《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》答案

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1 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 第一章 緒論 1 1 研究誤差的意義是什么 簡述誤差理論的主要內(nèi)容 答 研究誤差的意義為 1 正確認識誤差的性質(zhì) 分析誤差產(chǎn)生的原因 以消除或減小誤差 2 正確處理測量和實驗數(shù)據(jù) 合理計算所得結(jié)果 以便在一定條件下得到更接近于 真值的數(shù)據(jù) 3 正確組織實驗過程 合理設(shè)計儀器或選用儀器和測量方法 以便在最經(jīng)濟條件下 得到理想的結(jié)果 誤差理論的主要內(nèi)容 誤差定義 誤差來源及誤差分類等 1 2 試述測量誤差的定義及分類 不同種類誤差的特點是什么 答 測量誤差就是測的值與被測量的真值之間的差 按照誤差的特點和性質(zhì) 可分為系統(tǒng) 誤差 隨機誤差 粗大誤差 系統(tǒng)誤差的特點是在所處測量條件下 誤差的絕對值和符號保持恒定 或遵循一定的 規(guī)律變化 大小和符號都按一定規(guī)律變化 隨機誤差的特點是在所處測量條件下 誤差的絕對值和符號以不可預定方式變化 粗大誤差的特點是可取性 1 3 試述誤差的絕對值和絕對誤差有何異同 并舉例說明 答 1 誤差的絕對值都是正數(shù) 只是說實際尺寸和標準尺寸差別的大小數(shù)量 不反映是 大了 還是 小了 只是差別量 絕對誤差即可能是正值也可能是負值 指的是實際尺寸和標準尺寸的差值 多少表明大了 多少 多少表示小了多少 2 就測量而言 前者是指系統(tǒng)的誤差未定但標準值確定的 后者是指系統(tǒng)本身標準值未定 1 5 測得某三角塊的三個角度之和為 180o00 02 試求測量的絕對誤差和相對誤差 解 絕對誤差等于 相對誤差等于 1 6 在萬能測長儀上 測量某一被測件的長度為 50mm 已知其最大絕對誤差為 1 m 試問該被測件的真實長度為多少 解 絕對誤差 測得值 真值 即 L L L 0 已知 L 50 L 1 m 0 001mm 測件的真實長度 0 L L 50 0 001 49 999 mm 1 7 用二等標準活塞壓力計測量某壓力得 100 2Pa 該壓力用更準確的辦法測得為 100 5Pa 問二等標準活塞壓力計測量值的誤差為多少 解 在實際檢定中 常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值 故二等標準活塞壓力計測量值的誤差 測得值 實際值 即 100 2 100 5 0 3 Pa 2180 oo 031 03864 642 o 2 1 8 在測量某一長度時 讀數(shù)值為 2 31m 其最大絕對誤差為 20 試求其最大相對誤差 m 108 6 2310maxax4 6 測 得 值絕 對 誤 差相 對 誤 差 1 9 解 由 得 214 hgT 2 2 039 805m s 對 進行全微分 令 并令 代替 得 214 hgT 12h gAhTdghT22348gT A 從而 的最大相對誤差為 2ghT Amaxaxmax 0 50 5214348 5 3625 由 得 所以 21 hgT 2hg 243 59 04 7908 由 有maxaxmaxghT AAmax maxininax 22hgghTTABSABS A 1 10 檢定 2 5 級 即引用誤差為 2 5 的全量程為 100V 的電壓表 發(fā)現(xiàn) 50V 刻度點的示 值誤差 2V 為最大誤差 問該電壓表是否合格 5 2102 10 測 量 范 圍 上 限某 量 程 最 大 示 值 誤 差最 大 引 用 誤 差 該電壓表合格 1 11 為什么在使用微安表等各種表時 總希望指針在全量程的 2 3 范圍內(nèi)使用 3 答 當我們進行測量時 測量的最大相對誤差 即 所以當真值一定的情況下 所選用的儀表的量程越小 相對誤差越小 測量越準確 因此 我們選擇的量程應(yīng)靠近真值 所以在測量時應(yīng)盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上 1 12 用兩種方法分別測量 L1 50mm L2 80mm 測得值各為 50 004mm 80 006mm 試評定 兩種方法測量精度的高低 相對誤差 L1 50mm 0 8 1504 1 I L2 80mm 75862 所以 L2 80mm 方法測量精度高 1I 1 13 多級彈導火箭的射程為 10000km 