高三數(shù)學第一篇四 數(shù)列刺 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列 文

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1、第第1 1講等差數(shù)列與等比數(shù)列講等差數(shù)列與等比數(shù)列考情分析考情分析總綱目錄考點一 等差、等比數(shù)列的基本運算(高頻考點)考點二 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)考點三 等差、等比數(shù)列的判斷與證明考點四 數(shù)列中的數(shù)學文化考點一 等差、等比數(shù)列的基本運算(高頻考點)命題點1.等差(比)數(shù)列中a1、n、d(q)、an、Sn的計算;2.等差、等比數(shù)列的交匯運算.1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式an=a1+(n-1)d;Sn=na1+d.1()2nn aa(1)2n n2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式an=a1qn-1(q0);Sn=(q1).1(1)1naqq11naa qq典型例題典型例題(2017課標全

2、國,17,12分)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項公式;(2)若T3=21,求S3.解析解析設an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.聯(lián)立和解得(舍去),或因此bn的通項公式為bn=2n-1.3,0dq1,2.dq(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.當q=-5時,由得d=8,則S3=21.當q=4時,由得d=-1,則S3=-6.求解等差、等比數(shù)列基本

3、運算問題的方法技巧在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時,若條件和結論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計算,以減少計算量.方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017課標全國理,4,5分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8答案答案C等差數(shù)列an中,S6=48,則a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故選C.16() 62aa2.(2017課標全國理,9,5分)等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)

4、列,則an前6項的和為()A.-24B.-3C.3D.8答案答案A設等差數(shù)列an的公差為d,依題意得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,S6=61+(-2)=-24.故選A.23a6 52考點二 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq;(2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差數(shù)列;(3)am-an=(m-n)dd=(m,nN*);(4)=(A2n-1,B2n-1分別為an,bn的前2n-1項的和).mnaamnnnab2121nnAB2.等比數(shù)列的性質(zhì)(1

5、)若m,n,r,sN*,且m+n=r+s,則aman=aras;(2)an=amqn-m;(3)當an的公比q-1(或q=-1且m為奇數(shù))時,數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,是等比數(shù)列.典型例題典型例題(1)(2017陜西西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,數(shù)列bn是等差數(shù)列,若a1a6a11=-3,b1+b6+b11=7,則tan的值是()A.-B.-1C.-D.(2)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,S10=16,S100-S90=24,則S100=.(3)在數(shù)列an中,a1=,a2=,anan+2=1,則a2016+a2017=.答案答案(1)A(2)200(3)339481bb

6、aa3333121372解析解析(1)依題意得,=(-)3,3b6=7,a6=-,b6=,又=-,故tan=tan=tan=-tan=-,選A.(2)依題意,知S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90依次成等差數(shù)列,設該等差數(shù)列的公差為d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=,因此S100=10S10+d=1016+=200.(3)依題意知,a3=2,a4=3,a5=,a6=,數(shù)列an是周期為4的數(shù)列,a2016+a2017=a4+a1=.36a337339481bbaa62621ba7339481bba

7、a7323338910 9210 9289121372應用數(shù)列性質(zhì)解題的方法(1)解決此類問題的關鍵是抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系,從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解.(2)應牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差數(shù)列中“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,qN*)”這一性質(zhì)與求和公式Sn=的綜合應用.1()2nn aa方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓1.在正項等比數(shù)列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,則=()A.B.C.D.57aa75654332答案答案D由題意可知a2a8=a4a6=6,又a4+a6=5,an+1an,所以a4=3,a

8、6=2,所以=.57aa46aa322.在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5+a6+a7=50,前k項之和Sk是一個不含k的常數(shù),則的值為()A.5B.10C.15D.20kSk答案答案B解法一:由等差數(shù)列的性質(zhì)及a3+a4+a5+a6+a7=50,得a3+a7=20.而S9=90(常數(shù)),k=9,S9=90.=10.故選B.解法二:由Sk=知=.只需為常數(shù)即可,由等差數(shù)列的性質(zhì)及a3+a4+a5+a6+a7=50,得a3+a7=20.即a1+a9=a3+a7=20,為常數(shù),=10.故選B.199()2aa379()2aakSk9091()2kk aakSk12kaa12kaakSk99S192

