初中數學二次函數技巧試題答案超級全

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初中數學二次函數做題技巧 I 定義與定義表達式 一般地 自變量 x和因變量 y之間存在如下關系 y ax 2 bx c a b c 為常數 a 0 且 a決定函數的開口方向 a 0 時 開口方向向上 a0 時 開 口方向向上 a 0 時 開口方向向下 IaI 還可以決定開口大小 IaI 越大開口就越小 IaI 越小開口就 越大 則稱 y為 x的二次函數 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式 x 是自變量 y 是 x的 函數 二次函數的三種表達式 一般式 y ax 2 bx c a b c 為常數 a 0 頂點式 拋物線的頂點 P h k y a x h 2 k 交點式 僅限于與 x軸有交點 A x1 0 和 B x2 0 的拋物線 y a x x1 x x2 以上 3種形式可進行如下轉化 一般式和頂點式的關系對于二次函數 y ax 2 bx c 其頂點坐標為 b 2a 4ac b 2 4a 即 h b 2a x1 x2 2 k 4ac b 2 4a 一般式和交點式的關系 x1 x2 b b 2 4ac 2a 即一元二次方程求根公式 初中數學二次函數做題技巧 2012 中考數學精選例題解析 一次函數 1 知識考點 掌握二次函數的圖像和性質以及拋物線的平移規(guī)律 會確定拋物線的頂點坐標 對稱軸及最值等 精典例題 例 1 二次函數 的圖像如圖所示 那么 這四個代數cbxay 2 abc42 ba c 24 式中 值為正的有 A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 解析 1abx2 0 答案 A 評注 由拋物線開口方向判定 的符號 由對稱軸的位置判a 定 的符號 由拋物線與b 軸交點位置判定 的符號 由拋物線與 軸的交點個數判定 的符號 若 軸標出了 1 和 1 則結合函數ycxacb42 x 值可判定 的符號 ba 2cb 例 2 已知 0 把拋物線 向下平移 1 個單位 再向左平移 5 個單位所得到 axy 2 的新拋物線的頂點是 2 0 求原拋物線的解析式 分析 由 可知 原拋物線的圖像經過點 1 0 新拋物線向右平移 5 個單位 再向上平移 1c 個單位即得原拋物線 解 可設新拋物線的解析式為 則原拋物線的解析式為 又易知原拋物線過2 xay 1 2 xay 點 1 0 解得1 52 a41 原拋物線的解析式為 3 2 xy 評注 解這類題的關鍵是深刻理解平移前后兩拋物線間的關系 以及所對應的解析式間的聯系 并注意逆向思維 的應用 另外 還可關注拋物線的頂點發(fā)生了怎樣的移動 常見的幾種變動方式有 開口反向 或旋轉 1800 此時頂 點坐標不變 只是 反號 兩拋物線關于 軸對稱 此時頂點關于 軸對稱 反號 兩拋物線關于 軸對稱 axxay 此時頂點關于 軸對稱 y 探索與創(chuàng)新 問題 已知 拋物線 是常數且不等于零 的頂點是 A 如圖所示 拋物線2 1 tty at 的頂點是 B 12 xy 1 判斷點 A 是否在拋物線 上 為什么 2xy 2 如果拋物線 經過點 B 求 1 ttxa 的值 這條拋物線與 軸ax的兩個交點和它的頂點 A 能否構成直角三角形 若能 求出它 的值 若不能 請說明理由 解析 1 拋物線 的頂點2y A 而1 t2 當時 tx 22 1 xxy yx 例 1圖 1 1O yx問 題 圖 O B 初中數學二次函數做題技巧 所以點 A 在拋物線 上 2t 12 xy 2 頂點 B 1 0 設拋物線 與 軸0 2 tta t1 a2 1 ttxay x 的另一交點為 C B 1 0 C 0 由拋物線的對稱性可知 ABC 為等腰直角三角形 過 A 作 AD 軸于 D 則 AD BD 當點 C 在點 B 的左邊時 解得 或 舍 當點 C 在點 B 的右邊x 12 ttt0t 時 解得 或 舍 故 2 t t 評注 若拋物線的頂點與 軸兩交點構成的三角形是直角三角形時 它必是等腰直角三角形 常用其 斜邊上的x 中線 高 等于斜邊的一半 這一關系求解有關問題 跟蹤訓練 一 選擇題 1 二次函數 的圖像如圖所示 OA OC 則下列結論 cbxay 2 0 bc 24 1 a cOBA 其中正確的有 024 b A 2 個 B 3 個 C 4 個 D 5 個 2 二次函數 的圖像向右平移 3 個單位 再向下平移 2 個單位 得到函數圖像的解析式為cxy 2 則 與 分別等于 12 xb A 6 4 B 8 14 C 4 6 D 8 14 3 如圖 已知 ABC 中 BC 8 BC 邊上的高 D 為4 hBC 上一點 EF BC 交 AB 于 E 交 AC 于 F EF 不過 A B 設 E 到 