時 其射擊偏離預定點不超過 0 lkm 優(yōu)秀射手能 在距離 50m 遠處準確地射中直徑為 2cm 的靶心 試評述哪一個射擊精度高 解 多級火箭的相對誤差為 射手的相對誤差為 多級火箭的射擊精度高 1 14 若用兩種測量方法測量某零件的長度 L1 110mm 其測量誤差分別為 和 m 1 9 而用第三種測量方法測量另一零件的長度 L2 150mm 其測量誤差為 試比較三種2 測量方法精度的高低 相對誤差 0 1 1 mI 8292 503I 第三種方法的測量精度最高12I 第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理 2 1 試述標準差 平均誤差和或然誤差的幾何意義 01 10 2 5 mcmax0 sA max0sA 4 答 從幾何學的角度出發(fā) 標準差可以理解為一個從 N 維空間的一個點到一條直線的距離 的函數(shù) 從幾何學的角度出發(fā) 平均誤差可以理解為 N 條線段的平均長度 2 2 試述單次測量的標準差 和算術(shù)平均值的標準差 兩者物理意義及實際用途有何不同 2 3 試分析求服從正態(tài)分布 反正弦分布 均勻分布誤差落在中的概率 2 4 測量某物體重量共 8 次 測的數(shù)據(jù) 單位為 g 為 236 45 236 37 236 51 236 34 236 39 236 48 236 47 236 40 是求算術(shù)平均值 以及標準差 0 5 3 0 1 6 0 1 80723648 x 210 59niv xn 2 5 用別捷爾斯法 極差法和最大誤差法計算 2 4 并比較 2 6 測量某電路電流共 5 次 測得數(shù)據(jù) 單位為 mA 為 168 41 168 54 168 59 168 40 168 50 試求算術(shù)平均值及其標準差 或然誤差和平 均誤差 168 4 168 9 40168 5x mA 082 1552vi 37 x mAn 或然誤差 0 645 0 37 25 xRmA 平均誤差 7990 3xT 2 7 在立式測長儀上測量某校對量具 重量測量 5 次 測得數(shù)據(jù) 單位為 mm 為 20 0015 20 0016 20 0018 20 0015 20 0011 若測量值服從正態(tài)分布 試以 99 的置 5 信概率確定測量結(jié)果 20 15 062 180 52 015x 20 15 m 210 55iv 正態(tài)分布 p 99 時 t8 limxx 0 25 3 測量結(jié)果 lim2015 03 xXm 2 7 在立式測長儀上測量某校對量具 重復測量 5 次 測得數(shù)據(jù) 單位為 mm 為 20 0015 20 0016 20 0018 20 0015 20 0011 若測量值服從正態(tài)分布 試以 99 的 置信概率確定測量結(jié)果 解 求算術(shù)平均值 求單次測量的標準差 求算術(shù)平均值的標準差 確定測量的極限誤差 因 n 5 較小 算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按 t 分布處理 現(xiàn)自由度為 n 1 4 1 0 99 0 01 查 t 分布表有 ta 4 60 極限誤差為 寫出最后測量結(jié)果 2 9 用某儀器測量工件尺寸 在排除系統(tǒng)誤差的條件下 其標準差 若要求m04 測量結(jié)果的置信限為 當置信概率為 99 時 試求必要的測量次數(shù) m05 正態(tài)分布 p 99 時 t2 8 nli 1 vi 482105 6 x4 txx 44lim 12 501 64 Lli 6 limxtn 2 58042 6 n 取 2 10 用某儀器測量工件尺寸 已知該儀器的標準差 0 001mm 若要求測量的允許極 限誤差為 0 0015mm 而置信概率 P 為 0 95 時 應(yīng)測量多少次 解 根據(jù)極限誤差的意義 有 015 nttx 根據(jù)題目給定得已知條件 有 01 t 查教材附錄表 3 有 若 n 5 v 4 0 05 有 t 2 78 24 136 785 2 n 若 n 4 v 3 0 05 有 t 3 18 59 2 4 即要達題意要求 必須至少測量 5 次 2 12 某時某地由氣壓表得到的讀數(shù) 單位為 Pa 為 102523 85 102391 30 102257 97 102124 65 101991 33 101858 01 101724 69 10 1591 36 其權(quán)各為 1 3 5 7 8 6 4 2 