數(shù),否則會出現(xiàn)當(dāng)n=1時Sn-1=S0,而與前n項和定義矛盾.可見由an=Sn-Sn-1所確定的an,當(dāng)n=1時的a1與S1相等時,an才是通項公式,否則要用分段函數(shù)表示為
an=
?變式遷移
2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值.
解析:(1)當(dāng)n=1時,T1=2S1-1,而T1=S1=a1,∴a1=2a1-1,解得a1=1.
(2)求{an}的通項公式.
解析:(2)n≥2時,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1.
∴Sn=2Sn-1+2n-1,①
Sn+1=2Sn+2n+1,②
②-①得an+1=2an+2,
即an+1+2=2(an+2),亦即=2.
a1+2=3,a2+2=6,=2,
∴{an+2}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,
∴an+2=32n-1,故an=32n-1-2.
三、疊加法
已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1
(n≥2).(1)求a2,a3;
(2)證明an=.
分析:已知a1,由遞推公式可以求出a2,a3,因為an=3n-1+an-1屬于an+1=an+f(n)型遞推公式,所以可以用疊加法求出an.
解析:(1)∵a1=1,
∴a2=3+1=4,a3=32+4=13.
(2)由已知an-an-1=3n-1,
令n分別取2,3,4,…,n得
a2-a1=31,
a3-a2=32,
a4-a3=33,
…
an-an-1=3n-1,
以上n-1個式子相加,得an-a1=31+32+…+3n-1.
∴an=,
∵n=1時,a1==1,∴an=.
?歸納拓展
(1)對n=1時,檢驗a1 =1是否滿足an=是必要的,否則就要寫成分段的形式.
(2)如果給出數(shù)列{an}的遞推公式為an=an-1+f(n)型,并且{f(n)}容易求和,這時可采用疊加法.
對n=1檢驗是必要的,否則就要寫成分段函數(shù)的形式,這里說的f(n)易求和,指的是f(n)的形式為等差數(shù)列前n項和、等比數(shù)列前n項和,或是常見的特殊公式,如12+22+32+…+n2=等.
?變式遷移
3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+n2,且a1=1,求{an}的通項公式.
解析:∵an+1=an+n2,∴an+1-an=n2,
∴疊加即得
an-a1=12+22+…+(n-1)2=,
∴an=n(n-1)(2n-1)+1.
四、疊乘法
在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an,求數(shù)列{an}的通項公式an.
分析:由an+1=an?=知,已知條件屬于=f(n)型遞推公式,所以用疊乘法求出an.
解析:由a1=2,an+1=an,∴=.
取n=1,2,3…,n-1得
=,=,=,…
=,=.
把上述各式兩邊分別相乘,得:
…=…,
∴=,∴an=a1,
即an=n(n+1).
當(dāng)n=1時,a1=2適合上式.
故an=n(n+1)(n∈N*).
?歸納拓展
如果數(shù)列{an}的遞推公式為=f(n)型時,并且{f(n)}容易求前n項的積,這時可采用疊乘法.疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況.
?變式遷移
4.在數(shù)列{an}中,已知a1=,an+1=2nan,求an.
解析:由an+1=2nan得=2n,
∴=21,=22,…,=2n-1,疊乘得=222…2n-1=2,
∴an=2=2
五、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法
已知數(shù)列{an}中a1=1,an+1=,則通項公式an=________.
分析:通過觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)可以得到與的關(guān)系,也可以將式子乘開得到an+1an+2an+1=2an兩邊同時除以2anan+1,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解.
解析:解法一:將an+1=兩邊取倒數(shù),得 ==+,∴-=,
∴數(shù)列是首項為=1,公差為的等差數(shù)列,
∴=1+(n-1)=,∴an=.
解法二:(1)∵an+1=,∴an+1(an+2)=2an,
∴an+1an=2an-2an+1.
兩邊同除以2an+1an得-=.
∴數(shù)列是等差數(shù)列,首項為=1,公差為.
∴=+(n-1)=.
∴an=.