BC 的距離為 DEF 的面積為 那么 關于 的函數圖像大致是 xyx x y 第 3題 圖 2 4 4 2 O x y 第 3題 圖 2 4 4 2 O x y 第 3題 圖 2 4 4 2 O x第 3題 圖 2 4 4 2 O A B C D 4 若拋物線 與四條直線 圍成的正方形有公共點 則 的取值范圍是 2ay 1 1 y a A 1 B 2 C 1 D 2a2a41 5 如圖 一次函數 與二次函數 的大致圖像是 bkxy cbxy 第 1題 圖 yx 2 1C BAO 第 3題 圖 FE D CB A 初中數學二次函數做題技巧 x y 第 3題 圖 O x y 第 3題 圖 O x y 第 3題 圖 O x y 第 3題 圖 O A B C D 二 填空題 1 若拋物線 的最低點在 軸上 則 的值為 2 1 2 mxy xm 2 二次函數 當 時 隨 的增大而減小 當 時 隨 的增大而增大 則當54x y2 xyx 時 的值是 xy 3 已知二次函數的圖像過點 0 3 圖像向左平移 2 個單位后的對稱軸是 軸 向下平移 1 個單位后與 軸只有一x 個交點 則此二次函數的解析式為 4 已知拋物線 的對稱軸是 且它的最高點在直線 上 則它的頂點為 nmxy 4 2 x2 xy n 三 解答題 1 已知函數 的圖像過點 1 15 設其圖像與 軸交于點 A B 點 C 在圖像上 且xxy 2 x 求點 C 的坐標 ABCS 2 某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品 年初上市后 公司經歷了從虧損到盈利的過程 下面的二次函數圖 象 部分 刻畫了該公司年初以來累積利潤 S 萬元 與銷售時間 月 之間的關系 即前 個月的利潤總和 S 與t t 之間的關系 根據圖象提供的信息 解答下列問題 t 1 由已知圖象上的三點坐標 求累積利潤 S 萬元 與時間 月 之間的函數關系式 2 求截止到幾月末公司累積利潤可達到 30 萬元 3 求第 8 個月公司所獲利潤是多少萬元 tS 3 4 5 6 1 2 3 O 4 32 1 12 xy 第 2題 圖 x y 第 4題 圖 O DC B A 3 拋物線 和直線 0 分別交于 A B 兩點 已知 AOB 90 0 xy 2x a 1 求過原點 O 把 AOB 面積兩等分的直線解析式 2 為使直線 與線段 AB 相交 那么 值應是怎樣的范圍才適合 b b 4 如圖 拋物線 與 軸的一個交點為 A 1 0 taxy 42 1 求拋物線與 軸的另一個交點 B 的坐標 x 2 D 是拋物線與 軸的交點 C 是拋物線上的一點 且以 AB 為一底的梯形 ABCD 的面積為 9 求此拋物線 初中數學二次函數做題技巧 的解析式 3 E 是第二象限內到 軸 軸的距離的比為 5 2 的點 如果點 E 在 2 中的拋物線上 且它與點 A 在此xy 拋物線對稱軸的同側 問 在拋物線的對稱軸上是否存在點 P 使 APE 的周長最小 若存在 求出點 P 的坐標 若 不存在 請說明理由 參考答案 一 選擇題 BCDDC 二 填空題 1 2 2 7 3 4 2 2 1 22 xy 2 n 三 解答題 1 C 1 或 1 3 1 2 1 2 10 月 3 5 5 萬元tS 3 1 2 3 0 xy4b 4 1 B 3 0 2 或 342 xy342 xy 3 在拋物線的對稱軸上存在點 P 2 使 APE 的周長最小 1 初中數學二次函數做題技巧 2012 中考數學精選例題解析 函數與一元二次方程 知識考點 1 理解二次函數與一元二次方程之間的關系 2 會結合方程根的性質 一元二次方程根的判別式 判定拋物線與 軸的交點情況 x 3 會利用韋達定理解決有關二次函數的問題 精典例題 例 1 已拋物線 為實數 1 2 1 2 xmxy 1 為何值時 拋物線與 軸有兩個交點 m 2 如果拋物線與 軸相交于 A B 兩點 與 軸交于點 C 且 ABC 的面積為 2 求該拋物線的解析式 y 分析 拋物線與 軸有兩個交點 則對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根 將問題轉化為求一元二次方程x 有兩個不相等的實數根 應滿足的條件 略解 1 由已知有 解得 且 012m 1m 2 由 得 C 0 1 x 又 aAB 21221 mOSABC 或34m5 或12 xy 1562 xy 例 2 已知拋物線 8 2 m 1 求證 不論 為任何實數 拋物線與 軸有兩個不同的交點 且這兩個點都在 軸的正半軸上 x 2 設拋物線與 軸交于點 A 與 軸交于 B C 兩點 當 ABC 的面積為 48 平方單位時 求 的值 yx m 3 在 2 的條件下 以 BC 為直徑作 M 問 M 是否經過拋物線的頂點 P 解析 1 由 可得證 0 4 2 m0821 0 6 21 mx 2 4222121 mxxxBC 