第四章_靜態(tài)場(chǎng)邊值問題解法15大作業(yè)

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1 電磁場(chǎng)邊值問題的數(shù)值解法 由于在許多實(shí)際應(yīng)用中 電磁場(chǎng)的邊界條件過于復(fù)雜而使得 無法采用精確的解析解 因此 往往采用數(shù)值解 常用的有 其中 有限差分法 是數(shù)值解的一種較簡(jiǎn)單的解法 作為數(shù)值解 法的入門 本課程只對(duì)該內(nèi)容進(jìn)行介紹 有限差分法 Finite diffence method 有限單元法 finite element method 矩量法 method of moment 簡(jiǎn)稱 MOM 每種方法都是將一個(gè)連續(xù)域分成有限個(gè)離散點(diǎn) 然后求解一 系列代數(shù)方程 需要計(jì)算機(jī)編程 而不是微分或積分方程 五 數(shù)值法 2 有限差分法的基本思路 在用有限差分法求解經(jīng)典問題時(shí) 首先 需要把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格 如正方網(wǎng)格 把 求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布 用求網(wǎng)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值接代 替 只要將網(wǎng)格劃分得充分地細(xì) 就能達(dá)到足夠的精確度 當(dāng)然 網(wǎng)格劃分越細(xì) 精度也就越高 但同時(shí) 所花費(fèi)的計(jì) 算時(shí)間也就越長 其次 就是將靜場(chǎng)問題的微分方程化為 差分方程 然后 進(jìn)行求解 關(guān)于網(wǎng)格的劃分 有不同的方法 下面以 正方形網(wǎng)格 最 簡(jiǎn)單情況下的一種處理方法 為例 說明有限差分求解靜態(tài) 場(chǎng)問題的思路 故1點(diǎn)的電位為 設(shè)X軸上鄰近O點(diǎn)的一點(diǎn)的電位為 x 用泰勒公式展開為 3點(diǎn)的電位為 當(dāng)h很小時(shí) 4階以上的高次項(xiàng)都可以略去 得到 同樣地 由2點(diǎn)和4點(diǎn)的電位 可以得到 將上兩式再相加 得到 考慮到 在二維情況下 有 泊松方程為 0 2 2 2 2 yx 得到 上式表明 任一點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值 當(dāng)用網(wǎng)絡(luò)將區(qū)域劃分后 對(duì)于每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)寫出類似的式子 就 得到方程數(shù) 與未知電位的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)目相等的線形方程組 已知 的邊界條件在離散化后成為邊界上的節(jié)點(diǎn)的已知電位值 其中 時(shí)稱為泊松方程的 有限差分方程 0 F 時(shí) 就得到拉普拉斯方程的有限差分方程 即 0 以一頂部電位為1000V 兩側(cè)及底部的電位為零的正方形 截面的無限長金屬盒為例 為說明問題方便 在正方形區(qū) 域內(nèi)的水平和垂直方向各畫三條平行的等間距直線 如圖 所示 從而 有 或 或 用矩陣可表示為 上面的線性方程可由計(jì)算機(jī)編程求解 在實(shí)際的工程問題中 為了滿足足夠的計(jì)算精度 網(wǎng)格的劃分 是非常細(xì)的 因此即使采用計(jì)算機(jī)編程求解 其工作量也是很 大的 3 迭代法 3 1 簡(jiǎn)單迭代法 其步驟是 1 先對(duì)每 格點(diǎn)設(shè)一初值 這個(gè)初值完全可以 任意 給定 但較好的估計(jì)初值 可以較快 地求得解 用有限差分法求解金屬盒內(nèi)電位初值 右圖是初步確定初值的步驟及結(jié)果 2 按固定順序依次計(jì)算每點(diǎn)新值 即 n ji n ji n ji n ji n ji 1 11 1 1 4 1 3 迭代終止 當(dāng)所有格點(diǎn)電位迭代出的值均滿足 nn 1 其中 為事先設(shè)定的精度 如 10 10 則迭代終止 對(duì)于格點(diǎn)數(shù)較多的邊值問題 疊代過程需編程由計(jì)算機(jī)來完成 3 2 超松弛 successive over relaxation SOR 法 簡(jiǎn)單迭代法在解決問題時(shí)收斂速度比較慢 通常實(shí)用價(jià)值不 大 為減少疊代次數(shù) 實(shí)際應(yīng)用中常采用超松馳法 1 采用 松馳法 或 賽德爾法 在計(jì)算每一網(wǎng)格點(diǎn)電位時(shí) 把剛才計(jì)算得到的鄰近點(diǎn)的電 位新值代入 即 1 1 1 11 1 1 4 1 n ji n ji n ji n ji n ji 由于提前使用了新值 使得收斂速度加快 2 引入 松馳因子 加速因子 acceleration factor 將上式作一定的調(diào)整 n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji 1 1 1 11 1 1 4 4 1 上式改寫為 等式右邊的第二項(xiàng) 括號(hào) 為 的修正項(xiàng) 為了加快收 斂 引進(jìn)一個(gè) 松馳因子 ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji 1 1 1 11 1 1 4 4 大于 1為 超松弛 小于 1 為 欠松弛 z松馳因子一般取在 1 2之間 視具體情況而定 z松弛因子選得越好 收斂速度越快 z最佳松弛因子的選取 需由實(shí)驗(yàn)來確定 考慮如圖所示 節(jié)點(diǎn) 1 2 3 4初始點(diǎn)位為 50v 終止精度為 0 1v 選擇加速因子為 1 0 6次迭代之后收斂到 V1 37 5v V2 37 5v V3 12 5v V3 12 5v 大作業(yè) 如圖所示矩形電位槽 U 0 100V a 10cm b 5cm 求 槽內(nèi)電位分布情況 要求 利用迭代法求解 終止精度為 10 6 v 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為 40 40 并利用 contour命令畫出 電位線圖