2012高中數(shù)學 3章整合課時同步練習 新人教A版選修

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1、第3章 (考試時間90分鐘，滿分120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．設a＝(x,2y,3)，b＝(1,1,6)，且a∥b，則x＋y等于(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D．2 解析：　∵a∥b，∴x＝2y＝， ∴x＝，y＝. ∴x＋y＝. 答案：　B 2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，則實數(shù)λ的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 解析：　a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，

2、因為(a＋λb)·a＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1) ＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0， 所以λ＝－2. 答案：　D 3．若向量(1,0，z)與向量(2,1,0)的夾角的余弦值為，則z等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：　由題知＝， ＝， 1＝，∴z＝0. 答案：　A 4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1－e2，d＝3e1＋2e2＋e3({e1，e2，e3}為空間的一個基底)，且d＝xa＋yb＋zc，則x，y，z分別為(　　) A.，，－1 B.，，1 C．－，，1 D.，－，1 解析：　d＝xa＋yb＋zc＝

3、x(e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2－e3) ＋z(e1－e2)． ∴∴ 答案：　A 5．若直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，平面α的法向量為u＝(－2,2，－4)，則(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 解析：　∵u＝－2a，∴u∥a， ∴l(xiāng)⊥α，故選B. 答案：　B 6．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，則x＋y＋z等于(　　) A．1 B. C. D. 解析：　如圖， ＝＋＋ ＝＋－， 所以x＝1,2y＝1,3z＝－1， 所以x＝1，y＝，z＝－， 因此x＋y＋z＝1＋－＝

4、. 答案：　B 7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)． ∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)． ∴cos〈，〉＝＝＝.故選C. 答案：　C 8．已知空間四個點A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)， D(－1,0,4)，則直線AD與平面ABC所成的角為(　　) A．60° B

5、．45° C．30° D．90° 解析：　設n＝(x，y,1)是平面ABC的一個法向量． ∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)， ∴∴ ∴n＝. 又＝(－2，－1,3)，設AD與平面ABC所成的角為θ， 則sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.故選C. 答案：　C 9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　 以點D為原點，DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)． 又可以證明A1C⊥

6、平面BC1D，AC1⊥平面A1BD，又cos〈，〉＝，結合圖形可知平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為.故選B. 答案：　B 10.如右圖所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，則點G到平面D1EF的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：　因為A1B1∥EF，G在A1B1上， 所以G到平面D1EF的距離即為A1到平面D1EF的距離， 即是A1到D1E的距離，D1E＝， 由三角形面積可得所求距離為＝.故選D. 答案：　D 二、填空題(本大題共4小題，

7、每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上) 11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，則|a－2b|＝________. 解析：　因為a－2b＝(8，－5,13)， 所以|a－2b|＝＝. 答案：　 12．設a＝(2，－3,1)，b＝(－1，－2,5)，d＝(1,2，－7)，c⊥a，c⊥b，且c·d＝10，則c＝________. 解析：　設c＝(x，y，z)， 根據(jù)題意得 解得 答案：　 13．直角△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，則點P到斜邊AB的距離是________． 解析：　 以C為坐標原點，CA、CB、

8、CP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系． 則A(4,0,0)，B(0,3,0)，P， 所以＝(－4,3,0)， ＝， 所以在AB上的投影長為＝， 所以P到AB的距離為 d＝＝＝3. 答案：　3 14．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夾角都是60°，則·＝________. 解析：?。剑?，＝＋＋， ·＝(＋＋)·(＋＋) ＝(＋＋)·(－＋) ＝·－||2＋·＋||2－·＋·＋·－·＋||2 ＝2×1×cos 60°－4＋1－2×1×cos 60°＋1×2×cos 60°×2＋4＝3. 答案：

9、　3 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分) 如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面體． (1)化簡＋＋，并在圖上標出結果； (2)設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC1上的分點， 設＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值． 解析：　 (1)如圖所示，取AA1的中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，則 ＝＋＋. (2)＝＋＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋. ∴α＝，β＝，γ＝. 16．(本小題滿分12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，

10、PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4.求點B到平面PCD的距離． 解析：　如圖，以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系． 則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)， P(0,0,2)， ＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(4,0,0)， 設面PCD的一個法向量為n＝(x，y,1)， 則?? 所以面PCD的一個單位法向量為＝， 所以＝＝， 則點B到平面PCD的距離為. 17．(本小題滿分12分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點． (

11、1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論． 解析：　設正方體的棱長為1，如圖所示， 以，，為單位正交基底建立空間直角坐標系． (1)依題意，得B(1,0,0)， E，A(0,0,0)，D(0,1,0)， 所以＝，＝(0,1,0)， 在正方體ABCD－A1B1C1D1中， 因為AD⊥平面ABB1A1， 所以是平面ABB1A1的一個法向量， 設直線BE和平面ABB1A1所成的角為θ， 則sin θ＝＝＝. 即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為. (2)依題意，得A1(0,0,

12、1)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1，)， 設n＝(x，y，z)是平面A1BE的一個法向量， 則由n·＝0，n·＝0， 得， 所以x＝z，y＝z. 取z＝2，得n＝(2,1,2)． 設F是棱C1D1上的點， 則F(t,1,1)(0≤t≤1)． 又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)， 面B1F?平面A1BE， 于是B1F∥平面A1BE?·n＝0 ?(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0 ?2(t－1)＋1＝0 ?t＝?F為C1D1的中點． 這說明在棱C1D1上存在點F使B1F∥平面A1BE. 18．(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1

13、中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1.D是棱CC1上的一點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1∥平面BDA1. (1)求證：CD＝C1D； (2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值； (3)求點C到平面B1DP的距離． 解析：　如圖，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1)． (1)證明：設C1D＝x，∵AC∥PC1， ∴＝＝. 由此可得D(0,1，x)，P. ∴＝(1,0,1)，＝(0,1，x)，＝. 設平面BA1D的一個法向量為n1＝(a，b，c)， 令c＝－1，得n1＝(1，x，－1)． ∵PB1∥平面BDA1， ∴n1·＝1×(－1)＋x·＋(－1)×0＝0. 由此可得x＝.故CD＝C1D. (2)由(1)知，平面BA1D的一個法向量n1＝. 又n2＝(1,0,0)為平面AA1D的一個法向量， ∴cos〈n1·n2〉＝＝＝. 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為. (3)∵＝(1，－2,0)，＝， 設平面B1DP的一個法向量為n3＝(a1，b1，c1)． 令c1＝1，可得n3＝. 又＝， ∴C到平面B1DP的距離d＝＝.