答案:
?歸納拓展
根據(jù)已知條件構(gòu)造一個與{an}有關(guān)的新的數(shù)列,通過新數(shù)列通項公式的求解求得{an}的通項公式.新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列.例如形如an=pan-1+q(p,q為常數(shù))的形式,往往變?yōu)閍n-λ=p(an-1-λ),構(gòu)成等比數(shù)列,求an-λ通項公式,再求an.
?變式遷移
5.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=3an-2,求an.
解析:由an+1=3an-2,設(shè)an+1+k=3(an+k),其中k是待定系數(shù),即an+1=3an+2k與條件進(jìn)行對比,得2k=-2,∴k=-1.故an+1-1=3(an-1),∴{an-1}是2-1=1為首項,公比為3的等比數(shù)列,∴an-1=13n-1,∴an=3n-1+1.
題型2 數(shù)列的求和
一、公式法
(1)求1+4+7+…+(3n+1)的值;
(2)若數(shù)列{xn}滿足logaxn+1=1+logaxn(n∈N*,a>0,且a≠1)且x1+x2+x3+…x100=100,求x101+x102+…x200的值.
分析:(1)中1,4,7,…,3n+1是個等差數(shù)列,但容易這樣求解:Sn==+n.這是錯誤的,錯在沒搞清此數(shù)列有多少項.(2)可以作個變換logaxn+1-logaxn=loga=1,推導(dǎo)出{xn}是等比數(shù)列再求解.
解析:(1)∵數(shù)列中30+1=1,
∴第1項1是n=0時得到的,
∴此數(shù)列是首項為1,末項為3n+1,項數(shù)為n+1的等差數(shù)列.
∴Sn==++1.
(2)由logaxn+1=1+logaxn得logaxn+1-logaxn=1,
∴l(xiāng)oga=1,
∴=a,
∴數(shù)列{xn}是公比為a的等比數(shù)列.
由等比數(shù)列的性質(zhì)得:
x101+x102+…x200=(x1+x2+…x100)a100=100a100.
?歸納拓展
數(shù)列求和常用的公式有:
等差數(shù)列:Sn==na1+d;
等比數(shù)列:Sn=
k=1+2+3+…+n=n(n+1);
k2=12+22+32+…n2=n(n+1)(2n+1).
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6.設(shè){an}為等比數(shù)列,{bn}為等差數(shù)列,且b1=0,cn=an+bn,若{cn}是1,1,2,…,求{cn}的前10項之和.
解析:設(shè){an}的首項為a,公比為q,{bn}首項為b,公差為d,b1=0,由c1=a1+b1=1,知a1=1.
c2=a2+b2=q+d=1,
c3=a3+b3=q2+2d=2,
解得q=2,d=-1,∴an=2n-1,bn=1-n,
∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}前10項和為a1+a2+…+a10+(b1+b2+…+b10)=+=
978.
二、分組求和法
求和:2+2+…+2.
分析:此數(shù)列的通項公式是an=2=x2n+2+,而數(shù)列{x2n},是等比數(shù)列,2是常數(shù),故采用分組求和法.
解析:當(dāng)x≠1時,
Sn=++…+
=(x2+x4+…+x2n)++2n
=++2n
=+2n.
當(dāng)x=1時,Sn=4n.
綜上,Sn=
?歸納拓展
將數(shù)列的每一項拆成多項,然后重新分組,將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題,運用的是化歸的數(shù)學(xué)思想,通項變形是這種方法的關(guān)鍵.
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7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n(n+1),求{an}的前n項和Sn.
解析:an=n(n+1)=n+n2,
∴Sn=(1+2+3+…+n)+(12+22+32+…+n2)=+=.
三、裂項相消法
求數(shù)列++++…+的前n項和.
分析:通項an===,所以可以使用裂項相消法.
解析:∵an===,
∴Sn=++++…++
=+-+…+
=
=--.
?歸納拓展
裂項相消求和就是將數(shù)列的每一項拆成二項或多項.使數(shù)列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項,從而達(dá)到求和的目的.