試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標準差 081Papxiii 95 86 1 82Papviixix 2 13 測量某角度共兩次 測得值為 其標準差分別為3124 24132 試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標準差 8 13 21 7 961 041 221 p 3524 34 x 0 9610 1 21 iixpi 2 14 甲 乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角 各重復測量 5 次 測得值如下 27 5327 027 甲 405 乙 試求其測量結(jié)果 甲 20 6352 17 7 30 x 甲 51iv 222甲 5 4 8 x4 235甲甲 乙 0 547 72 3 乙 521 1iv 22222乙 8 4 3 5 x3 56 0 乙乙22x11 48 78 p 乙乙甲 甲 3640 3 2 甲 乙 乙甲 乙甲 3 78 4682 乙甲 甲甲 px 15 37 xX 8 2 15 試證明 n 個相等精度測得值的平均值的權(quán)為 n 乘以任一個測量值的權(quán) 證明 解 因為 n 個測量值屬于等精度測量 因此具有相同的標準偏差 n 個測量值算術(shù)平均值的標準偏差為 已知權(quán)與方差成反比 設(shè)單次測量的權(quán)為 P1 算術(shù)平均值的權(quán)為 P2 則 2 16 重力加速度的 20 次測量具有平均值為 標準差為 2 81 9sm2 014 sm 另外 30 次測量具有平均值為 標準差為 假設(shè)這兩組測2 80 9s2 0 量屬于同一正態(tài)總體 試求此 50 次測量的平均值和標準差 147 302 14 0 1 221 xp 9 874 9 82smx 2 0 5120 x 2 17 對某量進行 10 次測量 測得數(shù)據(jù)為 14 7 15 0 15 2 14 8 15 5 14 6 14 9 14 8 15 1 15 0 試判斷該測量列 中是否存在系統(tǒng)誤差 96 4 x 按貝塞爾公式 2301 按別捷爾斯法 0 264 1 5 10i2 v 由 得 u 12 3 12 所以測量列中無系差存在 67 0 n 2 18 對一線圈電感測量 10 次 前 4 次是和一個標準線圈比較得到的 后 6 次是和另一個 標準線圈比較得到的 測得結(jié)果如下 單位為 mH 50 82 50 83 50 87 50 89 x 1221 xPnn 9 50 78 50 78 50 75 50 85 50 82 50 81 試判斷前 4 次與后 6 次測量中是否存在系統(tǒng)誤差 使用秩和檢驗法 排序 序號 1 2 3 4 5 第一組 第二組 50 75 50 78 50 78 50 81 50 82 序號 6 7 8 9 10 第一組 50 82 50 83 50 87 50 89 第二組 50 85 T 5 5 7 9 10 31 5 查表 14 T30 所以兩組間存在系差 T 2 19 對某量進行 10 次測量 測得數(shù)據(jù)為 14 7 15 0 15 2 14 8 15 5 14 6 14 9 14 8 15 1 15 0 試判斷該測量列中是 否存在系統(tǒng)誤差 96 14 x 按貝塞爾公式 230 按別捷爾斯法 0 264 1 5 110i2 v 由 得 u 12 3 12 所以測量列中無系差存在 67 0 n 2 20 對某量進行 12 次測量 測的數(shù)據(jù)為 20 06 20 07 20 06 20 08 20 10 20 12 20 11 20 14 20 18 20 18 20 21 20 1 9 試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差 解 1 殘余誤差校核法 20 15x 6 0 65 40 25 0 15 0 5 0 85 6 4 A 因為 顯著不為 0 存在系統(tǒng)誤差 2 殘余誤差觀察法 10 殘余誤差符號由負變正 數(shù)值由大到小 在變大 因此繪制殘余誤差曲線 可見存在線形 系統(tǒng)誤差 3 120 5iv 122 5 6 in 120 9u 631un 所以不存在系統(tǒng)誤差 2 22 11 第三章 誤差的合成與分配 3 1 相對測量時需用 的量塊組做標準件 量塊組由四塊量塊研合而成 它們的54 2m 基本尺寸為 經(jīng)測量 它們的尺l01 l1ml25 3 l05 14 寸偏差及其測量極限誤差分別為 7 0 ml3 2 5 3lim2lim1lim4l l 