6 2 mOA 又 48 BCS 48 2 1 解得 或 舍去 2 m1 初中數學二次函數做題技巧 3 頂點 5 9 1602 xy 6 BC 9 M 不經過拋物線的頂點 P 評注 二次函數與二次方程有著深刻的內在聯系 因此 善于促成二次函數問題與二次方程問題的相互轉化 是 解相關問題的常用技巧 探索與創(chuàng)新 問題 如圖 拋物線 其中 分別是 ABC 的 A B C 的對邊 4 22cxbay abc 1 求證 該拋物線與 軸必有兩個交點 x 2 設有直線 與拋物線交于點 E F 與 軸cay交于點 M 拋物線與 軸y交于點 N 若拋物線的對稱軸為 MNE 與 MNF 的面 積之比為 5 1 求證 ABC 是等邊三角形 2 當 時 設拋物線與 軸交于點 P Q 問3 ABCSx 是否存在過 P Q 兩點且與軸相切的圓 若存在這樣的圓 求出圓心的坐標 若不存在 y 請說明理由 解析 1 2cbacba 0 0 2 由 得 由 得 bcaxy4 22 0432 acx 設 E F 那么 12y321 acx 421 由 5 1 得 MNS 215x 或21x 2x 由 知 應舍去 0 1 由 解得 2153xa2 即c 40452 ca 或 舍去 a 0 b ABC 是等邊三角形 3 即3 ABCS342 a x問 題 圖 EQFP M O Nyx 問 題 圖 E QFP M O N 初中數學二次函數做題技巧 或 舍去 2 a 此時拋物線 的對稱軸是 與 軸的兩交點坐標為 P 0 cb142 xy2 x 32 Q 0 3 設過 P Q 兩點的圓與 軸的切點坐標為 0 由切割線定理有 yt OQPt 2 1 t 故所求圓的圓心坐標為 2 1 或 2 1 評注 本題 1 2 問與函數圖像無關 而第 3 問需要用前兩問的結論 解題時千萬要認真分析前因后果 同時 如果后一問的解答需要前一問的結論時 盡管前一問沒有解答出來 倘能會用前一題的結論來解答后一問題 也是得分的一種策略 跟蹤訓練 一 選擇題 1 已知拋物線 與 軸兩交點在 軸同側 它們的距離的平方等于 則 的值為 mxy 1 52 y2549m A 2 B 12 C 24 D 2 或 24 2 已知二次函數 0 與一次函數 0 的圖像交于點 A 2 4 cba21amkx 2 B 8 2 如圖所示 則能使 成立的 的取值范圍是 21y x A B C D 或 x8x8 2 8 xyx 第 2題 圖 B A O x第 3題 圖 E BA O yx 第 4題 圖 BA O 3 如圖 拋物線 與兩坐標軸的交點分別是 A B E 且 ABE 是等腰直角三角形 AE BE 則cbay 2 下列關系 其中正確的有 0c1 a2cS A 4 個 B 3 個 C 2 個 D 1 個 4 設函數 的圖像如圖所示 它與 軸交于 A B 兩點 線段 OA 與 OB 的比為 1 3 則 1 2 mxxy x 的值為 m A 或 2 B C 1 D 2313 二 填空題 1 已知拋物線 與 軸交于兩點 A 0 B 0 且 則 2 1 2 kxyx 172 k 2 拋物線 與 軸的兩交點坐標分別是 A 0 B 0 且 則 的值為 mx 2 1x2x21xm 初中數學二次函數做題技巧 3 若拋物線 交 軸于 A B 兩點 交 軸于點 C 且 ACB 90 0 則 121 mxy ym 4 已知二次函數 與 軸交點的橫坐標為 則對于下列結論 當 時 kx1x2 21x 2 x 當 時 方程 0 有兩個不相等的實數根 1y2x 0y 2 k 12x1 其中所有正確的結論是 只填寫順號 2 xk2124 三 解答題 1 已知二次函數 0 的圖像過點 E 2 3 對稱軸為 它的圖像與 軸交于兩點cbxay2a 1 xx A 0 B 0 且 x2x21 121 1 求這個二次函數的解析式 2 在 1 中拋物線上是否存在點 P 使 POA 的面積等于 EOB 的面積 若存在 求出點 P 的坐標 若不 存在 請說明理由 2 已知拋物線 與 軸交于點 A 0 B 0 兩點 與 軸交于點 C 且42 2 mxxyx1x2xy 若點 A 關于 軸的對稱點是點 D 1x 021 y 1 求過點 C B D 的拋物線解析式 2 若 P 是 1 中所求拋物線的頂點 H 是這條拋物線上異于點 C 的另一點 且 HBD 與 CBD 的面積相等 求直線 PH 的解析式 3 已知拋物線 交 軸于點 A 0 B 0 兩點 交 軸于點 C 且mxy232 1x2xy 210 x 1 COBA 1 求拋物線的解析式 2 在 軸的下方是否存在著拋物線上的點 使 APB 為銳角 鈍角 若存在 求出 P 點的橫坐標的范圍 若 不存在 請說明理由 參考答案 一 選擇題 CDBD 二 填空題 1 2 2 3 3 4 三 解答題 1 1 2 存在 P 9 或 9 2 xy 13 13 2 1 2 860 xy 3 1 2 當 