9、aa解法三:由a3+a4+a5+a6+a7=50,得a1+4d=10.Sk=ka1+d=k(10-4d)+d=d+10k.要使Sk為常數(shù),則=0,即k=0(舍去)或k=9.S9=9a1+36d=9(a1+4d)=910,=10,故選B.(1)2k k 22kk292kk292kk99S考點三 等差、等比數(shù)列的判斷與證明1.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義證明an+1-an(nN*)為一常數(shù);(2)利用等差中項,即證明2an=an-1+an+1(n2,nN*).2.證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義證明(nN*)為一不為零的常數(shù);(2)利用等比中項,即證明=an

10、-1an+1(n2,nN*).1nnaa2na典型例題典型例題(2017課標全國,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析解析(1)設an的公比為q,由題設可得解得q=-2,a1=-2.故an的通項公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n121(1)2,(1)6.aqaqq 1(1)1naqq23123n4332223nn=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.122( 1)33nn 判斷或證明一個數(shù)列

11、是等差、等比數(shù)列時應注意的問題(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列,還有通項公式法及前n項和公式法,但不作為證明方法.(2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列,只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可.(3)=an-1an+1(n2,nN*)是an為等比數(shù)列的必要而不充分條件,也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時,要注意各項不為0.2na方法歸納方法歸納跟蹤集訓跟蹤集訓數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列;(2)求an的通項公式.解析解析(1)證明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an

12、+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.111()(21),nnkkkkaak 又a1=1,所以an的通項公式為an=n2-2n+2.考點四 數(shù)列中的數(shù)學文化典型例題典型例題中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題:三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,

13、請問第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里解析解析由題意,知每天所走路程形成以a1為首項,公比為的等比數(shù)列,則=378,解得a1=192,則a2=96,即第二天走了96里.故選B.1216112112a答案答案B方法歸納方法歸納涉及等比數(shù)列的數(shù)學文化題頻繁出現(xiàn)在考試試題中.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現(xiàn)代數(shù)學問題,掌握等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式.跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017湖南長沙模擬)九章算術是我國古代第一部數(shù)學專著,全書收集了246個問題及其解法,其中一個問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列,上面四節(jié)容積之和為3升,下面三節(jié)的

14、容積之和為4升,求中間兩節(jié)的容積各為多少?”該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為()A.升B.升C.升D.升176721136610933答案答案A自上而下依次設各節(jié)竹子的容積分別為a1,a2,a9,依題意有因為a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=.選A.12347893,4,aaaaaaa32431762.(2017河南鄭州質(zhì)量檢測(一)張丘建算經(jīng)卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月日織九匹三丈.”其意思為今有女子善織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布.則該女最

15、后一天織尺布.()A.18B.20C.21D.25答案答案C依題意得,該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個等差數(shù)列,設為an(n=1,2,30),其中a1=5,S30=390,于是有=390,解得a30=21,即該女最后一天織21尺布,選C.3030(5)2a1.(2017河北石家莊質(zhì)量檢測(一)已知等差數(shù)列an的公差為5,前n項和為Sn,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S6=()A.80B.85C.90D.95隨堂檢測隨堂檢測答案答案C由題意,得(a1+5)2=a1(a1+45),解得a1=,所以S6=6+5=90,故選C.52526 522.(2017四川成都質(zhì)量檢測(二)在等比數(shù)列an

16、中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,則a5=()A.12B.18C.24D.36答案答案Ba3+a5+a7=a3(1+q2+q4)=6(1+q2+q4)=781+q2+q4=13q2=3,所以a5=a3q2=63=18.故選B.3.(2016課標全國,17,12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通項公式.2na解析解析(1)由題意得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因為an的各項都為正數(shù),所以=.故an是首項為1,公比為的等比數(shù)列,因此an=.12142na1nnaa1212112n