20 4i 試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差 修正值 4321ll 1 05 70 0 4 m 測量誤差 l 4321 lim2lilili2 2 0 5 0 3 5m 3 2 為求長方體體積 直接測量其各邊長為 Vma6 1 4 5b 已知測量的系統(tǒng)誤差為 測量c2 1 ma2 1 b8 0 c 0 12 的極限誤差為 ma8 0 試求立方體的體積及其體積的極限誤差 b5 0c5 V bf2 146 10 ac 853m 體積 V 系統(tǒng)誤差 為 cabbc 74 25 74 2533 立方體體積實際大小為 70 9530mV 222lim cbaV fff 222cbacb 1 3793 測量體積最后結(jié)果表示為 VVlim0 3 1 7290 5 m 3 3 長方體的邊長分別為 1 2 3 測量時 標準差均為 標準差各為 1 2 3 試求體積的標準差 解 長方體的體積計算公式為 321a 體積的標準差應(yīng)為 2321 aVV 現(xiàn)可求出 321aV 312a 21 若 32 則有 2322123221 aVaVaVaV 13 2123123 aa 若 21 則有 23123123 aV 3 4 測量某電路的電流 電壓 測量的標準差分別為mAI5 VU6 1 求所耗功率 及其標準差 mAI5 0 U 0 IPPI5 261 283w 成線性關(guān)系 IfP 1 UI IuIUff 2 2 IIff 5 0612 5 8mw 3 9 測量某電路電阻 R 兩端的電壓 U 按式 I U R 計算出電路電流 若需保證電流的誤 差為 0 04A 試求電阻 R 和電壓 U 的測量誤差為多少 解 在 I U R 式中 電流 I 與電壓 U 是線性關(guān)系 若需要保證電流誤差不大于 0 04A 則要保證電壓的誤差也不 大于 0 04 R 3 12 按公式 V r2h 求圓柱體體積 若已知 r 約為 2cm h 約為 20cm 要使體積的相對 誤差等于 1 試問 r 和 h 測量時誤差應(yīng)為多少 解 若不考慮測量誤差 圓柱體積為 322 51014 3cmrV 根據(jù)題意 體積測量的相對誤差為 1 即測定體積的相對誤差為 V 即 5 2 251 現(xiàn)按等作用原則分配誤差 可以求出 測定 r 的誤差應(yīng)為 cmhrrVr 07 214 12 測定 h 的誤差應(yīng)為 crh 14 15 2 3 14 對某一質(zhì)量進行 4 次重復測量 測得數(shù)據(jù) 單位 g 為 428 6 429 2 426 5 430 8 14 已知測量的已定系統(tǒng)誤差 測量的各極限誤差分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所 6 2g 示 若各誤差均服從正態(tài)分布 試求該質(zhì)量的最可信賴值及其極限誤差 48 305 26 96 428 x 75 g 最 可信賴值 4 316 284gx 312251 4 iiiiix xfef 9 4g 測量結(jié)果表示為 xx g 9 431 第四章 測量不確定度 4 1 某圓球的半徑為 r 若重復 10 次測量得 r r 3 132 0 005 cm 試求該圓球 最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度 置信概率 P 99 解 求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度 已知圓球的最大截面的圓周為 D 2 其標準不確定度應(yīng)為 22205 149 3 rru 0 0314cm 確定包含因子 查 t 分布表 t0 01 9 3 25 及 K 3 25 故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為 U Ku 3 25 0 0314 0 102 求圓球的體積的測量不確定度 圓球體積為 34rV 其標準不確定度應(yīng)為 61 05 132 459 3162422 rru 確定包含因子 查 t 分布表 t0 01 9 3 25 及 K 3 25 極限誤差 g 序號 隨機誤差 未定系統(tǒng)誤差 誤差傳遞系數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 5 1 0 1 5 1 0 0 5 2 2 1 8 1 1 1 1 1 1 4 2 2 1 15 最后確定的圓球的體積的測量不確定度為 U Ku 3 25 0 616 2 002 4 