時 APB 為銳角 當 或 時 APB 為鈍32xy P 0 Px43Px 角 初中數學二次函數做題技巧 中考數學知識點速記口訣 一 1 有理數的加法運算 同號相加一邊倒 異號相加 大 減 小 符號跟著大的跑 絕對值相等 零 正好 注 大 減 小 是指絕對值的大小 2 合并同類項 合并同類項 法則不能忘 只求系數和 字母 指數不變樣 3 去 添括號法則 去括號 添括號 關鍵看符號 括號前面是正號 去 添括號不變號 括號前面是負號 去 添括號都變號 4 一元一次方程 已知未知要分離 分離方法就是移 加減移項要變號 乘除移了要顛倒 5 恒等變換 兩個數字來相減 互換位置最常見 正負只看其指數 奇數變號偶不變 a b 2n 1 b a 2n 1 a b 2n b a 2n 6 平方差公式 平方差公式有兩項 符號相反切記牢 首加尾乘首減尾 莫與完全公式相混淆 7 完全平方 完全平方有三項 首尾符號是同鄉(xiāng) 首平方 尾平方 首尾二倍放中央 首 尾括號帶平方 尾項符號 隨中央 8 因式分解 一提 公因式 二套 公式 三分組 細看幾項不離譜 兩項只用平方差 三項十字相乘法 陣法熟練 不馬虎 四項仔細看清楚 若有三個平方數 項 就用一三來分組 否則二二去分組 五項 六項更多項 二三 三 三試分組 以上若都行不通 拆項 添項看清楚 9 代入 口決 挖去字母換上數 式 數字 字母都保留 換上分數或負數 給它帶上小括弧 原括弧內出 現 括 弧 逐級向下變括弧 小 中 大 10 單項式運算 加 減 乘 除 乘 開 方 三級運算分得清 系數進行同級 運 算 指數運算降級 進 行 11 一元一次不等式解題的一般步驟 去分母 去括號 移項時候要變號 同類項 合并好 再把系數來除掉 兩邊除 以 負數時 不等號改向別忘了 中考數學知識點速記口訣 二 12 一元一次不等式組的解集 大大取較大 小小取較小 小大 大小取中間 大小 小大無處找 13 一元二次不等式 一元一次絕對值不等式的解集 大 魚 于 吃 取兩邊 小 魚 于 吃 取中間 14 分式混合運算法則 分式四則運算 順序乘除加減 乘除同級運算 除法符號須變 乘 乘法進行化簡 因式 分解在先 分子分母相約 然后再行運算 加減分母需同 分母化積關鍵 找出最簡公分母 通分不是很難 變號必須兩 處 結果要求最簡 初中數學二次函數做題技巧 15 分式方程的解法步驟 同乘最簡公分母 化成整式寫清楚 求得解后須驗根 原 根 留 增 根 舍別含糊 16 最簡根式的條件 最簡根式三條件 號內不把分母含 冪指 數 根指 數 要互質 冪指比根指小一點 17 特殊點坐標特征 坐標平面點 x y 橫在前來縱在后 和 四個象限分前后 X 軸上 y 為 0 x 為 0 在 Y 軸 18 象限角的平分線 象限角的平分線 坐標特征有特點 一 三橫縱都相等 二 四橫縱確相反 19 平行某軸的直線 平行某軸的直線 點的坐標有講究 直線平行 X 軸 縱坐標相等橫不同 直線平行于 Y 軸 點的 橫坐標仍照舊 20 對稱點坐標 對稱點坐標要記牢 相反數位置莫混淆 X 軸對稱 y 相反 Y 軸對稱 x 前面添負號 原點對稱最好記 橫縱坐標變符號 21 自變量的取值范圍 分式分母不為零 偶次根下負不行 零次冪底數不為零 整式 奇次根全能行 2012 中考數學知識點速記 三 22 函數圖像的移動規(guī)律 若把一次函數解析式寫成 y k x 0 b 二次函數的解析式寫成 y a x h 2 k 的形式 則用下 面后的口訣 左右平移在括號 上下平移在末稍 左正右負須牢記 上正下負錯不了 23 一次函數圖像與性質口訣 一次函數是直線 圖像經過仨象限 正比例函數更簡單 經過原點一直線 兩個系數 k 與 b 作用之大莫小看 k 是斜率定夾角 b 與 Y 軸來相見 k 為正來右上斜 x 增減 y 增減 k 為負來左下展 變化規(guī)律正相反 k 的絕對值越大 線離橫軸就越遠 24 二次函數圖像與性質口訣 二次函數拋物線 圖象對稱是關鍵 開口 頂點和交點 它們確定圖象現 開口 大小 由 a 斷 c 與 Y 軸來相見 b 的符號較特別 符號與 a 相關聯 頂點位置先找見 Y 軸作為參考線 左同右異中為 0 牢記 心中莫混亂 頂點坐標最重要 一般式配方它就現 橫標即為對稱軸 縱標函數最值見 若求對稱軸位置 符號反 一般 頂 點 交點式 不同表達能互換 25 反比例函數圖像與性質口訣 反比例函數有特點 雙曲線相背離的遠 k 為正 圖在一 三 象 限 k 為負 圖在二 四 象 限 圖在一 三函數減 兩個分支分別減 圖在二 四正相反 兩個分支分別添 線越長越近軸 永遠與軸不沾邊 26 巧記三角函數定義 初中所學的三角函數有正弦 余弦 正切 余切 它們實際是三角形邊的比值 可以把 兩個字用 隔開 再用下面的一句話記定義 一位不高明的廚子教徒弟殺魚 說了這么一句話 正對魚磷 余鄰 直刀切 正 正弦或正切 對 對邊即正是對 余 余弦或余弦 鄰 