常見的拆項公式有:
(1)=-;
(2)=;
(3)=;
(4)=(-);
(5)an=Sn-Sn-1(n≥2).
?變式遷移
8.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,求{an}的前n項和Sn.
解析:∵==-,
∴Sn=+++…+=1-=.
四、錯位相減法
求數(shù)列的前n項和Sn.
分析:此數(shù)列非等差數(shù)列也非等比數(shù)列,其通項公式an=可以認(rèn)為是一個等差數(shù)列bn=n與一個等比數(shù)列cn=相乘得到的,可以用乘公比錯位相減法來求解.
解析:Sn=a1+a2+a3+…+an,
Sn=1+2+3+…+n,①
Sn=1+2+…+(n-1)+n,②
①-②得:Sn=+++…+-n
=-n
=1--n,
∴Sn=2--.
?歸納拓展
若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)列為{anbn},當(dāng)求該數(shù)列前n項和時,常常采用將{anbn}的各項乘以公比,并向后錯一項與{anbn}的同項對應(yīng)相減,即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和,這種求和的方法稱為錯位相減法.
?變式遷移
9.求和:Sn=12+422+723+…+(3n-2)2n.
解析:因為Sn=12+422+723+…+[3(n-1)-2]2n-1+(3n-2)2n,①
2Sn=122+423+…+[3(n-1)-2]2n+(3n-2)2n+1,②
所以①-②得
-Sn=12+322+323+…+32n-(3n-2)2n+1
=3(2+22+…+2n)-(3n-2)2n+1-4
=3(2n+1-2)-(3n-2)2n+1-4
=32n+1-6-3n2n+1+2n+2-4
=2n+2+3(1-n)2n+1-10.
所以Sn=3(n-1)2n+1-2n+2+10.
五、倒序相加法求和
設(shè)f(x)=,利用教科書上推導(dǎo)數(shù)列前n項和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為________.
分析:若直接求解則相當(dāng)麻煩,考慮f(x)=的特點及f(-5),f(6);f(-4),f(5);…的特點,f(x)與f(1-x)是否有某種特別的聯(lián)系,如果有則可以用求等差數(shù)列前n項和公式的方法解答此題.
解析:∵f(x)=,
∴f(1-x)===.
∴f(x)+f(1-x)=+=.
設(shè)S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),倒過來,則有
S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),
∴2S=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+…+[f(6)+f(-5)]=6.
∴S=3.
?歸納拓展
此題運用了倒序相加法求得所給函數(shù)值的和,由此可以看出,熟練掌握重要的定理、公式的推導(dǎo)過程是非常重要的,它有助于同學(xué)們理解各種解題方法,強(qiáng)化思維過程的訓(xùn)練.當(dāng)數(shù)列{an}滿足ak+an-k=常數(shù)時,可用倒序相加法求數(shù)列{an}的前n項和.
?變式遷移
10.設(shè)f(x)=,求和S=f(2 014)+f(2 013)+f(2 012)+…+f(1)+f+f+…+f+f.
解析:∵f(x)=,∴f==,
∴f(x)+f=1,
S=f(2 014)+f(2 013)+…+f(1)+f+…+f,
又S=f+f+…+f(1)+f(2)+…+f(2 014),
兩式相加得2S=2 014+2 013,∴S=.
題型3 數(shù)列應(yīng)用題
一、與等差數(shù)列有關(guān)的實際應(yīng)用題
有30根水泥電線桿,要運往1 000米遠(yuǎn)的地方安裝,在1 000米處放一根,以后每隔50米放一根,一輛汽車每次只能運三根,如果用一輛汽車完成這項任務(wù)(完成任務(wù)回到原處),那么這輛汽車的行程共為多少千米?
分析:讀懂題意,將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列,關(guān)鍵要找準(zhǔn)首項、公差,弄清an還是Sn.