2 望遠鏡的放大率 D f1 f2 已測得物鏡主焦距 f1 1 19 8 0 10 cm 目鏡的主焦距 f2 2 0 800 0 005 cm 求放大率測量中由 f1 f2 引 起的不確定度分量和放大率 D 的標準不確定度 4 3 測量某電路電阻 R 兩端的電壓 U 由公式 I U R 計算出電路電流 I 若測 得 U u 16 50 0 05 V R R 4 26 0 02 相關(guān)系數(shù) UR 0 36 試 求電流 I 的標準不確定度 4 4 某校準證書說明 標稱值 10 的標準電阻器的電阻 R 在 20 時為 C P 99 求該電阻器的標準不確定度 并說明屬于哪一類評定 129074 1 的不確定度 由校準證書說明給定 屬于 B 類評定的不確定度 R 在 10 000742 129 10 000742 129 范圍內(nèi)概率為 99 不為 100 不屬于均勻分布 屬于正態(tài)分布 當 p 99 時 129a 2 58pK 0 58RpU 4 5 在光學計上用 52 5mm 的量塊組作為標準件測量圓柱體直徑 量塊組由三塊量塊研合而 成 其尺寸分別是 量塊按 級 使用 經(jīng)查140lm 210l 32 5lm 手冊得其研合誤差分別不超過 取置信概率 P 99 73 5 0 的正態(tài)分布 求該量塊組引起的測量不確定度 L 140lm 210lm 32 l 1L 9 73 p 3pK 1 450 3lpaUmk 20 1 lpaUmk 3 2 8 lp 16 321lllLU 220 15 0 8 0 m 第五章 線性參數(shù)的最小二乘法處理 5 1 測量方程為 試求 x y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度 誤差方程為 32 901 xy 123 9 0 3vxy 列正規(guī)方程 代入數(shù)據(jù)得 112122111nnniiiiiiaxyal 解得 453 6xy 05 96yx 將 x y 代入誤差方程式 123 2 015 329 63 v 測量數(shù)據(jù)的標準差為 322110 8niivt 求解不定乘數(shù) 12d 12212450d 解得 08 21 d x y 的精度分別為 01 dx 01 2 dy 17 5 7 不等精度測量的方程組如下 1235 6 4820 xyp 試求 x y 的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度 列誤差方程 1122335 6 840 vxyp 正規(guī)方程為 31121332 2111ii iiiiiipaxaypl 代入數(shù)據(jù)得 解得 456 13xy 352 4yx 將 x y 代入誤差方程可得 016 32 1v 則測量數(shù)據(jù)單位權(quán)標準差為 39 21 iip 求解不定乘數(shù) 12d 12122450d 解得 07 21d x y 的精度分別為 06 1 dx 01 2 dy 18 第六章 回歸分析 6 1 材料的抗剪強度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān) 對某種材料試驗的數(shù)據(jù)如下 正應(yīng)力 x Pa 26 8 25 4 28 9 23 6 27 7 23 9 抗剪強度 y Pa 26 5 27 3 24 2 27 1 23 6 25 9 正應(yīng)力 x Pa 24 7 28 1 26 9 27 4 22 6 25 6 抗剪強度 y Pa 26 3 22 5 21 7 21 4 25 8 24 9 假設(shè)正應(yīng)力的數(shù)值是正確的 求 1 抗剪強度與正應(yīng)力之間的線性回歸方程 2 當正應(yīng)力為 24 5Pa 時 抗剪強度的估計值是多少 1 設(shè)一元線形回歸方程 bxy 012 N xyl0 047 3 l53 9 xyl69 047 352 xylb xyb69 042 69 427 57 4 1260 2 當 X 24 5Pa 7 5 269 04 Pay 6 10 用直線檢驗法驗證下列數(shù)據(jù)可以用曲線 表示 xyab x 30 35 40 45 50 55 60 y 0 4786 2 188 11 22 45 71 208 9 870 9 3802 xbaabx log l log 19 log 1yZ x2 取點做下表 Z2 30 40 50 60 Z1 0 32 1 05 2 32 3 58 以 Z1 與 Z2 畫圖 所得到圖形為一條直線 故選用函數(shù)類型 合適xaby