鄰邊即余是鄰 切是直角邊 27 三角函數的增減性 正增余減 初中數學二次函數做題技巧 28 特殊三角函數值記憶 首先記住 30 度 45 度 60 度的正弦值 余弦值的分母都是 2 正切 余切的分母都是 3 分子記口訣 123 321 三九二十七 既可 29 平行四邊形的判定 要證平行四邊形 兩個條件才能行 一證對邊都相等 或證對邊都平行 一組對邊也可 以 必須相等且平行 對角線 是個寶 互相平分 跑不了 對角相等也有用 兩組對角 才能成 30 梯形問題的輔助線 移動梯形對角線 兩腰之和成一線 平行移動一條腰 兩腰同在 現 延長兩腰交一點 中有平行線 作出梯形兩高線 矩形顯示在眼前 已知腰上一中線 莫忘作出中位線 31 添加輔助線歌 輔助線 怎么添 找出規(guī)律是關鍵 題中若有角 平 分線 可向兩邊作垂線 線段垂直平分線 引向兩端把線連 三角形邊兩中點 連接則成中位線 三角形中有中線 延長中線翻一番 2012 中考數學知識點 四 32 圓的證明歌 圓的證明不算難 常把半徑直徑連 有弦可作弦心距 它定垂直平分弦 直徑是圓最大弦 直圓周角立 上邊 它若垂直平分弦 垂徑 射影響耳邊 還有與圓有關角 勿忘相互有關聯 圓周 圓心 弦切角 細找關系把線 連 同弧圓周角相等 證題用它最多見 圓中若有弦切角 夾弧找到就好辦 圓有內接四邊形 對角互補記心間 外角 等于內對角 四邊形定內接圓 直角相對或共弦 試試加個輔助圓 若是證題打轉轉 四點共圓可解難 要想證明圓切線 垂直半徑過外端 直線與圓有共點 證垂直來半徑連 直線與圓未給點 需證半徑作垂線 四邊形有內切圓 對邊和等 是條件 如果遇到圓與圓 弄清位置很關鍵 兩圓相切作公切 兩圓相交連公弦 33 圓中比例線段 遇等積 改等比 橫找豎找定相似 不相似 別生氣 等線等比來代替 遇等比 改等積 引 用射影和圓冪 平行線 轉比例 兩端各自找聯系 34 正多邊形訣竅歌 份相等分割圓 n 值必須大于三 依次連接各分點 內接正 n 邊形在眼前 35 經過分點做切線 切線相交 n 個點 n 個交點做頂點 外切正 n 邊形便出現 正 n 邊形很美觀 它有內接 外切 圓 內接 外切都唯一 兩圓還是同心圓 它的圖形軸對稱 n 條對稱軸都過圓心點 如果 n 值為偶數 中心對稱很 方便 正 n 邊形做計算 邊心距 半徑是關鍵 內切 外接圓半徑 邊心距 半徑分別換 分成直角三角形 2n 個整 依此計算便簡單 36 函數學習口決 正比例函數是直線 圖象一定過圓點 k 的正負是關鍵 決定直線的象限 負 k 經過二四限 x 增大 y 在減 上下平移 k 不變 由引得到一次線 向上加 b 向下減 圖象經過三個限 兩點決定一條線 選定系數 是關鍵 37 反比例函數雙曲線 待定只需一個點 正 k 落在一三限 x 增大 y 在減 圖象上面任意點 矩形面積都不變 對稱軸是角分線 x y 的順序可交換 38 二次函數拋物線 選定需要三個點 a 的正負開口判 c 的大小 y 軸看 的符號最簡便 x 軸上數交點 a b 同號軸左邊拋物線平移 a 不變 頂點牽著圖象轉 三種形式可變換 配方法作用最關鍵 初中數學二次函數做題技巧 2012 中考數學 幾何知識 146 條 2012 中考臨近 初三生已經進入到最后的備考沖刺階段 那么 如何在沖刺階段查漏補缺 夯實基礎呢 為方便 考生復習中考數學 整理出初中幾何 146 條實用知識 希望考生能夠及時查看 1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中 垂線段最短 7 平行公理經過直線外一點 有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行 這兩條直線也互相平行 9 同位角相等 兩直線平行 10 內錯角相等 兩直線平行 11 同旁內角互補 兩直線平行 12 兩直線平行 同位角相等 13 兩直線平行 內錯角相等 14 兩直線平行 同旁內角互補 15 定理三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論三角形兩邊的差小于第三邊 17 三角形內角和定理三角形三個內角的和等于 180 18 推論 1 直角三角形的兩個銳角互余 19 推論 2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 初中數學二次函數做題技巧 20 推論 3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 21 全等三角形的對應邊 對應角相等 22 邊角邊公理有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 23 角邊角公理有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 24 