解析:如下圖所示,假定30根水泥電線桿存放在M處,則a1=MA=1 000,
a2=MB=1 050,
a3=MC=1 100,
a6=a3+503=1 250,
…
a30=a3+1509,
由于一輛汽車每次只能裝3根,故每運一次只能到a3,a6,a9,…,a30,這些地方,這樣組成公差為150,首項為1 100的等差數(shù)列,令汽車的行程為S,
則S=2(a3+a6+…+a30)
=2(a3+a3+1501+…+a3+1509)
=2=35.5(千米),
即這輛汽車的行程為35.5千米.
?歸納拓展
對于與等差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題,要善于發(fā)現(xiàn)“等差”的信息,如“每一年比上一年多(少)”“一個比一個多(少)”等,此時可化歸為等差數(shù)列,明確已知a1,an,n,d,Sn中的哪幾個量,求哪幾個量,選擇哪一個公式.
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11.有一種零存整取的儲蓄項目,它是每月某日存入一筆相同金額,這是零存,到一定時期到期,可以提出全部本金及利息,這是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入金額.
(1)試解釋這個本利和公式.
解析:(1)設(shè)每期存入金額為A,每期利率為p,存的期數(shù)為n,則各期利率之和為Ap+2Ap+3Ap+…+nAp=n(n+1)Ap,連同本金可得本利和nA+n(n+1)Ap=A.
(2)若每月初存入100元,月利率為5.1‰,則到第12個月底的本利和是多少?
解析:(2)當(dāng)A=100,p=5.1‰,n=12時,本利和=100=1 239.78(元).
(3)若每月初存入一筆金額,月利率是5.1‰,希望到第12個月底取得本利和2000元,那么每月初應(yīng)存入多少錢?
解析:(3)將(1)中公式變形,得A==≈161.32(元),
即每月初應(yīng)存入161.32元.
二、與等差、等比數(shù)列有關(guān)的綜合應(yīng)用題
某工廠三年的生產(chǎn)計劃中,從第二年起,每一年比上一年增長的產(chǎn)值都相同,三年的總產(chǎn)值為300萬元,如果第一年、第二年、第三年分別比原計劃的年產(chǎn)值多10萬元、10萬元、11萬元,那么每一年比上一年的產(chǎn)值增長的百分?jǐn)?shù)都相同,求原計劃中每年的產(chǎn)值.
分析:將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列,弄清哪部分為等差數(shù)列或等比數(shù)列,結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)求解.
解析:由題意得原計劃三年中每年的產(chǎn)值組成等差數(shù)列,設(shè)為a-d,a,a+d(d>0),
則有(a-d)+a+(a+d)=300,
解得a=100.
又由題意得(a-d)+10,a+10,(a+d)+11組成等比數(shù)列,
∴(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11],
將a=100代入上式,得1102=(110-d)(111+d),
∴d2+d-110=0,解得d=10,或d=-11(舍),
∴原計劃三年中每年的產(chǎn)值分別為90萬元、100萬元、110萬元.
?歸納拓展
讀懂題意,將實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,找準(zhǔn)首項,公比(差),弄清求什么.混合型應(yīng)用題常有兩種解法:一是歸納法,歸納出前n次(項),尋找規(guī)律,再寫出前n次(項)的通項(前n項和),此時要注意下標(biāo)或指數(shù)的規(guī)律.
第二個方法是逆推法,尋找前后兩項的逆推關(guān)系,再從逆推關(guān)系求an,Sn,此時應(yīng)注意第n-1次變到第n次的變化過程.
?變式遷移
12.某地房價從2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2,問平均每年增長百分之幾?(注意:當(dāng)x∈(0,0.2)時,ln(x+1)≈x,取lg 2=0.3,ln 10=2.3)
解析:設(shè)年增長率為x,則每年的房價依次排列組成首項為1 000,公比為(1+x)的等比數(shù)列.由題意可得1 000(1+x)10=5 000,即(1+x)10=5,取自然對數(shù)有10ln(1+x)=ln 5=ln 10 lg 5=2.3(1-lg 2)=1.61,再利用ln(x+1)≈x,可得x≈=0.16=16%.
答:每年約增長16%.