推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 25 邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等 26 斜邊 直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 28 定理 2 到一個角的兩邊的距離相同的點 在這個角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 30 等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等 31 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線和高互相重合 33 推論 3 等邊三角形的各角都相等 并且每一個角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等 那么這兩個角所對的邊也相等 等角對等邊 35 推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個角等于 60 的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中 如果一個銳角等于 30 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 39 定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 40 逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合 初中數學二次函數做題技巧 42 定理 1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱 那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線 44 定理 3 兩個圖形關于某直線對稱 如果它們的對應線段或延長線相交 那么交點在對稱軸上 45 逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分 那么這兩個圖形關于這條直線對稱 46 勾股定理直角三角形兩直角邊 a b 的平方和 等于斜邊 c 的平方 即 a b c 47 勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長 a b c 有關系 a b c 那么這個三角形是直角三角形 48 定理四邊形的內角和等于 360 49 四邊形的外角和等于 360 50 多邊形內角和定理 n 邊形的內角的和等于 n 2 180 51 推論任意多邊的外角和等于 360 52 平行四邊形性質定理 1 平行四邊形的對角相等 53 平行四邊形性質定理 2 平行四邊形的對邊相等 54 推論夾在兩條平行線間的平行線段相等 55 平行四邊形性質定理 3 平行四邊形的對角線互相平分 56 平行四邊形判定定理 1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 57 平行四邊形判定定理 2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58 平行四邊形判定定理 3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59 平行四邊形判定定理 4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60 矩形性質定理 1 矩形的四個角都是直角 61 矩形性質定理 2 矩形的對角線相等 62 矩形判定定理 1 有三個角是直角的四邊形是矩形 63 矩形判定定理 2 對角線相等的平行四邊形是矩形 初中數學二次函數做題技巧 64 菱形性質定理 1 菱形的四條邊都相等 65 菱形性質定理 2 菱形的對角線互相垂直 并且每一條對角線平分一組對角 66 菱形面積 對角線乘積的一半 即 S a b 2 67 菱形判定定理 1 四邊都相等的四邊形是菱形 68 菱形判定定理 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 69 正方形性質定理 1 正方形的四個角都是直角 四條邊都相等 70 正方形性質定理 2 正方形的兩條對角線相等 并且互相垂直平分 每條對角線平分一組對角 71 定理 1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的 72 定理 2 關于中心對稱的兩個圖形 對稱點連線都經過對稱中心 并且被對稱中心平分 73 逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點 并且被這一點平分 那么這兩個圖形關于這一點對稱 74 等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等 75 等腰梯形的兩條對角線相等 76 等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 77 對角線相等的梯形是等腰梯形 78 平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等 79 推論 1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線 必平分另一腰 80 推論 2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線 必平分第三邊 81 三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊 并且等于它的一半 82 梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底 并且等于兩底和的一半 L a b 2S L h 83 1 比例的基本性質如果 a b c d 那么 ad bc 如果 ad bc 那么 a b c d 84 2 合比性質如果 a b c d 那么 a b b c d d 85 3 等比性質如果 a b c d m n b d n 0 那么 a c m b d n a b 初中數學二次函數做題技巧 86 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線 所得的對應線段成比例 87 推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應線段成比例 88 定理如果一條直線截三角形的兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應線段成比例 那么這條直線平行于三角形的第 三邊 89 平行于三角形的一邊 并且和其他兩邊相交的直線 所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例 90 定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構成的三角形與原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 兩角對應相等 兩三角形相似 ASA 92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 SAS 94 判定定理 3 三邊對應成比例 兩三角形相似 SSS 95 定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 那么這 兩個直角三角形相似 96 性質定理 1 相似三角形對應高的比 對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比 97 性質定理 2 相似三角形周長的比等于相似比 98 性質定理 3 相似三角形面積的比等于相似比的平方 99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值 任意銳角的余切值等于它的余角的正切值 101 圓是定點的距離等于定長的點的集合 102 圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合 103 圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合 104 同圓或等圓的半徑相等 105 到定點的距離等于定長的點的軌跡 是以定點為圓心 定長為半徑的圓 106 和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡 是著條線段的垂直平分線 初中數學二次函數做題技巧 107 到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡 是這個角的平分線 108 到兩條平行線距離相等的點的軌跡 是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線 109 定理不在同一直線上的三個點確定一條直線 110 垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧 111 推論 1 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經過圓心 并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑 垂直平分弦 并且平分弦所對的另一條弧 112 推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 114 定理在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦相等 所對的弦的弦心距相等 115 推論在同圓或等圓中 如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的 其余各組量都相等 116 定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 117 推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也相等 118 推論 2 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角所對的弦是直徑 119 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個三角形是直角三角形 120 定理圓的內接四邊形的對角互補 并且任何一個外角都等于它的內對角 121 直線 L 和 O 相交 d r 直線 L 和 O 相切 d r 直線 L 和 O 相離 d r 122 切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123 切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑 初中數學二次函數做題技巧 124 推論 1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 125 推論 2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心 126 切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 127 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 128 弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角 129 推論如果兩個弦切角所夾的弧相等 那么這兩個弦切角也相等 130 相交弦定理圓內的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的積相等 131 推論如果弦與直徑垂直相交 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項 132 切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 133 推論從圓外一點引圓的兩條割線 這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 134 如果兩個圓相切 那么切點一定在連心線上 135 兩圓外離 d R r 兩圓外切 d R r 兩圓相交 R r d R r R r 兩圓內切 d R r R r 兩圓內含 d R r R r 136 定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 137 定理把圓分成 n n 3 依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正 n 邊形 經過各分點作圓的切線 以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正 n 邊形 138 定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓 這兩個圓是同心圓 139 正 n 邊形的每個內角都等于 n 2 180 n 初中數學二次函數做題技巧 140 定理正 n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全等的直角三角形 141 正 n 邊形的面積 Sn pnrn 2p 表示正 n 邊形的周長 142 正三角形面積 3a 4a 表示邊長 143 如果在一個頂點周圍有 k 個正 n 邊形的角 由于這些角的和應為 360 因此 k n 2 180 n 360 化為 n 2 k 2 4 144 弧長計算公式 L n R 180 145 扇形面積公式 S 扇形 n R 360 LR 2 146 內公切線長 d R r 外公切線長 d R r